《D1241傅立叶级数实用教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D1241傅立叶级数实用教案（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定理定理1.组成三角组成三角(snjio)级数的级数的函数系函数系证:同理可证 :正交 ,上的积分(jfn)等于 0 .即其中(qzhng)任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 结束 推广的概念第1页/共35页第一页，共36页。上的积分(jfn)不等于 0 .且有 但是(dnsh)在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第2页/共35页第二页，共36页。二、函数展开二、函数展开(zhnki)成成傅里叶级数傅里叶级数定理 2 . 设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 且右端级数(j sh)可逐项积分,
2、则有证: 由定理条件,对在逐项积分, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共35页第三页，共36页。(利用(lyng)正交性)类似地, 用 sin k x 乘 式两边(lingbin), 再逐项积分可得机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第4页/共35页第四页，共36页。叶系数为系数的三角(snjio)级数 称为的傅里叶系数(xsh) ;由公式(gngsh) 确定的以的傅里的傅里叶级数 .称为函数 傅里叶 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共35页第五页，共36页。定理定理(dngl)3(收敛定理收敛定理(dngl),展开定理展开定理(dngl)设 f (x) 是周期(z
3、huq)为2的周期函数(zhu q hn sh),并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共35页第六页，共36页。例例1.设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数(xsh)将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶
4、级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共35页第七页，共36页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第8页/共35页第八页，共36页。1) 根据收敛定理(dngl)可知,时,级数(j sh)收敛于2) 傅氏级数(j sh)的部分和逼近说明说明:f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共35页第九页，共36页。例例2.上的表达式为将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数. 解解: 设 f (x) 是周期(zhuq)为 2 的周期(zhuq)函数 , 它在 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共35页第十页，共36页
5、。说明(shumng): 当时, 级数(j sh)收敛于机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第11页/共35页第十一页，共36页。周期(zhuq)延拓傅里叶展开(zhn ki)上的傅里叶级数(j sh)定义在定义在 , 上的函数上的函数f(x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共35页第十二页，共36页。例例3.将函数将函数(hnsh)级数(j sh) .则解: 将 f (x)延拓成以 展成(zhn chn)傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共35页第十三页，共36页。利用此展式可求出几
6、个特殊(tsh)的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得说明说明(shum(shumng):ng):机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第14页/共35页第十四页，共36页。设已知又机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共35页第十五页，共36页。三、正弦级数三、正弦级数(jsh)和余弦级数和余弦级数(jsh)1. 周期(zhuq)为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理(dngl)4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动
7、 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共35页第十六页，共36页。例例4.设设的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成(zhn chn)傅里叶级数.是周期(zhuq)为2 的周期(zhuq)函数,它在解: 若不计周期(zhuq)为 2 的奇函数, 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共35页第十七页，共36页。n1根据收敛定理(dngl)可得 f (x) 的正弦级数:级数(j sh)的部分和 n2n3n4逼近(bjn) f (x) 的情况见右图.n5机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共35页第十八页，共36页。例例5.将周期函数将周期函数(zhuqhnsh
8、)展成(zhn chn)傅里叶级数, 其中E 为正常(zhngchng)数 .解:是周期为2 的周期偶函数 , 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共35页第十九页，共36页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共35页第二十页，共36页。2.在在0,上的函数展成正弦级数上的函数展成正弦级数(jsh)与余弦级数与余弦级数(jsh)周期(zhuq)延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期(zhuq)延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共35页第二十一页，共36页。
9、例例6.将函数将函数(hnsh)分别展成(zhn chn)正弦级数与余弦(yxin)级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共35页第二十二页，共36页。注意(zh y):在端点(dun din) x = 0, , 级数的和为0,与给定(i dn)函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 第23页/共35页第二十三页，共36页。再求余弦再求余弦(yxin)级数级数.将则有作偶周期(zhuq)延拓 ,机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共35页第二十
10、四页，共36页。说明(shumng): 令 x = 0 可得即机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共35页第二十五页，共36页。内容内容(nirng)小结小结1. 周期(zhuq)为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中(qzhng)注意: 若为间断点,则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共35页第二十六页，共36页。2. 周期(zhuq)为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦(zhngxin)级数 偶函数余弦(yxin)级数3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 ,
11、 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习第27页/共35页第二十七页，共36页。处收敛(shulin)于2.则它的傅里叶级数(j sh)在在处收敛(shulin)于 .提示:设周期函数在一个周期内的表达式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,第28页/共35页第二十八页，共36页。3.设设又设求当的表达式 .解: 由题设可知(k zh)应对作奇延拓:由周期性:为周期(zhuq)的正弦级数展开式的和函数, 定义域机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第29页/共35页第二十九页，共36页。4
12、.写出函数写出函数(hnsh)傅氏级数(j sh)的和函数 .答案(d n):定理3 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共35页第三十页，共36页。补充补充(bchng)题题1.叶级数(j sh)展式为则其中(qzhng)系提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 的傅里 第31页/共35页第三十一页，共36页。2.设设是以 2 为周期(zhuq)的函数 ,其傅氏系数(xsh)为则的傅氏系数(xsh)提示:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页/共35页第三十二页，共36页。感谢您的欣赏(xnshng)！第35页/共35页第三十五页，共36页。内容(nirng)总结定理(dngl) 1. 组成三角级数的函数系。上的积分等于 0 .。上的积分不等于 0 .。第2页/共35页。并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:。2) 傅氏级数的部分和逼近。f (x) 的情况见右图.。2为周期的函数 F(x) ,。周期为 2 的奇函数,。中E 为正常数 .。周期延拓 F (x)。第34页/共35页。感谢您的欣赏第三十六页，共36页。
