连续时间号与系统的复频域分析

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1、第第4章章 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析n4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换n4.2 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质n4.3 单边拉氏反变换单边拉氏反变换 n4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析n4.5 系统函数系统函数H(s)n4.6 系统函数的零、极点分布与时域响应特系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系性的关系n 4.7 系统的稳定性系统的稳定性n4.8 系统函数与系统频率特性系统函数与系统频率特性4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换n4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换n4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯

2、变换的收敛域n4.1.3 常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换返回首页4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换n由由第第3章章已已知知，当当函函数数f(t)满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件时，便存在一对时，便存在一对傅里叶变换傅里叶变换式：式：返回本节4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域n连连续续时时间间信信号号f(t)的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换（以以下下简简称称拉拉氏氏变变换换）式式f(s)是是否否存存在在，取取决决于于f(t)乘乘以衰减因子以衰减因子 以后是否绝对可积，即：以后是否绝对可积，即：图4-1 收敛域的划分图4-2 右边指数衰减信

3、号与其收敛域图4-3 左边指数增长信号与其收敛域图4-4 双边信号与其收敛域返回本节4.1.3 常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换n1单位阶跃信号单位阶跃信号n2单位冲激信号单位冲激信号n3指数信号指数信号n4正弦信号正弦信号n5t的正幂信号的正幂信号1单位阶跃信号单位阶跃信号即：2单位冲激信号单位冲激信号即：即：3指数信号指数信号即：即：4正弦信号正弦信号即：即：5t的正幂信号的正幂信号利用分部积分法，得：所以：表4-1 常用信号的拉氏变换返回本节4.2 单边拉氏变换的性质单边拉氏变换的性质n4.2.1 线性线性n4.2.2 时移（延时）特性时移（延时）特性n4.2.3 尺度变换尺

4、度变换n4.2.4 频移特性频移特性n4.2.5 时域微分定理时域微分定理n4.2.6 时域积分定理时域积分定理n4.2.7 频域微分定理频域微分定理n4.2.8 频域积分定理频域积分定理n4.2.9 初值定理初值定理n4.2.10 终值定理终值定理n4.2.11 卷积定理卷积定理返回首页4.2.1 线性线性返回本节4.2.2 时移（延时）特性时移（延时）特性 （a） （b） （c）（d） （e） 图4-5 几种时移情况4.2.3 尺度变换尺度变换4.2.4 频移特性频移特性返回本节4.2.5 时域微分定理时域微分定理 （a）三角脉冲 （b）三角脉冲的一阶导数 （c）三角脉冲的二阶导数 图4-

5、7 三角脉冲及其导数返回本节4.2.6 时域积分定理时域积分定理4.2.7 频频域微分定理域微分定理返回本节4.2.8 频频域积分定理域积分定理返回本节4.2.9 初值定理初值定理例：4.2.10 终值定理终值定理例：4.2.11 卷积定理卷积定理n1时域卷积定理时域卷积定理 n2复频域卷积定理复频域卷积定理 1时域卷积定理时域卷积定理 2复频域卷积定理复频域卷积定理 返回本节4.3 单边拉氏反变换单边拉氏反变换 n 4.3.1 查表法查表法n4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法返回首页 4.3.1 查表法查表法返回本节查表得：所以：4.3.2 部分分式展开法部分分式展开法4.3.2 部分

6、分式展开法部分分式展开法返回本节4.4 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析n4.4.1 用拉氏变换法分析系统用拉氏变换法分析系统n4.4.2 用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路返回首页4.4.1 用拉氏变换法分析系统用拉氏变换法分析系统n首首先先对对描描述述系系统统输输入入输输出出关关系系的的微微分分方方程程进进行拉氏变换行拉氏变换，得到一个代数方程，得到一个代数方程n求求出出的的响响应应象象函函数数包包含含了了零零输输入入响响应应和和零零状状态态响应响应n再再经经过过拉拉氏氏反反变变换换可可以以很很方方便便地地得得到到零零输输入入响应、零状态响应和全响应的响应、零状态响应和全响应

7、的时域解时域解。例例4-18 描述描述LTI系统的微分方程为：系统的微分方程为： 4.4.2 用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路n1电阻元件的电阻元件的s域电路模型域电路模型n2电容元件的电容元件的s域电路模型域电路模型n3电感元件的电感元件的s域电路模型域电路模型n4用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路1电阻元件的电阻元件的s域电路模型域电路模型n电阻元件的时域伏安关系为：电阻元件的时域伏安关系为： 对上式取拉氏变换，得：对上式取拉氏变换，得： （a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-8 电阻元件时域与s域电路模型2电容元件的电容元件的s域电路模型域电路模型n电容元件的时域伏

8、安关系为：电容元件的时域伏安关系为： （a）时域电路模型 （b）s域串联电路模型 （c）s域并联电路模型 图4-9 电容元件时域与s域电路模型3电感元件的电感元件的s域电路模型域电路模型（a）时域电路模型 （b）s域串联电路模型 （c）s域并联电路模型 图4-10 电感元件时域与s域电路模型4用拉氏变换法分析电路用拉氏变换法分析电路n得到一般电路的得到一般电路的s域模型域模型;n应应用用电电路路的的基基本本分分析析方方法法（节节点点法法、网网孔孔法法等等）和和定定理理（如如叠叠加加定定理理、戴戴维维南南定定理理等等），列出复频域的方程列出复频域的方程;n求解得到响应的象函数求解得到响应的象函数

9、;n对对象象函函数数进进行行拉拉氏氏反反变变换换，即即得得出出响响应应的的时时域解。域解。（a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-11 例4-20图图4-12 例4-21图 （a）s域全响应电路模型 （b）s域零输入响应电路模型 （c）s域零状态电路模型 图4-13 s域电路模型返回本节4.5 系统函数系统函数H(s)n4.5.1 系统函数的定义系统函数的定义n4.5.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法返回首页4.5.1 系统函数的系统函数的定义定义4.5.2 系统函数的求解方法系统函数的求解方法（a）时域电路模型 （b）s域电路模型 图4-16 例4-23图返回本节4.6 系统函

10、数的零、极点分布与时域响系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系应特性的关系n4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图系统函数的零、极点与零、极点图n4.6.2 系统函数的零、极点分布与时域响应系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系特性的关系返回首页4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图系统函数的零、极点与零、极点图nLTI连续系统的系统函数连续系统的系统函数h(s)通常是复变量通常是复变量的有理分式，即：的有理分式，即： n例如某系统的系统函数为：例如某系统的系统函数为：4.6.1 系统函数的零、极点与零、极点图系统函数的零、极点与零、极点图图4-17 h(s) 的零、极点分布图

11、返回本节4.6.2 系统函数的零、极点分布与时系统函数的零、极点分布与时域响应特性的关系域响应特性的关系n1左半平面极点左半平面极点n2虚轴上极点虚轴上极点n3右半平面极点右半平面极点图4-18 h(s) 零、极点分布与时域响应特性的关系返回本节 4.7 系统的稳定性系统的稳定性n4.7.1 稳定系统的定义稳定系统的定义n4.7.2 系统稳定的条件系统稳定的条件返回首页4.7.1 稳定系统的定义稳定系统的定义n一个连续系统，如果对于任意一个连续系统，如果对于任意有界输入有界输入产生的零产生的零状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。状态响应也是有界的，则称该系统为稳定系统。即对于一个稳定系统

12、，若输入信号：即对于一个稳定系统，若输入信号：则输出响应：则输出响应：返回本节4.7.2 系统稳定的条件系统稳定的条件n1时域的稳定条件时域的稳定条件 n2频域的稳定条件频域的稳定条件 1时域的稳定条件时域的稳定条件 n设设 连连 续续 时时 间间 系系 统统 的的 输输 入入 信信 号号x(t)满满 足足|x(t)|Mx，则系统的零状态响应：则系统的零状态响应：或写成：或写成：2频域的稳定条件频域的稳定条件 n（1）稳定系统）稳定系统 n（2）不稳定系统）不稳定系统 n（3）临界稳定系统）临界稳定系统 （a）时域电路模型 （b）域电路模型 图4-19 例4-24图图4-20 例4-25图返回

13、本节4.8 系统函数与系统频率特性系统函数与系统频率特性n4.8.1 频率特性频率特性n4.8.2 频率特性的矢量作图法频率特性的矢量作图法返回首页4.8.1 频率特性频率特性n系统在系统在正弦信号正弦信号激励的作用下，激励的作用下，稳态响应稳态响应随随着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率着激励信号频率的变化特性，称为系统的频率特性。特性。n包括幅度随频率变化而变化的包括幅度随频率变化而变化的幅频特性幅频特性和相和相位随频率变化而变化的位随频率变化而变化的相频特性相频特性。 4.8.1 频率特性频率特性n下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳下面从系统函数的观点来考察系统的正弦稳态响应及频

14、率特性。态响应及频率特性。n设系统函数为设系统函数为h(s)，正弦激励信号为正弦激励信号为 ，其拉氏变换为：，其拉氏变换为：4.8.1 频率特性频率特性n则系统响应的拉氏变换为：则系统响应的拉氏变换为：返回本节4.8.2 频率特性的矢量作图法频率特性的矢量作图法n矢矢量量作作图图法法是是根根据据系系统统函函数数h(s)在在s平平面面的的零零、极极点点分分布布绘绘制制的的频频率率响响应应特特性性曲曲线线，包包括括幅频特性曲线和相频特性曲线。幅频特性曲线和相频特性曲线。n设稳定的因果系统，其系统函数为：设稳定的因果系统，其系统函数为： 4.8.1 频率特性频率特性n系统的频率特性为：系统的频率特性

15、为：图4-21 零点与极点的矢量表示 图4-22 例4-26电路图 图4-23 例4-26电路频率特性分析（a）幅频特性曲线 （b）相频特性曲线 图4-24 一阶RC高通滤波器的频率特性曲线返回本节本章小结本章小结n（1）拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广，它描述了）拉氏变换是傅里叶变换的进一步推广，它描述了信号时域与复频域之间的对应关系，可以用于分析更为信号时域与复频域之间的对应关系，可以用于分析更为广泛的信号与系统，是分析线性系统强有力的工具。广泛的信号与系统，是分析线性系统强有力的工具。 n（2）拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域）拉氏变换的性质反映了信号的时域特性与复频域特性之间

16、的密切关系。特性之间的密切关系。n（3）复频域分析法复频域分析法将时域微分方程的求解变换为将时域微分方程的求解变换为s域域代数方程的求解，从而使解决问题的方法变得简单。代数方程的求解，从而使解决问题的方法变得简单。n （4）系统函数）系统函数h(s)是系统响应的象函数是系统响应的象函数y(s)与系统与系统激励的象函数激励的象函数x(s)之比。之比。 n（5）从系统函数）从系统函数h(s)的零、极点分布可以很方便地的零、极点分布可以很方便地确定系统时域冲激响应的特性、系统的稳定性和系统的确定系统时域冲激响应的特性、系统的稳定性和系统的频率特性，因此系统函数成为系统分析和综合设计的依频率特性，因此系统函数成为系统分析和综合设计的依据。据。