对数函数讲解

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1、第五节对 数 函 数【知知识梳理梳理】1.1.必会知必会知识教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)对数的概念数的概念: :如果如果a ax x=N(a0,=N(a0,且且a1),a1),那么数那么数x x叫做以叫做以a a为底底N N的的对数数, ,记作作x=_.x=_.logloga aN N(2)(2)对数的性数的性质、换底公式与运算性底公式与运算性质: :性性质logloga a1=_;log1=_;loga aa=_; =_.a=_; =_.换底底公式公式logloga ab=_b=_(a,c(a,c均大于均大于0 0且不等于且不等于1,b0)1,b0)运算运算性性质如果如果a0,a

2、0,且且a1,M0,N0,a1,M0,N0,那么那么: :logloga a(M(MN)=_;N)=_;logloga a =_;=_;logloga aM Mn n=_(nR)=_(nR)0 01 1N Nlogloga aM+logM+loga aN Nlogloga aM-logM-loga aN Nnlognloga aM M(3)(3)对数函数的定数函数的定义、图象与性象与性质: :定定义函数函数_叫做叫做对数函数数函数图象象a1a10a10a0,x(a0,且且a1)a1)性性质定定义域域:_:_值域域:_:_当当x=1x=1时,y=0,y=0,即即过定点定点_当当0x10x1时,y

3、0;,y1x1时,_,_当当0x10x0;,y0;当当x1x1时,_,_在在(0,+)(0,+)上上为_在在(0,+)(0,+)上上为_(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)(1,0)(1,0)y0y0y0y0,a0,且且a1,b0,a1,b0,且且b1,m,nR.b1,m,nR.(2)(2)对数函数的数函数的图象与底数大小的比象与底数大小的比较如如图, ,作直作直线y=1,y=1,则该直直线与四个函数与四个函数图象交点的横坐象交点的横坐标为相相应的底的底数数. .故故0cd1ab.0cd1ab.由此我由此我们可得到以下可得到以下规律律: :在第一象限内从左到右底在第一象限内从左到右底数逐数

4、逐渐增大增大. .3.3.必用技法核心必用技法核心总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法: :换元法、元法、图象平移法象平移法. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形数形结合思想、分合思想、分类讨论思想思想. .(3)(3)记忆口口诀:换底公式的底公式的记忆口口诀换底公式真神奇底公式真神奇, ,换成新底可任意成新底可任意, ,原底加底原底加底变分母分母, ,真数加底真数加底变分子分子. .对数函数性数函数性质口口诀对数函数很数函数很简单, ,图象恒象恒过(1,0)(1,0)点点. .a a大大1 1时单调增增,(0,1),(0,1)之之间单调减减. .图象都在象都在y y轴右右, ,

5、第一象限底逆减第一象限底逆减. .【小小题快快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)log(1)loga ax x2 2=2log=2loga ax.(x.() )(3)(3)函数函数y=ln y=ln 与与y=ln(1+x)-ln(1-x)y=ln(1+x)-ln(1-x)的定的定义域相同域相同.(.() )(4)(4)若若logloga amlogmloga an,n,则mn.(m0,a1)a0,a1)的的图象如象如图, ,则下列下列结论成立的是成立的是( () )A.a1,c1A.a1,c1B.a1,0c1,0c1C.0a1C.0a1D.0a1,0c1D.0a1,

6、0c0,x(a0,且且a1)a1)的的图象象如如图所示所示, ,则下列函数下列函数图象正确的是象正确的是( () )【解解题提示提示】利用利用图象的象的变换知知识, ,或利用函数的增减性来排除干或利用函数的增减性来排除干扰项. .【解析解析】选B.B.由由题得得,a=3,a=3,因此因此,A,A选项函数函数为y=3y=3-x-x= ,= ,在定在定义域内域内是减函数是减函数, ,图象不象不对;B;B选项函数函数为y=xy=x3 3, ,图象正确象正确;C;C选项函数函数为y=y=(-x)(-x)3 3, ,在定在定义域内域内应是减函数是减函数, ,图象不象不对;D;D选项y=logy=log3

7、 3(-x)(-x)应与与y=logy=log3 3x x的的图象关于象关于y y轴对称称, ,因此不符因此不符. .【加固加固训练】1.1.函数函数y= y= 的的图象大致象大致为( () )2.2.函数函数f(x)=ln xf(x)=ln x的的图象与函数象与函数g(x)=xg(x)=x2 2-4x+4-4x+4的的图象的交点个数象的交点个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2D.3D.3考点考点3 3对数函数的性数函数的性质及其及其应用用知知考情考情对数函数的性数函数的性质及其及其应用是每年高考的必考内容之一用是每年高考的必考内容之一, ,主要考主要考查比比较对数数值的大小的大小

8、, ,解解简单的的对数不等式数不等式, ,有有时考考查判断判断对数型函数的数型函数的单调性、奇偶性及最性、奇偶性及最值问题. .多以多以选择题或填空或填空题的形式考的形式考查, ,难度低、度低、中、高档都有中、高档都有. .明明角度角度命命题角度角度1:1:求函数的定求函数的定义域域【典例典例3 3】(2014(2014山山东高考高考) )函数函数f(x)= f(x)= 的定的定义域域为( () )A.(0,2)A.(0,2)B.(0,2B.(0,2C.(2,+)C.(2,+)D.2,+)D.2,+)【解解题提示提示】本本题考考查了函数的定了函数的定义域域, ,对数函数的性数函数的性质, ,利

9、用定利用定义域域的求法的求法:1.:1.分母不分母不为零零;2.;2.被开方数被开方数为非非负数数;3.;3.真数大于真数大于0 0求定求定义域域. .【解析解析】选C.C.由定由定义域的求法知域的求法知: : 解得解得x2,x2,故故选C.C.命命题角度角度2:2:比比较对数数值的大小的大小【典例典例4 4】(2014(2014辽宁高考宁高考) )已知已知 则( () )A.abcA.abcB.acbB.acbC.cabC.cabD.cbaD.cba【解解题提示提示】结合指数函数与合指数函数与对数函数的数函数的图象及性象及性质, ,判断判断a,b,ca,b,c的范的范围, ,确定大小确定大小

10、. .【解析解析】选C.C.由于指数函数由于指数函数y=2y=2x x在在R R上上为增函数增函数, ,则0 0 2 20 0=1;=1;而而对数函数数函数y=logy=log2 2x x为(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数, ,则loglog2 2 log ab.,cab.命命题角度角度3:3:解解对数不等式数不等式【典例典例5 5】(2015(2015宁波模宁波模拟) )设函数函数f(x)=f(x)=若若f(a)f(-a),f(a)f(-a),则实数数a a的取的取值范范围是是( () )A.(-1,0)(0,1).A.(-1,0)(0,1).B.(-,-1)(1,+)B.(-,-1

11、)(1,+)C.(-1,0)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)D.(-,-1)(0,1)【解解题提示提示】由由a0a0或或a0af(-a),f(a)f(-a),列出不等式列出不等式组求解求解, ,化化简中注意到中注意到换底公式的底公式的应用用. .【规范解答范解答】选C.C.由由题意可得意可得 或或 解得解得a1a1或或-1a0.-1alogxloga ab b的不等式的不等式, ,借助借助y=logy=loga ax x的的单调性求解性求解, ,如果如果a a的取的取值不确定不确定, ,需分需分a1a1与与0a10abxb的不等式的不等式, ,需先将需先将b b化

12、化为以以a a为底的底的对数式的形式数式的形式. .通通一一类1.(20131.(2013新新课标全国卷全国卷)设a=loga=log3 32,b=log2,b=log5 52,c=log2,c=log2 23,3,则( () )A.acbA.acbB.bcaB.bcaC.cbaC.cbaD.cabD.cab【解析解析】选D.D.方法一方法一:a=log:a=log3 32log2log3 33=1,b=log3=1,b=log5 52log2log3log2 22=1,2=1,又又loglog3 32= ,log2= ,log5 52= ,lg3lg5,2= ,lg3log2log5 52,

13、2,综上上cab.cab.故故选D.D.方法二方法二: :因因为 23,12 ,23,12 ,所以所以loglog3 3 loglog3 32log2log3 33,log3,log5 51log1log5 52log2log3log2 22,2,所以所以 a1,0ba1,0b1,c1,所以所以cab.cab.2.(20152.(2015开封模开封模拟) )设函数函数f(x)= f(x)= 则满足足f(x)2f(x)2的的x x的取的取值范范围是是( () )A.-1,2A.-1,2B.0,2B.0,2C.1,+)C.1,+)D.0,+)D.0,+)【解析解析】选D.D.当当x1x1时,2,2

14、1-x1-x2,2,解得解得x0,x0,所以所以0x1;0x1;当当x1x1时, ,1-log1-log2 2x2,x2,解得解得x ,x ,所以所以x1.x1.综上可知上可知x0.x0.3.(20153.(2015中山模中山模拟) )已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(8-ax)(a0,a1),(8-ax)(a0,a1),若若f(x)1f(x)1在区在区间1,21,2上恒成立上恒成立, ,则实数数a a的取的取值范范围为. .【解析解析】当当a1a1时,f(x)=log,f(x)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是减函数上是减函数, ,由由f(x)1

15、f(x)1恒成立恒成立, ,则f(x)f(x)m minin=log=loga a(8-2a)1,(8-2a)1,解之得解之得1a ,1a ,若若0a10a1f(x)1恒成立恒成立, ,则f(x)f(x)m minin=log=loga a(8-a)1,(8-a)1,故故8-2a0,8-2a0,所以所以a4,a4,又因又因为0a1,0a1a1解解题. .【规避策略避策略】1.1.注意分注意分类讨论对数函数的底数决定了数函数的底数决定了对数函数的数函数的单调性性, ,对数函数在数函数在闭区区间上的最上的最值取决于其取决于其单调性性, ,如果如果对数函数的底数含有参数数函数的底数含有参数, ,在在

16、处理有关理有关问题时, ,必必须对参数参数进行行讨论. .2.2.解决与解决与对数有关数有关问题的两个关注点的两个关注点: :(1)(1)务必先研究函数的定必先研究函数的定义域域.(2).(2)对数函数的数函数的单调性取决于底数性取决于底数a,a,应注意底数的取注意底数的取值范范围. .【自我自我矫正正】(1)(1)若若a1,a1,则函数函数y=logy=loga ax(2x4)x(2x4)为增函数增函数, ,由由题意得意得logloga a4-log4-loga a2=log2=loga a2=1,2=1,所以所以a=2,a=2,又又21,21,符合符合题意意. .(2)(2)若若0a1,0a1,则函数函数y=logy=loga ax(2x4)x(2x4)为减函数减函数, ,由由题意得意得logloga a2-log2-loga a4=log4=loga a =1, =1,所以所以a= ,a= ,又又0 1,0 1,符合符合题意意. .综上可得上可得a=2a=2或或a= .a= .答案答案:2:2或或