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1、18.1 勾股定理勾股定理(1)(1)数形结合之美2021/3/291你想知道吗你想知道吗? 国庆节前，为了更好观看阅兵式，国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部小明妈妈买了一部42英寸英寸（106厘米厘米）的电视机的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有现屏幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他觉宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？法吗？你能解释这是为什么吗？探索勾股定理2021/3/292数数学学故故事事链链接接 相相传传两两千千五五百百年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去
2、去朋朋友友家家作作客客，发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察下下面面的的图图案案，看看看看你你能能发发现现什什么么？探探索索勾勾股股定定理理2021/3/293数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SCABC探索勾股定理2021/3/294ABCABC A的面积的面积（单位面积）（单位面积） B的面积的面积（单位面积）（单位面积） C的面积的面积（单位面积）（单位面积）图图1-1图图1-291625163652探
3、索勾股定理2021/3/295ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abca2+b2=c2设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？SA+SB=SC探索勾股定理2021/3/296 如果直角三角形的两条直角边如果直角三角形的两条直角边长分别为长分别为a,ba,b，斜边长为，斜边长为c c，那么，那么c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .猜想猜想abc勾勾股股弦弦探索勾股定理2021/3/297bacs2s1试一试试一试? 请利用此图象，证明勾股定
4、理：请利用此图象，证明勾股定理： a2+b2=c2探索勾股定理2021/3/298走进数学史2021/3/299美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回2021/3/2910应用勾股定理 已知已知ABC的三边分别是的三边分别是a，b，c，若若B=90度，则有关系式（度，则有关系式（ ）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2ABC选一选选一选2021/3/2911应用勾股定理讲一讲讲一讲86ABC求图中直角三角形的未知边的长度。求图中直角三角形的未知边的长度。1517ABC2021/3/2
5、912勾股定理，想得再多一点（1）若）若a=5，b=12， 则则c =_.在在Rt ABC中，中，（2）若）若c=4，b= 2 ，则，则a =_. C=900 .做一做做一做2021/3/2913勾股定理，想得再多一点 如图，如图，受台风莫拉克影响，受台风莫拉克影响，一棵树在离地面一棵树在离地面4 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵米处，这棵树树折断前折断前有多高？有多高？4米米3米米2021/3/2914勾股定理，想得再多一点 国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明国庆节前，为了更好观看阅兵式，小明妈妈买了一部妈妈买了一部42英寸英寸（106厘米厘
6、米）的电视机）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有85厘米厘米长和长和64厘米厘米宽，他觉得一定是售货员宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？为什么吗？回头再看看回头再看看2021/3/2915说说这节课你有什么收获？说说这节课你有什么收获？内容总结：内容总结：（1）运用勾股定理的条件是什么？）运用勾股定理的条件是什么？（2）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？）勾股定理揭示了直角三角形的什么关系？（3）勾股定理有什么用途？）勾股定理有什么用途？方法总结：方法总结：用直角三角形三
7、边表示三个正方形面积用直角三角形三边表示三个正方形面积观察归观察归纳发现勾股定理纳发现勾股定理任意画一个直角三角形，再验任意画一个直角三角形，再验证自己的发现。证自己的发现。2021/3/2916课堂之外还需要巩固提高课堂之外还需要巩固提高家庭作业：家庭作业：课本课本P55 习题习题2 补充：补充： 1、求下列直角三角形中未知边的长、求下列直角三角形中未知边的长: 补充：补充： 1、求下列直角三角形中未知边的长、求下列直角三角形中未知边的长: 2 2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，米处折断倒下， 树顶落在离树根树顶落在离
8、树根24米处米处.大树在折断之前高多少？大树在折断之前高多少？ 2021/3/2917勾股定理的由来这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，在外国称为，在外国称为“毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经周髀算经中记中记录着商高同周公的一段对话。商高说：录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，故折
9、矩，勾广三，股修勾广三，股修四，经隅五四，经隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。商高那。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径隅（就是弦）则为（长边）时，径隅（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个事。以后人们就简单地把这个事实说成实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的。由于勾股定理的内容最早见于商高的话
10、中，所以人们就把这个定理叫作话中，所以人们就把这个定理叫作 商高定理商高定理 。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几。希腊另一位数学家欧几里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在编著，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以
11、后就流传开了。（为了庆祝这一定理。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百百牛定理牛定理”）走进数学史2021/3/2918勾股定理的证明方法证法一证法二证法三（邹元治证明）（邹元治证明）（赵爽证明）（赵爽证明） 赵爽赵爽:我国古代数学家我国古代数学家走进数学史2021/3/2919勾股定理的证明方法证法四证法五证法六（加菲尔德证明）（加菲尔德证明） 加菲尔德加菲尔德:第二十任总统第二十任总统（梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 梅文鼎梅文鼎:清代天文、数学家清代天文、数学家（项明
12、达证明）（项明达证明） 项明达项明达:清代数学家清代数学家走进数学史2021/3/2920勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作
13、，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500500余种，仅我国余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 现在在网络上看到较多的是现在在网络上看到较多的是1616种种, ,包括前面的包括前面的6 6种种, ,还有还有: : 欧几里得证明欧几里得证明、 利用相似三角形性质证明利用相似三角形性质证明、 杨作玫证明杨作
14、玫证明、 李锐证明李锐证明、 利用切割线定理证明利用切割线定理证明、 利用多列米定理证明利用多列米定理证明、 作直角三角形的内切圆证明作直角三角形的内切圆证明、利用反证法证明利用反证法证明、 辛卜松证明辛卜松证明、 陈杰证明陈杰证明。走进数学史2021/3/2921应用勾股定理abc确定斜边确定斜边c2= a2+b2？acb确定斜边确定斜边b2= a2+c2？bca确定斜边确定斜边a2= b2+c2？2021/3/2922应用勾股定理 c2=a2 +b2abc? ? ?b2= c2 - a2a2= c2 - b2灵活运用灵活运用 2021/3/2923复习提问复习提问 1、任意三角形三边满足怎
15、样的关系？、任意三角形三边满足怎样的关系？2、对于等腰三角形，三边之间存在、对于等腰三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？等边三角形呢？怎样的特殊关系？等边三角形呢？3、对于直角三角形，三边之间存在、对于直角三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？怎样的特殊关系？2021/3/29242002年在北京召开了第年在北京召开了第24届国际数学家大届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的会议，被誉为数学界的“奥运会奥运会”，这就，这就是本届大会会徽的图案。是本届大会会徽的图案。这个图案就是我国汉代数这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定
16、理学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为时用到的，被称为“赵爽赵爽弦图弦图”2021/3/2925相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。中反映了直角三角形的某种数量关系。CBA情景引入情景引入2021/3/2926探究活动探究活动分成四人小组，每个小组分成四人小组，每个小组课前准备好课前准备好4个全等的直角三角个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长形和以直角三角形各边为边长的的3个正方形（如右图）个正方形（如右图）. 运用这些材料（不一定全用），你能另
17、外拼出运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种一些正方形吗？试试看，你能拼几种. 2021/3/2927图图图图图图2021/3/2928复习提问复习提问 1、任意三角形三边满足怎样的关系？、任意三角形三边满足怎样的关系？2、对于等腰三角形，三边之间存在、对于等腰三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？等边三角形呢？怎样的特殊关系？等边三角形呢？3、对于直角三角形，三边之间存在、对于直角三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？怎样的特殊关系？2021/3/29292002年在北京召开了第年在北京召开了第24届国际数学家大届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术
18、会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的会议，被誉为数学界的“奥运会奥运会”，这就，这就是本届大会会徽的图案。是本届大会会徽的图案。这个图案就是我国汉代数这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为时用到的，被称为“赵爽赵爽弦图弦图”2021/3/2930相传相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。中反映了直角三角形的某种数量关系。CBA情景引入情景引入2021/3/2931ABCABC（图中每个小方格代表一
19、个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2（1）观察图）观察图1 正方形正方形A中含有中含有 个个小方格，即小方格，即A的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。 正方形正方形B的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。正方形正方形C的面积是的面积是 个单位面积。个单位面积。99918你是怎样得到你是怎样得到C的面积的面积的？与同伴交流交流。的？与同伴交流交流。123（2）（）（3）探究活动一：探究活动一：2021/3/2932ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2分割成若干个直角边分割成若干个直角边为整数的三角形为整数的三
20、角形（单位面积）（单位面积） 返回返回2021/3/2933ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2（单位面积）（单位面积）把把C看成边长为看成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半 返回返回2021/3/2934ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图 1图图 2（2）在图）在图2中，正方中，正方形形A，B，C中各含有中各含有多少个小方格？它们多少个小方格？它们的面积各是多少？的面积各是多少？（3）你能发现图）你能发现图1中中三个正方形三个正方形A，B，C的面积之间有什么关的面积之间有什么关
21、系吗？系吗？ SA+SB=SC 即：即：以等腰直角三角形以等腰直角三角形两条直角边上的正方两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积形面积之和等于斜边上的正方形的面积2021/3/2935探究活动二：探究活动二：（1）观察右边）观察右边两幅图：两幅图： （2）填表（每个小正方形的面积为单位）填表（每个小正方形的面积为单位1）：）：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图右图右图4 916 9？2021/3/2936（3）你是怎样得到）你是怎样得到正方形正方形C的面积的？与同伴交流的面积的？与同伴交流. 2021/3/2937“割割”“补补”“拼拼”2021/3/2938（4
22、）分析填表数据，你发现了什么？）分析填表数据，你发现了什么？ A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积左图左图4913右图右图169252021/3/2939结论结论2 2 以直角三角形两直角边为以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积斜边为边长的正方形的面积.2021/3/2940议一议：议一议：（1）你能用直角三角形的两直角边的长）你能用直角三角形的两直角边的长a、b和和斜边长斜边长c来表示图中正方形的面积吗？来表示图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么
23、关系吗？关系吗？2021/3/2941 勾股定理（勾股定理（gou-gu theorem)gou-gu theorem)如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜斜边为边为c，那么，那么即即 直角三角形两直角边的平方和等直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。于斜边的平方。abc表示为：表示为：RtABC中，中，C=90 则则2021/3/2942议一议：判断下列说法是否正确议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由：并说明理由： (1)在在ABC中中,若若a=3,b=4,则则c=5 (2)在在RtABC中，如果中，如果a=3，b=4,则则c=5. (3)在在RtABC
24、中，中，C=90 , 如果如果a=3，b=4,则则c=5.2021/3/2943探究活动探究活动分成四人小组，每个小组分成四人小组，每个小组课前准备好课前准备好4个全等的直角三角个全等的直角三角形和以直角三角形各边为边长形和以直角三角形各边为边长的的3个正方形（如右图）个正方形（如右图）. 运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出运用这些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形吗？试试看，你能拼几种一些正方形吗？试试看，你能拼几种. 2021/3/2944图图图图图图2021/3/2945方法一：方法一：而而所以所以即即，.因为因为，2021/3/2946方法二：方法二：，化简得：化简得：2
25、021/3/2947方法三：方法三：，化简得：化简得：2021/3/29481. 1.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z做一做做一做6256255765761441441691692021/3/2949比比一一比比看看看看谁谁算算得得快快！2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020x x12125 5x x做一做做一做2021/3/2950CA.8 A.8 米米 B.9 B.9 米米
26、C.10C.10米米 D.14D.14米米、如图、如图, ,一个长一个长8 8 米米, ,宽宽6 6 米的草地米的草地, ,需在相对角的需在相对角的顶点间加一条小路顶点间加一条小路, ,则小路的长为则小路的长为 ( ) ( ) 8m8m6m6m别踩我别踩我, ,我怕疼我怕疼! !2021/3/2951、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，从与、两点，从与A A方向成直方向成直角的角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,则则ABAB为为 ( )( )ABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米
27、米 D.130D.130米米130120?A2021/3/2952某楼房在某楼房在20米高处的楼层失火，米高处的楼层失火，消防员取来消防员取来25米长的云梯救火，米长的云梯救火，已知梯子的底部离墙的距离是已知梯子的底部离墙的距离是15米。问消防队员能否进入该米。问消防队员能否进入该楼层灭火？楼层灭火？ 已知两直角已知两直角已知两直角已知两直角边求斜边边求斜边边求斜边边求斜边? ?ABC1520? ? ? ?2021/3/2953我国古代两种证法：我国古代两种证法： 1、公元、公元3世纪我国汉代数学家世纪我国汉代数学家赵爽赵爽在为在为周髀算经周髀算经作注时给出的作注时给出的“弦图弦图”： 202
28、1/3/2954 我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的代数学家赵爽在他所著的勾股方圆图注勾股方圆图注中，用四个中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。每全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。每个直角三角形的面积叫个直角三角形的面积叫朱实朱实，中间的正方形面积叫中间的正方形面积叫黄实黄实，大正方形面积叫大正方形面积叫弦实弦实，这个图也叫，这个图也叫弦图弦图。年的。年的国际数学家大会将此图作为大会会徽国际数学家大会将此图作为大会会徽2021/3/29552、我国数学家、我国数学家刘徽刘徽在他的
29、在他的九章算术注九章算术注中给出中给出的的“青朱出入图青朱出入图” ：2021/3/2956证法四：证法四：（伽菲尔德证法（伽菲尔德证法1876年）年）ABCDE 如图，如图，RtABE RtECD，可知可知AED=90；梯形梯形ABCD的面积的面积梯形梯形ABCD的面积的面积2021/3/2957证法五：证法五：（欧几里得证法公元前（欧几里得证法公元前3世纪）世纪）“新娘的轿椅新娘的轿椅”或或“修士的头巾修士的头巾” 如图，如图，Rt ABC中，中，ACB=90，四边形，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，都是正方形，CNDE，连接，连接BK、CD。AK=ACAB=ADKAB=CADKABCADS 正方形正方形KACH = S 四边形四边形ADNM同理：同理：S 正方形正方形BCGF = S 四边形四边形BENM S 正方形正方形KACH + S 正方形正方形BCGF = S 四边形四边形ADNM + S 四边形四边形BENM S KAB = S CADS 正方形正方形KACH + S 正方形正方形BCGF = S 四边形四边形ADEB 2021/3/2958
