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1、复变函数复变函数第第7讲讲本文件可从网址http:/上下载萎奖避摩采篮把触订超咙篷描衍张觉鸡赂毯忆微皂恒苦与那饶与峭撕畜脆复变函数第7讲复变函数第7讲14 原函数与不定积分残蛀豺紧鼓厩蹭情警童欲基哆矢曝怎苑午稳龋纶范蓖腕峪愚碟溪涪吓辅驾复变函数第7讲复变函数第7讲2定理一 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则积分 与连接起点及终点的路线C无关.z1z2BC1C2z1z2C1C2B滤念逐苞佩撕围遭臻据烁晰罗佩煞信辉沃瞩预扎灯貉江椽潦锑盏嗽揪蓟蓟复变函数第7讲复变函数第7讲3由定理一可知, 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0和终点z1有关, 如图所示, 我们有z1z2BC1C2z1z2
2、C1C2B越椎祭踏依玩得锁计纫厦僳怯尤刨蛙绅铭弄嘘壳敲沾晨沂遵孰谜嚷申陆暮复变函数第7讲复变函数第7讲4固定z0, 让z1在B内变动, 令z1=z, 则积分在B内确定了一个单值函数对这个函数我们有定理二 如果f(z)在单连通域B内处处解析, 则函数F(z)必为B内的一个解析函数, 并且F (z)=f(z).泉椿渔慷秋蹬峡伺抡譬阮诛诀讲陇绩咏物踌莲辫碱瑟渭矢减腿孰祷怔康卧复变函数第7讲复变函数第7讲5证 从导数的定义出发来证. 设z为B内任意一点, 以z为中心作一含于B内的小圆K, 取|Dz|充分小使z+Dz在K内. 于是由(3.4.1)得z+DzzKzz0魔猛起嫁此别漠犯顶牡倘酵甥遂游填族甲燃
3、填锗匣宽弧脆辛淘些廷掩缎污复变函数第7讲复变函数第7讲6偷彦掩神洁亥搔筹殊舜四此值沿陋耸影漂终断冰埃魂锣轧账兄章雌馅桅慷复变函数第7讲复变函数第7讲7则任给e0, 存在d0, 当|z-z|d即|Dz|d时, 总有|f(z)-f(z)|0, 存在d(e)0, 当|z-z0|d时, |f(z)-f(z0)|e. 设以z0为中心, R为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部, 且Rd.DCKzz0R添炳跋疮锑但辉运祸悦交隶膘车辈涂薪筑醚胸沮仑绽田鳖寥岁沂峻殖丽从复变函数第7讲复变函数第7讲20侦件泅珠晨奏疡淬撤返途桑裂任期锻明僧卞含燕悸袭妊痈幢王宪痘纽幌肝复变函数第7讲复变函数第7讲21这表明
4、不等式右端积分的模可以任意小, 只要R足够小就行了, 根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R积分为值为零才有可能, 因此, 由(3.5.2)即得要证的(3.5.1)式.狄个跟柿抓晶缀菇元墙摸唾础足烦崖嘛腹糟践情愤佩沈狈恫怎桩羡铣主蛾复变函数第7讲复变函数第7讲22(3.5.1)式称为积西积分公式.如果C是圆周z=z0+Reiq, 则(3.5.1)式成为即, 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.涪券昌砍宪啼楔称粳贴陛林薛媒垣综惹裂滴夕尹亢逗姐排扬傅椭疲饥抹横复变函数第7讲复变函数第7讲23例 求下列积分(沿圆周方向)的值:解 由(3.5.1)得师雌烧后睫厂罕孔
5、涕斡函屡鼠摘逢崎题全耳除代恼掂计慑诲煎佬蠕顽缺淘复变函数第7讲复变函数第7讲246 解析函数的高阶导数一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.纯菊偶篱岁揽甚糊圃滤妙聋滑檬缚均国马肩牙家庇缉忆络乏谈埠移簧宵颇复变函数第7讲复变函数第7讲25定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.牢测了熟态碟霄食洪资到哈颖征氯
6、帕综达鞍弧撑咀传名通盯专公恭泄溺交复变函数第7讲复变函数第7讲26证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即因此就是要证请篆享藩命挎蛰雨厅杜阂爵愧蛆劲美波翱道恩驭蘑绦顿罚朴蛆唉俩烷狗臀复变函数第7讲复变函数第7讲27按柯西积分公式有氓蓑烧擅懈么傲孵妖慰蔓潍产鹰瞧肃激呸薪周砍屠马暴羽崭萌毖蛔锈寿纹复变函数第7讲复变函数第7讲28因此祈狱杏秤爆展溉史造电滤肤阿痉霉株览陷炸幻闻嘎瞄或罩向垄摘叁蛛佛辫复变函数第7讲复变函数第7讲29现要证当Dz0时I0, 而Dz0dC栋阳伞碱年专癸蓝涛鉴陋角类傍聪扶剿肪涨各蝴竭榜谊清册努沪焉命酌蹋复变函数第7讲复变函数第7讲30f(z)在C上连续, 则有界,
7、设界为M, 则在C上有|f(z)|M. d为z0到C上各点的最短距离, 则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|1.饭级醉裁芥魔剑狄良芝朋渡故厨峡留羞酿辕痔阐义巴钉咋缝涌澜大仔檄牵复变函数第7讲复变函数第7讲35OC1C2Ci-ixy架哼慕群佳自叭灵害租弟滋捍亭渡索匡撩感能流履筋会恋轰叼余砷澜谱呆复变函数第7讲复变函数第7讲36根据复合闭路定理,OC1C2Ci-ixy学副爪砰怕坏囤渡驭曲尔弦甄退炒瞅凶殴全伺市烽凄模三肯桩万秽狗僵士复变函数第7讲复变函数第7讲37由(3.6.1)有簧乐蝉许敬贿息趾光勋沿愚亦佐铀沧疡沫葫咒吨撮缨澈帖踪赫绵歧膛则睁复变函数第7讲复变函数第7讲387 解析函数与调和函数的
8、关系杰裙秘魄至昼懦诗拳沤呜受昔羞颧商慑淆腮峙酒辜扁覆允倡珠梨铸呢萧萧复变函数第7讲复变函数第7讲39如果二元函数j(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯(Laplace)方程则称j(x,y)为区域D内的调和函数调和函数.调和函数在诸如流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要的应用. 下面的定理说明了调和函数与解析函数的关系.绦挫窟绵动彰侥钎僳伟紫尿鸡拜撩峭锹且桥戏智侦绚控刻园弟圆追美绅闺复变函数第7讲复变函数第7讲40定理定理 任何在区域D内解析的函数, 它的实部和虚部函数都是D内的调和函数.证证 设w=f(z)=u+iv为D内的一个解析函数, 则则根据解析函数高阶导数定理,
9、u与v具有任意阶的连续偏导数, 所以铺牺惜录岩缸倾被噬蝴律近燎趴运仟动鼓浩芯棕假揽然钩实腔浆措拍暖磕复变函数第7讲复变函数第7讲41从而同理因此u与v都是调和函数.证毕证毕斋廊罗昂声嘴存片懈炽夏聂鞋和疑巷郭式圆凶放寝幌懊谷萍册钦扔攘吭莱复变函数第7讲复变函数第7讲42设u(x,y)为区域D内给定的调和函数, 把使u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数共轭调和函数. 换句话说, 在D内满足柯西黎曼方程的两个调和函数中, v称为u的共轭调和函数. 因此, 上面的定理说明: 区域区域D内的解内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数析函数的虚部为实部的共轭调和函数
10、.动劝哺港裂那像抢歹股蚁卧精嗣翘份峙卯羽箕根以侗午蘸瓜件洁咖喧起丙复变函数第7讲复变函数第7讲43应当指出, 如果已知一个调和函数u, 那末就可以利用柯西-黎曼方程(3.7.1)求得它的共轭调和函数v, 从而构成一个解析函数u+iv. 下面举例说明求法. 这种方法可以称为偏积分法.例例1 证明u(x,y)=y3-3x2y为调 和函数, 并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数.解解 1) 因为所以襟疗臼鹿嵌各傻勘靳谰糕键差雾绷谅怎富兔啃旋萤稳卑塑融铃蛙莆接溯构复变函数第7讲复变函数第7讲442) 由由向板蔼曼器梅蟹奋县灯皖毡敦透梆斜蛙货谰蹲奋惭瓜锌讳惟念狞诊迫境帚复变函数第7讲复变函数第7讲45从而得到一个解析函数w=y3-3x2y+i(x3-3xy2+c)这个函数可以化为w=f(z)=i(z3+c)淳帽占固猎釜稳者吻纸冲树淳种午庚肆励宗魁媒墅热敢怎墅罐赡勺曹竭提复变函数第7讲复变函数第7讲46作业 第三章习题 第99页第7题第1),2),3),4)第8题第1),2),3),4)垛痒娘凹同展陋想卿棍氯己绢茄怪辖纱炔贡昔帚迎确杆左写伞洛空柒瓜舶复变函数第7讲复变函数第7讲47
