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1、优秀学习资料 欢迎下载 专题二 动态几何 一、知识疏理 动态几何型问题一般都是综合题，从图形的变换角度来看，试题一般是与对称、平移和旋转有关的问题，从运动的构成来看，有点的运动、直线的运动、图形的整体运动等 求解这类问题时要“以静制动” ，即把动态问题变为静态问题来解首先，根据题意理清题目中变量的变化情况，并找出相关常量；其次，按照图形中的几何性质及相关关系（如相似三角形、勾股定理等） ，找出一个基本关系式，然后求解；最后，确定自变量的取值范围，必要时画出相应的图象 三、典型例题 例 1 （2011 四川达州）如图，ABC 的边 BC 在直线 m 上，ACBC，且 AC=BC ，DEF的边 F
2、E 也在直线 m 上，边 DF 与边 AC 重合，且 DF=EF （1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出 AB 与 AE 所满足的数量关系和位置关系； （不要求证明） （2）将DEF 沿直线 m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交 AC 于点 G，连接 AE，BG猜想BCG 与ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想 分析： （1）根据题意，BC=AC=DF=EF，且 AC BC，可知ABC ，DEF为等腰直角三角形，得出结论； （2） 将BCG绕点 C顺时针旋转 90后能与ACE重合 已知 BC=AC ， 由 （1） 可知DEF=45，可知CEG为等腰直角三角形，则 CG=CE
3、 ，利用“SAS”证明BCG ACE ，得出结论 解： （1）AB=AE，ABAE； （2）将BCG 绕点 C 顺时针旋转 90 后能与ACE 重合（或将ACE 绕点 C 逆时针旋转 90后能与BCG 重合） ， 理由如下： ACBC ，DFEF，B 、F、C 、E 共线，ACB=ACE=DFE=90 ， 又AC=BC ，DF=EF，DEF=D=45 ， 在CEG 中，ACE=90 ，CGE=DEF=45 ，CG=CE， 在BCG 和ACE 中， ，BCGACE（SAS） ， 将BCG 绕点 C 顺时针旋转 90 后能与ACE 重合（或将ACE 绕点 C 逆时针旋转 90后能与BCG 重合）
4、点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质关键是熟练运用等腰直角三角形的性质解题 优秀学习资料 欢迎下载 A1 A 第 1 题 例 2、 （2011贵州遵义） 如图，梯形 ABCD 中，ADBC， BC=20cm ，AD=10cm ，现有两个动点 P、Q分别从 B、D两点同时出发，点 P以每秒 2cm的速度沿 BC向终点 C移动，点 Q以每秒 1cm的速度沿 DA向终点 A移动，线段 PQ与 BD相交于点 E，过 E作 EFBC交 CD于点 F，射线QF交 BC的延长线于点 H ，设动点 P、Q移动的时间为 t （单位：秒，0t 10） （1） 当 t 为何值时，
5、 四边形 PCDQ 为平行四边形？ （2）在 P、Q移动的过程中，线段 PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段 PH的长；如果改变，请说明理由 分析： （1）如果四边形 PCDQ 为平行四边形，则 DQ=CP ，根据 P、Q两点的运动速度，结合运动时间 t ，求出 DQ 、CP的长度表达式，解方程即可； （2）PH的长度不变，根据 P、Q两点的速度比，即可推出 QD ：BP=1 ：2，根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出 PH=20 解： （1）ADBC， BC=20cm ，AD=10cm ，点 P、Q分别从 B、D两点同时出发，点 P以每秒 2cm的速度沿 BC向终点 C移
6、动，点 Q以每秒 1cm的速度沿 DA向终点 A移动， DQ=t，PC=20 2t ， 若四边形 PCDQ 为平行四边形，则 DQ=PC ，202t=t ，解得：t=； （2）线段 PH的长不变， ADBH， P、Q两点的速度比为 2：1，QD： BP=1 ：2，QE： EP=ED ：BE=1 ：2， EFBH，ED： DB=EF ：BC=1 ：3， BC=20，EF=，：= ，PH=20cm 点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求得 DQ 和 PC 的长度表达式，推出 DQ 和 BP 的长度比为 1：2 三、课时过关 1( 20XX 年吉林省
7、) 如图，为拧紧一个螺母，将扳手顺时针旋转 60 ，扳手上一点 A转至点 A1处若 OA 长为 25 cm，则AA1长为 ( ) B 般是与对称平移和旋转有关的问题从运动的构成来看有点的运动直线的运动图形的整体运动等求解这类问题时要以静制动即把动态问题变为静态问题来解首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量其次按照图形中的几相应的图象三型例题例四川达州如图的边在直线上且的边也在直线上边与边重合且在图中请你通过观察思考猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系不要求证明将沿直线向左平移到图的位置时交于点连接猜想与能否通过旋转重合等腰直角三角形则利用证明得出结论解将绕点顺时针旋转后能与重合或
8、将绕点逆时针旋转后能与重合理由如下共线又在中在和中将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合点评本题考查了旋转的性质等腰直角三角优秀学习资料 欢迎下载 E A1 D1 A B D F C （第 2 题） A350 cm B325 cm C8 cm D7 cm 2( 20XX 年吉林省) 如图，在矩形 ABCD 中，AB12cm，BC6cm 点 E，F 分别在 AB，CD 上，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1，D1处，则整个阴影部分图形的周 长为（ ）B A18cm B36cm C40cm D72cm 3. 如图，已知正方形ABC
9、D的边长为 3，E为CD边上一点， 1DE 以点A为中心，把ADE顺时针旋转90，得ABE，连接EE， 则EE的长等于（ ） C A2 B2 2 C52 D23 4 （20XX 年长春市）如图，平面直角坐标系中，OB 在 x 轴上，ABO90 ， 点 A的坐标为( 1，2) 将AOB 绕点 A逆时针旋转 90 ，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y k x( x0) 上，则 k（ ） B A2 B3 C4 D6 5 如图，在ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交BCA 的角平分线于点 E，交BCA 的外角ACG 平分线于点 F （1）试说明
10、EO=FO ； （2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由 （3）当点 O 运动到何处，且ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？并说明理由 分析： （1） 由已知 MNBC， CE、 CF 分别平分BCO 和GCO ， 可推出OEC= OCE ，OFC= OCF ，所以得 EO=CO=FO （2）由（1）得出的 EO=CO=FO ，点 O 运动到 AC 的中点时，则由 EO=CO=FO=AO ，所以这时四边形 AECF 是矩形 （3）由已知和（2）得到的结论，点 O 运动到 AC 的中点时，且ABC 满足ACB 为直角的直角三角形时，则推出四边形 AECF
11、 是矩形且对角线垂直，所以四边形 AECF 是正方形 解： （1）MNBC， 3=1，6=5， 又CE 平分BCO ，CF 平分GCO ， 2=1，4=5， 2=3，4=6， EO=CO ，FO=CO ， EO=FO B A D C x y O （第 4 题） （第 3 题） E A D E B C G 6 般是与对称平移和旋转有关的问题从运动的构成来看有点的运动直线的运动图形的整体运动等求解这类问题时要以静制动即把动态问题变为静态问题来解首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量其次按照图形中的几相应的图象三型例题例四川达州如图的边在直线上且的边也在直线上边与边重合且在图中请你通过观
12、察思考猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系不要求证明将沿直线向左平移到图的位置时交于点连接猜想与能否通过旋转重合等腰直角三角形则利用证明得出结论解将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合理由如下共线又在中在和中将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合点评本题考查了旋转的性质等腰直角三角优秀学习资料 欢迎下载 （2）当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形 当点 O 运动到 AC 的中点时，AO=CO ， 又EO=FO ， 四边形 AECF 是平行四边形， FO=CO ， AO=CO=EO=FO ， AO+CO=EO+FO ，即 AC=EF ， 四
13、边形 AECF 是矩形 （3）当点 O 运动到 AC 的中点时，且ABC 满足ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形 由（2）知，当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MNBC，当ACB=90 ，则 AOF= COE= COF= AOE=90 ， ACEF， 四边形 AECF 是菱形 四边形 AECF 是正方形 点评： 此题考查的知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义， 解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“ 纵、横、深、广” 拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论
14、 6.一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图） ，求矩形的长与宽的比 分析：首先由折叠的性质与矩形的性质求得：ABC=30，BC=BC ，然后在 RtABC 中，利用三角函数的知识即可求得答案 解：根据折叠的性质得：AC=DC，BC=BC ，ABC= CBE= EBC ， 四边形 ABCD 是矩形， ABC= A=90 ， 矩形的长与宽的比为： 2：3 点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数等知识解题的关键是找到折叠中般是与对称平移和旋转有关的问题从运动的构成来看有点的运动直线的运动图形的整体运动等求解这类问题时要以静制动即把动态问题变为静态问题来解首先根据题意理清题目中变量的变
15、化情况并找出相关常量其次按照图形中的几相应的图象三型例题例四川达州如图的边在直线上且的边也在直线上边与边重合且在图中请你通过观察思考猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系不要求证明将沿直线向左平移到图的位置时交于点连接猜想与能否通过旋转重合等腰直角三角形则利用证明得出结论解将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合理由如下共线又在中在和中将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合点评本题考查了旋转的性质等腰直角三角优秀学习资料 欢迎下载 的对应关系，还要注意数形结合思想的应用 7.08 甘肃白银） 如图， 在平面直角坐标系中， 四边形 OABC 是矩形， 点 B的坐标为
16、 （4， 3） 平行于对角线 AC的直线 m从原点 O出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，设直线 m与矩形 OABC 的两边分别交于点 M 、N，直线 m运动的时间为 t （秒） (1) 点 A的坐标是_，点 C的坐标是_； （4，0） ， （0，3） (2) 当 t= 秒或 秒时，MN=21AC ； 2 ，6 (3) 设OMN 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式； (4) 探求(3) 中得到的函数 S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由 分析： （3）本题要分类进行讨论： 当直线 m 在 AC 下方或与 AC 重合时，即当 0t4时，可根据OMN
17、OAC ，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出 S 与 t 的函数关系式 当直线 m 在 AC 上方时， 即当 4t8 时， 可用矩形 OABC 的面积- 三角形 BMN 的面积- 三角形 OCN 的面积- 三角形 OAM 的面积来求得 （也可过 O 作直线 m 的垂线设垂足为 F，那么在直角三角形 OMF 中，可根据 OD 的长和ODE 的正弦值求出 OF 的长，求 MN 的方法一样） （4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S 的最大值及对应的 t 的值 解： 般是与对称平移和旋转有关的问题从运动的构成来看有点的运动直线的运动图形的整体运动等求解这类问题时要以静制动
18、即把动态问题变为静态问题来解首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量其次按照图形中的几相应的图象三型例题例四川达州如图的边在直线上且的边也在直线上边与边重合且在图中请你通过观察思考猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系不要求证明将沿直线向左平移到图的位置时交于点连接猜想与能否通过旋转重合等腰直角三角形则利用证明得出结论解将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合理由如下共线又在中在和中将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合点评本题考查了旋转的性质等腰直角三角优秀学习资料 欢迎下载 般是与对称平移和旋转有关的问题从运动的构成来看有点的运动直线的运动图形的整体运动等求解这类问题时要以静制动即把动态问题变为静态问题来解首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量其次按照图形中的几相应的图象三型例题例四川达州如图的边在直线上且的边也在直线上边与边重合且在图中请你通过观察思考猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系不要求证明将沿直线向左平移到图的位置时交于点连接猜想与能否通过旋转重合等腰直角三角形则利用证明得出结论解将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合理由如下共线又在中在和中将绕点顺时针旋转后能与重合或将绕点逆时针旋转后能与重合点评本题考查了旋转的性质等腰直角三角
