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1、22.3直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质 22.4平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质一、阅读教材P5861回答1直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么此定理可用符号表示为：.2若a，b，则a、b的位置关系为这条直线就和交线平行a，a，babab或a与b异面3两个平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必于另一平面用符号表示为 .(2)如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么它们的用符号表示为 ，.平行，aa交线互相平行 abab二、解答下列各题1夹在两个平行平面间的两条平行线段相等吗？答案相等证明如图AB
2、CD，AB与CD确定一个平面，AD，BC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形，ABCD.2已知：如图，点P是平面，外的一点，直线PAB、PCD分别与、相交于点A、B和C、D：(1)求证：ACBD；(2)已知PA4cm，AB5cm，PC3cm，求PD的长解析(1)证明：，平面PACAC，平面PACBD，ACBD.本节学习重点：线面平行、面面平行的性质定理本节学习难点：平行关系的相互转化1直线和平面平行的性质定理的证明要抓住以下两点：其一是由于已知直线与已知平面平行，则这条已知直线和已知平面内的所有直线都没有公共点，其二是过已知直线的平面与已知平面的交线与已知直线在同一平面内根据以上两点，就可以
3、判定已知直线和交线互相平行了这个定理可以简记为“若线面平行，则线线平行”理解直线与平面平行的性质定理时，要注意条件“经过这条直线的平面与这个平面相交”，防止误解为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”若题目条件中出现了线面平行的条件，我们往往寻找或作一个平面经过这条直线并与已知平面相交，这样就可用上性质定理了所以“找”或“作出”满足题意要求的平面，就成为应用定理的关键所在线面平行的性质定理还启发我们要证线面平行，不妨先假定线面平行已经成立运用性质定理寻找满足要求的直线，这是证明线面平行时常用的方法2过平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内用符号表
4、示为：l，点P，Pm，mlm，如图3如果平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面4平行平面的性质(1)若两个平面平行，则其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面(2)两个平行平面均和第三个平面相交，则交线平行“两个平行平面均和第三个平面相交，那么它们的交线平行”这一性质是判定“线线平行”的重要依据，同时给出了在两平行平面内作出平行直线的重要方法是过其中一个平面内的一条直线a作平面(可作无数个平面)和另一个平面交线为b，则ab.5平行转化要理清通过上几节的学习不难概括出线线、线面、面面平行的相互转化关系由此易知三者之间可以进行相互转化，因此判定某一平行的过程就是从
5、一平行关系出发不断转化的过程在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向例1过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1EE1.证明如右图，CC1BB1，CC1平面CDD1C1，BB1平面CDD1C1，BB1平面CDD1C1，BB1平 面 BEE1B1， 平 面 BEE1B1平 面 CDD1C1 EE1，BB1EE1.已知：l，a，a.求证：al.证明(1)过a作平面交平面于b，a，ab(2)同样，过a作平面交平面于c，a，ac，bc，(3)又b且c，b(4)又平面经过b交于l，bl，(5)又ab，al.点评注意上述证明过程共5个环节：第(1)个环节和第(2)个环节
6、是应用线面平行的性质定理和公理4得出线线平行bc，第(3)个环节又由线面平行的判定定理得出线面平行b，第(4)个环节再由线面平行的性质定理得出bl，最后由公理4得出al，要注意理顺思路实际证明过程不需要加上面五个序号.线面平行的判定定理与性质定理经常交替使用，也就是通过“线线平行”推出“线面平行”，再通过“线面平行”推出新的“线线平行”例2如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形(1)求证：CD平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角解析(1)证明：截面EFGH是一个矩形，EFGH，又EF平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD而EF平面ACD，平面ACD平面BC
7、DCDEFCD，CD平面EFGH.(2)解：由(1)知CDEF，同理ABFG，EFG为异面直线AB、CD所成的角，EFG90，AB、CD所成的角为90.三个平面、两两相交，有三条交线l1、l2、l3，如果l1l2.求证：l3与l1、l2都平行解析如图，已知：l1，l2，l3，l1l2.求证：l3l2l1.总结评述：1已知“线面平行”，一般直接考虑用性质，利用构造法找或作出经过已知直线的平面与已知平面相交的交线2要证“线面平行”，一般先假设“线面平行”已经成立，把它作为已知条件，用性质去探索找寻经过已知直线的平面与已知平面相交，从而找到平面内的那条直线3要证“线线平行”，一是把它们转化为“线面平
8、行”，利用“线面平行”性质得已知直线与交线平行，二是利用两个平面平行的性质定理，三是利用“线面垂直”的性质定理(后面马上要学到)，四是利用公理4，关键是结合已知条件创造能够应用定理的条件证明与平行有关的问题时，“线面平行”的判定定理，性质定理，公理4常结合起来使用，并常用下面的关系：4本题也可用反证法、同一法，请读者自己探讨.解析证法1：，则在平面内一定有两相交直线a、b和平面平行，过a、b分别作平面交于a、b，则有aa，bb.同理可以在平面内找到两直线a、b，使得aa，bb.a，b，故.证法2：采用反证法假设平面和平面相交，则两个平面至少有一个公共点P，即存在点P满足P，P，于是过平面外点P
9、有两个平面、都和平面平行，这与“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾故假设不成立，.已知三个平面、满足，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.求证：证明连接AG交于H，连BH、FH、AE、CG.，平面ACGBH.平面ACGCG，BHCG.同理AEHF，点评当a与b共面时，有AEBFCG.上述证明过程也是正确的，只是此时B、H、F三点共线连结CE，可同理证明(连结AF，连结EB，连结CF，连结GB，并都延长后与第三个平面相交同理可证明)当a与b异面时，可过A(或B、C)作b的平行线或过E(或F、G)作a的平行线，再利用面面平行的性质定理可证
10、得结论以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”例4如图，已知平面，直线AB分别交，于A、B，直线CD交、于C、D，M、N分别在线段AB、CD上，且求证：MN平面.分析本题应分两种情况分别研究，当AB、CD共面时，易得MNBD，可推出MN平面.当AB、CD异面时，可通过作辅助平面化异为共，由“面面平行”推出“线线平行”ADDC为平行四边形，ADCD，AECN，即AENC为 平 行 四 边 形 ， 所 以 ACENDD， 因 为MEBD，BD，ME，所以ME，同理：EN，所以平面MEN平面，所以MN.解法探究：本例通过过点A作ADCD，实现化“异”为“共”(AB与AD相交，AD与CD平行)，借助A
11、D实现AB与CD的联系同理还可以过C作AB的平行线，过B作CD的平行线，过D作AB的平行线，其效果是完全相同的还可以连结AD(或BC)实现化“异”为“共”，过M作MEBD交AD于E(或过M作MEAC交BC于E)，连结EN，进行推证，这也是常用的“化异为共”的方法如图，平面平面，线段GH与、分别交于A、B，线段HF与、分别交于F、E，线段GD与、分别交于C、D，且GA9，AB12，BH16，SACF72.则BDE的面积为_答案96例5在长方体木料ABCDABCD的AC面上有一点P，如图所示，其中P点不在对角线BD上，过P点和底面对角线BD，将木料踞开，应该如何画线？请说明理由分析 PBD，BD与
12、P确定一个平面PBD与平面ABCD相交于过P的直线l，则lBD，BDBD，故只须过P作lBD即可解析连结BD，在平面AC上过点P画直线EFBD，分别交BC、CD于点E、F，由公理4得EFBD.连结BE和DF，因为EF平面BEFD，BD平面BEFD，所以BE、DF和EF就是所要画的线有一块木料如图所示，已知棱BC平行于面AC，要经过木料表面ABCD内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？解析BC面ABCD，面BCCB经过BC和ABCD交于BC，BCBC.如图，在面AC内过P作EFBC交AB于E，交CD于F，依公理4知EFBC.EF平面BCP.连BE和CF，则BE、CF、EF就是所要画的线例6已
13、知直线a直线b，b平面，a，求证：直线a平面.错解在内任取一点A，在内过A点作直线c，使cb.由ab(已知)可得ac(公理4)辨析证明没有用到条件“b平面”，若将此条件去掉，结论显然不成立，因而证明是错误的错误出在“在内过A作直线c，使cb”这一作图没有依据，正确的做法应该是在内取一点A后，由点A与直线b确定一个平面，与交于直线c，去证ac，进而得出a.正解在平面内任取一点P，b，Pb直线b与点P确定平面，与有公共点P，与必相交，设c，则bcab，ac，又a，ca一、选择题1下列命题中正确的个数是()若直线a不在内，则a；若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与内的任意
14、一条直线都平行；如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点；平行于同一平面的两直线可以相交A1B2C3D4答案B解析aA时，a不在内，错；直线l与相交时，l上有无数个点不在内，故错；l时，内的直线与l平行或异面，故错；ab，b时a或a，故错；l，则l与无公共点，l与内任何一条直线都无公共点，正确；长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，正确2下列四个命题中，不正确的命题是()A如果一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么也和另一条垂直B已知直线a、b、c，ab，c与a、b都不相交，若c与a所成的角为，则c与b所成
15、的角也等于C如果空间四个点不共面，则四个点中可能有三个点共线D若直线a平面，点P，则过P作a的平行线一定在内答案C解析A、B、D正确，对于C，若有三点共线，则四点必共面，故C错二、填空题3P为ABC所在平面外一点，平面平面ABC，交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则SABCSABC_.三、解答题4已知a，b是异面直线，Aa，Bb且ABa，ABb，M、N分别为直线a，b上任意一点，O是AB的中点，平面经过O点，a，b，MNP，求证：P是MN的中点解析连结AN交于Q，b，OQBN，同理PQAM.O是AB中点，OQ为ABN的中位线，Q为AN中点，PQ为NAM的中位线，P为MN的中点5已知a、b是异面直线，a，a，b，b，求证：.解析若，则al，于是由a、a，知al，同理有bl，所以由公理4可得：ab，这就与题设条件a、b异面相矛盾，故假设不成立所以，.点评可以过a作平面分别与、交于a，a，过b作平面分别与平面、交于b，b，由a、b异面得出a与b相交，a与b相交，进而推证出.6正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MANa.(1)求证：MN平面BB1C1C；(2)求MN的长
