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1、 11.6 傅里叶级数傅里叶级数1上一节详细研究了一种重要的函数项级数上一节详细研究了一种重要的函数项级数: :幂级数幂级数. . 下面研究另一种重要的函数项级数下面研究另一种重要的函数项级数: :这种级数是由于这种级数是由于研究周期现象的需要而产研究周期现象的需要而产生生的的. 它在电工、力学和许多学科中都有很重要它在电工、力学和许多学科中都有很重要的应用的应用. 傅里叶傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和法国数学家和法国科学院院士法国科学院院士, 英国皇家学会会员英国皇家学会会员.傅里叶傅里叶级数级数. .物理学家物理学家. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数2三角函数系
2、的正交性三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数小结小结 思考题思考题 作业作业问题的提出问题的提出11.6 傅里叶傅里叶( (Fourier) )级数级数正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数 第第1111章章 无穷级数无穷级数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数3一、问题的提出一、问题的提出在自然界和人类的生产实践中在自然界和人类的生产实践中, 周而复始周而复始的现象的现象, 周期运动是司空见惯的周期运动是司空见惯的.如行星的运转如行星的运转,飞轮的旋转飞轮的旋转, 蒸气机活塞的蒸气机活塞的往复运动往复运动, 物体的振物体的振声、热、光、电的波动等声、热、光、电的波动等. 数学
3、上数学上, 用周期用周期最简单最基本最简单最基本的周期函数是的周期函数是谐函数谐函数周期周期振幅振幅时间时间角频率角频率初相初相 简谐波简谐波 简谐振动简谐振动正弦函数正弦函数动动,函数来描述它们函数来描述它们. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数4它们反映较复杂的周期现象它们反映较复杂的周期现象.除了正弦函数外除了正弦函数外,常遇到的是常遇到的是非正弦周期函数非正弦周期函数,如电子技术中遇到的如电子技术中遇到的矩形波矩形波(如图如图):对复杂的周期运动如何进行定量分析呢对复杂的周期运动如何进行定量分析呢?知道知道, 光的传播是波动光的传播是波动, 通过三棱镜的色散可以看到通过三棱镜的色散可以看到
4、白光是由七种不同频率的单色光组成白光是由七种不同频率的单色光组成.同样同样, 复杂的声波、电磁波复杂的声波、电磁波反之反之,色光叠加又可构成复光色光叠加又可构成复光.也是由不同频率的谐波叠加而成也是由不同频率的谐波叠加而成.不同频率的谐振动不同频率的谐振动我们我们几种单几种单可以组成复杂的周期运动可以组成复杂的周期运动. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数5如矩形波如矩形波不同频率正弦波不同频率正弦波较复杂的较复杂的周期现象周期现象逐个叠加逐个叠加分解分解 11.6 傅里叶级数傅里叶级数6下面以图显示下面以图显示傅里叶级数的部分和随着傅里叶级数的部分和随着n的的增加是如何越来越精确地逼近增加是如何
5、越来越精确地逼近u(t)的的.矩形波矩形波 11.6 傅里叶级数傅里叶级数7矩形波矩形波 11.6 傅里叶级数傅里叶级数8矩形波矩形波 11.6 傅里叶级数傅里叶级数9矩形波矩形波 11.6 傅里叶级数傅里叶级数10矩形波矩形波 11.6 傅里叶级数傅里叶级数11设想设想一个较复杂的周期运动一个较复杂的周期运动(如矩形波如矩形波)分解分解为简谐振动的迭加为简谐振动的迭加. 会给分析问题带来方便会给分析问题带来方便. 是把一个复杂的是把一个复杂的周期函数周期函数 f (t)反映在数学上反映在数学上,的迭加的迭加,表示为各类表示为各类正弦函数正弦函数谐波分析谐波分析或再利用三角恒等式或再利用三角恒
6、等式, 变形为变形为即即 简谐振动简谐振动 11.6 傅里叶级数傅里叶级数12 三角级数三角级数函数函数 f (t)满足什么条件满足什么条件,系数系数a0, an, bn如何确定如何确定?才能展为才能展为解决上述问题起着关键作用的是解决上述问题起着关键作用的是:三角函数系的正交性三角函数系的正交性(orthogonality).三角级数三角级数?为简便计为简便计, 先来讨论以先来讨论以2为周期的函数为周期的函数f (x), 11.6 傅里叶级数傅里叶级数13三角函数系三角函数系二、三角函数系的二、三角函数系的正交性正交性的的正交性正交性是指是指:其中任何两个其中任何两个不同的函数的乘积不同的函
7、数的乘积在一个周期长的区间在一个周期长的区间- -, 上的积分为零上的积分为零, 而任而任一个函数的自乘一个函数的自乘 (平方平方)在在- -, 上的积分为上的积分为或或即有即有orthogonality为为2. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数14 11.6 傅里叶级数傅里叶级数151.1.傅里叶系数傅里叶系数 (Fourier coefficient)利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性两边积分两边积分三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数16利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性再从再从- -到到逐项积分逐项积分 11.6 傅里叶级数
8、傅里叶级数17利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性再从再从- -到到逐项积分逐项积分 11.6 傅里叶级数傅里叶级数18由于由于an的表达式正好给出的表达式正好给出a0.称为称为 傅里叶系数公式傅里叶系数公式. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数19称为函数称为函数 f (x)(诱导出诱导出)的的傅里叶级数傅里叶级数(或或傅氏级数傅氏级数), f (x) 记为记为用它们作系数三角级数用它们作系数三角级数定义定义11.711.7 设设f (x)是以是以2为周期的函数为周期的函数, 则上则上面确定的系数面确定的系数a0 , an, bn(n = 1,2,)称为函数称为函数f (x)的的傅里叶系
9、数傅里叶系数(或或傅氏系数傅氏系数), 11.6 傅里叶级数傅里叶级数20为函数为函数 f (x)(诱导出诱导出)的的傅里叶级数傅里叶级数. . f (x) 注注f (x)的傅里叶级数不见得收敛的傅里叶级数不见得收敛; 即使收敛即使收敛,级数的和也不一定是级数的和也不一定是 f (x).不能无条件的把不能无条件的把下面的下面的傅里叶级数收敛定理傅里叶级数收敛定理回答了我们回答了我们.所以所以,符号符号“ ”的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,当当 f (x)满足什么条件时满足什么条件时,它它并收敛于并收敛于 f (x)本身本身.换为换为“ = ”. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数21狄利克雷狄利
10、克雷(德德)1805-1859(收敛定理收敛定理, 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类在一个周期内连续或只有有限个第一类(2)在一个周期内至多只有有限个极值点在一个周期内至多只有有限个极值点;则由则由f (x)产生的傅里叶级数在任一点产生的傅里叶级数在任一点x都收敛都收敛, 且且设函数设函数f (x)是周期为是周期为2的周期函数的周期函数,定理定理11.22充分条件充分条件)它在区间它在区间-, 上满足条件上满足条件:间断点间断点; 11.6 傅里叶级数傅里叶级数22当当x是是f (x)的连续点时的连续点时,当当x是是f (x)的间断点时的间断点时
11、,傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数 f (x)的关系的关系在在 f (x)的连续点处的连续点处, 都收敛到都收敛到 f (x)自身自身;即使有间断点即使有间断点, 函数也有傅氏级数函数也有傅氏级数,上级数不收敛到函数值上级数不收敛到函数值,只不过在间断点只不过在间断点而是收敛到间断点处左右而是收敛到间断点处左右极限的算术平均值极限的算术平均值;收敛到左端点的右极限和右端点收敛到左端点的右极限和右端点的左极限的算术平均值的左极限的算术平均值. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数23为周期的傅氏级数的为周期的傅氏级数的和函数和函数S(x)在在 上的上的解解S(x) =表达式表达式.f (x
12、)的图形的图形和函数和函数S(x)的图形的图形 11.6 傅里叶级数傅里叶级数24(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的周期函数的三角级数展开是唯一的, 就是就是(3) 要注明要注明傅氏级数的和函数与函数傅氏级数的和函数与函数 f (x)相等相等注注幂级数的条件低幂级数的条件低得得多多;其其傅里叶级数傅里叶级数,的区域的区域.就是函数在一个就是函数在一个周周期内的平均值期内的平均值;它的常数项它的常数项 11.6 傅里叶级数傅里叶级数25周期函数的周期函数的傅里叶级数解题程序傅里叶级数解题程序: :并验证是否满足狄氏条件
13、并验证是否满足狄氏条件(画图目的画图目的: 验证狄氏条件验证狄氏条件; 由图形写出收敛域由图形写出收敛域;易看出奇偶性可减少求系数的工作量易看出奇偶性可减少求系数的工作量);(2) 求出傅氏系数求出傅氏系数;(3) 写出傅氏级数写出傅氏级数, 并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于f (x).(1) 画出画出 f (x)的图形的图形, 11.6 傅里叶级数傅里叶级数26解解u(t)的图象的图象 计算傅里叶系数计算傅里叶系数奇奇奇奇将其展开为傅氏级数将其展开为傅氏级数,并按狄利克雷定理写出此级数的和并按狄利克雷定理写出此级数的和.例例 以以2为周期的矩形脉冲的波形为周期的矩形脉冲的波形 11.
14、6 傅里叶级数傅里叶级数27偶偶f (x) 故故u(t)的傅里叶级数为的傅里叶级数为 11.6 傅里叶级数傅里叶级数28由于由于u(t)满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件, 所以所以,得得u(t)的图象的图象和函数图像和函数图像 11.6 傅里叶级数傅里叶级数29解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数将将 f (x)展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x)的图像的图像例例 函数函数f(x)以以2为周期为周期, 且且 11.6 傅里叶级数傅里叶级数30 11.6 傅里叶级数傅里叶级数31故故 f (x)的傅里叶级数的傅里叶级数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数32由于由于f (x)满足狄利
15、克雷充分条件满足狄利克雷充分条件, 由由收敛定理收敛定理得得 f (x)的图象的图象 11.6 傅里叶级数傅里叶级数33 11.6 傅里叶级数傅里叶级数34(3) F(x)可展为傅氏级数可展为傅氏级数;注注作作 法法对于非周期函数对于非周期函数, 如果如果 f (x)只在区间只在区间- -, 上有定义上有定义,并且满足狄氏充分条件并且满足狄氏充分条件, 也可展也可展开成傅氏级数开成傅氏级数.(1) f (x)在在- -, 上有定义上有定义;(周期延拓周期延拓);级数收敛于级数收敛于F(x)(2) 在在- -, 外补充定义成为外补充定义成为2的函数的函数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数35解解例
16、例 将函数将函数展开为傅氏级数展开为傅氏级数.拓广的周期函数拓广的周期函数的傅氏级数展开式在的傅氏级数展开式在- -, 收敛于收敛于 计算傅里叶系数计算傅里叶系数所给函数在区间所给函数在区间- -, 上上满足狄氏充分条件满足狄氏充分条件, f (x). 11.6 傅里叶级数傅里叶级数36偶函数偶函数奇函数奇函数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数37所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和 11.6 傅里叶级数傅里叶级数38由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质的公式的公式,易得下面的结论易得下面的结论.和傅里叶系数和傅里叶系数此时
17、称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为 正弦级数正弦级数,四、正弦级数和余弦级数四、正弦级数和余弦级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为即即(1) 当周期为当周期为2的奇函数的奇函数f (x)展成傅立叶级数时展成傅立叶级数时,奇函数奇函数f (x) 11.6 傅里叶级数傅里叶级数39此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为注注将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时, 先要考查函数先要考查函数是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性,余余弦级数弦级数它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为(2) 当周期为当周期为2的偶函数的偶函数f (x)展成傅立叶级数时展成傅立叶级数时,偶函数偶函数f (x)即即
18、 11.6 傅里叶级数傅里叶级数40解解 函数的图形如图函数的图形如图,电学上称为电学上称为 偶函数偶函数例例展为傅里叶级数展为傅里叶级数.锯齿波锯齿波.f (x)的图像的图像 11.6 傅里叶级数傅里叶级数41余余弦级数弦级数f (x)的图像的图像由于由于f (x)处处连续处处连续, 所以所以 11.6 傅里叶级数傅里叶级数42解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.设设 f (x)是周期为是周期为2的周期函数的周期函数,它在它在- -, )例例上的表达式为上的表达式为将将 f (x)展开成傅氏级数展开成傅氏级数. f (x)的图形的图形 f (x)是以是以2为周期的为
19、周期的奇函数奇函数, , 11.6 傅里叶级数傅里叶级数43和函数图像和函数图像 11.6 傅里叶级数傅里叶级数44正弦级数正弦级数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数45函数延拓到一个周期函数延拓到一个周期- -, 上上函数定义在函数定义在0, 上上函数按周期延拓到整个数轴上函数按周期延拓到整个数轴上定义在定义在0, 上的函数展开成傅立叶级数上的函数展开成傅立叶级数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数46 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓正弦级数正弦级数.偶函数偶函数,奇函数奇函数,余弦级数余弦级数;因而因而因而因而展开成展开成展开成展开成把把0, 上的函数延拓到上的函数延拓到- -, 上有上有两种两种:
20、(1) 使使函数成为函数成为- -, 上上(2) 使使函数成为函数成为- -, 上上 11.6 傅里叶级数傅里叶级数47 作法作法(3) F(x)可展开为傅氏级数可展开为傅氏级数, 这个级数必定是这个级数必定是得到得到 f (x)的的正弦级数正弦级数 的展开式的展开式.(偶函数偶函数);函数函数正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数);(余弦级数余弦级数)满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件;得到定义在得到定义在(- - , 上的函数上的函数F(x), 使它成为使它成为(- - , )在上的在上的奇奇(1) f (x)在在0, 上有定义上有定义,(2) 在开区间在开区间(- - ,0内内补充定义补
21、充定义,(4) 限制限制x在在0,上上, 11.6 傅里叶级数傅里叶级数48解解(1) 求正弦级数求正弦级数. . 对对f (x)进行进行奇延拓奇延拓,正弦级数正弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数.例例 11.6 傅里叶级数傅里叶级数49(2) 求余弦级数求余弦级数.注注又可展成余弦级数又可展成余弦级数,既可展成正弦既可展成正弦其傅氏级数不唯一其傅氏级数不唯一.余余弦级数弦级数 偶延拓偶延拓,仅在仅在0, 上有定义的函数上有定义的函数,对对f (x)进行进行级数级数, 11.6 傅里叶级数傅里叶级数50 设函数设函数(1) 把把f (x) 展开为正弦级数展开为正弦级
22、数;(2) 求级数的和函数求级数的和函数S(x)在在- - , 上的表达式上的表达式;解解(1)正弦级数正弦级数正弦级数正弦级数周期延拓周期延拓 11.6 傅里叶级数傅里叶级数51 级数的和函数级数的和函数S(x)的周期为的周期为2且在且在- - , 上上,如图所示如图所示从图上看更明显从图上看更明显(2) 求级数的和函数求级数的和函数S(x)在在- - , 上的表达式上的表达式;解解解解 11.6 傅里叶级数傅里叶级数52基本概念基本概念 (三角级数、三角函数系的正交性三角级数、三角函数系的正交性)函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、傅里叶系数、 傅里叶傅里叶傅里叶级数的意
23、义傅里叶级数的意义 整体逼近整体逼近五、小结五、小结函数函数 f (x)在区间在区间0, 展开为展开为傅里叶傅里叶正弦级数正弦级数特点特点: 问题明确问题明确, 解法固定解法固定级数级数 、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和)或余弦级数或余弦级数 11.6 傅里叶级数傅里叶级数53作作 业业习题习题11.6(54111.6(541页）页）1.(1) 2.(2) 1.(1) 2.(2) 4. 6. 8.4. 6. 8. 11.6 傅里叶级数傅里叶级数541757年年, 法国数学家克莱罗在研究太阳引法国数学家克莱罗在研究太阳引1759年年, 拉格朗日在对声学
24、的研究中也使用拉格朗日在对声学的研究中也使用 用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角1777年年, 欧拉在研究天文学的时候欧拉在研究天文学的时候,级数时的系数级数时的系数, 也就是现今教科书中傅里叶级数也就是现今教科书中傅里叶级数的系数的系数. .大胆地采用了大胆地采用了历史朔源历史朔源三角级数三角级数表示函数表示函数: :起的摄动时起的摄动时,了了三角级数三角级数. . 11.6 傅里叶级数傅里叶级数55微分方程是分不开的微分方程是分不开的. .析学的发展析学的发展. .形所采用的三角级数方法进行加工处理形所采用的三角级数方法进行加工处理,1753年
25、年,的解表示为三角级数的形式的解表示为三角级数的形式, 这为函数的傅里叶这为函数的傅里叶展开这个纯数学问题奠定了物理基础展开这个纯数学问题奠定了物理基础, 促进了分促进了分在历史上在历史上,丹丹 贝努利首先提出将弦振动方程贝努利首先提出将弦振动方程1822年年,傅里叶在傅里叶在热的解析理论热的解析理论一书中一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的, 特殊的情特殊的情发展成发展成一般理论一般理论. .三角级数的出现和发展三角级数的出现和发展与求解与求解 11.6 傅里叶级数傅里叶级数56希自己证明希自己证明设设f (x)是以是以2为周期的函数为周期的函数, 且在且在
26、- -, 或或0, 2上可积上可积, 则则 11.6 傅里叶级数傅里叶级数57 设函数设函数 f (x)以以2为周期为周期, 且且 研究生考题研究生考题, 填空填空, 3分分 11.6 傅里叶级数傅里叶级数58解解可以将可以将f (x)展开为傅氏级数展开为傅氏级数. 因为因为所以所以,其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ). 设函数设函数f (x)以以2为周期为周期, 且且 由于由于f (x)在区间在区间- -, 上满足狄利克雷条件上满足狄利克雷条件, 11.6 傅里叶级数傅里叶级数59研究生考题研究生考题, 填空填空, 3分分解解 由由傅里叶系数公式傅里叶系数公式偶偶奇奇 11.6
27、 傅里叶级数傅里叶级数60收收=和和因为因为所以所以 11.6 傅里叶级数傅里叶级数61 例例 在无线电设备中在无线电设备中,常用电子管整流器将交常用电子管整流器将交流电转换为直流电流电转换为直流电.已知电压已知电压t为时间为时间试将试将E(t)展为傅氏级数展为傅氏级数.解解在整个数轴上连续在整个数轴上连续.因为因为E(t)为为偶函数偶函数, ,所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件,所以所以 11.6 傅里叶级数傅里叶级数62n为奇数为奇数,n为偶数为偶数, (n =1时也对时也对) 11.6 傅里叶级数傅里叶级数63思考题思考题是非题是非题则必有则必有是是 因为因为即意味着所论的级数收敛于即意味着所论的级数收敛于 f (x).由级数收敛的由级数收敛的必要条件知必要条件知由于由于是是线性无关线性无关的的, 从而有从而有若在若在a, b上有上有
