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1、第第第第 1 1 页页页页冲激响应求解冲激响应求解举例举例2 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ r1(t) h(t) = a(t) + b(t)
2、+ r2(t) h(t) = a(t) + r3(t) ri(t) 为不含为不含(t) 的某函数的某函数代入式代入式(1)，有，有第第第第 2 2 页页页页a”(t) + b(t)+ c(t) + r1(t) + 5a(t) + b(t) + r2(t) + 6a(t) + r3(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+ (b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + r1(t)+5 r2(t)+6 r3(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t)
3、+ r3(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ r1(t) （4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) = 3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =12第第第第 3 3 页页页页微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件 h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0
