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1、第八节第八节 函数的连续与间断函数的连续与间断1一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量22.连续的定义连续的定义34可见可见 , 函数函数在点在点必需具备下列条件必需具备下列条件:(1) 在点在点 有定义有定义 ,即即 存在存在 ;(2) 极限极限(3)连续连续,存在存在 ;5对自变量的增量对自变量的增量有函数的增量有函数的增量左连续左连续右连续右连续当当时时, 有有函数函数 在点在点 连续有下列等价命题连续有下列等价命题:6continue若若在某区间上每一点都连续在某区间上每一点都连续 , 则称它在该则称它在该区间上连续区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数或称它为该
2、区间上的连续函数 .例如例如,在在上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理分式函数只要只要都有都有在其定义域内连续在其定义域内连续 .在闭区间在闭区间 上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作7例例1. 证明函数证明函数在在内连续内连续 .证证: 0即即这说明这说明在在内连续内连续 .同样可证同样可证: 函数函数在在内连续内连续 .82. 函数的间断点函数的间断点(1) 函数函数(2) 函数函数不存在不存在;(3) 函数函数存在存在 ,但但 不连续不连续 :设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列则下列这样的点这样的点情形之一函数情形之
3、一函数 f (x) 在点在点在在虽有定义虽有定义 , 但但在在虽有定义虽有定义 , 且且称为间断点称为间断点 . 在在无定义无定义 ;9间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在 ,若若称称 为可去间断点为可去间断点 .若若称称 为跳跃间断点为跳跃间断点 .第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称 为无穷间断点为无穷间断点 .若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡 ,称称 为振荡间断点为振荡间断点 .若其中有一个为若其中有一个为10例如例如: (1)为其无穷间断点为其无穷间断点 .为其振荡间断点为其振荡间断点 .(2)为可去间断点为可去间断
4、点 .(3)11显然显然为其可去间断点为其可去间断点 .(4)(5) 为其跳跃间断点为其跳跃间断点 .12二二. . 连续函数的运算及初等函数的连续性连续函数的运算及初等函数的连续性1. 连续函数的四则运算法则连续函数的四则运算法则定理定理1.1.在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和, ,差差( 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明 )连续连续 在其定义域内连续在其定义域内连续定理定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调连续单调递增函数的反函数也连续单调例如例如,在在上连续单调递增，上连续单调递增，其反函数其反函数积积,商商(分母不为分母不为 0
5、) 运算运算,结果仍是一个在该点连结果仍是一个在该点连(递减递减)( 递减递减)(证明略证明略)在在 上也连续单调递增上也连续单调递增.递增递增.2. 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性续的函数续的函数 .13定理定理3. 连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.在在上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数在在上也连续单调递增上也连续单调递增 .证证: 设函数设函数在点在点 连续连续 , 且且函数函数在点在点 连续连续 , 即即于是于是故复合函数故复合函数在点在点 连续连续 .14例如例如,是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续 .复合而成复
6、合而成 ,153. 初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义一切初等函数在定义区间内连续区间内连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为而而的定义域为的定义域为因此它无连续点因此它无连续点16说明说明2.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解17例例2. 求求解解:原式原式例例3. 求求解解: 令令则则原式原式 =说明说明: 当当时时, 有有18例例4. 设
7、设解解:讨论复合函数讨论复合函数的连续性的连续性 .为初等函数为初等函数 ,故此时连续故此时连续;而而故故x = 1为第一类间断点为第一类间断点 .时时在点在点 不连续不连续 , 19内容小结内容小结一一. 连续与间断的概念连续与间断的概念1. 在点在点 连续的等价形式连续的等价形式左连续左连续右连续右连续2.第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在在点在点间断的类型间断的类型20二二. 连续函数的运算法则及初等函数的连续性连续函
8、数的运算法则及初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区初等函数在定义区间内连续间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.21练练 习习 题题2223练习题答案练习题答案2425定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定有有最最大大值值和和最最小值小值. .注意注意: :1.若
9、区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.三三. .闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质26定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. .证证27二、介值定理二、介值定理定义定义: :28几何解释几何解释:29几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,30推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任之间的任何值何值. .例例1 1证证由零
10、点定理由零点定理,31例例2 2证证由零点定理由零点定理,32内容小结内容小结一一. 连续与间断的概念连续与间断的概念1. 在点在点 连续的等价形式连续的等价形式左连续左连续右连续右连续2.第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在在点在点间断的类型间断的类型33二二. 连续函数的运算法则及初等函数的连续性连续函数的运算法则及初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数
11、的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区初等函数在定义区间内连续间内连续说明说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.34区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;零点定理零点定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;内容小结内容小结35思考题思考题下述命题是否正确？下述命题是否正确？36思考题解答思考题解答不正确不正确.例函数例函数37练练 习习 题题38作业作业P61 31 (5)(6), 3439
