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1、1板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化比如当高变为原来的 3 倍,底变为原来的13,则三角形面积与原来的一样这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不
2、同的形状在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等;两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如左图12:SSa bbaS2S1 DCBA夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图ACDBCDSS;反之,如果ACDBCDSS,则可知直线AB平行于CD等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比【例例 1】你有多少种方法将任意一个三角形分成： 3 个面积相等
3、的三角形; 4 个面积相等的三角形;6 个面积相等的三角形 【例例 2】如图,BD 长 12 厘米,DC 长 4 厘米,B、C 和 D 在同一条直线上例题精讲例题精讲4-3-1.4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型2 求三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍? 求三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?DCBA【例例 3】如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米FEDCBA【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示,平行四边形的面积是 50 平方厘米,则阴影部分的面积
4、是 平方厘米【巩固】如下图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是 20,宽是 12,则它内部阴影部分的面积是 ABCDEF3【例例 4】如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积HGFEDCBA HGFEDCBA【巩固】图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点,如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是 EDGCFBA 654321HABFCGDE【例例 5】长方形ABCD的面积为 36,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少?HGFE
5、DCBA(H)GFEDCBA HGFEDCBA4【巩固】在边长为 6 厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积PDCBA ABCD(P) PDCBA【例例 6】如右图,E 在 AD 上,AD 垂直 BC,12AD 厘米,3DE 厘米求三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍?EDCBA【例例 7】如图,在平行四边形 ABCD 中,EF 平行 AC,连结 BE、AE、CF、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形?FDECBA【巩固】如图,在ABC 中,D 是 BC 中点,E 是 AD 中点,连结 BE、CE
6、,那么与ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形?5EDCBA【巩固】如图,在梯形 ABCD 中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有哪几对?ODCBA【例例 8】如图,三角形ABC的面积为 1,其中3AEAB,2BDBC,三角形BDE 的面积是多少?ABECDDCEBA【例例 9】如右图,ADDB,AEEFFC,已知阴影部分面积为 5 平方厘米,ABC的面积是 平方厘米FEDCBA FEDCBA【巩固】图中三角形ABC的面积是 180 平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的 3 倍,EF的长是BF 长的 3 倍那么三角形AEF的面积是多少平方厘米? 6FEDCBA【巩固】如图,在长方
7、形ABCD中,Y是BD的中点,Z是DY的中点,如果24AB 厘米,8BC 厘米,求三角形ZCY的面积ABCDZY【巩固】如图,三角形 ABC 的面积是 24,D、E 和 F 分别是 BC、AC 和 AD 的中点求三角形 DEF 的面积FEDCBA【巩固】如图,在三角形 ABC 中,8BC 厘米,高是 6 厘米,E、F 分别为 AB 和 AC 的中点,那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米?FECBA【例例 10】 如图所示,A、B、C都是正方形边的中点,COD比AOB大15平方厘米.AOB的面积为 平方厘米.7OEDCBA【例例 11】 如图 ABCD 是一个长方形,点 E、F 和 G 分别
8、是它们所在边的中点如果长方形的面积是 36 个平方单位,求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位FEGDCBA FEGDCBA【巩固】如图,长方形ABCD的面积是1,M是AD边的中点,N在AB边上,且2ANBN.那么,阴影部分的面积是多少?ANBMDCCDMBNA【例例 12】 如图,大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积848cm224cm236cm212cm2 MNDCBA12cm236cm224cm248cm2【例例 13】 图中 ABCD 是个直角梯形(DAB=ABC=90),以 AD 为一边向外作长方形
9、ADEF,其面积为 6.36 平方厘米.连接 BE 交 AD 于 P,再连接 PC.则图中阴影部分的面积是( )平方厘米.PABCDEF(A)6.36(B)3.18 (C)2.12（D）1.59【例例 14】 如图,BC是半径为6的圆O上的弦,且BC的长度与圆的半径相等,A是圆外的一点,OA的长度为12,且OA与BC平行,那么图中阴影部分的面积是 .（3.14）OCBA【巩固】在下图中,A 为半径为 3 的0 外一点.弦 BCA0 且 BC=3.连结 AC.阴影面积等于 .(=3.14)OCBA9【例例 15】 如图,三角形ABC中,2DCBD,3CEAE,三角形 ADE 的面积是 20 平方
10、厘米,三角形ABC的面积是多少?EDCBA【例例 16】 如图,在三角形ABC中,已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89,28,26那么三角形DBE的面积是 EDCBA【例例 17】 如图,梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分成了两部分三角形 BDC 的面积比三角形 ABD 的面积大10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米,它们的差是 5 分米求梯形 ABCD 的面积DCBA EhABCD【例例 18】 图中AAOB 的面积为215cm,线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍,求梯形 ABCD 的面积OCBDA10【例例 19】 如图,把四边形 A
11、BCD 改成一个等积的三角形DCBAAABCD【例例 20】 一个长方形分成 4 个不同的三角形,绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是221cm问：长方形的面积是多少平方厘米?红绿黄红【例例 21】O是长方形ABCD内一点,已知OBC的面积是25cm,OAB的面积是22cm,求OBD的面积是多少?PODCBA【例例 22】 如右图,过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH,若PBD的面积为 8 平方分米,求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米?11ABCDEFGHP ABCDEFGHP【例例 23】 如右图,正方形ABCD的面积是20,正
12、三角形BPC的面积是15,求阴影BPD的面积PDCBA OABCDP【巩固】如右图,正方形ABCD的面积是12,正三角形BPC的面积是5,求阴影BPD的面积PDCBA OABCDP【例例 24】 在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AOB的面积为 16,等腰DOC的面积占长方形面积的18%,那么阴影AOC的面积是多少?ODCBA12【例例 25】 如右图所示,在梯形ABCD中,E、F分别是其两腰AB、CD的中点,G是EF上的任意一点,已知ADG 的面积为215cm,而BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的720,则梯形ABCD的面积是 2cmABCDEFG ABCDEFG【例例 26】 如图所
13、示,四边形ABCD与AEGF都是平行四边形,请你证明它们的面积相等GFEDCBA GFEDCBA【巩固】如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘米,那么长方形的宽为几厘米 ?ABGCEFD ABGCEFD【例例 27】 如图,正方形 ABCD 的边长为 6,AE1.5,CF2长方形 EFGH 的面积为 13HGFEDCBA【例例 28】 如图,ABCD 为平行四边形,EF 平行 AC,如果AADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积AEBFCD DCFBEA【巩固】如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若1ADES,求B
14、EF 的面积ABCDEF ABCDEF【例例 29】 梯形 ABCD 中,AE 与 DC 平行,15ABES,BCFS .FEDCBA【例例 30】 图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米,则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米14【例例 31】 如图,有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上,其中正方形GFEB的边长为 10 厘米,求阴影部分的面积KOQPHGFEDCBAKOQPHGFEDCBA【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形ABC的面积G4ABCDEF G4ABCDEF【巩固】如图,ABCD与AEFG均为正方形,三角形ABH的面积为
15、 6 平方厘米,图中阴影部分的面积为 ABCDEFGH ABCDEFGH15【巩固】正方形 ABCD 和正方形 CEFG,且正方形 ABCD 边长为 10 厘米,则图中阴影面积为多少平方厘米?DGFHECBA ABCEHFGD【巩固】已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积JIHGABCDEF JIHGABCDEF【例例 32】 于CF的三分之一,三角形CHG的面积等于 6 平方厘米,求五边形ABGEF的面积HGFEDCBA HGFEDCBA【例例 33】 如下图,E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点,DFFC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形
16、ABCD的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积16ABCDEF丙丙丙【例例 34】 如图,已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少?FEDCBA FEDCBA FEDCBA【例例 35】 如图,在平行四边形ABCD中,BEEC,2CFFD求阴影面积与空白面积的比HABCDEFG【例例 36】 如图所示,三角形ABC中,D是AB边的中点,E是AC边上的一点,且3AEEC,O为DC与BE的交点若CEO的面积为a平方厘米,BDO的面积为b平方厘米且ba是2.5平方厘米,那么三角形ABC的面积是 平方厘米EbaODCBA17【例例 3
17、7】 如图,在梯形ABCD中,:4:3AD BE ,:2:3BE EC ,且BOE的面积比AOD的面积小 10 平方厘米梯形ABCD的面积是 平方厘米OABCDE【巩固】如图,BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与DC平行,AE 与BD相交于O点已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米,并且25ECBC求梯形ABCD的面积OABCDE OABCDE【例例 38】 如右图所示,在长方形内画出一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49那么图中阴影部分的面积是多少?ABCDE493513【例例 39】 图中是一个各条边分别为 5 厘米、12 厘米、13 厘米的直角三角形将它的
18、短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米? 18【例例 40】 如图,长方形ABCD的面积是 2 平方厘米,2ECDE,F是DG的中点阴影部分的面积是多少平方厘米?GFEDCBA【例例 41】 如图,三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路,他知道DFDC,且2ADDE则两块地ACF和CFB的面积比是_FEDCBAFEDCBAGFEDCBA【例例 42】 如图,45BC ,21AC ,ABC被分成9个面积相等的小三角形,那么DIFK KJIHGFEDCBA【巩固】如图,在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F
19、六个点,并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于 1,则DCF的面积等于 ECAOBDFMN19【例例 43】E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点,且DQ、CP、ME彼此平行,若5AD ,7BC ,5AE ,3EB 求阴影部分的面积QPMABCED QPMABCED【例例 44】 已知ABC为等边三角形,面积为 400,D、E、F分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积(丙是三角形HBC)丙丙丙HNMJIFEDCBA【例例 45】 如图,已知5CD ,7DE ,15EF ,6FG ,线段AB将图形分成两部分,左边部分面积是 38,右边部分面积是 65,
20、那么三角形ADG的面积是 GFEDCBA ABCDEFG【巩固】如图,点D、E、F在线段CG上,已知2CD 厘米,8DE 厘米,20EF 厘米,4FG 厘米,20AB将整个图形分成上下两部分,下边部分面积是67平方厘米,上边部分面积是166平方厘米,则三角形ADG的面积是多少平方厘米?ABCDEFGGFEDCBA【例例 46】 如图,正方形的边长为 10,四边形EFGH的面积为 5,那么阴影部分的面积是 HGABCDEF MNHGABCDEF【巩固】如图,正方形的边长为 12,阴影部分的面积为 60,那么四边形EFGH的面积是 HGABCDEF MNHGABCDEF【例例 47】 如图所示,长
21、方形ABCD内的阴影部分的面积之和为 70,8AB ,15AD ,四边形EFGO的面积为 21OGFEDCBA【巩固】如图所示,矩形ABCD的面积为 24 平方厘米三角形ADM与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是 平方厘米NOMPDCBA【巩固】如图所示,矩形ABCD的面积为 36 平方厘米,四边形PMON的面积是 3 平方厘米,则阴影部分的面积是 平方厘米NOMPDCBA【巩固】如图,长方形ABCD的面积是 36,E是AD的三等分点,2AEED,则阴影部分的面积为 OABCDE NMOABCDE【例例 48】 如图,如果长方形ABCD的面积是56平方厘米,那么
22、四边形MNPQ的面积是多少平方厘米?226523NMQPDCBA 336523NMQPDCBA【例例 49】 如图,阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形,则阴影部分四边形的面积是 2cm1cm4cm QPNMHGFEABCD【巩固】如图,阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形,则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米?4cm2cm QPNMHGFEABCD【巩固】已知正方形的边长为 10,3EC ,2BF ,则ABCDS四边形 FEDCBA NMABCDEF23【例例 50】 如图,三角形AEF的面积是17,DE、BF的长度分别为11、3求长方形ABCD的面积ABCDEF M
23、HGABCDEF【例例 51】 如图,长方形ABCD中,67AB ,30BC E、F分别是ABBC、边上的两点,49BEBF那么,三角形DEF面积的最小值是 ABCDEF MNOABCDEF【例例 52】ABCD是边长为 12 的正方形,如图所示,P是内部任意一点,4BLDM、5BKDN,那么阴影部分的面积是 PNMLKDCBA (P)ABCDKLMN PNMLKDCBA【例例 53】 如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是ABCD各边的中点,求阴影部分与四边形PQRS的面积之比24SRQPHGFEDCBA SRQPHGFEDCBA【巩固】如图,E、F、G、H分别是四边形ABCD各
24、边的中点,FG与FH交于点O,1S、2S、3S及4S分别表示四个小四边形的面积试比较13SS与24SS的大小OS4S3S2S1HGFEDCBA OS4S3S2S1HGFEDCBA【例例 54】 如图,四边形ABCD中,:3:2:1DE EF FC ,:3:2:1BG GHAH ,:1:2AD BC ,已知四边形ABCD的面积等于 4,则四边形EFHG的面积 HGFEDCBA HGFEDCBA【拓展】如图,对于任意四边形ABCD,通过各边三等分点的相应连线,得到中间四边形EFGH,求四边形25EFGH的面积是四边形ABCD的几分之几?KJPONMHGABCDEF【例例 55】 有正三角形ABC,
25、在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N,在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R,使LPMQNR,当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时,使XYXL这时,三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几?请写出思考过程ABCNMQRPLXYZ【例例 56】 如图：已知在梯形ABCD中,上底是下底的23,其中F是BC边上任意一点,三角形AME、三角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12求三角形NDE的面积CDNFEMBA hCDNFEMBA26【例例 57】 如图,已知ABCD是梯形,ADBC,:1:2AD BC ,:1:3AOFDOESS,224cm
26、BEFS,求AOF的面积OFDECBA hOFDECBA【例例 58】 如图,ABCD是一个四边形,M、N分别是AB、CD的中点如果ASM、MTB与DSN的面积分别是 6、7 和 8,且图中所有三角形的面积均为整数,则四边形ABCD的面积为 MNTSDCBA MNTSDCBA【例例 59】 直角边长分别为 18 厘米,10 厘米的直角ABC 和直角边长分别为 14 厘米,4 厘米的直角ADE 如图摆放M 为 AE 的中点,则ACM 的面积为 平方厘米 27【例例 60】 如右图,过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH,若PAC的面积为 6,求平行四边形PGDF的面积比平行四边形PEBH的面积大 ABCDEFGHP【例例 61】 如图,平行四边形 ABCD 与平行四边形 EFCG 是两个形状一模一样的平行四边形,点 G、D、都在线段AE 上,三角形 BEF 的面积是 2,那么三角形 ABD 的面积是_.GFEDCBA【例例 62】 如图长方形 ABCD,AB = 24,BC = 18,把 AB 边对折到 AC 上与 AC 重合,把 AD 边也对折到 AC 上与 AC重合,请问得到的新图形的面积是多少?1HGFBDCAEBCDA
