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1、工程力学工程力学121 平面汇交力系的合成几何法平面汇交力系的合成几何法 22 力的分解和力的投影力的分解和力的投影23 汇交力系的合成与平衡的解析法汇交力系的合成与平衡的解析法第二章第二章汇交力系汇交力系目录2平平面面汇汇交交力力系系的的合合成成、分分解解的的规规律律、平平衡衡条条件件及及其应用。其应用。教学要求：教学要求：1 1、掌掌握握平平面面汇汇交交力力系系合合成成的的力力多多边边形形法法则则及及合成的解析法；合成的解析法；2 2、掌握平面汇交力系平衡条件的具体应用。掌握平面汇交力系平衡条件的具体应用。重点：重点：平面汇交力系的简化及平衡方程的应用平面汇交力系的简化及平衡方程的应用难点
2、：难点：平衡方程的应用。平衡方程的应用。学时安排：学时安排：2 2教学内容教学内容：3 平面汇交力系平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。汇交于一点的力系。引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平平
3、面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。4 一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：合力方向由正弦定理：由余弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。2-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡F2F1FR180-FR5 合力的大小与方向与力多边形的合力的大小与方向与力多边形的作图的先后次序无关作图的先后次序无关 一、合成的几何法一、合成的几何法2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成力多边形画法力多边形画法2-1 2-1 平面
4、汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡F1F2F3F4FRFR12FR123F2F3F1F4FRFR23FR 2316 结论：结论：即：即： 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。线通过各力的汇交点。二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：是：平面汇交力系平衡的充要条件是：平面汇交力
5、系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭或或力系中各力的矢量和等于零力系中各力的矢量和等于零7例例1 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍物。的障碍物。求：在中心作用的水平力求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时FNA=0,拉力拉力F最大最大,这时这时拉力拉力F和自重及支反力和自重及支反力FNB构成一平衡力。构成一平衡力。由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形
6、封闭，故FNAPFFNBFPOFNBB又由几何关系：又由几何关系：F=11.5kN , FNB=23.1kN所以所以由作用力和反作用力的关系，由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。FPOBhA8例例1 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍物。的障碍物。求：在中心作用的水平力求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时FNA=0,=0,拉力拉力F最大最大,
7、 ,这时这时 拉力拉力F和自重及支反力和自重及支反力F FNB构成一平衡力。构成一平衡力。 FNAPFFNB作力矢作力矢P P，过，过P P的始末端分别作水平线的始末端分别作水平线、 29.980斜直线。斜直线。由平衡的几何条件，三力由平衡的几何条件，三力组成封闭的直角三角形如图（组成封闭的直角三角形如图（c c）. .直接量直接量取取F F、 F FNBNB 的大小。的大小。定比例定比例: 选选1cm1cm比例尺比例尺 为为20kN20kN20kN20kNFPOFNBBFPOBhA9几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺
8、；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数求出未知数几何法解题不足：几何法解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法解析法。 10FxyO（一）力沿直角坐标轴的分解（一）力沿直角坐标轴的分解Fx=FcosaFy=Fsina=F cosb2-2力的分解和力的投影力的分解和力的投影一、一、力的分解力的分解FyFxF=Fxi+Fy j11（二）力沿非正交坐标轴的分解（二）力沿非正交坐标轴的分解F1
9、F2ACDBF1F2FF1、平行四边形法则2、三角形法则12（一）力在坐标轴上的投影（一）力在坐标轴上的投影二、二、力的投影力的投影FxyOFx=Fcosa Fy=Fsina=F cosbFxFy力在坐标轴上的投影和分力比较力在坐标轴上的投影和分力比较a.力F沿轴的分力是矢量，而F在轴上的投影为代数量。b.力F的分力由力和力平行四边形法则计算，而投影按标量计算方法运算：c.当OxOy时，F 1=Fx,F 2=Fy。力和轴平行或重合，投影的绝对值等于力的大小当力和轴垂直时，投影为零.13（二）合力投影定理（二）合力投影定理由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x轴和在轴和在y轴投影的和分别为：
10、轴投影的和分别为： 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。F1F2F3F4FRFy4Fy3Fy1 Fy2Fx1Fx4xyFRyFRxFx214 作用点：作用点：为该力系的汇交点为该力系的汇交点(二二) 平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成1、根据合力投影定理求各力投影和。方向： 和的正负判断合力的指向。2、合力F FR大小：( 是合力与x轴所夹的锐角 )15 为负, 为正，故力系的合力与x的负半轴成54.47o锐角，力系的合力在第二象限内。例2 求图示共点力系F 1、F2、F3、F4的合力。
11、 解：（1）先求投影 (2) 求合力的大小和方向：162-3 、平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。的合力为零。即：即：为平衡的充要条件，也叫平衡方程为平衡的充要条件，也叫平衡方程17解：解：研究研究AB杆杆 画出受力图画出受力图 列平衡方程列平衡方程 例例3 已知已知 P=2kN 求求FCD , FA由由EB=BC=0.4m，解得：解得：；解平衡方程解平衡方程 FAFCD18例例4 已知如图已知如图P、Q， 求平衡时求平衡时 = =？ 地面的反力地面的
12、反力F FND= =？解：研究球受力如图，解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为选投影轴列方程为由由得得由由得得FT2FT1FND19又：又：例例5 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解：研究块解：研究块,受力如图，受力如图，解力三角形：解力三角形：FN1FNFNFN120再研究球，受力如图：再研究球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：FNB=0时为时为球离开地面球离开地面21例例5 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解解:(1)研究块研究块,受力如图受力如图(b)，建立常规坐标，列
13、平衡方程：，建立常规坐标，列平衡方程：（2)研究磙子研究磙子,受力如图受力如图(c) ，建立常规坐标，列平衡方程：，建立常规坐标，列平衡方程：FNB=0时为球时为球离开地面离开地面(c)FN1FN(b)(a)22 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法（解力三角形）比较简便。何法（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。只有一个未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。235、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。24作业P.25 2-3、5、6、8 25
