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1、2.4二次函数的二次函数的应用应用（第（第3课时）课时）1.利用函数解决实际问题的基本利用函数解决实际问题的基本思想方法思想方法?解题步骤解题步骤?实际问题实际问题抽象抽象转化转化数学问题数学问题运用运用数学知识数学知识问题的解问题的解返回解释返回解释检验检验创设情景创设情景,引入新课引入新课2.二次函数应用二次函数应用的思路怎样的思路怎样?(1)理解问题理解问题(2)分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系以及它们之间的关系(3)用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系(4)用数学知识求解用数学知识求解(5)检验结果的合理性检验结果的合理性,拓
2、展等拓展等创设情景创设情景,引入新课引入新课(1) 直线等加速运动直线等加速运动我们知道，在匀速直线运动中，物体运我们知道，在匀速直线运动中，物体运动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示为为S= =vt，而在直线等加速运动（即通常所说的，而在直线等加速运动（即通常所说的加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我们仍用们仍用S表示距离（米），用表示距离（米），用 表示初始速度表示初始速度（米秒），用（米秒），用t表示时间（秒），用表示时间（秒），用a表示每表示每秒增加的速度（米秒）秒增加的速度（米秒）. 那么直线等加
3、速运那么直线等加速运动位移的公式是：动位移的公式是：就是说，就是说，当当速度和每秒增加的速度一定时，距速度和每秒增加的速度一定时，距离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是二次函数二次函数.0V合作交流合作交流,探究新知探究新知我们来看一个例子：我们来看一个例子： = =1米秒，米秒，a= =1米秒，米秒，下面我们列表看一下和的关系下面我们列表看一下和的关系.t（秒）（秒）0123456S（米）（米）0 1.5 4 7.5 12 17.5 24注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，停止等加速时停止计时停止
4、等加速时停止计时. t的取值范围，很明显是的取值范围，很明显是t0，而而S的取值范围，同样是的取值范围，同样是S0. 下面我们来看看它的图下面我们来看看它的图象：象：StO0v(2) 自由落体位移自由落体位移我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的特殊情况，它的初始速度特殊情况，它的初始速度为为0，而每秒增加的而每秒增加的速度为速度为9.8米秒，我们用表示，但这个不米秒，我们用表示，但这个不是是9.8牛牛顿顿千克自千克自由落体位移的公式为：由落体位移的公式为：我们再来看看这个函数的表格：我们再来看看这个函数的表格： t（秒）（秒） S（米）（米） 4.9
5、 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情况，图象大同况，图象大同小异小异(3) 动能动能现在我们来看另一方面的问题现在我们来看另一方面的问题. 我们知道，物体在我们知道，物体在运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和速度有关速度有关. 比如说，比如说，有有个人走过来不小心撞上你，个人走过来不小心撞上你，或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒退几步，
6、而假如你站在百米终点线上，想不被撞倒都不容易倒都不容易. 这是因为对方具有的动能随速度的增这是因为对方具有的动能随速度的增大而增大大而增大. 我们用我们用E表示物体具有的动能（焦耳）表示物体具有的动能（焦耳），m表示物体的质量（千克），用表示物体的质量（千克），用v表示物体的速表示物体的速度（米秒），那么计算物体动能的公式就是：度（米秒），那么计算物体动能的公式就是：来看一个表格来看一个表格（m= =1千千克）：克）：v（米米/秒）秒） 0 1 23 45 6E（焦焦耳）耳） 00.5 2 4.5 8 12.518v的的取值范围显然取值范围显然是是v0，E的的取值范围也取值范围也是是E0，所以
7、它的图象和前两个没什么所以它的图象和前两个没什么区别区别.通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理 方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围 的要求大部分都是要求该数值大于等于的要求大部分都是要求该数值大于等于，所以图象，所以图象 大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在 第一象限第一象限. 还有，物理学上用到的公式，一般很少有还有，物理学上用到的公式，一般很少有 常数项常数项. 现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由现在我们反过来
8、研究：物体运动某一路程或物体自由 下落到某一高度需要多少时间？下落到某一高度需要多少时间？例例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s,经过经过t(s)时求的高度为时求的高度为h(m). 已知物体已知物体竖直上抛运动中，竖直上抛运动中， (v0表示物体表示物体运动上弹开始时的速度，运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取表示重力系数，取g= =10m/s2). 问球从弹起至回到地面需多少时问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到间？经多少时间球的高度达到3.75m?例例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为一个球从地面上竖直向上弹起
9、时的速度为10m/s，经过，经过t(s)时求时求的高度为的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中，已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物表示物体运动上弹开始时的速度，体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取表示重力系数，取g10m/s2). 问球从问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m?分分析：析：从图象可以看到图象与从图象可以看到图象与x轴交点横坐标轴交点横坐标0和和2,分别就是球从地面弹起后到地面的分别就是球从地面弹起后到地面的时间，此时时间，此时h=0,所以也是一元二次方程所以也是一元二次方程 的两个根，这两个
10、时间差的两个根，这两个时间差即为所求即为所求.同样，我们只要取同样，我们只要取h= =3.75m，得得一元一元二次方程二次方程根，就得到球达到根，就得到球达到3.75m高度时高度时所经所经过的时间过的时间.，求出，求出它的它的根根据据已已知知条条件件,我我们们易易写写出出h关关于于t的的二二次次函函数数解解析析式式,并并画画出出函函数数的的大大致致图图象象.t(s)h(m)01253.75例例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过，经过t(s)时求的高度为时求的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中，已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体
11、运动上弹开始时的速度，表示物体运动上弹开始时的速度，g表表示重力系数，取示重力系数，取g10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到高度达到3.75m?解解:由题意由题意,得得h(m)关于关于t(s)的二次函数的解析式的二次函数的解析式为为取取h= =0,得一元二次方程得一元二次方程取取h= =3.75, 得一元二次方程得一元二次方程答答:球从弹起至回到地面需球从弹起至回到地面需2s,经过经过0.5s或或1.5s球的高度达到球的高度达到3.75m.解这个方程解这个方程,得得 t1=0,t2=2所以球从地面弹起至回到地面所需
12、的时间为所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为t2-t1=2(s)解这个方程解这个方程,得得 t1= =0.5,t2= =1.5结论结论 从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求二次函数的图象与横轴二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线或平行于横轴的直线)的交点的交点坐标坐标. 反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二次方程的解次方程的解.在直角坐标系中画出函数在直角坐标系中画出函数 的图象，的图象，例例2 利用二次函数的图象求方程利用二次函数的图象求方程x+ +x- -1= =0的近似解的近似解观察图得到点观察
13、图得到点A A的横坐标的横坐标 ，点点B的横坐标的横坐标 解解:设设，则方程，则方程的解就是该函数图象与的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标得到与得到与x轴的交点为轴的交点为A、B，则点，则点A、B的横坐标的横坐标x1、x2就是方就是方程的解程的解的近似解为的近似解为 所以方程所以方程1012xy2- -2- -1- -1- -2- -3AB012xy12- -2- -1- -1- -2- -3AB想一想：将想一想：将x1= =0.6和和x2=-=-1.6代入代入x+ +x- -1，其值分别是多少？其值分别是多少？结论结论我们知道，我们知道，二次函数二次函数y= =ax+ +bx
14、+ +c (a0)的图象与的图象与x轴的交点的横坐轴的交点的横坐标标x1、x2就是一就是一元二元二次方程次方程ax+ +bx+ +c= =0(a0)的两的两个根个根.因此因此我们可以通过解方我们可以通过解方程程ax+ +bx+ +c= =0来求来求抛物抛物线线y= =ax+ +bx+ +c与与x轴交点的坐标；轴交点的坐标；反过来，反过来，也可以也可以由由y= =ax+ +bx+ +c的图象来求一元的图象来求一元二次方二次方程程ax+ +bx+ +c= =0的解的解.练一练练一练一球从地面抛出的运动路线呈抛物线一球从地面抛出的运动路线呈抛物线,如图如图,当球离抛出当球离抛出地的水平距离为地的水平
15、距离为30米时米时,达到最大高度达到最大高度10米米.(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的求球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围取值范围(2)求球被抛出多远求球被抛出多远(3)当球的高度为当球的高度为5米时米时,球离抛出地的水平距离是多少球离抛出地的水平距离是多少030x(m)y(m)10由题意得h=30,k=10把(0,0)代入前式,得0=900a+101a=-90练一练练一练用求根公式求出方程用求根公式求出方程x+ +x- -1= =0的近似解的近似解,并由此检验例并由此检验例2中所给中所给图象解法的精确度图象解法的精确度.解解:课堂小结课堂小结1.理顺利用函数解决实际问题的基本理
16、顺利用函数解决实际问题的基本思想和基本思路思想和基本思路.2.二次函数的图象与二次函数的图象与x横轴的交点的横坐标横轴的交点的横坐标即为一元二次方程的解即为一元二次方程的解,反过来也对反过来也对.某某跳水运动员进行跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看米跳台跳水训练时，身体（看成一成一点点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）件）.在在跳某个跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面面10米，入水
17、处距池边的距离为米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距米，同时，运动员在距水面高度为水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现好入水姿势，否则就会出现失误失误.（1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（在空中的运动路线是（1）中的抛）中的抛物线，且运动员在空中调整物线，且运动员在空中调整好入水好入水姿势时，距池边的水平距离为姿势时，距池边的水平距离为3米，米，问此次跳水会不会失误？并通过计问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。算说明理由。回顾与思考爱学数学爱数学周报再见再见数学周报将提供数学周报将提供更多更有趣的资料给大家更多更有趣的资料给大家
