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1、第第4 4章章 分析自动控制系统性能的常分析自动控制系统性能的常用方法用方法 建立自动控制系统数学模型的目的，就是为了建立自动控制系统数学模型的目的，就是为了对自动控制系统进行分析。在经典控制理论中，对自动控制系统进行分析。在经典控制理论中，对系统的分析方法主要有两种：对系统的分析方法主要有两种：n n时域分析法时域分析法( (由时域响应及传递函数出发去进行分由时域响应及传递函数出发去进行分析析) ) n n频率特性法频率特性法( (由频域响应及传递函数出发去进行分由频域响应及传递函数出发去进行分析析) ) 4.2 4.2 频率特性法频率特性法 n n频率特性法的基本概念频率特性法的基本概念n
2、 n频率特性的图形表示方法频率特性的图形表示方法n n典型环节的对数频率特性典型环节的对数频率特性n n系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性频率特性的基本概念频率特性的基本概念n n由电路基础可知，当电路中存在储能元件时，由电路基础可知，当电路中存在储能元件时，由电路基础可知，当电路中存在储能元件时，由电路基础可知，当电路中存在储能元件时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态时，将发生一个中间过程将发生一个中间过程将发生一个中间过程将发生一个中间过程过渡过程，而这
3、一过程过渡过程，而这一过程过渡过程，而这一过程过渡过程，而这一过程的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一的特点就是过渡过程随时间的变化而变化，是一个与时间有关过程。个与时间有关过程。个与时间有关过程。个与时间有关过程。n n引起过渡过程的原因有两个，即内因引起过渡过程的原因有两个，即内因引起过渡过程的原因有两个，即内因引起过渡过程的原因有两个，即内因电路中电路中电路中电路中必有储能元件。外因必有储能元件。外因必有储能元件。外因必有储能元件。外因电路的接通或断开，电电路的接通或断开，电电路的接通或断开，电电路
4、的接通或断开，电源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，源的变化，电路参数的变化或电路的改接等因素，这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素这些能引起电路或系统发生过渡过程的外部因素我们统称为我们统称为我们统称为我们统称为激励激励激励激励。而过渡过程所发生时所产生的、。而过渡过程所发生时所产生的、。而过渡过程所发生时所产生的、。而过渡过程所发生时所产生的、我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运我们关心的结果，如输出
5、电压的变化，系统的运我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运我们关心的结果，如输出电压的变化，系统的运行等，我们则统称为电路对时间的行等，我们则统称为电路对时间的行等，我们则统称为电路对时间的行等，我们则统称为电路对时间的响应响应响应响应。n n由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对由过渡过程分析中的三要素法可知，电路对时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳时间响应常常分为两个部分：暂态响应和稳态响应。线性电路的时间响应态响应。线性电路的时间响应 通常可以通常可以写成：写成：其中： 为暂态响应， 为稳态响应n n当输入激励是为正弦周期信号时：当输入激励是为正弦周期信号时：其输出响应为：其输出
6、响应为：为了更好地理解频率特性的概念，我们在这举一个为了更好地理解频率特性的概念，我们在这举一个这是一个简单的例子。如图所示为一阶这是一个简单的例子。如图所示为一阶RCRC电路，如电路，如果我们设电容两端的电压为果我们设电容两端的电压为UcUc为输出响应，则当激为输出响应，则当激励为正弦周期信号时，由此电路的传递函数，可得：励为正弦周期信号时，由此电路的传递函数，可得：RCUiUc+i由于正弦周期信号由于正弦周期信号的拉氏变换式为：的拉氏变换式为：所以，该一阶所以，该一阶RCRC电路输出响应的拉氏变换式为：电路输出响应的拉氏变换式为：两边取拉氏变换，则有：两边取拉氏变换，则有：暂态分量暂态分量
7、稳态分量稳态分量则：则： 为该一阶为该一阶RCRC电路的幅频特性，它是指输出正电路的幅频特性，它是指输出正弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间的比值；称的比值；称 为该一阶电路的相频特性，它是指输为该一阶电路的相频特性，它是指输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差（相出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差（相位差）。位差）。由此我们定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线由此我们定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线性系统的性系统的正弦稳态响应正弦稳态响应。并且从其稳态分量表达式。并且从其稳态分量表达式中，我们知道：对于线性电路而言，
8、其输出的稳态中，我们知道：对于线性电路而言，其输出的稳态响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只不过经过系统传送后，相对于输入激励的幅值和初不过经过系统传送后，相对于输入激励的幅值和初相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）发生了一定的变化而已。若令：发生了一定的变化而已。若令： n n从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应，从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应，从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应，从以上定义中，我们不难发现，所谓频率响应，本质上讨论的就是我们在电路基础中学过的本质上
9、讨论的就是我们在电路基础中学过的本质上讨论的就是我们在电路基础中学过的本质上讨论的就是我们在电路基础中学过的正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不正弦交流电路中三要素中的两个要素而已。所不同之处在于电路基础中，我们研究的是在给同之处在于电路基础中，我们研究的是在给同之处在于电路基础中，我们研究的是在给同之处在于电路基础中，我们研究的是在给定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某定某一正弦信号频率的情况下，电路所对应的某一确
10、定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相一确定的正弦输出稳态响应信号幅值大小与初相位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所位的改变。而在自动控制原理与系统中，我们所研究的是当输入正弦激励信号的角频率从研究的是当输入正弦激励信号的角频率从研究的是当输入正弦激励信号的角频率从研究的是当输入正弦激励信号的角频率从0000变变变变化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与化过程中，其输出的正弦稳
11、态响应信号的幅值与化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变化的化的化的化的函数关系函数关系函数关系函数关系。n n对于本例，当我们取对于本例，当我们取对于本例，当我们取对于本例，当我们取R=1R=1R=1R=1，C=0.1F C=0.1F C=0.1F C=0.1F 的实验电路的实验电路的实验电路的实验电路参数时，其随频率变化的响应曲线如下：参数时，其随频率变化的响应曲线如下：参数时，其随频率变化的响应曲线如下：参数时，其随频
12、率变化的响应曲线如下：暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应此时输入信号有角频率实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为=20rad/s=20rad/s时，该一阶时，该一阶RCRC电路稳态时输出的仍然是电路稳态时输出的仍然是同频率的正弦信号。但是其输出的正弦响应信号的同频率的正弦信号。但是其输出的正弦响应信号的幅值为幅值为|Ac|=0.438|Ac|=0.438，相位滞后了，相位滞后了 。因此在这。因此在这一频率信号的作用下，此时的频率特性是：一频率信号的作用下，此时的频率特性是：此时输入信号有角频率实验结果表明：当输入的正弦激励信号的角频率为=50r
13、ad/s时，该一阶RC电路稳态时输出的仍然是同频率的正弦信号。但是与输出的正弦响应信号的幅值为|Ac|=0.193，相位滞后了 。因此在这一频率信号作用下，此时的频率特性为：当我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相当我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由此曲线来分析该电路的性质此曲线来分析该电路的性质结论：这是一个低通滤波电路结论：这是一个低通滤波电路现在，我们从理论上进一步分析，首先设系统输入的现在
14、，我们从理论上进一步分析，首先设系统输入的正弦激励信号的表达式为：正弦激励信号的表达式为：则其输出的正弦稳态响应信号为：则其输出的正弦稳态响应信号为：在上式中，在上式中，MAMAr r是输出正弦稳态响应信号的最大值，而是输出正弦稳态响应信号的最大值，而 是以度（是以度（degdeg）为单位的输出正弦稳态响应信号的）为单位的输出正弦稳态响应信号的初相位。现设线性系统的传递函数是初相位。现设线性系统的传递函数是G G（s s）, ,那么输入那么输入激励与与输出稳态响应之间的激励与与输出稳态响应之间的LaplaceLaplace变换关系就是：变换关系就是：R（S）C（S）对于正弦稳态分析来说，我们将
15、自变量对于正弦稳态分析来说，我们将自变量S S由由S=S=+j+j，替换成替换成S=j,S=j,则上面的式子就变成了：则上面的式子就变成了：如果将如果将C C（j j）写成相量的形式，则有：）写成相量的形式，则有：输出稳态响应的幅值输出稳态响应的幅值输出稳态响应的初相位输出稳态响应的初相位现在我们以同样的办法将输入激励信号现在我们以同样的办法将输入激励信号R R（j j）也写）也写成相量的形式，则有：成相量的形式，则有：这样该线性系统的传递函数就变成了：这样该线性系统的传递函数就变成了：正弦激励的幅值正弦激励的幅值正弦激励的初相位正弦激励的初相位由前面做过的演示实验可知，上式中的由前面做过的演
16、示实验可知，上式中的 和和 都是角都是角频率频率的函数，所以上面的式子最终可以写成：的函数，所以上面的式子最终可以写成：其中：正弦稳态传递函数的幅值为：其中：正弦稳态传递函数的幅值为：而正弦稳态传递函数的相位是：而正弦稳态传递函数的相位是：所以，我们就称所以，我们就称M ( () )称为系统的幅值频率特性，简称为系统的幅值频率特性，简称幅频特性称幅频特性(Magnitude Characteristic)(Magnitude Characteristic)。 称称 ( () )称为系统的相位频率特性，简称为称为系统的相位频率特性，简称为相频特性相频特性(Phase Characteristic
17、)(Phase Characteristic)。 两者统称为两者统称为频率特性频率特性(Frequency (Frequency Characteristic)Characteristic)或或幅相频率特性幅相频率特性(Magnitude-Phase (Magnitude-Phase Characteristic)Characteristic)用用G G （j j j j）表示。）表示。）表示。）表示。特别是当输入的正弦信号为单位正弦信号，即：特别是当输入的正弦信号为单位正弦信号，即：则系统的频率特性就是：则系统的频率特性就是：n n由此可见，在自动控制系统中，我们同样只要由此可见，在自动控制
18、系统中，我们同样只要知道系统传递函数知道系统传递函数G G（s s），就可以求出它的频），就可以求出它的频率特性：率特性：n n幅值频率特性：幅值频率特性： 相位频率特性：相位频率特性：n n而知道了系统传递函数的频率特性而知道了系统传递函数的频率特性G G（j j），），也就知道了：当系统受到频率为也就知道了：当系统受到频率为0 0的正弦信的正弦信号激励时，其系统输出的稳态响应为：号激励时，其系统输出的稳态响应为：n n通过以上分析，我们不难发现：所谓系统的频域通过以上分析，我们不难发现：所谓系统的频域通过以上分析，我们不难发现：所谓系统的频域通过以上分析，我们不难发现：所谓系统的频域特性就
19、是指系统对特性就是指系统对特性就是指系统对特性就是指系统对不同频率的正弦输入信号不同频率的正弦输入信号不同频率的正弦输入信号不同频率的正弦输入信号的响的响的响的响应特性应特性应特性应特性集合集合集合集合。n n对线性系统而言，若其输入信号为正弦量，则其对线性系统而言，若其输入信号为正弦量，则其对线性系统而言，若其输入信号为正弦量，则其对线性系统而言，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出（即频域响应）也将是与输入同频率的稳态输出（即频域响应）也将是与输入同频率的稳态输出（即频域响应）也将是与输入同频率的稳态输出（即频域响应）也将是与输入同频率的正弦量，只不过其输出的幅值和相位一般不同于正弦量，只不
20、过其输出的幅值和相位一般不同于正弦量，只不过其输出的幅值和相位一般不同于正弦量，只不过其输出的幅值和相位一般不同于输入量，而这种输出幅度与相位变化往往与系统输入量，而这种输出幅度与相位变化往往与系统输入量，而这种输出幅度与相位变化往往与系统输入量，而这种输出幅度与相位变化往往与系统本身的的参数、特性以及输入信号的频率有关。本身的的参数、特性以及输入信号的频率有关。本身的的参数、特性以及输入信号的频率有关。本身的的参数、特性以及输入信号的频率有关。n n因此，频率特性从本质上讲就是分析在各种不同因此，频率特性从本质上讲就是分析在各种不同因此，频率特性从本质上讲就是分析在各种不同因此，频率特性从本
21、质上讲就是分析在各种不同频率的正弦信号作用下，系统稳态输出所反映出频率的正弦信号作用下，系统稳态输出所反映出频率的正弦信号作用下，系统稳态输出所反映出频率的正弦信号作用下，系统稳态输出所反映出来的正弦波信号的幅值、相位所产生的来的正弦波信号的幅值、相位所产生的来的正弦波信号的幅值、相位所产生的来的正弦波信号的幅值、相位所产生的变化趋势变化趋势变化趋势变化趋势。为了更好地理解这一问题，我们再来看看我们前为了更好地理解这一问题，我们再来看看我们前为了更好地理解这一问题，我们再来看看我们前为了更好地理解这一问题，我们再来看看我们前面实验过的一阶面实验过的一阶面实验过的一阶面实验过的一阶RCRCRCR
22、C电路。电路。电路。电路。这是一个简单的一阶这是一个简单的一阶RCRC电路，在前面的演示中我们已电路，在前面的演示中我们已经讨论过这个电路，即如果设电容两端的电压为经讨论过这个电路，即如果设电容两端的电压为UoUo，则该一阶则该一阶RCRC电路的传递函数为：电路的传递函数为：RCUiUo+i由频率特性的定义，则有：由频率特性的定义，则有：这正是系统频率特性在复数平面内的一种典型表示方这正是系统频率特性在复数平面内的一种典型表示方法，这种表示方法我们称之为直角坐标表示法。法，这种表示方法我们称之为直角坐标表示法。根据复函数理论，我们可以分别求根据复函数理论，我们可以分别求出上式中的幅值与相位，即
23、：出上式中的幅值与相位，即：幅值：幅值：相位：相位：+1+j由此可见，当正弦信号通过由此可见，当正弦信号通过RCRC电路时，其输出的稳态电路时，其输出的稳态信号将是输入信号同频率的正弦信号，但它的幅值和信号将是输入信号同频率的正弦信号，但它的幅值和相位不仅与频率相位不仅与频率的变化有关，而且还与一阶的变化有关，而且还与一阶RCRC电路电路的参数结构有关（的参数结构有关（RCRC）有关，为此我们分别取）有关，为此我们分别取R=1R=1，C=0.1FC=0.1F、0.01F0.01F、0.001F0.001F等实验参数时，并利用等实验参数时，并利用MATLABMATLAB软件来看一看其输出信号的幅
24、值、相位与频率软件来看一看其输出信号的幅值、相位与频率及电及电路参数路参数R R、C C之间的关系。之间的关系。当当=20rad/s=20rad/s时时的幅值与相位的幅值与相位当当=45rad/s=45rad/s时的幅值与相时的幅值与相位位截止频率截止频率p=10rad/sp=10rad/s相频特性观察点相频特性观察点: :此此时输出信号产生了时输出信号产生了近近-45-45度的相移度的相移幅频特性观察点幅频特性观察点: :此时此时输出信号的幅值衰减输出信号的幅值衰减至输入幅值的至输入幅值的0.7070.707倍倍当实验参数：当实验参数：R=1R=1，C=0.1FC=0.1F时时截止频率截止频
25、率p=100rad/sp=100rad/s相频特性观察相频特性观察点点: :此时输出信此时输出信号产生了近号产生了近-45-45度的相移度的相移幅频特性观察点幅频特性观察点: :此时此时输出信号的幅值衰减输出信号的幅值衰减至输入幅值的至输入幅值的0.7070.707倍倍当实验参数：当实验参数：R=1R=1，C=0.01FC=0.01F时时截止频率截止频率p=1000rad/sp=1000rad/s相频特性观察相频特性观察点点: :此时输出信此时输出信号产生了近号产生了近-45-45度的相移度的相移幅频特性观察点幅频特性观察点: :此时此时输出信号的幅值衰减输出信号的幅值衰减至输入幅值的至输入幅
26、值的0.7070.707倍倍当实验参数：当实验参数：R=1R=1，C=0.001FC=0.001F时时T=RC=0.001T=RC=0.001随着频率的增加，当随着频率的增加，当，其输出信，其输出信号的幅值会衰减至零并产生约为号的幅值会衰减至零并产生约为-90-90度最度最大相移。大相移。以上一阶以上一阶RCRC电路在三个不同电路参数下的系电路在三个不同电路参数下的系统频域响应，充分验证了系统在正弦信号作统频域响应，充分验证了系统在正弦信号作用下的传递函数（频率特性）与输入信号频用下的传递函数（频率特性）与输入信号频率之间的因果关系，并由此可以得出如下结率之间的因果关系，并由此可以得出如下结论
27、：论：n n此一阶此一阶RCRC电路具有低通特性，即当电路具有低通特性，即当RCRC电路电路参数一定时，频率较低的正弦激励信号更参数一定时，频率较低的正弦激励信号更容易通过此电路。容易通过此电路。n n此一阶此一阶RCRC电路具有移相特性，即当频率较电路具有移相特性，即当频率较高时，能产生接近高时，能产生接近-90-90度的最大相移。度的最大相移。因此，此电路在电子技术中又被称为是低通因此，此电路在电子技术中又被称为是低通滤波电路。滤波电路。n n在许多情况下，对自动控制系统所进行的的设计在许多情况下，对自动控制系统所进行的的设计在许多情况下，对自动控制系统所进行的的设计在许多情况下，对自动控
28、制系统所进行的的设计与校正非常类似于对滤波电路所进行的设计。从与校正非常类似于对滤波电路所进行的设计。从与校正非常类似于对滤波电路所进行的设计。从与校正非常类似于对滤波电路所进行的设计。从这一点不难看出：自动控制系统也可以被看成是这一点不难看出：自动控制系统也可以被看成是这一点不难看出：自动控制系统也可以被看成是这一点不难看出：自动控制系统也可以被看成是一个一个一个一个可以对输入信号进行处理的信号处理器。可以对输入信号进行处理的信号处理器。可以对输入信号进行处理的信号处理器。可以对输入信号进行处理的信号处理器。n n事实上如果控制系统能具有理想的一阶事实上如果控制系统能具有理想的一阶事实上如果
29、控制系统能具有理想的一阶事实上如果控制系统能具有理想的一阶RCRCRCRC低通滤低通滤低通滤低通滤波器的低通特性的话，这时的自动控制系统将是波器的低通特性的话，这时的自动控制系统将是波器的低通特性的话，这时的自动控制系统将是波器的低通特性的话，这时的自动控制系统将是一个非常理想系统。这意味着自动控制系统将能一个非常理想系统。这意味着自动控制系统将能一个非常理想系统。这意味着自动控制系统将能一个非常理想系统。这意味着自动控制系统将能实现对所有低于截止频率实现对所有低于截止频率实现对所有低于截止频率实现对所有低于截止频率pppp的信号进行几乎没有的信号进行几乎没有的信号进行几乎没有的信号进行几乎没
30、有衰减的传输，而对于那些高于截止频率衰减的传输，而对于那些高于截止频率衰减的传输，而对于那些高于截止频率衰减的传输，而对于那些高于截止频率pppp的噪声的噪声的噪声的噪声信号来说，它们将被自动控制系统完全隔离。而信号来说，它们将被自动控制系统完全隔离。而信号来说，它们将被自动控制系统完全隔离。而信号来说，它们将被自动控制系统完全隔离。而这也正是研究系统频特性的优越之处。这也正是研究系统频特性的优越之处。这也正是研究系统频特性的优越之处。这也正是研究系统频特性的优越之处。n n从另一方面来说，频域特性分析法是用图形方式从另一方面来说，频域特性分析法是用图形方式从另一方面来说，频域特性分析法是用图
31、形方式从另一方面来说，频域特性分析法是用图形方式对自动控制系统进行分析的一种分析方法，与时对自动控制系统进行分析的一种分析方法，与时对自动控制系统进行分析的一种分析方法，与时对自动控制系统进行分析的一种分析方法，与时域分析中的解析方法相比，图形分析具有更为直域分析中的解析方法相比，图形分析具有更为直域分析中的解析方法相比，图形分析具有更为直域分析中的解析方法相比，图形分析具有更为直观与方便的特点。观与方便的特点。观与方便的特点。观与方便的特点。*系统的闭环频域性能指标系统的闭环频域性能指标n n谐振峰值Mrn n谐振频率rn n带宽BWn n截止频率pppBWrrMr4.2.2 4.2.2 频
32、率特性的图形表示法频率特性的图形表示法 前面，我们曾提到频域分析法是一种用图前面，我们曾提到频域分析法是一种用图形方式对自动控制系统进行分析的方法以。形方式对自动控制系统进行分析的方法以。这种方法的最大特点就是将系统的频率特这种方法的最大特点就是将系统的频率特性用曲线这样的图形表示出来。常见的频性用曲线这样的图形表示出来。常见的频 率特性曲线有以下两种：率特性曲线有以下两种：n n奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist)Nyquist)曲线曲线n n对数频率特性对数频率特性伯德图（伯德图（BodeBode）奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist)Nyquist)曲线曲线n n奈奎斯特（奈奎斯特（奈奎斯
33、特（奈奎斯特（Nyquist)Nyquist)Nyquist)Nyquist)曲线简称奈氏曲线，是由美曲线简称奈氏曲线，是由美曲线简称奈氏曲线，是由美曲线简称奈氏曲线，是由美国物理学家奈奎斯特首创。它是将系统的频率特国物理学家奈奎斯特首创。它是将系统的频率特国物理学家奈奎斯特首创。它是将系统的频率特国物理学家奈奎斯特首创。它是将系统的频率特性绘制在极坐标上的图形表示方法，并在该图形性绘制在极坐标上的图形表示方法，并在该图形性绘制在极坐标上的图形表示方法，并在该图形性绘制在极坐标上的图形表示方法，并在该图形表示方法的基础上提出了著名的奈奎斯特稳定性表示方法的基础上提出了著名的奈奎斯特稳定性表示方
34、法的基础上提出了著名的奈奎斯特稳定性表示方法的基础上提出了著名的奈奎斯特稳定性判据。判据。判据。判据。n n由于频率特性是一个复数，所以和其它复数一样，由于频率特性是一个复数，所以和其它复数一样，由于频率特性是一个复数，所以和其它复数一样，由于频率特性是一个复数，所以和其它复数一样，频率特性除了可以用直角坐标进行表示之外，它频率特性除了可以用直角坐标进行表示之外，它频率特性除了可以用直角坐标进行表示之外，它频率特性除了可以用直角坐标进行表示之外，它还可以用极坐标的方式进行表示，即：还可以用极坐标的方式进行表示，即：还可以用极坐标的方式进行表示，即：还可以用极坐标的方式进行表示，即： 也即用频率
35、特性的幅值也即用频率特性的幅值也即用频率特性的幅值也即用频率特性的幅值模，和频率特性的相模，和频率特性的相模，和频率特性的相模，和频率特性的相位差位差位差位差幅角来进行表示。幅角来进行表示。幅角来进行表示。幅角来进行表示。n n因此奈氏曲线所绘制的就是：当因此奈氏曲线所绘制的就是：当从从00变化时，根据频率特性的极坐标表达式：变化时，根据频率特性的极坐标表达式： ，去算出每取一个特，去算出每取一个特定的定的值时，所得到的频率特性的模（幅值时，所得到的频率特性的模（幅值）值） 和幅角（相位差）和幅角（相位差） ，然后将，然后将它们的值标记在复平面（直角坐标系）上，它们的值标记在复平面（直角坐标系
36、）上，再将这些标记点用光滑的曲线连接起来，再将这些标记点用光滑的曲线连接起来，最终所得到的曲线就是奈氏曲线。最终所得到的曲线就是奈氏曲线。* *一阶一阶RCRC电路奈氏曲线的绘制过程电路奈氏曲线的绘制过程在绘制幅相频率特性曲线时，先选取几个特殊在绘制幅相频率特性曲线时，先选取几个特殊点（如点（如=0=0， =1/=1/T T， 等）求得对应等）求得对应的的M M与与 ，然后再有选择地选取若干个与，然后再有选择地选取若干个与数数值点对应的值点对应的M M与与 ，再按，再按由由00的顺序的顺序, ,逐逐点绘制出曲线图形。如一阶点绘制出曲线图形。如一阶RCRC电路电路, ,当当R=1R=1，C=0.
37、001C=0.001时时, ,其奈氏曲线的绘制方法与步骤。其奈氏曲线的绘制方法与步骤。第一步：求出系统的幅频及相频特性表达式：因为该一阶RC电路的频率特性为：所以有：幅频特性：相频特性：第二步：选取几个特殊的点：取=0，则可计算出：取=1/T=1/0.001，则可计算出：取，则可计算出：第三步：按由0的顺序，逐点、光滑地绘制出曲线图形0对数频率特性（对数频率特性（BodeBode图）图）n n对数频率曲线又称为对数频率曲线又称为BodeBode图，是由美国工图，是由美国工程师伯德（）提出。它是将系统的频率特程师伯德（）提出。它是将系统的频率特性取自然对数后，分别用两张图分别表示性取自然对数后，
38、分别用两张图分别表示它的幅频特性与相频特性的一种图形表示它的幅频特性与相频特性的一种图形表示方法。方法。n n与奈氏图相比，与奈氏图相比，BodeBode图具有绘制方便，直图具有绘制方便，直观，并能在没有计算机时，用直线的线段观，并能在没有计算机时，用直线的线段近似画出系统频率特性的幅值与相位等优近似画出系统频率特性的幅值与相位等优点，但其缺点是仅能确定最小相位系统的点，但其缺点是仅能确定最小相位系统的绝对稳定及相对稳定性。绝对稳定及相对稳定性。对数频率特性的定义对数频率特性的定义n n前面我们曾经讲到过，所谓的系统频率特性就是前面我们曾经讲到过，所谓的系统频率特性就是前面我们曾经讲到过，所谓
39、的系统频率特性就是前面我们曾经讲到过，所谓的系统频率特性就是频率的方法来表示系统的传递函数。由于其频率频率的方法来表示系统的传递函数。由于其频率频率的方法来表示系统的传递函数。由于其频率频率的方法来表示系统的传递函数。由于其频率特性是一个复数，因此从数学上讲，系统的频率特性是一个复数，因此从数学上讲，系统的频率特性是一个复数，因此从数学上讲，系统的频率特性是一个复数，因此从数学上讲，系统的频率特性除了可以用直角坐标系和极坐标进行表示外，特性除了可以用直角坐标系和极坐标进行表示外，特性除了可以用直角坐标系和极坐标进行表示外，特性除了可以用直角坐标系和极坐标进行表示外，还可以用指数进行表示。即：还
40、可以用指数进行表示。即：还可以用指数进行表示。即：还可以用指数进行表示。即：在指数表达式的两边取自然对数，有：在指数表达式的两边取自然对数，有：对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性对数频率特性对数频率特性n n在实际应用中，对数频率特性中的幅频特性一般在实际应用中，对数频率特性中的幅频特性一般在实际应用中，对数频率特性中的幅频特性一般在实际应用中，对数频率特性中的幅频特性一般不用自然对数表示，而是采用以不用自然对数表示，而是采用以不用自然对数表示，而是采用以不用自然对数表示，而是采用以10101010为底的常用对为底的常用对为底的常用对为底的常用对数表示，利用中学学过的对数换底公式
41、，我们很数表示，利用中学学过的对数换底公式，我们很数表示，利用中学学过的对数换底公式，我们很数表示，利用中学学过的对数换底公式，我们很容易得到它们之间的相互关系：容易得到它们之间的相互关系：容易得到它们之间的相互关系：容易得到它们之间的相互关系：n n在引入声学单位分贝（在引入声学单位分贝（在引入声学单位分贝（在引入声学单位分贝（dBdBdBdB）后，则有：）后，则有：）后，则有：）后，则有：例如：在一阶RC电路中，当=p时，其输出幅值衰减至输入信号幅值的0.707倍，如采用对数幅频特性来描述的话，则在此频率下，其对数幅值为：n n因此对数频率特性就可以被定义为：因此对数频率特性就可以被定义为
42、：因此对数频率特性就可以被定义为：因此对数频率特性就可以被定义为：对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性n n引入对数频率特性中幅频特性引入对数频率特性中幅频特性引入对数频率特性中幅频特性引入对数频率特性中幅频特性L ()L ()L ()L ()的的的的好处好处好处好处在于：在于：在于：在于： 它可以将系统串联环节的幅值相乘转化为对数幅它可以将系统串联环节的幅值相乘转化为对数幅它可以将系统串联环节的幅值相乘转化为对数幅它可以将系统串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性中的幅值相加，这对图形的处理、分析以频特性中的幅值相加，这对图形的处理、分析以频特性中的幅值相加，这对图形的处理、分析以
43、频特性中的幅值相加，这对图形的处理、分析以及计算都会带来很大方便。及计算都会带来很大方便。及计算都会带来很大方便。及计算都会带来很大方便。n n以后的分析将表明以后的分析将表明以后的分析将表明以后的分析将表明:L ():L ():L ():L ()或其渐近线大多与或其渐近线大多与或其渐近线大多与或其渐近线大多与lglglglg成线性关系。因此，若以成线性关系。因此，若以成线性关系。因此，若以成线性关系。因此，若以L ()L ()L ()L ()为纵轴，为纵轴，为纵轴，为纵轴，lglglglg为为为为横轴，则其图形将为直线，这可使频率特性的绘横轴，则其图形将为直线，这可使频率特性的绘横轴，则其图
44、形将为直线，这可使频率特性的绘横轴，则其图形将为直线，这可使频率特性的绘制过程大为简化。制过程大为简化。制过程大为简化。制过程大为简化。伯德（伯德（Bode)Bode)图的坐标分度图的坐标分度n n伯德（伯德（伯德（伯德（BodeBodeBodeBode）图是对数幅频特性和对数相频的图）图是对数幅频特性和对数相频的图）图是对数幅频特性和对数相频的图）图是对数幅频特性和对数相频的图形表示方式。它是在被称为半对数坐标纸上绘制形表示方式。它是在被称为半对数坐标纸上绘制形表示方式。它是在被称为半对数坐标纸上绘制形表示方式。它是在被称为半对数坐标纸上绘制完成的。完成的。完成的。完成的。n n它的横轴采用
45、的是自变量它的横轴采用的是自变量它的横轴采用的是自变量它的横轴采用的是自变量并以并以并以并以lglglglg为线性的非为线性的非为线性的非为线性的非线性分度。其含义是：由于线性分度。其含义是：由于线性分度。其含义是：由于线性分度。其含义是：由于lg10=1lg10=1lg10=1lg10=1，所以当，所以当，所以当，所以当按按按按10101010倍进行变化时，其对应的倍进行变化时，其对应的倍进行变化时，其对应的倍进行变化时，其对应的lglglglg就是线性的。故就是线性的。故就是线性的。故就是线性的。故我们称这个变化的进程为我们称这个变化的进程为我们称这个变化的进程为我们称这个变化的进程为10
46、101010倍频程倍频程倍频程倍频程(Decade(Decade(Decade(Decade，记以，记以，记以，记以 Dec)Dec)Dec)Dec)。n n幅频特性的纵轴采用以分贝（幅频特性的纵轴采用以分贝（幅频特性的纵轴采用以分贝（幅频特性的纵轴采用以分贝（dBdBdBdB）为单位的线性）为单位的线性）为单位的线性）为单位的线性对数坐标分度；相频特性的纵轴采用以度（对数坐标分度；相频特性的纵轴采用以度（对数坐标分度；相频特性的纵轴采用以度（对数坐标分度；相频特性的纵轴采用以度（degdegdegdeg）为单位的线性坐标分度。为单位的线性坐标分度。为单位的线性坐标分度。为单位的线性坐标分度。
47、三级半对数坐标三级半对数坐标相相频频特特性性（单单位位度度) )幅幅频频特特性性（单单位位分分贝贝) )角频率角频率角频率角频率一个一个lglg单位单位1010倍频程倍频程(dec)(dec)在使用对数坐标时要特别注意以下两点：在使用对数坐标时要特别注意以下两点： n n它的横轴是不均匀坐标，是由疏到密周期它的横轴是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的。但若以性变化排列的。但若以1010倍频程来分，则倍频程来分，则它又是（对数）线性等分的。它又是（对数）线性等分的。 n n半半对对数数坐坐标标纸纸上上的的每每一一级级所所代代表表的的含含义义就就是是所所谓谓的的1010倍倍频频程程，即即横横轴
48、轴每每一一个个等等分分的的频频率率变变化化相相差差1010倍倍，如如在在上上面面所所给给的的三三级级对对数数坐坐标标纸纸上上，第第一一个个“1”“1”处处的的起起始始频频率率若若为为0.10.1， 则则第第二二个个“1”“1”的的起起始始频频率率则则为为1 1，第三个，第三个“1” “1” 处的起始频率则为处的起始频率则为1010等等。等等。典型环节的伯德（典型环节的伯德（BodeBode）图）图比例环节n n传递函数 ：n n频率特性 ：n n对数频率特性:20lgK1101000.11101000.1L()伯德图伯德图 n n对数幅频特性 为水平直线，其高度为20lgK。 若K1，则 为正
49、值，其幅频特性线在横轴上方。 若K=1，则 =0dB，其幅频特性线与横坐标轴重合，所以幅频特性曲线的横坐标轴又称零分贝线。 若K1，则 为负值，幅频特性线在横轴下方。n n对数相频特性 为与横坐标轴重合的水平直线。 比例环节放大倍数比例环节放大倍数K K变化，系统的变化，系统的L L（）上下平）上下平移，但相频特性移，但相频特性 不变不变。积分环节n n传递函数：传递函数：n n频率特性：频率特性：n n对数频率特性：对数频率特性：n n对数幅频特性对数幅频特性比例环节比例环节理想积分环节理想积分环节n n积分环节的对数频率特性是一条斜率为积分环节的对数频率特性是一条斜率为-20dB/dec-
50、20dB/dec斜线。斜线。n n积分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠积分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠加而成：一个是比例环节，另一个是理想积分环节。加而成：一个是比例环节，另一个是理想积分环节。所以，在所以，在=1=1处，积分环节与处，积分环节与20lgK20lgK直线相交。直线相交。n n积分环节的相频率特性是一条满足积分环节的相频率特性是一条满足 的水的水平直线。平直线。 微分环节n n传递函数：n n频率特性：n n对数频率特性：n n对数幅频特性对数幅频特性比例环节比例环节理想微分环节理想微分环节n n微分环节的对数频率特性是一条斜率为微分环节的对数频率特性是一条斜
51、率为+20dB/dec+20dB/dec斜线。斜线。n n微分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠微分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠加而成：一个是比例环节，另一个是理想微分环节。加而成：一个是比例环节，另一个是理想微分环节。所以，在所以，在=1=1处，积分环节与处，积分环节与 直线相交。直线相交。n n积分环节的相频率特性是一条满足积分环节的相频率特性是一条满足 的水的水平直线。平直线。 惯性环节n n传递函数：传递函数：n n频率特性：频率特性：n n对数频率特性：对数频率特性：n n惯性环节的对数幅频特性曲线是一条曲线，惯性环节的对数幅频特性曲线是一条曲线，若采用逐点描绘法将
52、很繁琐。一般在工程上，若采用逐点描绘法将很繁琐。一般在工程上，我们常常采用分段直线逼近的近似绘制方法我们常常采用分段直线逼近的近似绘制方法来绘制它的来绘制它的BodeBode图。即先作出惯性环节幅频图。即先作出惯性环节幅频特性特性L L( () )的渐近线，然后再根据特殊点的渐近线，然后再根据特殊点（如（如=1/=1/T T）的数值，在最大误差处进行修的数值，在最大误差处进行修正，这样便可得到该环节较为精确的对数频正，这样便可得到该环节较为精确的对数频率特性曲线。率特性曲线。n n通常采用三个频率段的办法，方法如下：通常采用三个频率段的办法，方法如下：第一步，我们先在第一步，我们先在BodeB
53、ode上找到特殊频率点：上找到特殊频率点：0-900L()-45-20=1/T110第二步：低频段近似T1当T1，也即1当T1，也即1/T，这时由于T1，所以忽略1后有：0-900L()-45-20=1/T110-20dB-20dB斜率的辅助线斜率的辅助线第四步：交接频率T=1处的计算当T=1，也即=1/T，这时有：L()0-900-45-20=1/T110-3dB-3dB修正修正-45-450 0修正修正低频渐近线高频渐近线L()0-900-45-20=1/T110-3修正后的对数频率特性修正后的对数频率特性第五步：对幅频及相频渐进线用相应的修正比例微分环节比例微分环节 n n传递函数：n
54、n频率特性：n n对数频率特性：n n对照惯性环节和比例微分的频率特性，我们不难对照惯性环节和比例微分的频率特性，我们不难发现：两者仅相差一个负号。这意味着比例微分发现：两者仅相差一个负号。这意味着比例微分环节与惯性环节的图形将对称于横轴。环节与惯性环节的图形将对称于横轴。 振荡环节振荡环节n n传递函数：n n频率特性：n n对数频率特性：n n振荡环节的频率特性，不仅与有关，而且还与阻尼比有关。控制系统的开环Bode图的绘制系统开环Bode图的简便画法n n由第三章的内容可知，图示系统的开环传递由第三章的内容可知，图示系统的开环传递函数为：函数为：- -+G1G2H则可知其对应的前向通道的
55、开环频率特性则可知其对应的前向通道的开环频率特性一定为一定为: :由此可见：串联环节总的对数幅频特性等于各环节对串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。数相频特性的和。 由此可求出其对应的对数频率特性为由此可求出其对应的对数频率特性为: :例：已知系统的开环传递函数为： 试求取系统的开环对数频率特性曲线。解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。2）由小到大计算各环节的转折频率作惯性环节及一阶微环节的Bode图由此系统的开环传递函数可知，该系统有三个
56、具有转折频率的环节。它们是：一阶微分环节：，其转折频率为：惯性环节：，其转折频率为：惯性环节：，其转折频率为：2）选定幅频特性的横坐标轴的比例尺（频率范围）。 一般取最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右。 如有积分环节存在，则最低频率中一定要有=1=1存在。存在。3 3）选定相频特性的纵坐标轴的比例尺（相角大小）。）选定相频特性的纵坐标轴的比例尺（相角大小）。 由于典型环节的相位变化是由于典型环节的相位变化是9090度的倍数，所以一度的倍数，所以一般最小单位为般最小单位为4545度。度。 在已知系统开环频率特性后，可以预估出系统的在已知系统开环频率
57、特性后，可以预估出系统的最大相移（即当最大相移（即当时，系统各典型环节的相角之和。在本例中，我们可以估计出该系统开环对数相频特性的最大相移为-180度。故所选半对数标尺如下图所示。 4）计算系统的开环放大倍数绘制比例环节的Bode图5）计算系统的积分环节个数v绘制比例环节的Bode图按转折频率，由小到大，作出各惯性环节及比例微分环节的伯德图。按转折频率分段，将所有环节的伯德图加在一起。最小相位系统与非最小相位系统n n若系统开环传递传递函数的极点和零点均在若系统开环传递传递函数的极点和零点均在若系统开环传递传递函数的极点和零点均在若系统开环传递传递函数的极点和零点均在s s s s复平复平复平
58、复平面的左侧的系统称为面的左侧的系统称为面的左侧的系统称为面的左侧的系统称为最小相位系统最小相位系统最小相位系统最小相位系统。n n若传递函数的极点和若传递函数的极点和若传递函数的极点和若传递函数的极点和( ( ( (或或或或) ) ) )零点有在零点有在零点有在零点有在s s s s复平面右侧的复平面右侧的复平面右侧的复平面右侧的系统称为系统称为系统称为系统称为非最小相位系统。非最小相位系统。非最小相位系统。非最小相位系统。n n由上面的定义可知：由上面的定义可知：由上面的定义可知：由上面的定义可知：最小相位系统是绝对稳定系最小相位系统是绝对稳定系最小相位系统是绝对稳定系最小相位系统是绝对稳
59、定系统。统。统。统。n n最小相位系统的特点是：它的对数相频特性和对最小相位系统的特点是：它的对数相频特性和对最小相位系统的特点是：它的对数相频特性和对最小相位系统的特点是：它的对数相频特性和对数幅频特性间存在着确定的对应关系，或者，对数幅频特性间存在着确定的对应关系，或者，对数幅频特性间存在着确定的对应关系，或者，对数幅频特性间存在着确定的对应关系，或者，对于最小相位系统，只需根据其对数幅频特性就能于最小相位系统，只需根据其对数幅频特性就能于最小相位系统，只需根据其对数幅频特性就能于最小相位系统，只需根据其对数幅频特性就能写出其传递函数。因此对于最小相位系统，我们写出其传递函数。因此对于最小
60、相位系统，我们写出其传递函数。因此对于最小相位系统，我们写出其传递函数。因此对于最小相位系统，我们一般可以只作出它的幅频特性即可。一般可以只作出它的幅频特性即可。一般可以只作出它的幅频特性即可。一般可以只作出它的幅频特性即可。 【例【例【例【例4-74-74-74-7】 已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为已知控制系统的开环传递函数为 式中，T1、T2均为正值，且设T2=10T1。求它们的对数幅频特性与对数相频特性。解:由G1(s)、G2(s)、G3(s)有,(1) 对数幅频特性 即：这三个开环传递函数具有相同的对数幅频特性。(2) 对数相频特性
61、 （3）对数频率频特性曲线伯德图由上图可见， 离横轴“距离”最小，G1(s)为最小相位系统。 系统开环系统开环BodeBode图的简便画法图的简便画法如果系统的开环传递函数是最小相位系统。如果系统的开环传递函数是最小相位系统。则可则可直接分析系统是由哪些典型环节串联组成的，并将直接分析系统是由哪些典型环节串联组成的，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式这些典型环节的传递函数都化成标准形式( (分母常分母常数项为数项为1)1)，并计算各典型环节的转折频率。，并计算各典型环节的转折频率。 一阶微分环节：，其转折频率为：惯性环节：，其转折频率为：惯性环节：，其转折频率为：根据比例环节的根据比例环
62、节的K K值，计算值，计算20lgK20lgK。在选定半对数。在选定半对数坐标纸的标尺后，作出比例环节的对数幅频特性。坐标纸的标尺后，作出比例环节的对数幅频特性。值得注意的是：选择作标尺度时，要首先确定系统值得注意的是：选择作标尺度时，要首先确定系统的开环传递函数中是否有积分环节。如果有，则无的开环传递函数中是否有积分环节。如果有，则无论有几个积分环节，在坐标尺度上都应该有论有几个积分环节，在坐标尺度上都应该有=1=1=1=1这这这这个频率点存在。个频率点存在。个频率点存在。个频率点存在。 如有积分环节存在，则在在半对数坐标纸上，找到如有积分环节存在，则在在半对数坐标纸上，找到横坐标为横坐标为
63、=1=1、纵坐标为、纵坐标为L L（）=20lgK=20lgK的点，过该的点，过该点作斜率为点作斜率为-20-20 dB/dec dB/dec的斜线，其中的斜线，其中 为积分为积分环节的数目。这条斜线一直作到出现第一个转折频率环节的数目。这条斜线一直作到出现第一个转折频率为止。在本例中，由于只有一个积分环节，所以过为止。在本例中，由于只有一个积分环节，所以过（1 1， 20lgK 20lgK）点的斜线斜率为）点的斜线斜率为-20 dB/dec-20 dB/dec。按所计算出来的各典型环节的转折频率，由低到高顺序作每个环节的伯德图，注意每个环节的伯德图都只作到下一个转折频率出现为止。并用以下原则
64、来依次改变L（）下一条斜线的斜率；若转折频率之后是一个惯性环节，则转折频率后的斜线斜率减去20dB/dec；若转折频率之后是一个比例微分环节，则过转折频率后的斜线斜率增加20dB/dec；若转折频率之后是一个振荡环节， 则过转折频率后的斜线斜率减去40dB/dec。 例：设最小相位系统的对数幅频特性如图所示，试例：设最小相位系统的对数幅频特性如图所示，试确定其传递函数。确定其传递函数。0.110020300401013.53520-20-40-60由图可知在=0.1之前，渐近线斜率为0，故此为一比例环节，有：在=0.1之后，渐近线斜率为20dB，故此视为一一阶微分环节，且其转折频率为=0.1，
65、因此有：0.110020300401013.53520-20-40-60在=1处，渐近线斜率又为0。那么要在20dB斜率之后使Bode图斜率重新为0，则需要一个-20dB的斜率与之对消，即要不对1之前的图线产生影响，又要能在1之后对消20dB的斜率，因此可以肯定这里应有一个惯性环节，且其转折频率为=1，因此有：0.110020300401013.53520-20-40-600.130402010在=3.5处，渐近线斜率又为-20dB。由于之前有一惯性环节与20dB的微分环节斜率对消，而今所产生-20dB的斜率应来自于一个转折频率为=3.5惯性环节。因此有：0.110020300401013.5
66、3520-20-40-60在=35处，渐近线斜率为-40dB。由于之前以有一惯性环节产生了-20dB的，而今所产生-40dB的斜率应来自于另一个可产生-20dB的惯性环节与它的叠加，由于其转折频率=35。因此有：0.110020300401013.53520-20-40-600.110020300401013.53520-20-40-60在=100处，渐近线斜率为-60dB。由于之前以有一惯性环节产生了-40dB的，而今所产生-60dB的斜率应来自于另一个可产生-20dB的惯性环节与它的叠加，由于其转折频率=100。因此有：n n综合以上分析，可知其最小相位系统的传递函数综合以上分析，可知其最小相位系统的传递函数表达式为：表达式为：
