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1、高高 等等 数数 学学 ( (下下) ) 高等数学（上）高等数学（上）BTSBTS总体方案设计报告第八章 空间解析几何与向量代数向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或 方向任意方向任意. .第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向
2、量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符
3、合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 用向量法证明：三角形两边中点的连线平行且用向量法证明：三角形两边中点的连线平行且 等于第三边的一半等于第三边的一半.AD = ABAE = ACBC = AC- ABDE =AE- AD = AC- AB= BC由数乘的定义知由数乘的定义知 DE/BC 且且 |DE|= |BC|.ABCDE证证设设D, E分别是分别是ABC的边的边AB, BC的中点的中点.则则所以所以例例2 2 已知已知: =2 -4 + 6 : =2 -4 + 6 =-4 + 6 + 2 =-4 + 6 + 2 =3 - =3 - 求求 2 - +2 解解 2 - +2 2 -4 + 6 2 -4 + 6 =2( )- (-4 + 6 + 2 )+2( ) (-4 + 6 + 2 )+2( )3 - 3 - =8( - + )
