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1、范例范例2.6 小球在空气中竖直上抛运动的规律小球在空气中竖直上抛运动的规律一质量为一质量为m的小球以速率的小球以速率v0从地面开始竖直上抛。在运动过从地面开始竖直上抛。在运动过程中，小球所受空气阻力的大小与速率成正比，比例系数程中，小球所受空气阻力的大小与速率成正比，比例系数为为k。(1)求小球上抛过程的速度和高度与时间的关系，速度求小球上抛过程的速度和高度与时间的关系，速度和高度有什么关系？小球上升的最大高度和到达最大高度和高度有什么关系？小球上升的最大高度和到达最大高度的时间是多少？的时间是多少？(2)求小球落回原处的时间和速度。求小球落回原处的时间和速度。解析解析(1)小球竖直上升时受
2、到重力和空气阻力，两者方向竖小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向竖直向下，取竖直向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程直向下，取竖直向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程分离变分离变量得量得积分得积分得小球速度随时间小球速度随时间的变化关系为的变化关系为范例范例2.6 小球在空气中竖直上抛运动的规律小球在空气中竖直上抛运动的规律由于由于v = dh/dt，所以，所以小球高度随时间小球高度随时间的变化关系为的变化关系为积分得积分得小球速度随时间小球速度随时间的变化关系为的变化关系为根据高度与时间的关系和速度与时根据高度与时间的关系和速度与时间的关系，可得高度与速度的关系。间的关系，可得高度
3、与速度的关系。当小球上升到最高点当小球上升到最高点时，其速度为零时，其速度为零。小球到最高点所小球到最高点所需要的时间为需要的时间为小球上升的小球上升的最大高度为最大高度为可见：小球上升可见：小球上升到最高点的时间到最高点的时间和高度由比例系和高度由比例系数和初速度决定数和初速度决定。范例范例2.6 小球在空气中竖直上抛运动的规律小球在空气中竖直上抛运动的规律当当k0时，利用公式时，利用公式ex 1 + x，可得，可得这是不计空气阻力时竖这是不计空气阻力时竖直上抛运动的速度公式。直上抛运动的速度公式。即即 vv0 gt。讨论讨论再利用公式再利用公式ex 1 + x + x2/2，可得，可得这是
4、不计空气阻力时竖直上抛运动的高度公式。这是不计空气阻力时竖直上抛运动的高度公式。利用公式利用公式ln(1 + x)x，可得，可得这是不是不计空气阻力空气阻力时小球小球竖直上升最直上升最大高度的大高度的时间。即即再利用公式再利用公式ln(1 + x)x x2/2，可得，可得这是不计空气阻力时小球竖这是不计空气阻力时小球竖直上抛运动的最大高度直上抛运动的最大高度。不论初速度为多少，小球的速度不论初速度为多少，小球的速度随时间逐渐减小，直到零为止。随时间逐渐减小，直到零为止。初速度越大，小球到达最初速度越大，小球到达最高点所需要的时间越长。高点所需要的时间越长。不论初速度为多少，小球的高不论初速度为
5、多少，小球的高度都随时间增加，开始的时候度都随时间增加，开始的时候几乎直线增加，在最高点附近几乎直线增加，在最高点附近缓慢增加，直到最大高度为止。缓慢增加，直到最大高度为止。初速度初速度越大，越大，小球达小球达到的最到的最大高度大高度越高。越高。不论初速度为多少，小不论初速度为多少，小球的速度随高度都减小，球的速度随高度都减小，在最高点速度为零。在最高点速度为零。范例范例2.6 小球在空气中竖直上抛运动的规律小球在空气中竖直上抛运动的规律(2)求小球落回原处的时间和速度。求小球落回原处的时间和速度。解析解析(2)当小球从最高点竖直下落时，速度方向向下，空气阻当小球从最高点竖直下落时，速度方向向
6、下，空气阻力的方向向下，取向下的方向为正，根据牛顿第二定律得方程力的方向向下，取向下的方向为正，根据牛顿第二定律得方程分离变分离变量得量得积分得积分得小球速度随时间小球速度随时间的变化关系为的变化关系为由于由于v = dh/dt，所以，所以积分得积分得这是小球下落的高这是小球下落的高度与时间的关系。度与时间的关系。当小球落回原处当小球落回原处时，时，h = H，可得，可得这是关于时间的超越方程。这是关于时间的超越方程。如果求得时如果求得时间间T，即可求，即可求得小球落回得小球落回原处的速度原处的速度。范例范例2.6 小球在空气中竖直上抛运动的规律小球在空气中竖直上抛运动的规律(2)求小球落回原
7、处的时间和速度。求小球落回原处的时间和速度。讨论讨论当当k0时，利用公式时，利用公式ex1 + x，得，得这是不计空气阻力时小球自由下落的速度。这是不计空气阻力时小球自由下落的速度。利用公式利用公式ex1 + x + x2/2，得，得这正是自由这正是自由落体下落的落体下落的高度公式。高度公式。再利用公式再利用公式ln(1 + x)x x2/2，得，得Tv0/g。化简得化简得这是不计空气阻力时小球自由下落到原处的时间这是不计空气阻力时小球自由下落到原处的时间。上升的初速度越大，小上升的初速度越大，小球上升的高度就越大。球上升的高度就越大。当初速度比较大时，当初速度比较大时，小球上升的高度随时小球上升的高度随时间几乎呈直线增加。间几乎呈直线增加。上升的初速度越大，小球上升的初速度越大，小球达到最大高度所需要的时达到最大高度所需要的时间越长，但是小于小球从间越长，但是小于小球从最高点下落到原处的时间。最高点下落到原处的时间。小球在空气中上升和下小球在空气中上升和下落到原处的总时间比不落到原处的总时间比不计阻力的总时间要短。计阻力的总时间要短。上升的初速度越大，小球回上升的初速度越大，小球回到原处的速度也越大，与小到原处的速度也越大，与小球上升的初速度相差也越大球上升的初速度相差也越大。
