第2章平差数学模型与最小

《第2章平差数学模型与最小》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章平差数学模型与最小（84页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 第二章第二章 平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理 2-1 测量平差概述测量平差概述 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方间的高差，平面网

2、中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为几何量。被称为几何量。 在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求的坐标；根据一点的高程，通过直接测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个定另一些点的高程等等。这也充分说明要确定一个几何模型，并不需要知道

3、其中所有元素的大小，只几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量它们之间的函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。与已知量之间的关系式称为函数模型。 随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个随着几何模型的不同，它所需要知道的元素的个数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就数与类型也有所不同，要唯一地确定几何模型，就必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的必须弄清楚至少需要观测哪些元素以及哪些类型的元素。例如：元素。例如： 如

4、图如图2-1的三角形的三角形ABC中，为了确定它的中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就形状，只需要知道其中任意两个内角的大小就可以了，如可以了，如 、 或或 、 或或 、 等。等。它们都是同一类型的元素。它们都是同一类型的元素。要确定该三角形的大小要确定该三角形的大小和形状，就必须知道三个和形状，就必须知道三个不同的元素，即任意的一不同的元素，即任意的一边两角、任意的两边一角边两角、任意的两边一角或者是三边。或者是三边。 如：如： 或或 或或 等，它等，它们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，们中间都至少包含一条边长，否则只能确定其形状，而不能确定其大小，该情况包含

5、两类元素（角度和而不能确定其大小，该情况包含两类元素（角度和边长）。边长）。 要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐要确定该三角形的大小、形状和它在一个特定坐标系中的位置和方向，则必须知道图中标系中的位置和方向，则必须知道图中15个元素中的个元素中的6个不同的元素，当然，这个不同的元素，当然，这6个元素可以构成更多的组个元素可以构成更多的组合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标合，但不论哪一种组合，都至少要包含一个点的坐标和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可和一条边的坐标方位角，这是确定其位置和方向不可缺少的元素，通常称其为外部配置元素，它们的改变缺少的元素，通常称其为外

6、部配置元素，它们的改变只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不只相当于整个网在坐标系中发生了平移和旋转，并不影响该三角形的内部形状和大小。影响该三角形的内部形状和大小。 所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角所以三角形中如果没有已知点坐标和已知方位角时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，时，也可以假定一个点的坐标和一条边的方位角，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，这就相当于将该三角形定位于某个局部坐标系中，实际上只需要实际上只需要3个元素就可以了。如果个元素就可以了。如果A、B两点都两点都是已知点，为确定三角形的大小、形状、位置和方是已知点，为确定三角形的大小、形状、

7、位置和方向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边向，则只需要任意两个元素就行了，如两角、两边或一边一角等。或一边一角等。 从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为必要观测元素。必要观测元素。 必要观测元素的个数用必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3

8、和和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模只与几何模型有关，与实际观测量无关。型有关，与实际观测量无关。 必要观测元素的个数用必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个数。表示，称为必要观测个数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为t=2,t=3和和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素。而对于后两种情况，不仅要考虑必要观测元素的个数，还要考虑

9、到元素的类型，否则就无法唯一地的个数，还要考虑到元素的类型，否则就无法唯一地确定模型。必要观测个数确定模型。必要观测个数t只与几何模型有关，与实际只与几何模型有关，与实际观测量无关。观测量无关。 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上元素不可能表达为其余必要观测元素的函数。在上述述情况中，任意三个必要观测元素，如情况中，任意三个必要观测元素，如 之间，其中之间，其中 不可能表达成不可能表达成 的函数，除非再的函数，除非再增

10、加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为增加其它的量。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量，简称独立量。函数独立量，简称独立量。 在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何在测量工作中，为了求得一个几何模型中的几何量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所量大小，就必须进行观测，但并不是对模型中的所有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测有量都进行观测。假设对模型中的几何量总共观测n个，当观测值个数小于必要观测个数，即个，当观测值个数小于必要观测个数，即nt，设：，设： r=n-t (2-1-1) 式中式中n是观测值个数，是观测值个数，t是必要观测个数，是必要观测个数，r称为称为多

11、余观测个数，表示有多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学个多余观测值，在统计学中也叫自由度。中也叫自由度。 既然一个几何模型能通过既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一个必要而独立的量唯一的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可以由这以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量个量确定下来，即模型中任何一个其它的量都是这都是这t个独立量的函数，都与这个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一个量之间存在有一定的函数关系式。现在模型中有定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因个多余观测量，因此，一定也存在着此，一定也存在着r个

12、这样的函数关系式。个这样的函数关系式。 例如在上述例如在上述中，中，t=2，如选为必要观测量，假设，如选为必要观测量，假设现在又观测了，则它们的真值之间就存在一个确定现在又观测了，则它们的真值之间就存在一个确定的关系：的关系： (2-1-2) 再如上述再如上述中，如果观测了角度中，如果观测了角度 、 、 和和边长边长 ，即，即n=5,t=3,则则r=2,它们的真值之间它们的真值之间也存在如下关系式：也存在如下关系式： (2-1-3)(2-1-3) (2-1-4)(2-1-4) 由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就由此可见，每增加一个多余观测，在它们中间就必然增加且只增加一个确定的函数关系

13、式，有多少必然增加且只增加一个确定的函数关系式，有多少个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种个多余观测，就会增加多少个这样的关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。函数关系式，在测量平差中称为条件方程。 综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方综上所述，由于有了多余观测，必然产生条件方程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之程，但由于观测不可避免地含有误差，故观测值之间必然不能满足理论上的条件方程，即：间必然不能满足理论上的条件方程，即： (2-1-5)(2-1-5)即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于即观测值产生了矛盾，从而使观测值不能完全吻合于几何模型。几何

14、模型。 为了消除矛盾，通常用另一组被称为为了消除矛盾，通常用另一组被称为“观测值估值观测值估值”（又叫平差值、最或是值、最或然值）（又叫平差值、最或是值、最或然值） 来代替观来代替观测值测值 L，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个，由于任何一个观测值估值都可以看作是一个改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，即改正了的观测值，是由观测值加上改正数而得到，即 （2-1-62-1-6）式中式中 称为观测值称为观测值 的改正数，它们必须在计算之的改正数，它们必须在计算之前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三前被计算出来。但这种改正数有无数多组（如：对三角形闭合差的分配），但从统计学角

15、度讲，只有一组角形闭合差的分配），但从统计学角度讲，只有一组改正数能得到最优解。改正数能得到最优解。 为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束为求唯一的一组最优改正数，必须附加一定的约束条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优条件，我们把按照某一准则求得观测值新的一组最优估值的计算过程叫平差。估值的计算过程叫平差。 求观测值的平差值是测量平差的任务之一，除此之求观测值的平差值是测量平差的任务之一，除此之外，还要对计算成果进行分析，衡量平差结果的精度。外，还要对计算成果进行分析，衡量平差结果的精度。2-2 测量平差的数学模型测量平差的数学模型 在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几

16、何量在测量工作中，涉及的是通过观测量确定某些几何量的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的的大小等有关数量问题，因此，常考虑如何建立相应的数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种数学模型及如何解算这些模型。由于测量观测值是一种随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型随机变量，所以，平差的数学模型与传统数学上的模型不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模不同，它不仅要考虑描述已知量与待求量之间的函数模型，还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时，函数型，还要考虑随机模型，在研究任何平差方法时，函数模型和随机模型必须同时予以考虑。本节详细介绍平差模型和随机模型必须同时

17、予以考虑。本节详细介绍平差的随机模型和常见的平差函数模型及其建立方法的随机模型和常见的平差函数模型及其建立方法 在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为数学模型。系，这种数学关系式就称为数学模型。矿区水准网示意图矿区水准网示意图:如何对各段高差按照一定规则进行改正如何对各段高差按照一定规则进行改正,满足各闭合环的闭合差等于零的要求满足各闭合环的闭合差等于零的要求!某矿井下导线示意图某矿井下导线示意图:如何对各段各角和边进行改正如何对各段各角和边

18、进行改正,满足各附合路线的要求满足各附合路线的要求! 如图如图3-8所示，为一四等附合导线，测角中误差所示，为一四等附合导线，测角中误差 = 2.5，测边所用测距仪的标称精度公式，测边所用测距仪的标称精度公式 = 5mm+5ppmD 。已知数据和观测值见表。已知数据和观测值见表3-2。试按。试按条件平差法对此导线进行平差，并评定条件平差法对此导线进行平差，并评定3号点的点位号点的点位精度。精度。三个条件三个条件:如何对角度和边长进行改正满足上述要求如何对角度和边长进行改正满足上述要求!已知坐已知坐标(m)已知方位角已知方位角B (187396.252 , 29505530.009)C (184

19、817.605 , 29509341.482)TAB = 1614407.2TCD = 2493027.9导线边长观测值(m) 转折角度折角度观测值S1 = 1474.444S2 = 1424.717S3 = 1749.322S4 = 1950.4121 = 8530 21.12 = 25432 32.23 = 13104 33.34 = 27220 20.25 = 24418 30.0表表3-2解：解：未知导线点个数未知导线点个数n 1 = 3，导线边数，导线边数n = 4，观测角，观测角个数个数n + 1 = 5近似计算导线边长、方位角和各导线点坐标，列于表近似计算导线边长、方位角和各导线

20、点坐标，列于表3-2中中近似坐近似坐标(m)近似方位角近似方位角2 (187966.645 , 29506889.655)3 (186847.276 , 29507771.035)4 (186760.011 , 29509518.179)5 (184817.621 , 29509341.465)T1 = 67 14 28.3T2= 141 47 00.5T3 = 92 51 33.8T4= 185 11 54.0T5 = 249 30 24.0表表3-3 (1)组成改正数条件方程及第组成改正数条件方程及第3点平差后坐标函数式点平差后坐标函数式改正数条件方程闭合差项：改正数条件方程闭合差项：=

21、3.9 = -1.6 cm = 1.7 cm 改正数条件方程改正数条件方程即即v1 + v2 + v3 + v4 + v5 3.9 = 00.3868VS1 - 0.7857VS 2 - 0.0499VS 3 0.9959VS 4 1.8479V1 1.1887V2 - 0.7614V3 + 0.0857V4 + 1.6 = 00.9221VS1 +0.6186VS 2 + 0.9988VS 3 - 0.0906VS 4 1.2502V1 1.5267V2 0.9840V3 0.9417V4 1.7 = 0 W= 3.9 -1.6 1.7 T第第3点平差后坐标函数式点平差后坐标函数式 全微分得

22、全微分得 fx3 = 0.3868 0.7857 0 0 1.0865 0.4273 0 0 0 fy3 = 0.9221 0.6186 0 0 -0.2662 -0.5427 0 0 0 (2)确定边角观测值的权确定边角观测值的权设单位权中误差设单位权中误差 TT 根据提供的标称精度公式根据提供的标称精度公式 = 5 mm + 5ppmD计算测边中误差计算测边中误差 根据根据(3-3-26)式，测角观测值的权为式，测角观测值的权为 P = 1；为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，为不使测边观测值的权与测角观测值的权相差过大，在计算测边观测值权时，取测边中误差和边长改正在计算测边观测

23、值权时，取测边中误差和边长改正值的单位均为厘米（值的单位均为厘米（cm）。）。( )则可得观测值的权阵为则可得观测值的权阵为 (3)组成法方程，计算联系数、改正数及观测值组成法方程，计算联系数、改正数及观测值平差值，得平差值，得进一步计算各导线点的坐标平差值，得进一步计算各导线点的坐标平差值，得1 (187966.644 , 29506889.663)；2 (186847.270 , 29507771.048)；3(186760.000, 29509518.201)(4)精度评定精度评定1）单位权中误差）单位权中误差2）点位中误差）点位中误差权倒数：权倒数：点位中误差：点位中误差：= 2.46

24、 cm一、函数模型一、函数模型 函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。对于一个平差问题，建立函数模型数关系的模型。对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。函方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。下面简述各种经典）式

25、），总是要将其线性化。下面简述各种经典平差方法的线性函数模型及其建立方法。平差方法的线性函数模型及其建立方法。 1. 条件平差法条件平差法 下面先通过两个例子，来说明条件平差函数模型下面先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。的建立方法。 在图在图2-1中，观测了三个内角，中，观测了三个内角，n=3，t=2，则，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：表示为： 令令 =1 1 1 = 则上式为则上式为 （2-2-12-2-1）再如图再如图2-2水准网，水准网， D为已知高程水准点，为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值

26、向量的真值为均为待定点，观测值向量的真值为其中其中n=6，t=3， 则则r=n-t=3，应列出应列出3个线性无关个线性无关的条件方程的条件方程,它们可它们可以是：以是： 令令 则上面条件方程组可写为则上面条件方程组可写为（2-2-2） 一般而言，如果有一般而言，如果有n个观测值个观测值 ，必要观测，必要观测个数为个数为t，则应列出，则应列出r=n-t个条件方程，即个条件方程，即（2-2-3） 如果条件方程为线性形式，则可以直接写为如果条件方程为线性形式，则可以直接写为 （2-2-42-2-4）将将 代入（代入（2-2-4）式，并令）式，并令 则（则（2-2-4）式为）式为 （2-2-62-2-

27、6）（2-2-4）或（）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。）式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。（2-2-5） 2. 附有参数的条件平差法附有参数的条件平差法 在平差问题中，设观测值个数为在平差问题中，设观测值个数为n，必要观，必要观测个数为测个数为t，则可以列出，则可以列出r=n-t个条件方程，现个条件方程，现又增设了又增设了u个独立量作为未知参数，且个独立量作为未知参数，且0 ut,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出共需列出r+u个条件方程，以含有参数的条件个

28、条件方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。数的条件平差法。 如图如图2-3的三角形的三角形ABC中，观测了三个内角中，观测了三个内角 、 、 ，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选，平差时选A为为平差参数平差参数 ，即，即u=1，此时条件方程个数应为，此时条件方程个数应为r+u=2个，它们可以写成：个，它们可以写成：则上式可写成则上式可写成令令 一般而言，在某一平差问题中一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为观测值个数为n，必要观测个数为必要观测个数为t，多余观测个数为，多余观测个数为r=n-t，再增选，再增

29、选u个独立参数，个独立参数，0 ut个参数，其中包含个参数，其中包含t个独立参数，则多选的个独立参数，则多选的s=u- t个参数必定是个参数必定是t个独立参个独立参数的函数，即在数的函数，即在u个参数之间存在着个参数之间存在着s个函数关系式。个函数关系式。方程的总数方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了个，建立模型时，除了列立列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。条件的间接平差。其函数模型的一般形式为其函数模型的一般

30、形式为 线性形式的函数模型为线性形式的函数模型为 （2-2-162-2-16） （2-2-172-2-17） 将代入（将代入（2-2-16）式，并令）式，并令 （2-2-18） 则（则（2-2-16）和（）和（2-2-17）式可写为）式可写为 （2-2-192-2-19） （2-2-202-2-20） 这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中（2-2-20）称为限制条件方程。）称为限制条件方程。 5. 附有条件的条件平差（综合平差模型）附有条件的条件平差（综合平差模型） 上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应

31、的要求，如：条件平差相应的要求，如：条件平差u=0；附有参数的条件；附有参数的条件平差平差0ut，要求包，要求包含含t个独立参数。个独立参数。 附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了平差问题，若增选了u个参数，不论个参数，不论ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加定相应地增加1个方程，故方程的总数为个方程，故方程的总数为r+u个。个。 如果在如果在u个参数中有个参数中有s个是不独立的，或者说在个是不独立的，或者说在这这u个参数中存在着个参数中存在着s个函数关系式，则应列出个函数

32、关系式，则应列出s个形如（个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再）的限制条件方程，除此之外再列出列出 c=r+u-s个形如（个形如（2-2-8）的一般条件方程，）的一般条件方程，形成如下的函数模型形成如下的函数模型 若为线性形式，则为若为线性形式，则为 （2-2-212-2-21） （2-2-222-2-22）考虑到考虑到 ，则，则 （2-2-232-2-23） （2-2-242-2-24）这就是附有条件的条件平差的函数模型。这就是附有条件的条件平差的函数模型。二二、平差的随机模型平差的随机模型 对于上面介绍的五种基本平差方法，最基本的对于上面介绍的五种基本平差方法，最基本的数据就是

33、观测值向量数据就是观测值向量 ，进行平差时除建立其函，进行平差时除建立其函数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观数模型外，还要同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：测向量的协方差阵： （2-2-25） 式中式中D为为L的协方差阵，的协方差阵，Q为为L的协因数阵，的协因数阵，P为为L的权阵，的权阵， 为单位权方差。函数模型连同随机模为单位权方差。函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道介绍的方法建立，后

34、者须知道P、Q、D其中之一。其中之一。一般是按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。一般是按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。可以通过平差计算求出可以通过平差计算求出 的估值确的估值确 ，然后根据，然后根据公式公式 求得求得D的估值。的估值。 例例2-1 如图如图2-4水准网中，水准网中，A,B点为已知水准点，点为已知水准点， 点点 为待定水准点，观测高差为为待定水准点，观测高差为 。试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型：试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型：1.1.按条件平差法；按条件平差法；2.若选若选 点高程为未点高程为未知参数知参数 时；时；3.若仅选若仅选 点高程为未

35、知点高程为未知参数参数 时；时；4.若选若选 的平差值为未知参数的平差值为未知参数 时；时；5.若选若选 的平差值为未知参数的平差值为未知参数 时。时。 解：本题解：本题n=4，t=2，则，则r=n-t=21.按条件平差法应列出按条件平差法应列出2个条件方程，它们可以是个条件方程，它们可以是2.此时参数个数此时参数个数u=t=2，且不相关，属于间接平，且不相关，属于间接平差，函数模型为差，函数模型为 3.u=1t且包含且包含2个独立参数，属于附有条件的间个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为接平差，限制条件方程个数为s=u-t=1，观测方程，观测方程个数为个数为4个。函数模型为

36、个。函数模型为 限制条件方程为限制条件方程为2-3 函数模型的线性化函数模型的线性化 从上面的讨论知，不同的平差问题，所列出的函从上面的讨论知，不同的平差问题，所列出的函数模型有的是线性的，有的则是非线性的。在进行数模型有的是线性的，有的则是非线性的。在进行平差时，必须利用台劳级数将非线性方程线性化，平差时，必须利用台劳级数将非线性方程线性化，转化为线性方程。转化为线性方程。 在所有函数模型中，在所有函数模型中， 分别代表观测值向量和分别代表观测值向量和参数的真值向量。根据台劳级数展开的要求，必须参数的真值向量。根据台劳级数展开的要求，必须要知道它们的近似值。要知道它们的近似值。 的近似值为的

37、近似值为 ，则有，则有 对于向量对于向量 中的各分量来说，由于通过观测已得中的各分量来说，由于通过观测已得到其观测值向量到其观测值向量 ，故可以把观测值作为其近似，故可以把观测值作为其近似值；对于向量值；对于向量 的各分量而言，由于不是直接观的各分量而言，由于不是直接观测量，所以不具备先验值，必须根据已有的已知测量，所以不具备先验值，必须根据已有的已知值和观测值计算其近似值。为线性化方便值和观测值计算其近似值。为线性化方便,现取现取 (2-3-1) 下面先讨论线性化的一般方法，然后再找出五下面先讨论线性化的一般方法，然后再找出五种平差方法的线性化后的模型。种平差方法的线性化后的模型。 设有函数

38、设有函数 （2-3-2）考虑到（考虑到（2-3-1）式，按台劳级数在近似值处展开，）式，按台劳级数在近似值处展开，略去二次和二次以上各项，于是有略去二次和二次以上各项，于是有若令若令则函数则函数 的线性形式为的线性形式为 （2-3-32-3-3） 下面根据上述线性化后的结论，分别给出五种平差下面根据上述线性化后的结论，分别给出五种平差模型线性化后的形式。模型线性化后的形式。条件平差法：条件平差法： （2-3-42-3-4）对照（对照（2-3-2）和（）和（2-3-3）式，则有）式，则有 令令 有有 （2-3-52-3-5） 上式即上式即为条件平差的条件平差的线性函数模型，与（性函数模型，与（2

39、-2-6）式相同。式相同。 （2-3-62-3-6）附有参数的条件平差：附有参数的条件平差：对照（对照（2-3-2）和（）和（2-3-3）式，则有）式，则有有有 上式即上式即为附有参数条件平差的附有参数条件平差的线性函数模型。性函数模型。（2-3-72-3-7）令令 （2-3-82-3-8）对照（照（2-3-2）和（）和（2-3-3）式，）式，则有有间接平差法：间接平差法：令令 有有上式即上式即为间接平差接平差线性化后的模型性化后的模型（2-3-9） 附有条件的间接平差：附有条件的间接平差：（2-3-10）（2-3-11）因为因为令令则线性化后的模型为则线性化后的模型为（2-3-122-3-1

40、2）（2-3-132-3-13）式中式中 附有条件的条件平差：附有条件的条件平差：（2-3-14）（2-3-15） 参考（参考（2-3-6）,（2-3-7）（）（2-3-11）,（2-3-13）式，可得其线性化后的模型为：式，可得其线性化后的模型为： （2-3-162-3-16） （2-3-172-3-17）2-4 最小二乘原理最小二乘原理 通过前面的论述可知，如果只对几何模型中的必要通过前面的论述可知，如果只对几何模型中的必要元素进行观测，而没有多余观测，则在观测值之间不元素进行观测，而没有多余观测，则在观测值之间不可能产生任何函数关系式，也不存在平差问题。只有可能产生任何函数关系式，也不存

41、在平差问题。只有在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。在有了多余观测的情况下，才会产生平差问题。 例如为确定一个三角形的大小和形状，必要观测例如为确定一个三角形的大小和形状，必要观测数为数为t=3，如果实际观测了一边三角（，如果实际观测了一边三角（n=4）,则存在则存在一个多余观测（一个多余观测（r=n-t=1）。现以一边和其中任意两）。现以一边和其中任意两个角作为一个组合来确定三角形的大小和形状，则有个角作为一个组合来确定三角形的大小和形状，则有三种组合，由于观测值不可避免地含有偶然误差，三三种组合，由于观测值不可避免地含有偶然误差，三种组合所计算的结果将出现微小差别，这说明在具有种组合

42、所计算的结果将出现微小差别，这说明在具有多余观测的情况下，将无法唯一的确定模型的解。多余观测的情况下，将无法唯一的确定模型的解。 从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，三个从函数模型来考虑，由于存在一个多余观测，三个内角真值之间就存在一个条件方程，即：内角真值之间就存在一个条件方程，即： 考虑到考虑到 ，代入上式得，代入上式得 （2-4-1） 式中式中（2-4-2）称为条件方程的闭合差或常数项，它是可以根据观测称为条件方程的闭合差或常数项，它是可以根据观测值计算出来的。由于观测值的真值不知道，所以真误值计算出来的。由于观测值的真值不知道，所以真误差是未知量。要根据（差是未知量。要根据（2-4

43、-1）式确定真误差的值，显）式确定真误差的值，显然其解是不唯一的。要确定满足函数模型的唯一的一然其解是不唯一的。要确定满足函数模型的唯一的一组解，如果不另外附加一定的约束条件，那是不可能组解，如果不另外附加一定的约束条件，那是不可能的。到底应该采用什么样的约束条件，才能使模型得的。到底应该采用什么样的约束条件，才能使模型得到一组具有最佳性质的解呢？到一组具有最佳性质的解呢？ 在测量工作及其它科学工程领域，应用最早也最在测量工作及其它科学工程领域，应用最早也最广泛的就是所谓的广泛的就是所谓的“最小二乘准则最小二乘准则”： (2-4-3)(2-4-3) 在满足最小二乘准则下求得的真误差称为在满足最

44、小二乘准则下求得的真误差称为 估值，估值，用用 表示，测量工作中习惯上用符号表示，测量工作中习惯上用符号 代替代替 ，因此最小二乘准则常表达为：因此最小二乘准则常表达为： （2-4-42-4-4） 由于根据最小二乘准则可以求得真误差估值，由于根据最小二乘准则可以求得真误差估值，也就可以求得观测值的估值，其计算公式为也就可以求得观测值的估值，其计算公式为 （2-4-52-4-5）式中式中 称为观测值的改正数，称为观测值的改正数， 称为观测值称为观测值 的估值，的估值，或平差值、最或然值。或平差值、最或然值。 应用最小二乘准则，并不需要知道观测向量属于什应用最小二乘准则，并不需要知道观测向量属于什

45、么概率分布，只需要知道它的先验权阵么概率分布，只需要知道它的先验权阵 就可以了。就可以了。 当当 为非对角阵，表示观测值相关，按为非对角阵，表示观测值相关，按 进行的平差称为相关观测平差。进行的平差称为相关观测平差。 当当 为对角阵，表示观测值不相关，此时最小二乘为对角阵，表示观测值不相关，此时最小二乘准则可表示为纯量形式，即：准则可表示为纯量形式，即：（2-4-6） 特别地，当观测值不相关且等精度时，权阵特别地，当观测值不相关且等精度时，权阵 为单位阵，此时最小二乘准则可表示为为单位阵，此时最小二乘准则可表示为（2-4-7） 其实，估计的准则有许多种，最小二乘准则是其中其实，估计的准则有许多

46、种，最小二乘准则是其中的一种，还有一种常用的估计叫做最大似然估计，这的一种，还有一种常用的估计叫做最大似然估计，这种估计要求事先知道观测量的概率分布函数。一般认种估计要求事先知道观测量的概率分布函数。一般认为测量观测值向量是服从正态分布的随机变量，其概为测量观测值向量是服从正态分布的随机变量，其概率分布密度函数为率分布密度函数为（2-4-8） 达到极小时，概率分布密度函数可取得极达到极小时，概率分布密度函数可取得极大值，仍用大值，仍用 表示对表示对 的估计结果，即要求：的估计结果，即要求：所谓极大似然估计，就是要在概率分布密度函数达所谓极大似然估计，就是要在概率分布密度函数达到极大的条件下来对

47、真误差到极大的条件下来对真误差 进行估计。显然，当进行估计。显然，当 显然，当观测向量服从正态分布时，极大似然估显然，当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计的结果是一致的。计与最小二乘估计的结果是一致的。相当于相当于 例例2-2 设对某物理量设对某物理量 进行了进行了n次同精度独立观次同精度独立观测，得观测值测，得观测值 ，试按最小二乘准则求该量的估计，试按最小二乘准则求该量的估计值。值。 解：设该量的估计值为解：设该量的估计值为 ，则有，则有写成矩阵形式写成矩阵形式按最小二乘准则，要求按最小二乘准则，要求将上式对取一阶导数，并令其为零，得将上式对取一阶导数，并令其为零，得将将

48、代入上式得代入上式得有此解得有此解得2-5 习习 题题2.1在图在图2.1中，中，A，B点为已知水准点，点为已知水准点，P1，P2，P3，P4为待定水准点，观测高差向量为为待定水准点，观测高差向量为 ，试，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。间的关系式）。1题. n=8,t=4,r=n-t=42.2 为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规量得上底边长为量得上底边长为 ，下底边长为，下底边长为 ，高为，高为h，并用，并用求积仪量得面积为求积仪量得面积为S（见图（见图2.2），），

49、 若设梯形面积为未若设梯形面积为未知参数知参数 ，试按，试按附有参数的条件平附有参数的条件平差法列出平差函数差法列出平差函数模型。模型。2题. n=4,t=3,r=n-t=1,u=1故方程个数故方程个数为r+u=2个个2.3 在如图在如图2.3的水准网中，的水准网中，A为已知水准点，为已知水准点， 为待定点，观测高差向量为为待定点，观测高差向量为 现选取现选取 点高程为未知参数点高程为未知参数 ，试列出间接平差的函数模型。试列出间接平差的函数模型。3题. n=5,t=3,r=n-t=2,u=3 2.4 在图在图2.4的水准网中，的水准网中，A，B点为已知水准点，点为已知水准点，P1，P2点为待

50、定水准点，观测高差为点为待定水准点，观测高差为 和和 。若设三段高差为未知参数若设三段高差为未知参数 ，如图所示，试，如图所示，试按附有限制条件的间接平差列出平差函数模型。按附有限制条件的间接平差列出平差函数模型。4题. n=4,t=2,r=n-t=2,ut,s=r+u=52.5 在图在图2.5的水准网中，的水准网中，A，B点为已知点，点为已知点， 点点为待定点，观测高差为为待定点，观测高差为 若选若选AP1，P1P2及及P2B路线的三段高差为未知参数，路线的三段高差为未知参数， 试按试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件.5题.n=6,t=3,r=n-t=3，u=3,s=1,有有r+u-s=5个条个条件方程和一个限制条件方程。件方程和一个限制条件方程。（考虑到（考虑到B矩阵必须列满秩，因此在一般条件式中所选矩阵必须列满秩，因此在一般条件式中所选的未知参数至少出现一次）的未知参数至少出现一次）