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1、第第2章章 优化设计优化设计(1) Optimal Design轰虚抢跪证护狮刮知孙裕远律辆攒翘浅痴狸匣卒埋筷正去徒混叶兄集峪掷第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002第第2章章 优化设计优化设计优化设计优化设计优化设计优化设计是现代设计方法的重要内容之一。它以是现代设计方法的重要内容之一。它以数学规划论数学规划论数学规划论数学规划论为为理论基础，以理论基础，以电子计算机电子计算机电子计算机电子计算机为工具，在充分考虑多种设计约束的前提为工具，在充分考虑多种设计约束的前提下，寻求满足某项预定目标的下，寻求满足某项预定目标的最佳设计方案最佳设计方案的一种设计方法。的一种设计方法。
2、 本章本章本章本章主要介绍了主要介绍了如下方面内容如下方面内容如下方面内容如下方面内容：内容简介内容简介 优化设计的基本概念及数学模型的建立优化设计的基本概念及数学模型的建立 常用的一维优化方法常用的一维优化方法 多维无约束优化方法多维无约束优化方法 约束优化方法约束优化方法 多目标优化方法多目标优化方法 机械优化设计的一般步骤及设计应用实例机械优化设计的一般步骤及设计应用实例马撂搬巢记询千厌奶恬踊冯金物幂喀犀孔教左种罪咒舒腾扇釜帘赊蛋崭踢第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.1 概述概述2.1.1 优化设计基本概念优化设计基本概念优化设计优化设计优化设计优化设计（Opt
3、imal DesignOptimal Design）是是20世纪世纪60年代发展起来的一种年代发展起来的一种现代设计方法。它是将现代设计方法。它是将最优化原理最优化原理最优化原理最优化原理和和计算机技术计算机技术计算机技术计算机技术应用于设计领域，应用于设计领域，为为工程设计提供一种重要的科学设计方法。工程设计提供一种重要的科学设计方法。利用这一设计方法，设计者就可利用这一设计方法，设计者就可从从众多的设计方案众多的设计方案中寻找出中寻找出最最最最佳设计方案佳设计方案佳设计方案佳设计方案，从而大大提高设计效率和质量，因此，从而大大提高设计效率和质量，因此优化设计优化设计优化设计优化设计是现代是
4、现代设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领设计理论和方法的一个重要领域，它已广泛应用于各个工业设计领域和各种产品设计中。域和各种产品设计中。所谓所谓优化设计优化设计，就是在规定的设计限制条件下，运用就是在规定的设计限制条件下，运用最优化原最优化原最优化原最优化原理理理理和和方法方法方法方法将实际将实际工程设计问题工程设计问题工程设计问题工程设计问题转化为转化为最优化问题最优化问题最优化问题最优化问题，然后以，然后以计算机计算机计算机计算机为为工具进行工具进行寻优计算寻优计算，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目，在全部可行设计方案中，寻求满足预定设计目标的标的最佳设计方
5、案最佳设计方案最佳设计方案最佳设计方案。瓣咎屎渐藐涌患掩发打作砚实蔗柬奏依冶境乘贺帐脯恿幸昨殿胜者鲜竭袜第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002进行进行最优化设计最优化设计最优化设计最优化设计时：时：首先首先首先首先必须将必须将实际问题加以数学描述实际问题加以数学描述，形成一组由，形成一组由数学表达式数学表达式组成组成的的数学模型数学模型数学模型数学模型；然然然然后后后后选择一种选择一种最优化数值计算方法最优化数值计算方法和和计算机程序计算机程序，在，在计算机计算机上进上进行行寻优运算求解寻优运算求解，得到，得到一组最佳的设计参数一组最佳的设计参数一组最佳的设计参数一组最佳的设
6、计参数。这组设计参数这组设计参数这组设计参数这组设计参数就是就是设计设计设计设计的最优解的最优解的最优解的最优解。 媳满擂过辙绕逼迷劫译穴皮曙广儡蒂夜胜束园箕滋腹霸贩翠续雁热蛔劣平第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002与传统设计方法不同，与传统设计方法不同，优化设计过程优化设计过程一般分为一般分为如下四步如下四步： 设计课题分析设计课题分析 建立数学模型建立数学模型 选择优化设计方法选择优化设计方法 上机电算求解上机电算求解 获得最优解获得最优解叼酥哩骄羌材良知鬃匝仆笑颅养羹郝贾陡衰脯掂迷皱痴草旺邑苦陛醇谷簇第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002（）（）建立
7、数学模型建立数学模型：将将工程优化设计问题工程优化设计问题用用数学方程式数学方程式数学方程式数学方程式的形式予以全面地、准确地描的形式予以全面地、准确地描述，即建立述，即建立优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型。（）（）设计课题分析设计课题分析：通通过过对对设设计计课课题题的的分分析析，提提出出设设设设计计计计目目目目标标标标，它它可可以以是是单单项项设设计计指指标标，也可以是多项设计指标的组合。也可以是多项设计指标的组合。 从从技技术术经经济济的的观观点点出出发发，对对机机械械设设计计而而言言，机机器器的的运运动动学学和和动动力力学学性性能能、体体积积、重重量量、效效率率、成成本
8、本、可可靠靠性性等等都都可可以以作作为为设设设设计计计计追追追追求求求求的的的的目标目标目标目标。然然后后分分析析设设计计应应满满足足的的要要求求，主主要要的的有有：某某些些参参数数的的取取值值范范围围；某某种种设设计计性性能能或或指指标标按按设设计计规规范范推推导导出出的的技技术术性性能能；还还有有工工艺艺条条件件对对设计参数的限制等。设计参数的限制等。赞姜物拆倚酵紊冕刑谜缩盯脐簿年绎桅吨敦揍计处否株隐绚运小镁琵乡绩第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002（）（）选择优化设计方法选择优化设计方法：根据所建立的根据所建立的数学方程式的性质数学方程式的性质、设计精度的要求设计精度
9、的要求等选用合适等选用合适的的优化设计方法优化设计方法优化设计方法优化设计方法，并做出相应的，并做出相应的程序设计程序设计程序设计程序设计。 （）（）上机电算求解上机电算求解：将所编程序及有关数据将所编程序及有关数据上机运算上机运算上机运算上机运算，自动得出，自动得出最优值最优值最优值最优值。然后对计。然后对计算结果做出分析和判断，则得出算结果做出分析和判断，则得出最优设计方案最优设计方案。上述上述优化设计过程优化设计过程优化设计过程优化设计过程的四步的四步其核心是进行如下其核心是进行如下两项工作两项工作两项工作两项工作：一是一是一是一是分析设计任务，将实际问题转化为一个最优化问题，即分析设计
10、任务，将实际问题转化为一个最优化问题，即建建建建立优化问题的数学模型立优化问题的数学模型立优化问题的数学模型立优化问题的数学模型；二是二是二是二是选用适用的优化方法在计算机上求解数学模型，选用适用的优化方法在计算机上求解数学模型，寻求最优寻求最优寻求最优寻求最优设计方案设计方案设计方案设计方案。 拧抨褪悠酸酿畅衅燕谋那嚣砾练闪玩类值投戌姐鲍馈妊弱午芭犀肛眷宗卫第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002例例2-1 如如图图2-1所示，有所示，有一圆形等截面的销轴，一端一圆形等截面的销轴，一端固定，一端作用着集中固定，一端作用着集中载荷载荷F =1000N和转矩和转矩T =100Nm
11、。由于结构需要，轴的长度由于结构需要，轴的长度l 不不得小于得小于8cm，已知销轴材料的，已知销轴材料的许用弯曲应力许用弯曲应力W120MPa，许用扭转切应力，许用扭转切应力 =80MPa，允许挠度，允许挠度f=0.01cm，密度，密度=7.8t/m3，弹性模量弹性模量E=2105 80MPa。下面通过下面通过三个简单的三个简单的三个简单的三个简单的优化设计实例优化设计实例，说明，说明优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型的一般形的一般形式及其有关概念。式及其有关概念。图图2-1 圆形等截面的销轴圆形等截面的销轴2.1.2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型现要求现要求现要求现要求
12、在满足使用要求在满足使用要求的条件下，的条件下，试设计试设计试设计试设计一个用料最省（销轴质一个用料最省（销轴质量最轻）的方案。量最轻）的方案。臻廊蒂授议秧踞徘鉴社渠蹋羽爱隐豌帚遁浅竣巩曳泣窝阐莽啊旺才偶且误第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002解解：根根据据上上述述问问题题，该该销销轴轴的的力力力力学学学学模模模模型型型型是是一一个个悬悬臂臂梁梁。设设销销轴轴直径为直径为d ，长度为，体积为，长度为，体积为V，则该问题的，则该问题的物理表达式物理表达式物理表达式物理表达式如下：如下：可见可见销轴用料销轴用料销轴用料销轴用料取决于其直径取决于其直径 d 和长度。这是一个和长度
13、。这是一个合理选择合理选择合理选择合理选择 d 和和而使体积而使体积V 最小的最小的优化设计问题优化设计问题优化设计问题优化设计问题。(2) 满足的条件满足的条件：强度条件强度条件强度条件强度条件：弯曲强度弯曲强度扭转强度式扭转强度式刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件：挠度表达式挠度表达式(1) 销轴用料最省销轴用料最省（即体积最小即体积最小）：爆疫鹏协炮氖赐瞒诚掺泥塌执浅湿零傀干穿妆盗徘媒炎在釜埋韭瘤炭价滤第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002结构尺寸边界条件：结构尺寸边界条件：将题意的有关已知数值代入，按将题意的有关已知数值代入，按优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数
14、学模型的规范形式，可归纳为的规范形式，可归纳为如下如下数学模型数学模型数学模型数学模型：设设：设计变量设计变量设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件约束条件约束条件：综上所述综上所述综上所述综上所述，这是一个具有，这是一个具有4个约束条件的二维非线性的个约束条件的二维非线性的约束优化问题约束优化问题约束优化问题约束优化问题。讽铂氦晓聂桶祷罗尽亥永阂沈壮窟友舀惯逛剪写钦床赴隶旨缴起埔闷必蕊第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002例例2-2 现用薄钢板制造一体积为现用薄钢板制造一体积为5，长度不小于，长度不小于4m的无上
15、盖的无上盖的的立方体货箱立方体货箱立方体货箱立方体货箱。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、。要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽和高的尺寸。宽和高的尺寸。 解：解：分析可知，分析可知，钢板的耗费量钢板的耗费量钢板的耗费量钢板的耗费量与货箱的表面积成正比。与货箱的表面积成正比。设货箱的长、宽、高分别为，货箱的设货箱的长、宽、高分别为，货箱的表面积为表面积为表面积为表面积为S S，则，则该问题的该问题的物理表达式物理表达式物理表达式物理表达式为：为： (1) 货箱的货箱的钢板耗费量钢板耗费量（即货箱的表面积用料即货箱的表面积用料）最少最少：可见可见货箱的表面积货箱的表面积货箱的
16、表面积货箱的表面积取决于货箱的长度、宽度和高度取决于货箱的长度、宽度和高度 。(2) 满足的条件满足的条件：按按优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型的规范形式，可归纳为如下的规范形式，可归纳为如下数学模型数学模型数学模型数学模型：岸沪搽垒伺贯歪浪暑卫特妒拍翠棍讯辱启赢摧删躯夫大矗偷泄慈拆培酸篱第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002设计变量设计变量设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件约束条件约束条件：由由等式约束条件等式约束条件等式约束条件等式约束条件可知，三个设计变量中只有两个是可知，三个设计变量中只
17、有两个是独立变量独立变量独立变量独立变量，即，即。所以，该问题的。所以，该问题的优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型应写为：应写为：设计变量设计变量设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化：拧滁狄蒲态似壮惯憾鹊奋懒森靴仁蛀灶莱檄拓露冕其琉闰捞膊泅清健搜院第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002约束条件约束条件约束条件约束条件：这样，使这样，使该优化问题该优化问题该优化问题该优化问题的的数学模型数学模型数学模型数学模型更为准确、精炼。更为准确、精炼。跺冒膝耶茫晰靛西塔伶毕愉剐圈湘愈降娘购痹肮驻赁像秩尖舶灌验占领芥第2章优化设计
18、1000002第2章优化设计1000002例例例例2-32-3某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需使用材料料9kg、3个工时、个工时、4kw电，可获利润电，可获利润60元。生产乙种产品每件需用材元。生产乙种产品每件需用材料料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若每天能供应材料元。若每天能供应材料360kg，有有300个工时，能供个工时，能供200kw电。试确定两种产品每天的产量，以使每天电。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。可能获得的利润最大。 每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下每
19、天实际消耗的材料、工时和电力可分别用以下约束函数约束函数约束函数约束函数表示：表示：解：解：解：解：这是一个这是一个生产计划问题生产计划问题生产计划问题生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题优化设计问题优化设计问题优化设计问题。设每天生产的设每天生产的甲甲甲甲、乙两种产品乙两种产品乙两种产品乙两种产品分别为分别为 件，件，每天获得的利润每天获得的利润每天获得的利润每天获得的利润可可用用函数函数函数函数 表示，即表示，即奠洒给巳蒸完酿蛔顽疵链影纂咨借闯愿咱瘪剩汪尾撂服妹漆它鉴账章斩巢第2
20、章优化设计1000002第2章优化设计1000002于是于是上述生产计划问题上述生产计划问题的的优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型应写为：应写为：设计变量设计变量设计变量设计变量：目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化目标函数的极小化：约束条件约束条件约束条件约束条件：（工时约束）（工时约束）（电力约束）（电力约束）（材料约束）（材料约束）由于由于目标函数目标函数目标函数目标函数和所有和所有约束函数约束函数约束函数约束函数均为均为设计变量设计变量设计变量设计变量的的线性函数线性函数线性函数线性函数，故此优，故此优化问题属化问题属线性约束优化问题线性约束优化问题线性约束优
21、化问题线性约束优化问题。 斡腋锗膨畅稍骡鸵省作飞涅正俗占承现栗洒岔锈勤借梅糖锁含卓宾贱作侦第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002从以上从以上三个实例三个实例三个实例三个实例可以看出，可以看出，优化设计的数学模型优化设计的数学模型优化设计的数学模型优化设计的数学模型需要用需要用设计变量设计变量设计变量设计变量、目标函数目标函数目标函数目标函数和和约束条件约束条件约束条件约束条件等基本概念才能予以完整的描述，可以写成等基本概念才能予以完整的描述，可以写成以下统以下统以下统以下统一形式一形式一形式一形式：求设计变量求设计变量求设计变量求设计变量(2-1)使极小化函数使极小化函数使极
22、小化函数使极小化函数(2-2)满足约束条件满足约束条件满足约束条件满足约束条件：其中，称为其中，称为不等式约束条件不等式约束条件不等式约束条件不等式约束条件，称为，称为等式约束条件等式约束条件等式约束条件等式约束条件。若用若用向量向量向量向量表示表示设计变量设计变量设计变量设计变量，表示向量表示向量X 属于属于n 维实欧氏空间；维实欧氏空间；用用minmin、maxmax表示极小化和极大化，表示极小化和极大化，s s. .t t. .（subjected to的英文缩写）表示的英文缩写）表示 “满足于满足于满足于满足于”， mm、p p分别表示分别表示不等式约束不等式约束不等式约束不等式约束和
23、和等式约束等式约束等式约束等式约束的的个数个数个数个数。赚误火枣瞻缎氧炔乃已钳亨千裔泉佯坞却字烛铭砖治铆棘劣慈葛萤坏椎达第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002(2-3) 上式上式上式上式就是就是优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型的的一般表达式一般表达式一般表达式一般表达式。这一优化数学模型，称为。这一优化数学模型，称为约束优约束优约束优约束优化设计问题化设计问题化设计问题化设计问题。(2-4)这一优化问题不受任何约束，称为这一优化问题不受任何约束，称为无约束优化设计问题无约束优化设计问题无约束优化设计问题无约束优化设计问题。式（。式（2-4）即）即为为无约束优化
24、问题无约束优化问题的的数学模型表达式数学模型表达式数学模型表达式数学模型表达式。若上式所列若上式所列数学模型数学模型内内 m = p = 0，则成为，则成为上述上述优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型还还可以写成如下可以写成如下向量形式向量形式向量形式向量形式： 骄挺磺扶摸陛栋酞奇肯始屠氰仅诲痈旬屋褪氧沼爆空虽砍史衍伐乔卵澈辱第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002当涉及问题要当涉及问题要求求求求极大化极大化极大化极大化 f f (X)(X)目标函数时，只要将式中目标函数时，只要将式中目标函数目标函数目标函数目标函数改写为改写为 f (X)即可。因为和具有相同的解。
25、即可。因为和具有相同的解。同样，当同样，当不等式约束不等式约束为：为：“” 时，只要将不等式两端同乘时，只要将不等式两端同乘以以“1”，即可得到，即可得到 “” 的一般形式。的一般形式。一个完整的规格化的一个完整的规格化的优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型应包含有应包含有三部分内容三部分内容三部分内容三部分内容，即，即设计变量设计变量 X；目标函数目标函数；约束条件约束条件 和。和。它们又称为：它们又称为：优化数学模型的三要素优化数学模型的三要素优化数学模型的三要素优化数学模型的三要素。撮孝捆粳酉片黑眨弛弄侈来帚部拙修栈佰瓦伎延铰拨宵檬撂脱怂沮测抓抵第2章优化设计1000002第
26、2章优化设计1000002建立出的建立出的优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型，在计算机上，在计算机上求得的解求得的解求得的解求得的解称为称为优化问题的最优化问题的最优化问题的最优化问题的最优解优解优解优解，它包括：，它包括：最优方案最优方案：最优目标函数值最优目标函数值：即即优化问题的最优解优化问题的最优解优化问题的最优解优化问题的最优解由由最优设计方案最优设计方案最优设计方案最优设计方案 X X * *（或称（或称最优点最优点最优点最优点）和）和最优目标函最优目标函数值数值两部分组成。两部分组成。最优目标函数值最优目标函数值最优目标函数值最优目标函数值是是最优点最优点最优点最优
27、点X X * *带入目标函数带入目标函数 所求得的所求得的最最最最优函数值优函数值优函数值优函数值，它是，它是评价设计方案优劣程度评价设计方案优劣程度的一个的一个标量值标量值标量值标量值。裳题瑚诺妈够溪锈谢烈疹钥函绸雹照长泪逗涅纶漂秆钙灭废茧殿桥连燕匪第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002下面就下面就优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型三要素三要素三要素三要素的有关问题说明如下的有关问题说明如下: :在在优化设计优化设计优化设计优化设计过程中需要调整和优选的参数，称为过程中需要调整和优选的参数，称为设计变量设计变量设计变量设计变量。可可表示为：表示为： 由于实际工
28、程由于实际工程设计对象设计对象设计对象设计对象的不同，则选取的的不同，则选取的设计变量设计变量设计变量设计变量也就不同。也就不同。 它可以是它可以是几何参数几何参数几何参数几何参数：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动：如零件外形尺寸、截面尺寸、机构的运动尺寸等；也可以是尺寸等；也可以是某些物理量某些物理量某些物理量某些物理量：如零部件的重量、体积、力与力矩、：如零部件的重量、体积、力与力矩、惯性矩等；还可以是惯性矩等；还可以是代表机器工作性能的导出量代表机器工作性能的导出量代表机器工作性能的导出量代表机器工作性能的导出量：如应力、变形等。：如应力、变形等。总之，总之，设计变量设计变量设计变量
29、设计变量必须对该项设计性能指标必须对该项设计性能指标优劣优劣优劣优劣有有影响的参数影响的参数影响的参数影响的参数。设计变量设计变量设计变量设计变量是一组相互独立的基本参数。一般用向量是一组相互独立的基本参数。一般用向量 X 来表示。来表示。 设计变量的每一个分量都是相互独立的。设计变量的每一个分量都是相互独立的。以以n 个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为个设计变量为坐标轴所构成的实数空间称为设计空间设计空间设计空间设计空间，或称，或称 n 维实欧式空间，用维实欧式空间，用 R Rn n 表示。表示。1. 设计变量设计变量 防揽旺相痞幕钎锭蛇外撞埔禹媒缕贪拍蓝焙俩值辛苍替堕桓妊叁误励孪赴第2
30、章优化设计1000002第2章优化设计1000002当当 n=2 时，时，X=x1,x2T 是是二维设计向量二维设计向量；当当 n=3 时，时，X=x1,x2, x3T 为为三维设计向量三维设计向量，设计变量，设计变量x1,x2, x3组成一个组成一个三维空间三维空间；当当 n3 时，设计空间是一个想象的超越空间，称时，设计空间是一个想象的超越空间，称n维实属空间。维实属空间。其中二维和三维设计空间如其中二维和三维设计空间如图图2-2所示。所示。 图图2-2设计空间设计空间(a)(b)述伏蔷蝗即河讥钓渊延恿郧侵涵荣疥筷睡翼堪盯队巩稻庐霄纲士祖竣碑锈第2章优化设计1000002第2章优化设计10
31、00002在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称在工程设计中，当有些设计变量的取值要求是离散型量，则称离散设计变量离散设计变量离散设计变量离散设计变量，如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。，如齿轮的齿数、模数，钢管的直径、钢板的厚度等。对于对于离散设计变量离散设计变量离散设计变量离散设计变量，在优化设计过程中常是先把它视为连续量，在优化设计过程中常是先把它视为连续量，再求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用再求得连续量的优化结果后再进行圆整或标准化，以求得一个实用的最优设计方案。的最优设计方案。 设计变量设计变量的的个数个数个数个数，称为，称为维数维
32、数维数维数（自由度自由度自由度自由度），它决定了优化问题的，它决定了优化问题的大小范围大小范围大小范围大小范围，当：，当： n210 为小型优化问题为小型优化问题 ； n1050 为中型优化问题；为中型优化问题；n 50 为大型优化问题为大型优化问题。设计变量设计变量设计变量设计变量可分为可分为连续变量连续变量连续变量连续变量和和离散变量离散变量离散变量离散变量。游狄君豹肃矿纺肥六释腥顷疵定撩础吠淑鬃治翅敢鸽帝腮仟昧犹月俐腰世第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022. 目标函数目标函数 目标函数目标函数目标函数目标函数是用来评价设计方案优劣的标准，又称是用来评价设计方案优劣的
33、标准，又称评价函数评价函数评价函数评价函数。它。它是是设计变量的函数，常记为设计变量的函数，常记为 确定目标函数确定目标函数确定目标函数确定目标函数，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅直，是优化设计中最重要的决策之一。因为这不仅直接影响优化方案的质量，而且还影响到接影响优化方案的质量，而且还影响到优化过程优化过程优化过程优化过程。目标函数目标函数目标函数目标函数可以根据工程问题的要求从可以根据工程问题的要求从不同角度不同角度来建立，例如：来建立，例如：机机械零件设计械零件设计中的重量、体积、效率、可靠性、中的重量、体积、效率、可靠性、几何尺寸、几何尺寸、承载能力；承载能力；机械设计机械设
34、计中的运动误差、中的运动误差、功率、应力、功率、应力、动力特性；动力特性；产品设计产品设计中的成本、中的成本、寿命等。寿命等。优化设计优化设计优化设计优化设计就是要寻求一个就是要寻求一个最优设计方案最优设计方案最优设计方案最优设计方案，即，即最优点最优点最优点最优点X X* *，从而使，从而使目目目目标函数标函数标函数标函数达到达到最优值最优值最优值最优值。在优化设计中，一般取最优值为。在优化设计中，一般取最优值为目标函数目标函数的最小值的最小值。 一个优化问题，可以用一个优化问题，可以用一个一个目标函数来衡量，称之为目标函数来衡量，称之为单目标优化单目标优化单目标优化单目标优化问题问题问题问
35、题；也可以用；也可以用多个多个目标函数来衡量目标函数来衡量，称之为，称之为多目标优化问题多目标优化问题多目标优化问题多目标优化问题。铰统声甭馆丸慷铝寸夺刺扭紊掳研商拜般醒创网包像扔括雁接搀秀脸麦腻第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002目标函数可以通过目标函数可以通过等值线等值线等值线等值线（面面面面）在设计空间中表现出来。在设计空间中表现出来。现以现以二维优化问题二维优化问题二维优化问题二维优化问题为例，来说明为例，来说明目标函数的等值线目标函数的等值线( (面面) )的几何意义。的几何意义。图图2-3二维目标函数的等值线二维目标函数的等值线由于由于每一条曲线上的各点都具有每
36、一条曲线上的各点都具有相相相相等的目标函数值等的目标函数值等的目标函数值等的目标函数值，所以，所以这些曲线这些曲线称为称为目目目目标函数的等值线标函数的等值线标函数的等值线标函数的等值线。如如图图2-3所示，所示，当目标函数当目标函数 f(x) 等等于某一值于某一值ci (i=1, 2, )时，就可得到时，就可得到一条等值线一条等值线一条等值线一条等值线，它是在设计平面上由，它是在设计平面上由 f (x)Ci 的的无数个设计点无数个设计点无数个设计点无数个设计点 X X 所连成，当所连成，当 f(x)为不等的函数值为不等的函数值c1，c2，时，可以时，可以得到一族等值线。得到一族等值线。所谓所
37、谓目标函数的等值线目标函数的等值线目标函数的等值线目标函数的等值线（面面面面），），就是当就是当目标函数目标函数目标函数目标函数 f f ( (X X) ) 的值的值的值的值依次等于依次等于一系列一系列常数常数 ( i=1, 2, )时，时，设计变设计变量量X 取得一系列值的集合。取得一系列值的集合。颇虽腿另妆凯弗凭褂挛微鸟遣衍符涩棒纂慈硬年唇昼厚溪谓帽朴翌丛旗龋第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002对于对于一个目标函数一个目标函数一个目标函数一个目标函数来说，它可以有来说，它可以有无穷多条无穷多条无穷多条无穷多条的的等值线等值线等值线等值线。可以说。可以说等值线充满了设计空
38、间。等值线充满了设计空间。由图可见，由图可见，等值线族等值线族等值线族等值线族反映了目标函数值的变化规律，等值线越反映了目标函数值的变化规律，等值线越向里面，目标函数值越小。向里面，目标函数值越小。对于对于有中心的曲线族有中心的曲线族有中心的曲线族有中心的曲线族来说，等值线族的来说，等值线族的共同中心共同中心共同中心共同中心就是目标函数就是目标函数的的无约束极小点无约束极小点无约束极小点无约束极小点 。故从几何意义上来说，求目标函数无约束。故从几何意义上来说，求目标函数无约束极小极小点点也就是求其等值线族的也就是求其等值线族的共同中心共同中心共同中心共同中心。等值线等值线等值线等值线有以下有以
39、下几个特点几个特点几个特点几个特点： (1) 不同值的等值线不相交；不同值的等值线不相交； (2) 除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断； (3) 等值线充满整个设计空间；等值线充满整个设计空间； (4) 等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快 ； (5) 一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值点就是椭圆的中心点。点就是椭圆的中心点。竣臃叔嗣赣愁唁宣跃全槽击燎剧毒臂僳傀稠绪然虏氮鼎绳磨摆惰忘懈均孵第2章优化设计1000002第2章优化
40、设计1000002在设计空间内，在设计空间内，目标函数值相等点的连线目标函数值相等点的连线目标函数值相等点的连线目标函数值相等点的连线： 对于对于二维优化问题二维优化问题，构成了，构成了等值线等值线； 对于对于三维优化问题三维优化问题，构成了，构成了等值面等值面； 对于对于四维以上的优化问题四维以上的优化问题，则构成了，则构成了等值超曲面等值超曲面。鸥淳插缝杉座拥羽轧雪妨瑞绞谆剂茹订武生惜扎蚀刚绍蘸勺忠巡晒踪王募第2章优化设计1000002第2章优化设计10000023. 约束条件约束条件 约束条件约束条件约束条件约束条件是设计变量选取的限制条件，或称是设计变量选取的限制条件，或称设计约束设计
41、约束。按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，一般表达式为一般表达式为：不等式约束不等式约束不等式约束不等式约束等式约束等式约束等式约束等式约束按照按照设计约束设计约束设计约束设计约束的性质不同，约束又可分为的性质不同，约束又可分为如下两类如下两类如下两类如下两类：（）（）（）（）性能约束性能约束性能约束性能约束：是根据设计性能或指标要求而确定的一种是根据设计性能或指标要求而确定的一种约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及对运动学约束条件，例如零件的工作应力、变形的限制条件以及对运动学参数如位移、速度、加速度值的限制条件
42、均属性能约束。参数如位移、速度、加速度值的限制条件均属性能约束。（）（）（）（）边界约束边界约束边界约束边界约束：则是对设计变量取值范围的限制，例如对则是对设计变量取值范围的限制，例如对齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺寸的限制齿轮的模数、齿数的上、下限的限制以及对构件长度尺寸的限制都是边界约束。都是边界约束。 嘶鸯卤耕戈贩巳设辛荆踏洼鹤撑之肌撩坯惋疯策颈阶玫榷亚盼戚懦膨稠皑第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002任何一个任何一个不等式约束方程不等式约束方程的图形将的图形将设计空间设计空间设计空间设计空间划分为划分为两部分两部分：一部分一部分一部分一部分 ：满足约
43、束，满足约束，即即 gj(X)0 0；另一部分另一部分另一部分另一部分：则不满足约束，即则不满足约束，即 gj(X)0 0。故将故将该分界线该分界线或分界面称为或分界面称为约束边界约束边界约束边界约束边界（或约束面）。（或约束面）。等式约束等式约束等式约束等式约束本身也是约束边界，不过此时只有约束边界上的点满足本身也是约束边界，不过此时只有约束边界上的点满足约束，而边界两边的所有部分都不满足约束。约束，而边界两边的所有部分都不满足约束。以以二维问题二维问题二维问题二维问题为例，如为例，如图图2-4所示，其中所示，其中阴影方向部分阴影方向部分阴影方向部分阴影方向部分表示不满足约表示不满足约束的区
44、域。束的区域。图图2-4约束边界约束边界卤峡愉丙敦咋手坚丑五荐蔓萧坑痪烁驶摊媳锦夫国叛蛀玉洗不卧填毗叫署第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002(2-5)图图2-5二维问题的可行域二维问题的可行域不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不可行域不可行域不可行域不可行域。可行域可行域可行域可行域也可看做也可看做满足所有约束条件的设计点满足所有约束条件的设计点的的集合集合集合集合，因此，可用，因此，可用集合集合集合集合表示如下：表示如下：约束的几何意义约束的几何意义是它将是它将设计空间设计空间设计空间设计空间一分一分为二，形成了为二，形成了可行域
45、可行域可行域可行域和和非可行域非可行域非可行域非可行域。每一个不等式约每一个不等式约束或等式约束都将设束或等式约束都将设计空间分为两部分，计空间分为两部分，满足所有约束的部分满足所有约束的部分形成一个形成一个交交交交集集，该交该交该交该交集集集集称为此约束问题的称为此约束问题的可行域可行域可行域可行域，记做，记做 D D，见，见图图2-5。遭琅旬遇膨潘市粱匀墒磐改陌聋衫漆菲憋醋存煮时途哟扛出业际茫裔跳捍第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002综综上上所所述述，优优优优化化化化数数数数学学学学模模模模型型型型是是对对实实际际问问题题的的数数学学描描述述和和概概括括，是是进进行行优
46、优化化设设计计的的基基础础。因因此此，根根据据设设计计问问题题的的具具体体要要求求和和条条件件建建立立完备的完备的数学模型数学模型是关系是关系优化设计成败优化设计成败的关键。的关键。这这是是因因为为优优化化问问题题的的计计计计算算算算求求求求解解解解完完全全是是围围绕绕数数数数学学学学模模模模型型型型进进行行的的。也也就就是是说说，优优化化计计算算所所得得的的最最最最优优优优解解解解实实际际上上只只是是数数数数学学学学模模模模型型型型的的的的最最最最优优优优解解解解。此此解解是是否否满满足足实实际际问问题题的的要要求求，是是否否就就是是实实际际问问题题的的最最优优解解，完完全全取取决于决于数学
47、模型数学模型数学模型数学模型和和实际问题实际问题实际问题实际问题的符合程度。的符合程度。建立建立优化数学模型优化数学模型优化数学模型优化数学模型是一项重要而复杂的工作：是一项重要而复杂的工作：一方面希望建立一个尽可能完善的一方面希望建立一个尽可能完善的数学模型数学模型数学模型数学模型，以求精确地表达实，以求精确地表达实际问题，得到满意的结果；际问题，得到满意的结果；另一方面又力求使所建立的另一方面又力求使所建立的数学模型数学模型数学模型数学模型尽可能简单，以方便于计算尽可能简单，以方便于计算与求解。与求解。捡汗仑独减棉校纱欢婆恨悬迟建淌保忍殷槽挽虫塞瓦赏窟劳倔州被夫供沈第2章优化设计10000
48、02第2章优化设计1000002工程设计的工程设计的类型很多类型很多类型很多类型很多，总的来说，它可以分为，总的来说，它可以分为两个层次两个层次两个层次两个层次：2.1.3 优化问题的分类优化问题的分类 总体方案优化总体方案优化 设计参数优化设计参数优化这两者这两者这两者这两者之间有着之间有着密切的联系密切的联系密切的联系密切的联系，但也存在着，但也存在着实质性的区别实质性的区别实质性的区别实质性的区别。宜绷佃缔苗佳柴谷煮摔敝叔亩殃馏讫村椿燃架溺鬃剖遣辫用镭鸭暇痒月岗第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002总体方案优化总体方案优化总体方案优化总体方案优化：是指总体布局、结构或系
49、统的类型以及几何形是指总体布局、结构或系统的类型以及几何形式的优化设计；式的优化设计；设计参数优化设计参数优化设计参数优化设计参数优化：是在总体方案选定后，对具体设计参数（几何是在总体方案选定后，对具体设计参数（几何参数、性能参数等）的优化设计。参数、性能参数等）的优化设计。总总总总体体体体方方方方案案案案设设设设计计计计是是一一种种创创造造性性活活动动，必必须须依依靠靠思思考考与与推推理理，综综合合运运用用多多学学科科的的专专门门知知识识和和丰丰富富的的实实践践经经验验，才才能能获获得得正正确确、合合理理的的设设计计。因因此此，总总总总体体体体方方方方案案案案优优优优化化化化其其大大量量工工
50、作作是是依依据据知知识识和和经经验验进进行行演演演演绎绎绎绎和和和和推推推推理理理理，可可用用人人工工智智能能方方法法（特特别别是是专专家家系系统统技技术术）适适宜宜于于求求解解这这类问题。类问题。设设设设计计计计参参参参数数数数优优优优化化化化是是择择优优确确定定具具体体的的设设计计参参数数，属属于于数数值值计计算算型型工工作作，比比较较容容易易总总结结出出可可供供计计算算分分析析用用的的数数学学模模型型，因因而而一一般般采采用用数数学规划方法来求解。学规划方法来求解。本章本章本章本章主要介绍主要介绍设计参数优化问题设计参数优化问题设计参数优化问题设计参数优化问题。栏原镭镣注硬趟努昂矛幅盟凝
51、撑荣家绽课由泪讳芳成升夸酬蛔诽问墒盲夷第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002根根据据优优化化问问题题的的数数数数学学学学模模模模型型型型是是否否含含有有设设设设计计计计约约约约束束束束，可可将将工工程程优优化化问问题题分为分为分为分为：工程优化设计问题工程优化设计问题工程优化设计问题工程优化设计问题中的绝大多数问题都是中的绝大多数问题都是约束优化问题约束优化问题约束优化问题约束优化问题。工程优化问题工程优化问题工程优化问题工程优化问题约束优化问题约束优化问题约束优化问题约束优化问题无约束优化问题无约束优化问题无约束优化问题无约束优化问题一维优化问题一维优化问题多维无约束优化问
52、题多维无约束优化问题非线性规划问题非线性规划问题线性规划问题线性规划问题二次规划问题二次规划问题凸规划问题凸规划问题昂午哥咆声瞻林乎养烷戍刺黔荧馋万兰淄仇监鸥财酋粮猎居垫钵都珐焉腻第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002对于优化问题对于优化问题数学模型数学模型数学模型数学模型的求解，目前可采用的的求解，目前可采用的求解方法求解方法求解方法求解方法有三种：有三种：数学解析法数学解析法数学解析法数学解析法：就是把优化对象用数学模型描述出来后，用就是把优化对象用数学模型描述出来后，用数学解数学解数学解数学解析法析法析法析法（如微分、变分发等）来求出如微分、变分发等）来求出最优解最优解
53、最优解最优解，如高等数学中求函数极值，如高等数学中求函数极值或条件极值的方法。或条件极值的方法。数学解析法数学解析法数学解析法数学解析法是优化设计的理论基础。但它仅限于是优化设计的理论基础。但它仅限于维数较少维数较少维数较少维数较少且易求且易求导的优化问题的求解。导的优化问题的求解。 数学解析法数学解析法 图解法数图解法数 值迭代法值迭代法图解法图解法图解法图解法：就是直接用就是直接用作图的方法作图的方法作图的方法作图的方法来求解优化问题，通过画出目标来求解优化问题，通过画出目标函数和约束函数的图形，求出最优解。函数和约束函数的图形，求出最优解。此法的特点此法的特点此法的特点此法的特点是简单直
54、观，但仅限于是简单直观，但仅限于n2的低维优化问题的求解。的低维优化问题的求解。 2.1.4 优化设计的迭代算法优化设计的迭代算法俯委氰宵颧谷忆俞宿室懦袜滚届识蝎屠废祷梳推咋妮肥老砍牺贰晶脏俐寄第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-6 所示为采用所示为采用图图解法解法解法解法来求解如下来求解如下二维优化问题二维优化问题二维优化问题二维优化问题：min f(X) = x12+x224x1+4 s.t. g1(X) = x2x120 g2(X) = x12x2+10 g3(X) = x10 g4(X) = x20该问题的目标函数、约束函数的该问题的目标函数、约束函数的立体
55、图立体图立体图立体图如如图图2-6(a)所示；所示；该问题的该问题的设计空间关系图设计空间关系图设计空间关系图设计空间关系图如如图图2-6(b)所示，阴影线部分即为所示，阴影线部分即为由所有约束边界围成的由所有约束边界围成的可行域可行域可行域可行域。该问题的该问题的约束最优点约束最优点约束最优点约束最优点为为图中的图中的图中的图中的X X * *点点点点，即，即 X* = x1*, x2*T = 0.58, 1.34 T约束最优值约束最优值约束最优值约束最优值为：为： 的的最优解最优解的结果。的结果。f (X*) = 0.38。宫擞哪徘作袭亨敦迢勘眼芥挡掸君荤吃信辙裕贮鸽弗袜钥窒痊袍晰坷固病第
56、2章优化设计1000002第2章优化设计1000002 (a)问题的立体图问题的立体图 (b)设计空间关系图设计空间关系图图图2-6 二维优化问题的几何解二维优化问题的几何解奶荡筋荧拟年氮慰航幢淆权纶韩罢呸持梳佐添慈啪茨容肝拽眩从谣湾畦贷第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002数数数数值值值值迭迭迭迭代代代代法法法法：完完全全是是依依赖赖于于计计算算机机的的数数数数值值值值计计计计算算算算特特特特点点点点而而产产生生的的，它它是是具具有有一一定定逻逻辑辑结结构构并并按按一一定定格格式式反反复复迭迭代代计计算算，逐逐步步逼逼近近优优化化问问题题最优解的一种方法。采用最优解的一种方
57、法。采用数值迭代法数值迭代法数值迭代法数值迭代法可以求解各种优化问题可以求解各种优化问题。1. 1. 数值迭代法的迭代格式数值迭代法的迭代格式数值迭代法的迭代格式数值迭代法的迭代格式数值迭代法的基本思想数值迭代法的基本思想数值迭代法的基本思想数值迭代法的基本思想：搜索、迭代、逼近。：搜索、迭代、逼近。为了求得目标函数为了求得目标函数 的的极小点极小点 ，其，其迭代过程迭代过程如下：如下： 在设计空间给出一在设计空间给出一初始迭代点初始迭代点 ； 从从 出发，按照确定的搜索方向出发，按照确定的搜索方向 和迭代步长和迭代步长 ，求，求得第一个得第一个改进设计点改进设计点 ，它应该满足：，它应该满足
58、： ； 再以再以 为为新的初始点新的初始点，重复，重复上述步骤上述步骤，求得，求得 ， 如此反复迭代，得到一个如此反复迭代，得到一个不断改进的点列不断改进的点列 及一相应的及一相应的递减函数值数列递减函数值数列 。耍蹭谊骚琢蛤勒末撂叮瓣迭安三鹤舷猿巢祝鞋唆姆余复两娱唬昨莹肃掇星第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002式中：式中：X(k)前一步已取得的设计方案（迭代点）；前一步已取得的设计方案（迭代点）；X(k+1)新的改进设计方案（新的迭代点）；新的改进设计方案（新的迭代点）；S(k)第第 k次迭代计算的搜索方向；次迭代计算的搜索方向；(k) 第第 k次迭代计算的步长因子。次迭
59、代计算的步长因子。（2-6） 这样一步步地重复数值计算，不断用改进的这样一步步地重复数值计算，不断用改进的新点新点新点新点迭代迭代前次设前次设前次设前次设计点计点计点计点，逐步改进，逐步改进 值并使值并使设计点设计点最终逼近最终逼近极小点极小点极小点极小点（极值点极值点极值点极值点） 。这一这一迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程如如图图2-7所示。所示。这一这一迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程用数学式子表达，得用数学式子表达，得数值迭代法数值迭代法数值迭代法数值迭代法的的基本迭代格式基本迭代格式基本迭代格式基本迭代格式为：为：谋焰瓣狠薯迈峰爵忆峪酸扦校尘唐担绞吩卵珍从辱韵拴淫遣富享琼正塌展第2章
60、优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-7二维优化问题的迭代过程二维优化问题的迭代过程在优化算法中，关于在优化算法中，关于迭代方法迭代方法有多种，有多种，它们之间的区别它们之间的区别就在于就在于确定确定(k) 和和S (k)的方式不同。的方式不同。特别是特别是S (k)的确定，在各种方法中起的确定，在各种方法中起着关键性的作用。着关键性的作用。关于关于(k) 和和S (k)的确定的确定，将在，将在后面各节后面各节中介绍。中介绍。 由以上分析及由以上分析及图图2-7可知，要用可知，要用数值迭代法数值迭代法寻寻找找最优点最优点X*，这里关键要，这里关键要解决解决三个问题三个问题：
61、一是如何确定一是如何确定迭代迭代迭代迭代步长步长步长步长( (k k) )；二是怎样选定二是怎样选定搜索搜索搜索搜索方向方向方向方向S S( (k k) )；三是如何判断是否三是如何判断是否找到了找到了最优点最优点最优点最优点X X * *，以终止，以终止迭代。迭代。奇盏铝城圣经乎擦着弃耍孵覆槛江郑勃税忘惟肝垂署升奥绥瘩淘钮昂北逞第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022. .迭代计算的终止准则迭代计算的终止准则 目前，通常采用的目前，通常采用的迭代终止准则迭代终止准则迭代终止准则迭代终止准则有有以下以下几种几种： 点距足够小准则点距足够小准则 函数下降量足够小准则函数下降量足
62、够小准则 函数梯度充分小准则函数梯度充分小准则晨脖滚取侍未曾姑趴札恋源凯柔滞保蕾妨咸为歪耻葱哨修弯华瞅礼溪圾辈第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002（）（）（）（）点距足够小准则点距足够小准则点距足够小准则点距足够小准则相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即相邻两迭代点之间的距离已达到充分小，即（2-7）式中，式中， 给定的计算精度，一般可取给定的计算精度，一般可取 。（）（）函数函数下降量足够小准则下降量足够小准则下降量足够小准则下降量足够小准则 相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小，即（2-8） 式中，式中， 给定的计算精度，给
63、定的计算精度，一般可取一般可取 。 目标函数在目标函数在迭代点的梯度已达到充分小，即迭代点的梯度已达到充分小，即（）（）（）（）函数梯度充分小准则函数梯度充分小准则函数梯度充分小准则函数梯度充分小准则（2-9） 堂古播棺翼淹纬卡姜磅囊姑跌淌消贩译倾犯湛醚酝弯讨舱称柄硬刁宫诫硝第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002上上述述三三三三个个个个准准准准则则则则都都可可以以单单独独使使用用。只只要要其其中中一一个个得得到到满满足足，就就可可以认为达到了以认为达到了近似最优解近似最优解近似最优解近似最优解，迭代计算到此结束。，迭代计算到此结束。对对于于约约束束优优化化问问题题，不不同同的
64、的优优化化方方法法有有各各自自的的终终止止准准则则，在在此此不在介绍。不在介绍。 这是由于这是由于函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点的的必要条件必要条件必要条件必要条件是函数在这一点的梯度值的模是函数在这一点的梯度值的模为零。因此当迭代点的为零。因此当迭代点的函数梯度的模函数梯度的模函数梯度的模函数梯度的模已充分小时，则认为迭代可以已充分小时，则认为迭代可以终止。终止。式中，式中， 给定的计算精度，给定的计算精度，一般可取一般可取。 厘薪昔迁旗硅椿丑谩揖涂徒木狰宿徐肾概死银厕锻揖同析然插俩孜鲜蛰况第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.2 优化方法的数学基础优化方法的
65、数学基础( (略略) ) 在介绍有关在介绍有关优化算法优化算法优化算法优化算法时，常常要用到时，常常要用到函数的梯度函数的梯度函数的梯度函数的梯度和和海森海森海森海森(Hessian)(Hessian)矩阵矩阵矩阵矩阵的概念。这里简要介绍之。的概念。这里简要介绍之。1. 多元函数的多元函数的梯度梯度已知一已知一 n 元函数元函数 ，则，则该函数该函数该函数该函数在点处的在点处的梯度梯度梯度梯度可记为：可记为：（2-19）函数的梯度函数的梯度函数的梯度函数的梯度在优化设计中有着十分重要的作用。在优化设计中有着十分重要的作用。由于由于梯度是一个向量梯度是一个向量梯度是一个向量梯度是一个向量，而，而
66、梯度方向梯度方向梯度方向梯度方向是函数具有最大变化率的方向。是函数具有最大变化率的方向。亦即亦即梯度方向梯度方向梯度方向梯度方向是指函数的最速上升方向，而是指函数的最速上升方向，而负梯度负梯度负梯度负梯度一则为函数的一则为函数的最速下最速下最速下最速下降方向降方向降方向降方向。如如图图2-11所示所示。 兹创蹭矾儿供泛链祈疯庇亡卢啦湃浊悍们酚菠退惮寐糟沧噎萝沂檀往肌儒第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-11 梯度方向与等值线的关系梯度方向与等值线的关系 便搀典历狸觉坠冲不抑航娩废袱征忆启墓蚀缆戈脓赶髓颇裹圃藉嘎溯门拔第2章优化设计1000002第2章优化设计1000
67、0022. 多元函数的海森矩阵多元函数的海森矩阵 已知一已知一 n 元函数，则该函数在点的所有二阶偏导数组成的元函数，则该函数在点的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数在点的矩阵，称为函数在点的二阶偏导数矩阵二阶偏导数矩阵二阶偏导数矩阵二阶偏导数矩阵或或 海森海森海森海森(Hessian)(Hessian)矩阵矩阵矩阵矩阵，经常记作经常记作 。该。该二阶偏导数矩阵二阶偏导数矩阵二阶偏导数矩阵二阶偏导数矩阵的组成形式如下：的组成形式如下： (2-21) 由于由于n n 元函数元函数元函数元函数的偏导数有的偏导数有nn个，而且偏导数的值与求导次序无关，个，而且偏导数的值与求导次序无关，所以函数的二阶
68、偏导数矩阵是一个所以函数的二阶偏导数矩阵是一个nn阶的阶的对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵。 海森矩阵海森矩阵海森矩阵海森矩阵 在判别在判别多元函数极值的充分条件多元函数极值的充分条件多元函数极值的充分条件多元函数极值的充分条件以及在以及在牛顿法牛顿法牛顿法牛顿法构构造牛顿搜索方向时都有重要用途。造牛顿搜索方向时都有重要用途。朱养韦挨萎必磊莲糕袋硼舟睛听犀弯移多琵眨骑烤腔暴宪挖榆帆汛其激管第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.3 一维优化方法一维优化方法 求解求解一维目标函数一维目标函数一维目标函数一维目标函数最优解的过程，称为最优解的过程，称为一维优化一维优化一维优化一
69、维优化(或一维搜索或一维搜索)，所使用的方法称为，所使用的方法称为一维优化方法一维优化方法一维优化方法一维优化方法。 一维优化方法，它不仅可用来解决一维目标函数的求优问题，且常一维优化方法，它不仅可用来解决一维目标函数的求优问题，且常用于多维优化问题在既定方向上寻求用于多维优化问题在既定方向上寻求最优步长最优步长最优步长最优步长的一维搜索。的一维搜索。 由前由前数值迭代法数值迭代法数值迭代法数值迭代法可知，求某目标函数的最优值时，可知，求某目标函数的最优值时，迭代过程迭代过程每一步每一步的格式都是从的格式都是从某一定点某一定点 出发，沿着某一使目标函数下降的规定出发，沿着某一使目标函数下降的规
70、定方向方向 搜索，以找出此方向的搜索，以找出此方向的极小点极小点 。这一过程是各种最优化方法的一。这一过程是各种最优化方法的一种种基本过程基本过程基本过程基本过程。在此过程中因在此过程中因 、 已确定，要使目标函数值为最小，只需找已确定，要使目标函数值为最小，只需找到到一个合适的步长一个合适的步长 就可以了。这也就是说，在任何一次迭代计算过就可以了。这也就是说，在任何一次迭代计算过程中，当程中，当起步点起步点 和和搜索方向搜索方向 确定之后，就把求多维目标函数极小确定之后，就把求多维目标函数极小值这个多维问题，化解为求一个变量值这个多维问题，化解为求一个变量（步长因子步长因子)的的最优值最优值
71、 的一维的一维问题。问题。 谰廷羚嵌惟冷罗暴臂赴揩训甫芽赖桃晴踊泞桑毕异固杀吠蒜雪菇靡心怨杏第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002一维搜索方法一维搜索方法主要有主要有：一维搜索方法一维搜索方法一维搜索方法一维搜索方法一般一般分两步进行分两步进行分两步进行分两步进行： 首先在首先在方向方向 上上确定确定一个包含函数极小点的一个包含函数极小点的初始区间初始区间，即，即确确定定函数的搜索区间，该区间必须是函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间单峰区间； 然后采用缩小区间或插值逼近的方法然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到得到最优步长最优步长，即求出，即求出该搜索区间内的该搜索区间内的
72、最优步长最优步长和和一维极小点一维极小点。 分数法分数法 二次插值二次插值 黄金分割法黄金分割法（0.618法法） 三次插值法等三次插值法等本节本节介绍最常用的介绍最常用的黄金分割法黄金分割法黄金分割法黄金分割法和和二次插值法二次插值法二次插值法二次插值法。矿点午啤植歹氦足肋爹泞滔馁息负搓司懒靳廊葬洼卓笔纽指大懊份钒钟镶第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.3.1 搜索区间的确定搜索区间的确定 根据函数的变化情况，可将根据函数的变化情况，可将区间区间区间区间分为分为单峰区间单峰区间和和多峰区间多峰区间。所谓所谓单峰区间单峰区间单峰区间单峰区间，就是在该区间内的函数变化只有
73、一个峰值，即函，就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函数的极小值，如数的极小值，如图图2-18所示。所示。即在即在单峰区间单峰区间单峰区间单峰区间内的内的极小值点极小值点极小值点极小值点X X* * 的的左侧左侧：函数呈：函数呈下降趋势下降趋势下降趋势下降趋势，而在而在极小值点极小值点X* 的的右侧右侧：函数呈：函数呈上升趋势上升趋势。也就是说，也就是说，单峰区间单峰区间单峰区间单峰区间的函数值呈的函数值呈“高高高高- -低低低低- -高高高高”的变化特征。的变化特征。设设区间区间 1，3 为为单峰区间单峰区间，而而2为为该区间内该区间内的一点，的一点，若有若有1223成立，则必有成立，则
74、必有 f(1) f(2) f(3)同时成立。同时成立。图图2-18单峰区间单峰区间部根容捞逛梆沪谋坡茂简熟沪夺喂屡樱禽椽絮上捌野超础荣草看嗜烧缅烃第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002目目前前，在在一一维维优优化化搜搜索索中中，确确定定单单峰峰区区间间常常用用的的方方法法是是进进退退试试算法算法。 进退试算法的进退试算法的进退试算法的进退试算法的基本思想基本思想基本思想基本思想为：为： 按照一定的规律给出按照一定的规律给出若干试算点若干试算点， 依次比较各依次比较各试算点的函数值试算点的函数值的大小，的大小， 直直到到找找到到相相邻邻三三点点的的函函数数值值按按“高高-低低-
75、高高”变变化化的的单单峰峰区区间间为为止。止。很止抿菜咆撵液窄驻歧沈椒擅邹鹿丽息刀疙筛瞻蔡地脚卵鞘耳侥诲色用坠第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002进退试算法的进退试算法的运算步骤运算步骤运算步骤运算步骤如下：如下：图图2-19 求搜索区间求搜索区间(2)将将0及及0+h 代入目标函数代入目标函数 f(x) 进行计算并比较它们的大小。进行计算并比较它们的大小。(1)给定给定初始点初始点0和和初始步长初始步长h，设搜索区间设搜索区间a, b，如，如图图2-19所示。所示。融塞冗萤粪例乳缮腐糠译个云蔷办邹汀循寸制漱嘎捧坡鬼员烙憋棱钡持衬第2章优化设计1000002第2章优化设计1
76、000002(3)若若，则则表表明明极极小小点点在在试试算算点点的的右右侧侧，需需做做前前进进试算试算。在在做做前前进进运运算算时时，为为加加速速计计算算，可可将将步步长长h增增加加2倍倍，并并取取计计算算新点为新点为0 0+h+2h=0 0+3h。若若 ，则则所所计计算算的的相相邻邻三三点点的的函函数数值值已已具具“高高-低低-高高”特征，这时可确定特征，这时可确定搜索区间搜索区间为为否则，将步长再加倍，并重复上述运算。否则，将步长再加倍，并重复上述运算。否则，将步长再加倍，继续后退，重复否则，将步长再加倍，继续后退，重复上述步骤上述步骤，直到满足，直到满足单峰区间单峰区间条件为止。条件为止
77、。(4)若若 ，则表明极小点在试算点的左侧，需做，则表明极小点在试算点的左侧，需做后退后退试算试算。在做后退运算时，应将。在做后退运算时，应将后退的步长后退的步长缩短为原步长缩短为原步长h的的1/4，则取，则取步长为步长为h/4，并从，并从点出发，得到后退点为点出发，得到后退点为 ，若若 ，则，则搜索区间搜索区间可取为可取为顿梆典园靠形序搐摆给她惋疏瘴酚局蛾家葡虹乔别雕迫蓉澈锭遣也访鲜嘴第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002上述上述进退试算法的程序计算框图进退试算法的程序计算框图进退试算法的程序计算框图进退试算法的程序计算框图，如，如图图2-20所示。所示。图图2-20 进退
78、法的程序框图进退法的程序框图 址迹谱乱咎胶挣遂沸邑漏扩帆誓俭织脸遇旁谣凑葬途胡哪坊桥狂卸阉冤竿第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.3.2 黄金分割法黄金分割法 该算法的该算法的该算法的该算法的基本思路基本思路基本思路基本思路是：是：通过比较通过比较单峰区间单峰区间内两个插点的函数值，不断舍弃内两个插点的函数值，不断舍弃单峰区间单峰区间的左的左端或右端一部分，使端或右端一部分，使区间区间按照按照固定区间缩短率固定区间缩短率（缩小后的新区间与原缩小后的新区间与原区间长度之比区间长度之比）逐步缩短，直到逐步缩短，直到极小点极小点所在的区间缩短到给定的误差所在的区间缩短到给定的
79、误差范围内，而得到范围内，而得到近似最优解近似最优解。 黄金分割法黄金分割法，又称，又称0.618法法，它是一种，它是一种等比例缩短区间等比例缩短区间的直接搜索的直接搜索方法。方法。如如图图2-21所示，所示，为使为使ab 区间区间缩小，缩小，在在单峰区间单峰区间a, b内内插入插入两个内分点两个内分点 ，且满足且满足 ，并计算并计算它的函数值它的函数值 f(1 1), f(2 2)，比较它们的大小，可能发生以下情况：，比较它们的大小，可能发生以下情况： (1) 若若 f(1 1) f(2 2)，显然，显然，极小点极小点必位于必位于1，b内，因而可内，因而可去掉去掉区间区间a，1，得到，得到新
80、区间新区间1，b，如，如图图2-21(b)所示；所示； 图图2-21 黄金分割法的序列消去原理黄金分割法的序列消去原理 (3) 若若 f(1 1) = f(2 2)，极小点极小点应在区间应在区间1，2内，因而可去内，因而可去掉掉a，1 或或 2，b，甚至将此二段都，甚至将此二段都去掉去掉，如，如图图2-21(c)所示。所示。 嗜轿癣哎循亦糟篮椅钟搀起觉想邢拈延槽紫镁羡肝膨慢判道反峨蚁代沟沽第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002对于上述对于上述缩短后的新区间缩短后的新区间，可在其内再取一个，可在其内再取一个新点新点3，然后将此，然后将此点和该区间内剩下的那一点进行函数值大小的比
81、较，以再次按照点和该区间内剩下的那一点进行函数值大小的比较，以再次按照上上述方法述方法，进一步，进一步缩短区间缩短区间，这样不断进行下去，直到，这样不断进行下去，直到所保留的区间所保留的区间缩小到给定的误差范围内，而得到缩小到给定的误差范围内，而得到近似最优解近似最优解。嗅哥水乓涡怖洪存蔗境阉夯宰抽雅畴连揭继塘嫁挽碗祁恒钒键嚷流勋遍膛第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002黄金分割法的黄金分割法的内插点选取原则内插点选取原则内插点选取原则内插点选取原则是：是：每次每次区间缩短区间缩短都取都取相等的区间缩短率相等的区间缩短率相等的区间缩短率相等的区间缩短率。按照这一原则，。按照这
82、一原则，其区间缩其区间缩短率短率都是取都是取=0.618，即该法是按区间全长的，即该法是按区间全长的0.618倍的关系来选取两倍的关系来选取两个对称内插点个对称内插点1, ,2的。的。 图图2-22 0.618法新、旧区间的几何关系法新、旧区间的几何关系 为缩短区间，为缩短区间，黄金分割黄金分割法法要求在区间要求在区间a，b上对称上对称地地取两个内分点取两个内分点1和和2，设，设两个对称内分点交错离两端两个对称内分点交错离两端点距离为，则点距离为，则 首次区间缩短率为首次区间缩短率为首次区间缩短率为首次区间缩短率为：再次区间缩短率为再次区间缩短率为再次区间缩短率为再次区间缩短率为： 如如图图2
83、-22所示，所示，设原区间设原区间a，b长度为长度为L，区间缩短率为区间缩短率为。颠柒蛙酒疗鹤崎钎缺柱季墒月疑用风轮噪播宝悍含玉娥寓漆叙捻鲍夏嚣抹第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002根据根据每次区间缩短率相等每次区间缩短率相等的原则，则有的原则，则有 由此得由此得即即 ，或，或，解此方程解此方程取其正根可得取其正根可得这意味着，只要取这意味着，只要取= 0.618，就以满足，就以满足区间缩短率不变区间缩短率不变的要求。的要求。即每次缩小区间后，所得到的区间是原区间的即每次缩小区间后，所得到的区间是原区间的0.6180.618倍，舍弃的区倍，舍弃的区间是原区间的间是原区间的0
84、.382倍。倍。根据以上结果，根据以上结果，黄金分割法黄金分割法的两个内插点的的两个内插点的取点规则取点规则为：为：（2-30） 感谍异爸钓栓惨纽涪捏行遮勃硒哼豢捅耘捅转剥契渡涡其疯淋烩埔早抱煌第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002(1) 给定给定初始单峰区间初始单峰区间 a, b和收敛精度和收敛精度；(2) 在在区间区间 a, b内内取两个内插点取两个内插点并计算其函数值：并计算其函数值：若若 f1 f2 ，则取，则取a, 为新区间，而为新区间，而 则作为新区间内的第一则作为新区间内的第一个试算点，即令个试算点，即令(3) 比较函数值比较函数值 f1和和 f2 的大小：的大
85、小：综上所述，综上所述，黄金分割法的计算步骤黄金分割法的计算步骤黄金分割法的计算步骤黄金分割法的计算步骤如下：如下：而而另一试算点另一试算点可按下式计算出来：可按下式计算出来：而而另一试算点另一试算点可按下式计算出可按下式计算出若若 f1 f2 ，则取，则取 ，b为新区间，而为新区间，而 作为新区间内的第一个作为新区间内的第一个试算点，即令试算点，即令陕倔券剑扒翼芝凛焦菊醚萤拥汛焊铲栓喉搀尤刊微瓮脱郴篱替撰鹿酌浆祥第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-23 黄金分割法的计算框图黄金分割法的计算框图(4) 迭代迭代终止条件终止条件判别判别若满足若满足b-a ，则转则转下
86、一步；下一步；否则返回步骤否则返回步骤(3)，进，进行下一次迭代计算，进一步行下一次迭代计算，进一步缩短区间。缩短区间。(5) 输出输出最优解最优解黄金分割法的计算框图黄金分割法的计算框图黄金分割法的计算框图黄金分割法的计算框图，如如图图2-23所示。所示。谨打羡铺菌独误忌镁贷呀国朝卷有彻魁笋掘吞铁犁寝咀照浴绊眨拾诬虹乞第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.3.3 二次插值法二次插值法 二次插值法二次插值法二次插值法二次插值法又称又称近似抛物线法近似抛物线法近似抛物线法近似抛物线法。该法的该法的该法的该法的基本思想基本思想基本思想基本思想是：是：在给定的在给定的单峰区间单
87、峰区间中，利用目标函数上的中，利用目标函数上的三个点三个点来来构造构造一个一个二次二次插值函数插值函数，以近似地表达，以近似地表达原目标函数原目标函数，并求这个插值函数的，并求这个插值函数的极小点极小点近似作为原目标函数的近似作为原目标函数的极小点极小点。该法该法是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，是以目标函数的二次插值函数的极小点作为新的中间插入点，进行进行区间缩小区间缩小区间缩小区间缩小的一维搜索方法。的一维搜索方法。 设一元函数设一元函数 ，在，在单峰区间单峰区间内取内取一点一点且且 ，这三点这三点对应的函数值分别为对应的函数值分别为于是通过于是通过原函数曲线上原函数曲
88、线上原函数曲线上原函数曲线上的三个点和的三个点和 可以可以构成构成一个一个二次插值函数二次插值函数，如，如图图2-24所示。设该所示。设该二次插值函数二次插值函数为为(2-31) 姻株诽糙沁贵酉舅虚依迁褐厕凡畅伏坑余酥课媒览匹当峡严臃宏膳鸵呼南第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-24 二次插值法的原理及区间缩小过程二次插值法的原理及区间缩小过程（2-32）为求得为求得 ，应设法求得，应设法求得式式(2-32)中的中的待定系数待定系数待定系数待定系数 B 和和C。解得解得此函数可以很容易地求得它的此函数可以很容易地求得它的极小点极小点 。令其一阶导数等于零，即。令其一
89、阶导数等于零，即潞穆肉味科呀树剥拧块衡钞韩苯羊纲削壹崎譬瀑次奎翠垮肮面龟仿诚仕啃第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002由于所构造的由于所构造的二次插值函数二次插值函数二次插值函数二次插值函数曲线曲线曲线曲线通过通过通过通过原函数原函数原函数原函数上的三个点上的三个点，因此将，因此将三个点三个点 及及 代人代人方程方程(2-31)可得可得解得解得系数系数（2-33）（2-34）将将B，C之值代入之值代入式式(2-32)，可求得可求得可求得可求得贩逆层羚良皋勤谓准垣淫触拴闯栓阔岗划屡枢桓殉咆钢请拿坪筛邓阐雀猜第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002由上可知，在已知
90、一个由上可知，在已知一个单峰搜索区间单峰搜索区间内的内的 三点值后，三点值后，便可通过便可通过二次搜值方法二次搜值方法二次搜值方法二次搜值方法求得求得极小点的近似值极小点的近似值 。由于在求。由于在求 时，时，是采用是采用原函数原函数的近似函数，因而求得的的近似函数，因而求得的 不一定与不一定与原函数原函数的的极值点极值点 重合，见重合，见图图2-24。为了求得满足预定精度要求的为了求得满足预定精度要求的原函数的近似极小点原函数的近似极小点，一般要进，一般要进行多次迭代。为此，可根据前述的序列消去原理，在已有的四个点行多次迭代。为此，可根据前述的序列消去原理，在已有的四个点 及及 中中选择选择
91、新的三个点新的三个点，得到一个缩小了的，得到一个缩小了的单峰区间单峰区间，并利用此并利用此单峰区间单峰区间的三个点，再一次进行插值。如此进行下去，直的三个点，再一次进行插值。如此进行下去，直至达到给定的精度为止。至达到给定的精度为止。 要聋稼奄啥掩傣农佑酋痞弃芝啊笺常诽缴斗糊睁涂粒刀拯钵时享盼昂瑞圾第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002二次插值法二次插值法二次插值法二次插值法的的的的计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤如下：如下：(1) 给定给定初始搜索区间初始搜索区间 和计算精度和计算精度；(2) 在区间在区间 内取一内取一内点内点 ，有下面，有下面两种取法两种取法：（等距原则
92、取点等距原则取点）（不等距原则取点不等距原则取点）计算计算三点的函数值三点的函数值 。(3) 计算二次插值多项式计算二次插值多项式 的极小点的极小点 与极小值与极小值 ； 隋冠招纪伏企起劲卸渤宇撼注推替吉责隧墅伶檬兹桩赫剑狂皿民楼肾削嗡第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002 (4) 进行进行收敛判断收敛判断：若满足，则转若满足，则转(6)，停止迭代，并将点，停止迭代，并将点 与与 中中函数值较小的点函数值较小的点作为作为极小点极小点输出，结束一维搜索；输出，结束一维搜索；否则，转下步否则，转下步(5)； (5) 缩小区间缩小区间：以得到以得到新的单峰区间新的单峰区间，然后转第
93、，然后转第(3)步，继续迭代，直到步，继续迭代，直到满足满足精度要求精度要求为止。为止。(6)输出输出最优解最优解：二次插值法的二次插值法的二次插值法的二次插值法的程序计算框图程序计算框图程序计算框图程序计算框图，如，如图图2-25所示。所示。俄凛签辙悔辙椒镍躁擦伞劲恃余过开伸钝认娠比膝府眉支绢硒划寥支犯澜第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-25 二次插值法程序框图二次插值法程序框图 桂币蝉角刀即缚嫌辟瘫日解模凡淖呻拔心贷恭旺擞扫袁墒辟鸥诉目埃坍诱第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.4 多维无约束优化方法多维无约束优化方法 （2-35）求解这
94、类问题的方法，称为求解这类问题的方法，称为多维无约束优化方法多维无约束优化方法多维无约束优化方法多维无约束优化方法。多维无约束优化问题多维无约束优化问题多维无约束优化问题多维无约束优化问题的的一般数学表达式一般数学表达式一般数学表达式一般数学表达式为：为：无约束优化方法无约束优化方法无约束优化方法无约束优化方法有很多种，但归纳可以分为有很多种，但归纳可以分为两大类两大类两大类两大类： 解析法解析法 直接法直接法切告那困据赁译采处屁钮鸿席译执矩箔脂也鹊包辊肖箱鹤赃琼霸菏致跑窗第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002 解析法解析法 这类方法这类方法是需要利用函数的一阶偏导数甚至二阶
95、偏导数是需要利用函数的一阶偏导数甚至二阶偏导数构造搜构造搜索方向索方向，如梯度法、牛顿法和变尺度法等。，如梯度法、牛顿法和变尺度法等。由于需要计算偏导数，故这类方法计算量大，但收敛较快。由于需要计算偏导数，故这类方法计算量大，但收敛较快。 直接法直接法 这类方法这类方法是仅利用迭代点的函数值来是仅利用迭代点的函数值来构造搜索方向构造搜索方向，如坐标轮换，如坐标轮换法、法、powell 共轭梯度法和单纯形法等。共轭梯度法和单纯形法等。由于只需要由于只需要计算函数值计算函数值，对于无法求导或求导困难的函数，则这，对于无法求导或求导困难的函数，则这类方法就有突出的优越性，但是其收敛速度较慢。类方法就
96、有突出的优越性，但是其收敛速度较慢。侍皱墩抉欣烫扬革伟赤教龋绢沮窖种室涎芬块室悲盯佰徐囤血闯银纠疯呕第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.4.1 坐标轮换法坐标轮换法 是求解多维无约束优化问题的一种是求解多维无约束优化问题的一种直接法直接法，它不需求它不需求函数导数函数导数而直接搜索目标函数的最优解。而直接搜索目标函数的最优解。该法又称该法又称降维法降维法。该法将一个该法将一个多维无约束优化问题多维无约束优化问题转化为转化为一系列一系列一维优化问题一维优化问题来求解，来求解，即依次沿着即依次沿着坐标轴的方向坐标轴的方向进行进行一维搜索一维搜索，求得，求得极小点极小点。当对
97、当对 n 个变量个变量 x1, x2 , xn 依次进行过一次搜索之后，依次进行过一次搜索之后，即即完成一轮计算完成一轮计算。若未收敛到极小点，若未收敛到极小点，则又从则又从前一轮的最末点前一轮的最末点开始，再作开始，再作下一轮搜索下一轮搜索，如此继续下去，直至收敛到如此继续下去，直至收敛到最优点最优点为止。为止。坐标轮换法坐标轮换法，就是由此而得名的。，就是由此而得名的。坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法的基本原理坐标轮换法的基本原理坐标轮换法的基本原理坐标轮换法的基本原理：火清漾气晾仓新昼景拍烩锥辞疑构伺咬鳃璃医剥父问王贸茁虫迂衣壬超吮第2章优化设计1000002第2章优化
98、设计1000002现以现以二维优化问题二维优化问题二维优化问题二维优化问题（图（图2-26）为例，说明为例，说明该法的搜索过程该法的搜索过程。图图2-26 坐标轮换法搜索过程坐标轮换法搜索过程 慨辖便啥辖绊浪伊墟嫌玖椭霖矢顶泅拌希逛偏调延臣掀并潘筑预赖铀财插第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002先以先以 为为初始点初始点， 沿着沿着坐标轴坐标轴 方向方向进行一维搜索，求得进行一维搜索，求得极小点极小点 ， 然后固定然后固定 不变，改沿着不变，改沿着坐标轴坐标轴 方向方向进行一维搜索，求进行一维搜索，求得得极小点极小点 ，至此完成了，至此完成了该二维问题该二维问题的的一轮计算一
99、轮计算。由于未得到问题的最优点，需进行由于未得到问题的最优点，需进行第二论迭代第二论迭代，即从前一轮的最末点即从前一轮的最末点 出发，重复前面的过程求得出发，重复前面的过程求得 点。点。如此继续下去，直到找到问题的如此继续下去，直到找到问题的最优解最优解最优解最优解 。 现以现以二维优化问题二维优化问题（图（图2-26）为例，说明为例，说明该法的搜索过程该法的搜索过程该法的搜索过程该法的搜索过程。根据上述原理，对于第根据上述原理，对于第k 轮计算，轮计算，坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法的的的的迭代计算公式迭代计算公式迭代计算公式迭代计算公式为：为： （2-36） 酮修曙穿多渴牟铆泄懂
100、默闸焰取熏茬耀悬铆头邮患任亩玩呻棍纲峨续公亥第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002其中，其中，搜索方向搜索方向搜索方向搜索方向是轮流取是轮流取 n n 维空间各坐标轴维空间各坐标轴维空间各坐标轴维空间各坐标轴的的单位向量单位向量单位向量单位向量：即即枢嚏威技欢净络绵它栅航猾罚川律刽互迁妄段鱼瞅控传淫潍愤粤口其佣疡第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002关于坐标轮换法的迭代步长关于坐标轮换法的迭代步长，常用如下，常用如下两种取法两种取法： (1) (1) 最优步长最优步长最优步长最优步长； (2) (2) 加速步长加速步长加速步长加速步长。即即在在每每一一维维，
101、先先选选择择一一个个初初始始步步长长，若若沿沿该该维维正正向向第第一一步步搜搜索索成成功功(即即该该点点函函数数搜搜索索时时值值下下降降)，则则以以倍倍增增的的步步长长继继续续沿沿该该维维向向前前搜索，搜索，步长的序列步长的序列为为坐标轮换法的特点坐标轮换法的特点： 计算简单，概念清楚；计算简单，概念清楚； 但搜索线路较长，计算效率低；但搜索线路较长，计算效率低； 所以它只能用于所以它只能用于低维低维（n10）优化问题优化问题的求解。的求解。直到函数值出现上升时，则取直到函数值出现上升时，则取前一点前一点为为本维极小点本维极小点，然后改换为沿下，然后改换为沿下一维方向进行搜索，依次循环继续前进
102、，直至到达一维方向进行搜索，依次循环继续前进，直至到达收敛精度收敛精度为止。为止。 姿浊镀这刑嫡溉拓轧秆爽誊捣态朗寝叶姻柔痔爪诲牧蝶欲絮翱敷温祸祟耗第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002求最优步长求最优步长 举例举例：1. 最优步长的几何意义最优步长的几何意义 已知：已知：以以二维优化问题二维优化问题为例，为例，最优步长最优步长 的几何意义的几何意义如如右图右图所示。所示。2. 最优步长的计算最优步长的计算图图2-a 最优步长的几何意义最优步长的几何意义侩庸逞败谣太梨砂刽奋渊憋烽堡曰肢孝弃遣魔般酉爵毕甜阉弛壹庭尘命拓第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002求：
103、求：在在给定点给定点处沿处沿给定方向给定方向搜索的搜索的最优步长最优步长 。解：解： 根据根据基本迭代公式基本迭代公式，有，有则则由上可见，原本由上可见，原本 函数函数这时成为这时成为 的函数的函数，即，即 。迟黄夺扦精傻吩录逃鸡裂贝祷敢闯牵纸篱容剑红雏宗吵请曲舌抵僻刽娄毡第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002为求得为求得最优步长最优步长，可令可令即即故得故得最优步长最优步长：刨辊碘栓讣宪哩剐发志熔考雕赣朗瞥姻僚莱掺囱吐友滴焰颂蹿砌跟位茂碎第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022.4.2 鲍威尔法鲍威尔法 在上述在上述坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法坐标轮换法
104、中，之所以收敛很慢，中，之所以收敛很慢，其其原因在于原因在于原因在于原因在于：其其搜索方向搜索方向总是平行于坐标轴，不适应函数的变总是平行于坐标轴，不适应函数的变化情况。化情况。鲍威尔法鲍威尔法鲍威尔法鲍威尔法（powell 法法，又称，又称共轭方向法共轭方向法）:该算法该算法该算法该算法是鲍威尔于是鲍威尔于1964年提出的，它是在年提出的，它是在坐标轮换法坐标轮换法的基础上，的基础上，通过构造通过构造共轭方向共轭方向，以达到快速收敛的目的。并通过改进后，是一种，以达到快速收敛的目的。并通过改进后，是一种比较有效的算法比较有效的算法。蚁她祁状辫嫩妖措寸固赦稍猖蹈昆伪削尧十捆字夜姓搽瓜销琼捅噎照
105、随玄第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002如如图图2-27所示：若把所示：若把上一轮的搜索末点上一轮的搜索末点 （即这一轮搜索的起（即这一轮搜索的起点点 ）和）和本轮搜索的末点本轮搜索的末点 连接起来，形成连接起来，形成一一新的搜索方新的搜索方向向图图2-27 共轭方向共轭方向 并沿并沿此方向此方向进行一维搜索，则由进行一维搜索，则由此图此图可看到，它能极大地加快可看到，它能极大地加快收敛速收敛速度度，鲍威尔法鲍威尔法正是利用正是利用这种原理这种原理来构成来构成搜索方向搜索方向并进行并进行迭代迭代计算计算的。的。容乔啃梳霹恭演烂改憨煤涅哟嗅检半范他荧叶雏杭十我克甜询橇摧谋厅惧
106、第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002首先首先首先首先采用采用坐标轮换法坐标轮换法进行进行第一轮迭代第一轮迭代。然后然后以以第一轮迭代第一轮迭代的最末一个的最末一个极小点极小点和和初始点初始点，构成一个构成一个新的方向新的方向，并以此，并以此新的方向新的方向作为最末一个方向，作为最末一个方向，而去掉第一个方向，而去掉第一个方向，得到得到第二轮迭代第二轮迭代的的 n 个方向。个方向。仿此进行下去，直至求得问题的仿此进行下去，直至求得问题的极小点极小点。现以现以二二维优化问题维优化问题为例，来说明为例，来说明鲍威尔法的迭代过程鲍威尔法的迭代过程鲍威尔法的迭代过程鲍威尔法的迭代过程
107、。1. 基本鲍威尔法基本鲍威尔法基本鲍威尔法基本鲍威尔法基本鲍威尔法基本鲍威尔法的基本原理的基本原理的基本原理的基本原理：卓仰椽迭讲茫涯拖樟蚌喉屈丰兑葛痉向核彤虱卷绕戒轿渴攘亡筒务蜕召挝第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-29 基本鲍威尔法的迭代过程基本鲍威尔法的迭代过程 取取初始点初始点作为迭代计算的作为迭代计算的出发点出发点，即令，即令，先沿先沿坐标轴坐标轴 的方向的方向作作一维搜索一维搜索，求得此方向上的求得此方向上的极小点极小点 。 作作一维搜索一维搜索，求得该方向上的求得该方向上的极小点极小点 。然后，再沿然后，再沿 坐标方向坐标方向二维问题二维问题二维问
108、题二维问题基本鲍威尔法基本鲍威尔法基本鲍威尔法基本鲍威尔法的的迭代过程迭代过程迭代过程迭代过程，如如图图2-29所示。所示。仗盂炙芦扭把椎昏禄或朝栅煽迅揉奴怯敬涵气字茧鼎觉剧倘讼申酿州鹊酿第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002然后利用然后利用两次搜索两次搜索得到的得到的极小点极小点 及及 构成一个构成一个新的迭新的迭代方向代方向 ，即，即进行进行第二轮迭代第二轮迭代时，时， 去掉去掉第一个方向，将第一个方向，将方向方向 作为最末一个迭代方向，作为最末一个迭代方向，即从即从 出发，出发，依次沿着依次沿着方向方向 及及并沿并沿此方向此方向作一维搜索，得到该方向上作一维搜索，得到该
109、方向上一维极小点一维极小点 ，至此完成，至此完成第第一轮搜索一轮搜索。并并沿此方向搜索沿此方向搜索得到得到 。 进行进行一维搜索一维搜索，得到，得到极小点极小点： 、 ；然后利用、然后利用、 构成构成另一个迭代方向另一个迭代方向 ，即，即 蟹果椿坞梭派烦商距甸梗捏胆梭婪疯箔签旅精暑蜀窘子负澈漫弘堂绚酋渴第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002为形成为形成第三轮第三轮迭代的方向，迭代的方向，将将 加到加到第二轮方向组第二轮方向组之中，并去掉之中，并去掉第二轮第二轮迭代的第一个方向迭代的第一个方向 ，即令，即令 即即第三轮的迭代方向第三轮的迭代方向实际上是实际上是 和和 ，由于由于
110、 是连接两个平行线的方向是连接两个平行线的方向 搜索得到的二极小点搜索得到的二极小点 、 所构成的，根据共轭方向的概念可知，所构成的，根据共轭方向的概念可知， 和和 是是互为共轭的方向互为共轭的方向。如果所考察的如果所考察的二维函数二维函数是二次的，即对于是二次的，即对于二维二次函数二维二次函数， 经过沿经过沿共轭方向共轭方向 、 的两次一维搜索所得到的的两次一维搜索所得到的极小点极小点 就是该目标函数的就是该目标函数的极小点极小点 （即椭圆的中心）。（即椭圆的中心）。聂仗咬每堂酉询迂柱玉知联宰巳恩艰惩还掉凹号叹犬章帜蔬捷忧嘛平晶峨第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002而对于
111、而对于二维非二次函数二维非二次函数，这个，这个极小点极小点还不是还不是该函数该函数的的极小点极小点，需要继续按照上述方向进行进一步搜索。需要继续按照上述方向进行进一步搜索。 由上述可知，由上述可知，共轭方向共轭方向是在更替搜索方向反复作一维搜索中逐是在更替搜索方向反复作一维搜索中逐步形成的。步形成的。对于对于二元函数二元函数，经过二轮搜索，就产生了，经过二轮搜索，就产生了两个两个互相共轭的方向互相共轭的方向。对于对于三元函数三元函数经过三轮搜索以后，就可以得到经过三轮搜索以后，就可以得到三个三个互相共轭的互相共轭的方向方向。碎喀仍坐迹辞具念抄十而互谊惊趴拈恋坟曾者哗炙玉捆尧炙垢荤美凤遏漫第2章
112、优化设计1000002第2章优化设计1000002而对于而对于n 元函数元函数，经过，经过n 轮搜索以后，一共可产生轮搜索以后，一共可产生 n 个互相共轭个互相共轭的方向的方向：上述基本鲍威尔法的基本要求上述基本鲍威尔法的基本要求：各轮迭代中的各轮迭代中的方向组的向量方向组的向量方向组的向量方向组的向量应该是应该是线性无关的线性无关的。然而很不理想的是，然而很不理想的是，上述方法每次迭代所产生的上述方法每次迭代所产生的新方向新方向可能出现可能出现线性相关线性相关，故使搜索运算故使搜索运算蜕化蜕化到一个较低维的空间进行，到一个较低维的空间进行，从而导致计算不能收敛而无法求得真正的从而导致计算不能
113、收敛而无法求得真正的极小点极小点。为了提高沿共轭方向搜索的效果，为了提高沿共轭方向搜索的效果，鲍威尔鲍威尔鲍威尔鲍威尔针对针对上述算法上述算法提出了改进，提出了改进，则改进后的算法则改进后的算法 称为称为修正鲍威尔法修正鲍威尔法修正鲍威尔法修正鲍威尔法。 唾斡绅逮咋釜婴儡玩宿酮彻窖端岭历腰然呜瑶赦磨刻辈努奇垄陛男翻溯瓢第2章优化设计1000002第2章优化设计10000022. 修正鲍威尔法修正鲍威尔法改进的鲍威尔法改进的鲍威尔法改进的鲍威尔法改进的鲍威尔法放弃了放弃了原算法原算法中不加分析地用中不加分析地用新形成的方向新形成的方向替换上一轮搜索方向组中的替换上一轮搜索方向组中的第一个方向第一
114、个方向的作法的作法 。该算法规定该算法规定：在在每一轮迭代每一轮迭代完成产生完成产生共轭方向共轭方向后，后，在组成新的方向组时不一律舍去上一轮的在组成新的方向组时不一律舍去上一轮的第一个方向第一个方向，而是先对而是先对共轭方向共轭方向共轭方向共轭方向的好坏的好坏进行判别进行判别，检验它是否与其他方向检验它是否与其他方向线性相关线性相关或接近或接近线性相关线性相关。若若共轭方向不好共轭方向不好，则不用它作为下一轮的迭代方向，则不用它作为下一轮的迭代方向，而仍采用而仍采用原来的一组迭代方向原来的一组迭代方向；若若共轭方向好共轭方向好，则可用它则可用它替换替换前轮迭代中使目标函数值下降最多的一个方向
115、，前轮迭代中使目标函数值下降最多的一个方向，而不一定是而不一定是替换替换第一个迭代方向。第一个迭代方向。这样得到的这样得到的方向组方向组，其，其收敛性收敛性更好。更好。 睦织明辕贰姚嘴盯揪剐晶挪匀簇瞳门甥照雍迄措憾慷宪侗埋生壬详恭锌括第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002修正鲍威尔法修正鲍威尔法修正鲍威尔法修正鲍威尔法对于是否用新的方向来对于是否用新的方向来替换替换原方向组的某一方向原方向组的某一方向的的判别条件判别条件为：为：在第在第 k 轮搜索中，轮搜索中，若若(2-39)同时成立同时成立，则表明，则表明方向方向方向方向 与原方向组线性无关，因此可将新方向与原方向组线性无
116、关，因此可将新方向 作为下一轮的迭代方向，并作为下一轮的迭代方向，并去掉方向去掉方向 而构成而构成第第k+1轮迭代的搜轮迭代的搜索方向组；索方向组；否则否则，仍用，仍用原来的方向组原来的方向组进行进行第第k+1轮轮迭代。迭代。 上式中上式中： 为第为第 k 轮起始点函数值；轮起始点函数值； 为第为第 k 轮方向组一维搜索终点函数值；轮方向组一维搜索终点函数值； 为对的映射点函数值；为对的映射点函数值； 为第为第 k 轮方向组中沿诸方向一维搜索所得的轮方向组中沿诸方向一维搜索所得的各各函函数值下降量数值下降量中之中之最大者最大者，其，其相对应的方向相对应的方向记为记为 。耐愧再旦徒孔薪嗅晌乐绍歪
117、叫为毙惦坎眺需椭迸蠢匹上籽揽责留湾似绚哺第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002上式中上式中各符号意义各符号意义，如，如图图2-30所示。所示。图图2-30 修正鲍威尔法的方向淘汰修正鲍威尔法的方向淘汰 实践证明，上述实践证明，上述修正鲍威尔法修正鲍威尔法修正鲍威尔法修正鲍威尔法保证了非线性函数寻优计算可靠保证了非线性函数寻优计算可靠的收敛性。的收敛性。使忽喇迎遭挨钎音谬湛惯庙拯细棱件盗凯番闻谷谚褒蔡杉赦潭札纤质聚檀第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002修正的鲍威尔法修正的鲍威尔法修正的鲍威尔法修正的鲍威尔法的的的的迭代计算步骤迭代计算步骤迭代计算步骤迭代计算
118、步骤如下：如下： (1)给定给定初始点初始点 X(o) 和收敛精度和收敛精度； (2)取取 n 个坐标轴的个坐标轴的单位向量单位向量 ei ( i =1, ,2,n )为初始搜索方向为初始搜索方向Si(k) = ei ，置，置 k=1 ( k为迭代轮数为迭代轮数) ； (3)从从出出发发，依依次次沿沿 进进行行 n 次次一一维维搜搜索索，得到得到 n 个一维极小点个一维极小点(4)连接、连接、 ，构成新的，构成新的共轭方向共轭方向 ，即，即沿沿共轭方向共轭方向 计算计算 的的映射点映射点顿粉囚郁勿鸥那导雍迪稠右皖法怖汀今儿选萤室僻疾究桥淖哉堵踢娱遂腥第2章优化设计1000002第2章优化设计1
119、000002(5)计算第计算第k 轮中各轮中各相邻极小点相邻极小点目标函数的差值目标函数的差值，并找出其中的，并找出其中的最最大差值大差值及其及其相应的方向相应的方向:(6)计算第计算第k 轮轮初始点初始点、终点终点和和映射点映射点的函数值的函数值(7)用用判别条件式判别条件式(2-39)检验检验原方向组原方向组是否需要替换，若同时是否需要替换，若同时满足满足匆赃钩馏兢颜诡刚买冕挟撮天覆淡狂摊侦衡称哲蛤藤歹驴碱辑屈喇质止头第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002由出发沿由出发沿方向方向 进行一维搜索，求出该方向的进行一维搜索，求出该方向的极小点极小点 ，并，并以以 作为作为k+
120、1轮迭代的初始点，即令轮迭代的初始点，即令 ；然后去掉方向然后去掉方向 ，而将方向，而将方向 作为作为k+1轮迭代的最末一个方向，轮迭代的最末一个方向，即即第第k+1轮的搜索方向轮的搜索方向为：为： 若上述若上述判别条件判别条件判别条件判别条件不满足，则进人第不满足，则进人第k+1轮轮迭代迭代时，仍采用时，仍采用第第k轮轮迭代的方向迭代的方向，即，即庶药仪昏烯筒辗豹丝天姓胖泣揩洼玲狱哥停饱痹倍狼辈绸屋霹扩粱捧北隘第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002(8)进行进行收敛判断收敛判断：若满足若满足或或否则，置否则，置 ，转入，转入下一轮下一轮继续进行循环迭代。继续进行循环迭代。
121、修正鲍威尔法的计算框图修正鲍威尔法的计算框图修正鲍威尔法的计算框图修正鲍威尔法的计算框图如如图图2-31所示。所示。可结束可结束迭代计算，迭代计算，输出输出最优解：最优解：胜稽凹巨秽魏啪懂粘棒雨儿片教矛瘪鹏坡处鹅茅津懂偏雌诸董呼勇栗瞩侗第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002图图2-31 鲍威尔法的计算框图鲍威尔法的计算框图杯棵役篓肇戎楷描衫玛恨了求薪戒员滚煌妥美宰玩本翱诫胜扰拍塌晓携痛第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002第第2章章 优化设计优化设计 (1)Thank You！慎洼雾棒贝快良吻频京烦伺舌描晒奄员父亏窘晶销吞霖洽界浓兹孤哀焦龟第2章优化设计1000002第2章优化设计1000002
