《导数与不等式恒成立问题 - 讲义150959》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数与不等式恒成立问题 - 讲义150959（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 1 页 共 6 页 题型五、导数与不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 mf x(或 mf x)恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值） ，从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。 题型示例：参变量分离；隐零点代换；矛盾区间。 1、 （2007 年全国 1 卷 20）设函数 xxf xee。 ()证明： f x的导数 2fx； ()若对所有0x 都有 f
2、xax，求实数a的取值范围. 分析与解： （） xxfxee，由于22xxxxeeee2，故2)( xf,（当且仅当x=0 时，等号成立.） （II）令,)()(axxfxg则 .)()(aeeaxfxgxx （i）若2a，当 x0 时，, 02)(aaeexgxx 故( )g x在(0,)上为增函数.所以，0x时，)0()(gxg，即axxf)(. （ii）若2a ，方程0)( xg的正根为24ln21aax，此时，若), 0(1xx时，( )(0)0g xg,( )f xax,与( )f xax相矛盾.综上，满足条件的a的取值范围是.2 ,( 2、 （2008 年全国 2 卷理 22）设函
3、数sin( )2cosxf xx （）求( )f x的单调区间； （）如果对任何0x，都有( )f xax，求实数a的取值范围 分析与解： （）22(2cos )cossin ( sin )2cos1( )(2cos )(2cos )xxxxxfxxx 当222 2 33kxk（kZ）时，1cos2x ，即( )0fx； 当242 2 33kxk（kZ）时，1cos2x ，即( )0fx 因此( )f x在每一个区间222 2 33kk，（kZ）是增函数， ( )f x在每一个区间242 2 33kk，（kZ）是减函数 （）令( )( )g xaxf x，则 22cos1( )(2cos )x
4、g xax2232cos(2cos )axx211132cos33ax 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 2 页 共 6 页 故当13a时，( )0g x又(0)0g，所以当0x时，( )(0)0g xg，即( )f xax 当103a时， 令( )sin3h xxax， 则( )cos3h xxa 故当0,arccos3xa时，( )0h x 因此( )h x在0,arccos3a上单调增加故当(0,arccos3 )xa时，( )(0)0h xh， 即sin3xax于是，当(0,arccos3 )xa时，sinsin( )
5、2cos3xxf xaxx 当0a时，有10222fa因此，a的取值范围是13， 3、 （2010 大纲卷理 22）设函数 1xf xe （）证明：当1x 时， 1xf xx； （）设当0x 时， 1xf xax，求实数a的取值范围 分析与解： （）当1x 时， 1xf xx等价于1xex， 证明一：记 1xf xex，则 1xfxe，当0,x时， 0fx， f x单调递增； 当,0x 时， 0fx， f x单调递减；所以 00f xf，即1 xex。 证明二：1 xex等价于110xxe ，记 11xf xxe，则 xfxxe ，知当0,x时， 0fx， f x单调递减；当,0x 时， 0f
6、x， f x单调递增； 所以 00f xf，即110xxe ，即1 xex。 （） 由 （） 知， 当0x 时， 01xf xx， 显然10ax 恒成立， 所以0a ， 1xf xax等价于 0axfxf xx，记 h xaxfxf xx，则 1h xaf xaxfxfx，注意到 1xf xe ， 1xfxef x ， 所以 h xaf xaxfxaxf x，由（）知， 01xf xx即 1xxf x， 所以 121h xaf xaxfxa xf xf xaf x， 当102a时，必有 0h x， h x在0,上递减，此时 00h xh，符合题意； 当12a 时，因为1xex即1xex ，即1
7、xex，即 f xx， 所以 21h xaf xaxfxaf xf xaaxf x，显然当210axa时， 0h x，此时 h x单调递增，有 00h xh，与题意矛盾； 综上，实数a的取值范围为10,2。 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 3 页 共 6 页 4、 （2012 年大纲卷理 20）设函数( )cos ,0,f xaxx x。 （1）讨论( )f x的单调性； （2）设( )1 sinf xx ，求实数a的取值范围。 6、 （2014 年全国 2 卷 21）已知函数 f x=2xxeex （）讨论 f x的单调性
8、； （）设 24g xfxbf x，当0x 时， 0g x ,求b的最大值； （）已知1.414221.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 分析与解： （） 2220xxxxfxeee e，所以 f x在, 上单调递增。 （）由题知 2224442xxxxg xfxbf xeexb eex 2222442xxxxgxeeb ee 22488xxxxeeb eeb 2222xxxxeeeeb，因为0x ，所以2xxee 当420b，即2b 时， 0gx， g x在0,上递增，有 00g xg，符合题意； 当2b 时，由220xxeeb，解得20ln12xbbb ，此时 0gx
9、，有 00g xg与题意矛盾，故舍去； 综上，b的最大值为2。 （）由（）知，取2b ，知 0g x 恒成立，故3ln24 26ln202g， 解得8 23ln20.692812； 取2ln12ln2bbb ， 可 得3 2124b ， 则 有ln20g， 即182ln20.693428，所以ln20.693。 7、 （2016 年全国 II 卷文）已知函数( )(1)ln(1)f xxxa x. ()当4a 时，求曲线( )yf x在1, (1)f处的切线方程； ()若当1,x时，( )0f x ，求a的取值范围. 分析与解： （I）( )f x的定义域为(0,).当4a时， 欢迎您阅读并下
10、载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 4 页 共 6 页 1( )(1)ln4(1),( )ln3f xxxxfxxx，(1)2,(1)0. ff 所以曲线( )yf x在(1,(1)f处的切线方程为220.xy ()当1,x时， 0f x 等价于1ln01a xxx，记 1ln1a xg xxx， 则 222 111xa xgxx x，注意到 10g， 4214ag， 当420a即2a 时， 2222222 111210111xa xxxxgxx xx xx x， 所以 g x在1,上单调递增，此时 10g xg，符合题意； 当2a 时，令
11、222 1101xa xgxx x，得21121xaaa ， 22121xaaa ， 所以当21,xx时， 0gx， g x单调递减， 此时 10g xg，与题意矛盾，综上实数a的取值范围为,2。 8、 （2017 新课标）设函数2( )(1)xf xxe (1)讨论( )f x的单调性； (2)当0x 时，( )1f xax，求a的取值范围 分析与解： (1) 21 2xfxxxe，知当, 12x 时， 0fx，当12, 12x 时， 0fx，当12,x 时， 0fx，所以 f x在, 12 ，12, 单调递减，在12, 12 单调递增， (2) 11xf xxx e，由(1)知，记 111
12、xh xxx eax，0x 注意到 00h， 21 2xh xxxea， 21 40xhxxxe ， 即 h x在0,上单调递减，注意到 01ha ，所以， 当10a即1a 时， 00h xh，此时 h x在0,上递减，有 00h xh，符合题意； 析：此处构造函数后恰好 00h（端点效应说法） ， 00h xh，我们只要保证恰当的参数，使得函数 h x在在0,上递减即可，也就是保号性 00h xh。 法一：当1a 时， 010ha ， 21 2xxh xxxeaea， 当01a时， 1 2xh xx e，有102h，所以存在010,2x，使得 0h x，当00,xx时， 0h x，此时 h
13、x递增，有 00h xh，与题意矛盾； 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 5 页 共 6 页 当0a 时， 010ha ，不妨取1x ，则2120xx，1xe 221 21 2xh xxxeaxxa ，210ha，所以存在01,21xa，使得 0h x，当00,xx时， 0h x，此时 h x递增，有 00h xh，与题意矛盾； 综上，实数a的取值范围为1,。 9、 （2019 全国文 20）已知函数 2sincosf xxxxx， fx为 f x的导数 （1）证明： fx在区间0,存在唯一零点； （2）若0,x时， f xa
14、x恒成立，求实数a的取值范围 分析与解： （1）由题意得 cossin1fxxxx， cosfxxx. 当(0,)2x时，( )0fx； 当,2x时，( )0fx， 所以 fx在(0,)2单调递增， 在,2单调递减，又(0)0f ，02f，()2f 故( )fx在(0,)存在唯一零点. （2）记 g xf xax，则 gxfxa，由（1）知，( )fx在(0,)只有一个零点，设为0x，且当00,xx时，( )0fx；当0,xx时，( )0fx，所以( )f x在00,x单调递增，在0,x单调递减.又(0)0,()0ff，所以当0,x时，( )0f x . 当0a ，即0a 时， 0gxfxaa
15、 ， g x在0,上单调递增，此时 00g xg，即 f xax，符合题意； 当0a 即0a 时， 0ga 不满足题意，舍去； 因此，实数a的取值范围是,0。 10、函数xemxxf) 1()(，若对任意221 x，不等式xxf)(恒成立，求m范围 分 析 与 解 ： 由 题 意 得 不 等 式xxf)(等 价 于1xmex， 记 1xg xex， 则 22211xxx egxexx，记 21xh xx e，则 220xh xxx e， h x单调递增，又11024eh ， 22410he ，所以存在唯一零点0x1,22，使得 0h x ，所以当01,2xx时， 0h x ， 即 0gx， g
16、 x单调递减， 当0,2xx时， 0h x ， 即 0gx， g x单调递增，又122ge， 2122ge， 122gg，所以 2max12g xe，所以212me。 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！第 6 页 共 6 页 11、已知函数xxkxxf)2(ln1)(，k为整数，当2x时，0)(xf恒成立，求k范围。 分析与解：当2x时，0)(xf恒成立，等价于ln2xxxkx对任意2x 恒成立，记 ln2xxxg xx，则 22ln42xxgxx，记 2ln4h xxx，则 2xh xx，当2,x时 ， 0h x， h x递 增 ， 又 22ln220h ， 842ln80h， 952ln90h，所以存在唯一08,9x ，使得 00h x，即002ln40xx，即004ln2xx，所以当02,xx时， 0h x ，即 0gx， g x单调递减，当0,xx时， 0h x ， 即 0gx， g x单调递增， 所以 00000min0ln22xxxxg xg xx4,4.5，所以02xk 的最大正整数4k 。
