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1、教师姓名学生姓名年 级高三上课时间学 科数学课题名称椭圆高中数学冲刺培优助知识分析一、知识梳理1、椭圆的定义平 面 内 与 两 定 点 的 距 离 的 和 等 于 定 长2a（ 山 周2 2c）的 点 的 轨 迹 ， 即点集M =PPF + PF2 = 2 a, 2 aFiF2,其中两定点耳, 人叫焦点，定点间的距离|6段叫焦距。2a |耳 闾 。 椭圆2a = |耳 周 。 线 段 j 数形结合2 | 即 | 。 无轨迹2 ,椭圆的方程（ 1）标准方程2 2焦点在X轴上，中心在原点：二 + 2L = 1 （ ”6 0 ） ；a2 b2焦点耳（ - c, O ） ， E （ c, O ）。其中
2、 c = J一 从（ 一个 R tA ）焦点在y轴上,中心在原点：2i + l = ia2 b2()；焦点耳（ O , - C ） ， E （ O , C ）。其中 C = _ 。2x = a cos 0( 2)椭 圆 的 参 数 方 程 八 , 。e 0 , 2万 )y = b s m 0( 3 ) y =（ 上半椭圆）3、几何性质4、焦点三角形周长、角度、面积问题，本质上为解三角形问题，需用到正弦定理、余弦定理、面积公式，注意使用椭圆定义转化.设椭圆的两个焦点为 ，F2,尸是椭圆上的点，当点P在短轴的端点时/ 耳尸鸟最大.5、线段和、差的最值问题注意用椭圆的定义转化6、点与椭圆的位置关系X
3、 y已知点P （毛 , % ） 与 椭 圆 / + 京 =1（。6 0 ）（ 耳 ，鸟为椭圆的焦点） ，则2 点P在椭圆上o 4 +4 = lo|P KI + |P及l= 2a；CT b2 2( 2)点尸在椭圆外。 尊+ 会A lol尸耳| + |尸尾| 2a；cT o2 2( 3 )点 。在椭圆内o +粤 lo|P耳| + |尸卜| 0 ,直线与椭圆有两个交点，弦长为N巫 ( 其中。 为二次项系数) ；1 1 = 0 ,直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； + y 2 = l ,圆。2： ( x - l + y 2 = 9 ,动圆A/与圆O i外切，与圆。讷切. 求:动圆圆心M所在
4、的曲线方程.答案：设M( x, y),动圆M的半径为r,则 由 题 意 知|M Q| = l + r ,|M q | = 3- r ,于是|M G J + |M C 2| = 4 .即动点M到两个定点Q, (- 1 ,O) ,Q2(1 ,O)的距离之和为定值4,x2 丫2由定义知M所在直线为椭圆所在的曲线方程为一 +2- = 1 .4 31、设AB是两个定点，且| A6| =2 ,动点M到A点的距离是4 ,线段M 8的垂直平分线/ 交于点P ，求动点P的轨迹方程x2 y2答案：+ 丁 = 14x = a co s 0 -知识点2、椭圆的参数方程 ， e 0 ,24)y = bsin02 2椭圆
5、上任意点，通常设为(x, y ) ,用 二 + : = 1化 旬，或设为(acos。 ,方si ne 0,2万 )a b.2 ,2韦 詈 咛 回m八 ) + 71所以最小值是2 1 7 - d )2解法二：设直线J ： x y + c = O, / 与椭圆相切，联立消元，得41 d+ 50 cx + 25c2- 40 0 = 0 ,L1- 何 V2 l再 = 0 nc = V 41 ,所以两平行线最小距离是d =_L - (7 - V 41 )2试一试9y21、 设直线/ :2x + y 2 = 0与椭圆厂+ ： = 1的交点为A、B,点F为椭圆上的动点， 则使A R 43的面积为2_的点尸的
6、个数为( )2(A ) 1 (B) 2 (C ) 3 (D ) 4答案：B图示：高中数学冲刺培优知识点3、焦点三角形角度问题例3：已知耳、 居 是 椭 圆 工 + 匕= 1两个焦点，点P在椭圆上.1 2 8 4(1 )若 尸耳， 心 ，则这样的P的个数是 个;(2)若是钝角，则这样的P存在吗？(3)若 名 是 锐 角 ，则点。 的横坐标的取值范围是答案：(1 ) 2； (2)不存在；(3) (- 27 2,0 ) 0 (0 ,27 2)x V例4 :已知椭圆一y + =尸为椭圆上任一点,(1 )若N P 居=%NP=夕 , 求证:a + pcos-c = -2-a a - Pcos-26解析：
7、( 1 ) 在 AP/g中，由正弦定理可得|Pfj| PF2 FF2sin a sin p sin 0. |P用+ |P引 内引 2a 2csin +sin p sin(a + ) sin a + sin p sin(a + /?). c sin(a +4) a - = -a sin a + sin 夕八.a- B a + f3 a + J32sin cos - cos -2 2 二 2. a + B a - B a -B2sin cos cos -2 2 2（ 2）已知椭圆的定义，有归用+ 归 用 = 2，而 在 尸 中 ，由余弦定理有+ |P&2 _ 2附 归 矶 8s e|= |耳 球
8、= 色（ I 尸闻+1 P 周 ） 2 -2 1 尸凰|P 周一2 1 尸耳| 尸号co s 6 = 4 /即 4 （ a 2_c2） = 2|/ ； |P K |（ l + co s e）所以“ 弓 =；| 尸 耳 1 1 用 s i n 夕=乙 二 := h2 t a n L I V - v x O l z 乙小结：（ 1 ）面积公式使用余弦定理和面积公式.（ 2）尸点越接近短轴的端点，面积越大；越接近长轴的端点，面积越小（ 太显然了）.知识点4、最值问题几何法：通过定义转化为两点之间线段最短（ 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）例 5、椭 圆 上 + 亡 = 1 的左焦点为尸
9、，直线x =加与椭圆相交于点A、B ,当 钻的周长最大4 3时， 4 8的面积是. 答案：3高中数学冲刺培优关 键 1 （ 几何法） ：如图，由于| A 6| a ： AC ，所 以 以 + A E 4 + A C ,而 E 4I+ 6A = E 4 + 4 A ,故FAf + F（ ）A FA+ A C ,即当 fAB的周长最大时，直线为X=l .关键2 ：代数法，周长=2 + g， H + ， 3- I ， / ,设帆= 2 co s（9, ，e （ 0 , 乃 ） ，贝 U周长=2 + co se + G sin 6 0 皿 / 4） 恒有交点，则实数用的取值范围是4 m答案：U, 4）
10、 U （ 4, + ） ）2 2解析：直线丁 =区 + 1 恒过点（ 0 , 1 ） ,点（ 0 , 1 ） 需在椭圆- - - F = 1 上或内.4 m例 7 ：若给定椭圆C :o? +勿 2= （ 。0/0） 和点则称直线/ : o + Z ?% y = l 为椭圆C 的“ 伴随直线”（ 1 ）若 （ 毛, 为） 在椭圆。 上，判断椭圆C 与它的“ 伴随直线”的位置关系（ 相离、相交还是相8切）（ 2 ）命题“ 若点N（ / , %） 在椭圆。 的外部，则直线/ 与椭圆C 相交” ，写出这个命题的逆命题，判断此命题的真假，说明理由；（ 3 ） 若点N（ x 。 , 为） 在椭圆。 的内部
11、，过 N 点任意做一条直线，交椭圆C 于 A 、B ,交/ 于M 点（ 异于A 、8） , 设 忘 =4丽 ， 砺= %丽，问4+ 4是否为定值？说明理由提示：（ 3 ）为四点共线问题解析：设” ） ，则 由 总 = 4丽 得 毛华，:） ,满足椭圆，即k 1 + 4 1 + 4a国+4 + 4 % = i , 谒 + 2 4 叫用飞+ 力： +2 7 奶 与+ 匕7才 = （ + 4） 2 ,（ 1 +4 ）11+ 4 （ 其中axxxQ + 孙 殉 = 1 ）（CLXQ + ZTQ - 1 ） 4 2 + uXy + by-1 = 0；同理：（ ax + 布 -1 ） 怒 + 竭 +Z ?
12、 y12-l = 0 ,故4 ,功 是 方 程 （ 鬲- 1 ） + 谒 + 为； 一 1 = 。 的两根，所以4+ 4=0小结：圆1 、设弓 ， %） 在圆2 +? 2 = 心 上，过兄的圆的切线方程是o X + % y = R 2 .2 、若 （ 毛 , % ） 在圆V + y2 = R 2 外，则过几作圆的两条切线切点为MN,则切点弦MN的直线方程是工犬+ 为丁二氏二椭圆高中数学冲刺培优厂 y -1 、若 4 (%,%)在 椭 圆 二 + 七 =1 上，则 过 分 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是 警 + 邛 =1 .a b a2 b22 2n/、 x y2 、若品( % o ， )
13、o ) 在椭圆/ +万 = 1 外，则过P。作椭圆的两条切线切点为R、巴，则切点弦P P 的直 线 方 程 是 学 + 誓 =1 .a2 b2相切2 2 _例 9、给定椭圆C ： 5+ = 1 ( 。% 0 ) , 称圆心在原点，半径为J +作 的圆是椭圆。 的伴随a b圆，点尸是椭圆c 的伴随圆上的任意一动点，过点尸做椭圆的切线4, 2,求证：lAli选题理由：从知识点上，涉及切线；从方法上，涉及根与方程的转化提示：先考虑特例4, 6有垂直的情形，其次考虑一般情形设 P 5 ,% ),则设4 ： =勺与椭圆联立得(b1 +a2k x2 + 1kx ( y0 kxxQ ) a1 x + ( y
14、( ) a a2b2 = 010 = 4a %2 （ / 一 年 ） 左 :+2入0 %仁 +Z ?2 北 =0所以（ - -苍 ）A； + 2%0 %左 +b - y ； 0同理 一 片 ）%； +2%）为2 + / 一N ；= 。因此勺, 2是方程（ / 一年快2 + 2 /为 %+/ 一 y ； = 0的两根,因 止 匕k、k?= 纭 与 = _1（片+W+/ ）a 一/相交：（ 1 ）椭圆的弦长中，长轴最长，短轴最短；（ 2）椭圆的焦点弦中，长轴最长，垂直于长轴的弦最短;（ 3）椭圆的焦半径中，4 + C最长，最短；2例1 0、（ 20 1 7春1 0 ）设椭圆， + 2 = 1的左右
15、焦点分别为、鸟 ，点P在椭圆上，则使得A F 2P是等腰三角形的点P的个数是答案：6解析：忻刊的范围是+ 故在第一象限必存在点尸，使得出户| = 2 =出 引点户是椭圆上任意一点. 当M P的模最小时,点尸恰好落在椭圆的右顶点，求实数机的取值范围. 高中数学冲刺培优答案：设P （ x, y ）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为二 + 二= 1,故一4 W x W 4 .1 6 1 2因为M P = (x- z , y ) ,所以= (x- / n )2 + y 2 = (x- m)2 +1 2x(1 - )1 6推出 - 2 nvc4 - m2 +1 2 = - (x- 4m)2 4- 1 2-
16、3/ 7/2.依题意可知，当x = 4时，|前 取得最小值. 而XE 1 ， 4卜故有4z n 4 ,解得m .又点/ 在椭圆的长轴上，即- 4W z 2 = 1的左、右焦点. 设过定点M （ 0 , 2）的直线/ 与椭圆交于不同的两点A、B ,且NA OB为 锐 角 （ 其中。为坐标原点） ，求直线/ 的斜率k的取值范围.题型：角度问题答案：显然直线x = 0不满足题设条件，可 设 直 线 = 2, A（ 玉, 必） ,3 2 ， % ） ，12联立4y = kx-2/ ，消去y ,整理得: +y =1I 4 -/+ 口/+4 区+3 = 04. 4k 3. . 玉 + w = - ， 丹=
17、 - - - - -r，k2+ - k2+ -4 4 = (4% )2_4, + ；*3 = 442一30 得:k 2 2又0 ZA080 0方 丽 0 ； .西 丽 =玉 +% ，又 x、X + yty2 = X X2 +(kxt + 2) (f c v2 +2) = (1 + 2) %, X2 + 2k(xt + x, ) + 4= ( + k2 2k + 4 = T 0 ,即 F 4 , ：.-2 k 2k2+- k2+- k2+-4 4 4故由、得-2 k卫或昱k22 2小结:点Q在以A B为直径的圆O内O | 。| ZAQB 为钝角 o QA - Q8 0X V例13、 已知椭圆C:
18、 1 + ? = 1, 直线/ 与椭圆交于P &方 ） , 。（ , %） 两个不同的点， 以OP, OQ为邻边做平行四边形OQ NP,当平行四边形OQNP面 积 为 时 ，求平行四边形OQNP的对角线之积|0叫 | 。| 的最大值；高中数学冲刺培优题型：面积问题解析：当直线/ 的斜率不存在时，此时平行四边形为菱形，| 0 叫- 俨。| = 2 5。 3Vp = 2当直线/ 的斜率存在时，设/ : y = A c + A,则,y = kx：b ,（2+3k2）x2 +6khx+3b2 -6 = 0 ,2x2+3y2=6 、 ）X + ，, A = 3 6 / 6 2 _ 4 Q + 3 ） （
19、 3 从 6 ） = 4 x 6 （ 3 1 - k + 2 ） ,乙 3 KSOPNQ =dPQ = 瓜，4b2（3k2-b2+2）（ 2 + 3 k J= 1 9 A :4+ 1 2 （ 1 - / ?2） A :2+4（ 1 - / ?2）2 = 0 = 2 + 3 左 2 = 2 / 7 20N-PQ=2PQ玉+x2T2+7X + ） 22= | 尸。| （ 尤 | + 工2 ） 2+（ % + ，2 ） 2| P （2 | +x 2y +4 妨（ +*2） +k2 36k2b2 2 4 及 2 b2（ 2 + 3 &2 ） 2 2 + 3 公、+ 4 7（ 用从替换1 ） = 46b
20、4+b2- lb4 5故| 0 叫 1 尸 。 , 的最大值为5知识点6 、由圆到椭圆几个重要的定值例 1 4 、（ 这三个结论较常见，可不讲）椭圆中的“ 垂经定理”A B , k（）c = - 1142、椭圆的“ 直径所对角”提示：设4（玉 , , ） , 。（9 ,先） ，则-%- -弘- - -方- - -+-y- = -及- -一- -切- = - - -b-X2 Xx X2 +x X 7 2 2 2（ 代入今 +A*+ A】 可得）3、椭圆的切线性质高中数学冲刺培优解 析 1 : 固定A 8 , 当C 位于A8所对的优弧的中点时，A4BC的面积较大;同理：固定A C ,当 B 位于A
21、B所对的优弧的中点时，A 48c的面积较大；综上：当A4BC为正三角形时，面积最大.解析 2 ： = absin C = -2 rsin A - 2 rsin - sin C = 2 r2 sin A sin B sin C/ c2 r 2 -1(r s.m A4 4 - sin Bd + s-m C ) / 3 2s i n- - - - - -I r J当且仅当A = 8 = C = 工时，等号成立，即AA8C为正三角形.316设 椭 圆 上 三 点cos q乃sin 81） 、3（。cos % bsin d?） 、acosd GsinQ 1则三角形的面积5=lln c o s 5sin
22、1In cos Bsin0 1 cos“ co睨C(ocos%bsing)sinj 1sin 1sing 1篮?cosgsin sin区sing为(cos综sin0)、(cos%,sin%)、(cos6t,sin)这三个单位圆上的点所构成三角形的面积，根据上述，知其最大值为平综上所述，椭圆上内接三角形面积S 4期 仍4当 &- 6 -二 ，鸟 史时等号成立，3 3即三点坐标为.4（。cos q, b sin即 ，B（a cos（ ;-三 ） ,加in（ 区- 厂 ） ） ,C（cos（q -午） ,Bsin - f） ） ,可求得此时三角形重心为原点解析：第一步：固定A , C ,平移B。，知
23、当3 c过圆心时，面积较大;第二步：同理，当A C过圆心时，面积较大；第三步：固定AC，当3 c为弧A C的中点时，面积较大；AC BD = - 1Smax = 2 /高中数学冲刺培优同圆一样，可知当A C 、8 。都过中心时，四边形的面积较大，下面解释：当您1的。= - 4时，四 边 形 的 面 积 一 样 ，都 为 2 o & ,a解析：设直线0 A 为尸=公 ，则直浅OB为y知识点7 、综合题例 1 7 （ 浙江2 0 1 6 高考理1 9 题 （ 共 2 0 题） ）如图，设椭圆C： = 1 ( 1 )（ 1 ）求直线y = A x + l被椭圆截得的弦长（ 用。表示） ;（ 2 ）若
24、任意以点A（ O） 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆。的取值范围18解析：联立+ V =1得：无 2 + 2 日 =0,弦长= J l + &212AL, a 7 + k2y = A x+ l + K(2)解法一：假设圆A 与椭圆有4 个公共点，由对称性可设) ， 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P 、Q,满足| | = | A 0 | , 记直线AP、AQ 的斜率分别为：4 , 白 ；且 人 0 , 女 2 ， 女尸与，由 可知网) 同声, | 如仲，故 炉 ？T + &： T + 抬 = + % ： T + 代a a a a所以( 将一代) 1 + 左：+(2Q2 一。 4) 匕 2后
25、 = 0 ,由于卜2，得l + R + M + ( 2 a 2 _ q 4 ) 后 代 =o,因此,+4 +4 =_2 /+1 ，此式有解的充要条件是I kA 匕 )故，因此， 任意以点A ( 0, l ) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充耍条件为：1 v a 0 , - 1) ) 3 + 2) ， +/一 2_ = 。 在 ( _ , ) 内有至多有一个解，需求。的取值范围.其反面为存在r 0, ( / 1卜2+ 2, + ，一 / _ 1 =。 在( _ , ) 内有两个解，需求4 的取值范围.A 0设 / ( y ) = ( / -1) , 2 + 2) + / 一 2 -1 , -
26、1 ! -y 0, / ( -1) 0当/2 时， a2 + 1+ -1 - = a2-l + + 2 4,a2- l a2- l即当4 2 时，存在 0, 满足4 ，2r2 0, r2 4高中数学冲刺培优设尸（ “ co s ， , s i n。 ） 是椭圆上任一点，由条件，可得| 4P | 42恒成立.（ co s。 ） ？ + （ s i n。 - 4 , 对任意6 w 0, 2句 恒成立,当co s e = 0时，不等式成立;当 co s 6w0 时, 3+2Si n -s i n = 1 + 2 + 2 s i n |+21-s i n* 0 1-s i n* 0 1-s i na2 2.茴课堂练习1、 “ 一3 z l ) ,斜率为1且过椭圆右焦点尸的直线交椭圆于4 B两点，O A + O B与。= ( 3, -1)共线.求“的值.答案：G高中数学冲刺培优22
