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1、1第 10 讲 一次函数一、一、知识清单梳理知识清单梳理知识点一 :一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念(1)概念:一般来说,形如 ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地,当 b 0 时,称为正比例函数(2)图象形状:一次函数 ykxb 是一条经过点(0,b)和(-b/k,0)的直线.特别地,正比例函数 ykx 的图象是一条恒经过点(0,0)的直线.例:当 k1 时,函数ykxk1 是正比例函数,k,b符号K0,b0K0,b0K0,b=0k0k0,b0k0,b0大致图象经过象限一、二、一、二、三三一、三、一、三、四四一、三一、三一、二、一、二、四四二、三、二、
2、三、四四二、四二、四2.一次函数的性质图象性质y 随 x 的增大而增大y 随 x 的增大而减小(1)一次函数 y=kx+b 中,k 确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与 y 轴交点的位置.(2)比较两个一次函数函数值的大小:性质法,借助函数的图象,也可以运用数值代入法.例:已知函数 y=2xb,函数值 y 随 x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标:求一次函数与 x 轴的交点,只需令 y=0,解出 x 即可;求与 y轴的交点,只需令 x=0,求出 y 即可.故一次函数 ykxb(k0)的图象与 x 轴的交点是,与 y 轴的交点是(0,b);(bk，0
3、)(2)正比例函数 ykx(k0)的图象恒过点(0,0)例:一次函数 yx2 与 x 轴交点的坐标是(-2,0),与 y 轴交点的坐标是(0,2).知识点二 :确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件(1)常用方法:待定系数法,其一般步骤为:设:设函数表达式为 ykxb(k0);代:将已知点的坐标代入函数表达式,解方程或方程组;解:求出 k 与 b 的值,得到函数表达式(2)常见类型:已知两点确定表达式;已知两对函数对应值确定表达式;平移转化型:如已知函数是由 y=2x 平移所得到的,且经过点(0,1),则可设要求函数的解析式为 y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可.(1)确定
4、一次函数的表达式需要两组条件,而确定正比例函数的表达式,只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与 y轴交点坐标即可得出 b 的值,b 值为其纵坐标,可快速解题. 如:已知一次函数经过点(0,2),则可知 b=2.5.一次函数图象的平移规律:一次函数图象平移前后 k 不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知它们的 k 值相同.若向上平移 h 单位,则 b 值增大 h;若向下平移 h 单位,则 b 值减小h. 例:将一次函数 y=-2x+4 的图象向下平移 2 个单位长度,所得图象的函数关系式为y=-2x+2知识点三 :一次函数与方程(组)、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程 kx+b=
5、0 的根就是一次函数 y=kx+b(k、b 是常数,k0)的图象与 x 轴交点的横坐标.例:(1)已知关于 x 的方程27.一次函数与方程组二元一次方程组 的解两个一次函数 y=k1x+b 和y=k2x+b 图象的交点坐标.8.一次函数与不等式(1)函数 y=kx+b 的函数值 y0 时,自变量 x 的取值范围就是不等式kx+b0 的解集(2)函数 y=kx+b 的函数值 y0 时,自变量 x 的取值范围就是不等式kx+b0 的解集ax+b=0 的解为 x=1,则函数 y=ax+b 与 x 轴的交点坐标为(1,0).(2)一次函数 y=-3x+12 中,当 x 4 时,y 的值为负数知识点四 :一次函数的实际应用9.一般步骤(1)设出实际问题中的变量;(2)建立一次函数关系式;(3)利用待定系数法求出一次函数关系式;(4)确定自变量的取值范围;(5)利用一次函数的性质求相应的值,对所求的值进行检验,是否符合实际意义;(6)做答.10.常见题型(1)求一次函数的解析式.(2)利用一次函数的性质解决方案问题.一次函数本身并没有最值,但在实际问题中,自变量的取值往往有一定的限制,其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路:确定函数表达式确定函数增减性根据自变量的取值范围确定最值.y=k2x+by=k1x+b
