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1、第二节第二节 排列组合排列组合基础梳理基础梳理排列与排列数 组合与组合数定义1. 排列的概念：从n个不同的元素中取出m（mn）个元素, ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2. 排列数的概念：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.3. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，即 ， 称为n的 ,通常用n!表示.1. 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.2. 组合数的概念：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 ，叫做从n个不
2、同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示.按照一定的顺序排成一列所有排列的个数阶乘并成一组所有组合的个数典例分析典例分析题型一题型一 排除法排除法【例1】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有种.分析 逆向思考，“这3人中至少有1名女生”的否定为“这3人中没有女生”.解 全部方案有 种，减去只选派男生的方案数 ，合理的选派方案共有 - =186(种).学后反思 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便.即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意：“至少一个”的否定为“一个没有”;“至多一个”的否定为“至少两个”;“至少N
3、个”的否定为“至多N-1个”;“至多N个”的否定为“至少N+1个”.举一反三举一反三1. (2009全国改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.答案： 30解析： 间接法: (种).题型二题型二 基本排列问题基本排列问题【例2】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种（用数字作答）.学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题，主要方法是将这些特殊元素排在其他位置，或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.分析 先选甲、乙以外的人担任文娱委员，然后再
4、选其他委员.解先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员， =343=36(种).举一反三举一反三2. （2008全国改编）如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .答案： 84解析： 分三类：种两种花有2 种种法；种三种花有2 种种法；种四种花有 种种法.共有 +2 + =84（种）.题型三题型三 有限制条件的排列有限制条件的排列【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男
5、、女生分别排在一起；（4）男女相间.分析 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考虑）.解 （1）方法一（元素分析法）：先排甲有6种，其余有A88种，故共有6 =241 920(种)排法.方法二（位置分析法）：中间和两端有 种排法，包括甲在内的其余6人有 种排法，故共有 =336720=241920(种)排法.方法三（间接法）： -3 =6 =241920(种).（2）先排甲、乙，再排其余7人
6、，共有 =10 080(种)排法.（3）（捆绑法） =5 760(种).（4）（插空法）先排4名男生有 (种)方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有 =2 880（种)排法.学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.举一反三举一反三3. (2007全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种.答案： 60解析： 星期五有2人参加，则从5人中选
7、2人的组合数为 ，星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有 种，则共有 =60(种).题型四题型四 基本组合问题基本组合问题【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1名参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.解 （1）第一步：选3名男运动员，有 种选法.第二步：选2名女运动员，有 种选法.共有 =120(种)选法3（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括
8、以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4由分类加法计数原理可得总选法数为： (种).6方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解.从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.4所以“至少有1名女运动员”的选法为 - =246(种).6(3)方法一(可分类求解):“只有男队长”的选法为 ;“只有女队长”的选法为 8“男、女队长都入选”的选法为 .所以共有2 + =196(种)选法.10方法二(间接法)：从10人中任选5人有 种选法.8其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法为 - =196(种)10学后反思 解组合题时，
9、常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.（4）当有女队长时，其他人选任意，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 - 种选法13所以既有队长又有女运动员的选法共有 + - =191(种)14举一反三举一反三4. (2009辽宁改编)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有种.答案： 70解析： 直接法：一男两女，有 =56=30(种);两男一女,有 =104=40(种)，共计70种.间接法：任
10、意选取C39=84(种)，其中都是男医生有 =10(种)，都是女医生有 =4(种)，于是符合条件的有84-10-4=70(种).易错警示易错警示【例】有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？错解分析 错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.错解 因为是8个小球的全排列，所以共有 种方法.正解 8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有 =56(种)排法.考点演练考点演练10. (200
11、9湖北改编)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，求不同分法的种数.解析： 用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 ,顺序有 种，而甲、乙被分在同一个班有A33种，所以不同分法有 (种).11. （1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解析： （1）从5本不同书中选出3本分别是送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法的种数是 =543=60.(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是555=125.12. 某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？解析： 设男生有x人，则女生有8-x人，依题意， ，即 ， ， ，即(x-5)(x-6)(x+2)=0, ， ， (舍去).故男生有5人，女生有3人，或男生有6人，女生有2人.
