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1、一、多元函数的概念一、多元函数的概念二、多元函数的极限二、多元函数的极限三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性四、小结四、小结 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念(1)邻域)邻域一、多元函数的概念一、多元函数的概念(2)区域)区域例如,例如,即为开集即为开集连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如,例如,例如,例如,有界闭区域;有界闭区域;无界开区域无界开区域例如,例如,(3)聚点)聚点1. 内点是聚点;内点是聚点;说明:说明:说明:说明:2. 边界点是聚点;边界点是聚点;例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点3. 点集点集E的聚点可以属于的聚点可
2、以属于E,也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合(4)n维空间维空间1. n维空间的记号为维空间的记号为说明:说明:说明:说明:2. n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 3. n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时,便为数轴、平面、时,便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域:邻域:设两点为设两点为(5)二元函数的定义)二元函数的定义类似地可定义三
3、元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为例例2 2 设设求求解解多元函数也有单值性与多值性的概念多元函数也有单值性与多值性的概念. . 例如:例如:单值分支单值分支 一一元元函函数数的的单单调调性性、奇奇偶偶性性、周周期期性性等等性性质质的的定定义义在在多多元元函函数数中中不不再再适适用用,但但有有界界性性的的定定义义仍仍适适用用:设设有有n元元函函数数y=f(x),其其定定义义域域为为D Rn, 集集 合合 X D. .若若 存存 在在 正正 数数 M, 使使 对对 x X, 有有|f(x)| M,则则称称f(x)在在X上上
4、有有界界,M称称为为f(x)在在X上上的一个界的一个界. .(6) 二元函数二元函数 的图形的图形(如下页图)(如下页图)二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:例例3 3、已知、已知 求求 . .例例4 4、已知、已知 求求 . .二元函数也有复合函数二元函数也有复合函数二、多元函数的极限二、多元函数的极限说明:说明:(1)定义中)定义中 的方式是任意的;的方式是任意的;(2)二元函数的极限也叫二重极限)二元函数的极限也叫二重极限(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似)二元函数的极限运算法则与
5、一元函数类似例例2 2 求证求证 证证当当 时,时,原结论成立原结论成立例例3 3 求极限求极限 解解其中其中例例4 4 设设证明证明 不存在不存在解解取取其值随其值随k的不同而变化,的不同而变化, 极限不存在极限不存在例例5 5 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而变化,的不同而变化,故极限不存在故极限不存在确定极限不存在的方法:v找两种不同趋近方式,使二重极限存在,但两者不相等;v令p(x,y)沿某一定曲线趋向于 时,极限不存在.例例6 6 证明证明 不存在不存在 利用点函数的形式有利用点函数的形式有三、多元函数的连续性三、多元函数的连续性定义定义3 3例例7 7 讨论函
6、数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化,的不同而变化, 极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数,在上的多元连续函数,在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数,如上的多元连续函数,如果在果在D D上取得两个不同的函数值,则它在上取得两个不同的函数值,则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次(1)最大值和最小值定理)最大值
7、和最小值定理(2)介值定理)介值定理(3)有界定理)有界定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定有界有界多元初等函数多元初等函数:由常量及基本初等函数经过有:由常量及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例例8 8解解多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质(注意趋近方式的注意趋近方式的任意性任意性)四、小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取