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1、第第2 2章章 静电场静电场12.1 自由空间中场的基本方程和特性1 1. 静电场的基本方程静电场的基本方程n由 ，电场可以用一个标量场的梯度表示: 可见，静电场是有散场、无旋场。2 2. 电场强度与电位电场强度与电位n电场力将点电荷q 沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为n由此定义PQ两点间的电位差（电压）为：23 3. 电场的分布电场的分布n点电荷的电场为：n多个点电荷的电场为：n线电荷的电场为：n面电荷的电场为：n体电荷的电场为：n如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：n如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：3n点电荷的电位为：n多个点电荷的电位为：n线电荷的电位：n面电荷的电位
2、：n体电荷的电位：44 4. 电场线和等位面电场线和等位面nE 线的定义:线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向一致。n等位面:55 5. 电偶极子电偶极子 n相距很小距离l 的一对等值异号的电荷，称为电偶极子. n偶极子的电矩，简称电偶极矩: n远离电偶极子的一点P(r,)的电位: n其中: 6n故得 : n偶极子的电场 n因为rl，将r1、 r2用二项式定理展开，略去高阶项，得 72.2 导体和电介质v静电场中的导体处于静电平衡状态；v导体内部电场处处为零；v所有电荷分布在导体表面上；1 1. 静电场中的导体静电场中的导体 2 2. 静电场中的介质静电场中的介质 v介质极化现象(演示）v
3、极化强度：介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即 v导体内部是等位体，导体表面是等位面；v导体表面的电场垂直于导体表面。8v大多数介质在电场作用下产生极化时，其电极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即 P = e0E v体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩p = P(r)dV，它在远区P点处产生的电位应为 9v体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为 v根据矢量恒等式 上式可表示为 v由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为 10v在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位 和场强E E表示为 112.3 电介质中的电场 1
4、 1. 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律v电介质中高斯定理的微分形式为 v上式可以转化为 v由此定义电位移矢量 v电介质中高斯定理的积分形式为 122 2. 介电常数介电常数 击穿场强击穿场强 v对于均匀且各向同性的线性电介质 v令则有，其中， 为相对介电常数，为介电常数。v某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强度。133 3. 不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件 (1)两种不同介质分界面上的边界条件 vE E 的切向分量满足的边界条件 v或或 14vD D 的法向分量满足的边界条件 v或或 15 若两种介质均为线性且各向同性，即D
5、 D1=1E E1，D D2=2E E2，应有1=1，2=2。两种介质分界面上通常不可能存在面分布形式的自由电荷( = 0), 两式相除，即得v介质分界面上的极化电荷 结合v折射率 16(2) 导体和介质分界面上的边界条件 E2设导体为媒质1，介质为媒质2。在导体中，E E1=D D1= 0；分界面上的边界条件 (3) 由电位表示的边界条件 对应 有 ； 对应 有 对应导体和介质分界面上的边界条件 172.4 边值问题 1 1. 边值问题的分类边值问题的分类 v泊松方程和拉普拉斯方程 把 代入 得 对于均匀介质， 为常数。再代入 得对于场中无自由电荷分布( = 0)的区域， 在直角坐标系中 v
6、定解条件 (1)给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。 18(2)给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。 (3)给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。 如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处(r)应有 这表明r 在无限远处是有界的，即电位 在无限远处为零(r r)| r= 0)。 192. 2. 静电场解的唯一性静电场解的唯
7、一性 设V 中存在两个电位函数 1和2 ，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即令 1-2 = d，显然 对已知的任意两个连续可导的标量函数 和 ，应有 令 = = d ，代入上式得 无论对于第一类边界还是第二类边界，均有在整个场域内必有 d = 0。由此得证 1 = 2 ，即只有唯一可能的解答。 203. 3. 直接积分法直接积分法 例： 二块半无限大的导电平板构成夹角为 的电极系统，设板间电压为U0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。 解 可以判定，(r r)=()仅为一个坐标变量 的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题： 将泛定方程直接积分二次，即得通解为 由给定的二个边界
8、条件，可以确定式中待定的积分常数C1和C2为，21因此，电位的解为：电场强度的解为： 角形电极系统的场图AB4. 4. 分离变量法分离变量法 (1)(1)直角坐标系中的平行平面场问题直角坐标系中的平行平面场问题 平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程 设定分离变量形式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入方程得 22在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为 (称为分离常数) ： 取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解： =0 时，时，时，23位函数U的一般解可记作： 例：一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶
9、盖电位 =0，求槽内电位分布。 0.800.600.400.20 =0 = 0 = 0 = 0yoxab24解：槽内电位满足的基本方程和边界条件为 在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数且：因此：带入最后一个边界条件，得25为确定En的值，可对上式两边同乘以 ，其中K为整数，然后从x = 0到x = a 进行积分，得 上式左边结果为 ：(K为奇数)(K为偶数)上式右边结果为 ：(nK)(n = K)因此：(n为奇数)(n为偶数)最终得待求电位 (x，y)的解答是 26(2)(2)圆柱坐标系中的平行平面场圆柱坐标系中的平行平面场问题问题 设位函数与z坐标无关，U(r) = U(，
10、)，满足拉普拉斯方程 令试探解U(，) = R()Q()，代入方程，经整理得其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程 和 当n0时, R()=A10+A20ln； Q()=B10+B20当n 0时, R()=A1nn+A2n-n； Q()=B1ncosn+ B2nsinn27例：一横截面半径为a，介电常数为 1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场E0中(场强值为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直)，均匀场中介质的介电常数为2，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。 均匀外电场中的介质圆柱体解圆柱体内外的介质不同，故应分别以1和2表示圆柱体内外的电位函数，它们都满足拉普拉斯
11、方程，即 位函数U的一般解可记作： 28(0 a) 在圆柱坐标系中x=cos，取坐标原点为电位参考点，则与均匀外电场 E0= E0i 相应的电位函数可表示为：0= -E0x = -E0cos 。由于 时介质圆柱体产生的极化电场影响应当消失，故该处给定的电位值应与由均匀外电场引起的电位0相一致，即有 对于圆柱表面( = a)处，不同介质分界面上的边界条件应为 29本例中应取A10= A20 =B10= B20= B2n= 0，即 由条件（1）， 时 用cosm乘上式两边，对从02积分，待定系数法，得由条件（1）， A1= -E0。在圆柱内，因为 =0处电位为有限值，所以 A2n =0，且只有A10。由条件（2），可得再由条件（3），可得联立求解可得最后，待求位函数的解答为 30
