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1、6.2等差数列高考理数高考理数 (北京市专用)A A组组自主命题自主命题北京卷题组北京卷题组1.(2015北京,6,5分,0.85)设an是等差数列.下列结论中正确的是()A.若a1+a20,则a2+a30B.若a1+a30,则a1+a20C.若0a1D.若a10五年高考答案答案C因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2a10时,公差d0,a30,a1+a32,2a22,即a2,故选C.思路分析思路分析抓住等差中项的概念,结合基本不等式判断,可知选C.2.(2018北京,9,5分)设an是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则an的通项公式为.答案答案an=6n-3解析解析本题主
2、要考查等差数列的通项公式.设等差数列an的公差为d,则a2+a5=a1+d+a1+4d=2a1+5d=6+5d=36,d=6,an=a1+(n-1)d=3+6(n-1)=6n-3.3.(2016北京,12,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=.答案答案6解析解析设等差数列an的公差为d,a1=6,a3+a5=0,6+2d+6+4d=0,d=-2,S6=66+(-2)=6.思路分析思路分析先利用条件和等差数列的通项公式求出d,再用前n项和公式求出S6.评析评析本题考查等差数列的前n项和公式,属容易题.4.(2014北京,12,5分,0.77)若等差数列
3、an满足a7+a8+a90,a7+a100,即a80.又a8+a9=a7+a100,a90,再利用等差数列的性质得a90,从而得出结论.5.(2012北京,10,5分)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=,S2=a3,则a2=;Sn=.答案答案1;n(n+1)解析解析S2=a3,a1+a2=a3.an为等差数列,a1+a1+d=a1+2d,d=a1=,a2=a1+d=+=1,Sn=na1+d=n(n+1).B B组组统一命题、省统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一等差数列的概念及运算考点一等差数列的概念及运算1.(2018课标全国,4,5分)记Sn为等差数列an的前
4、n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案答案B本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,则3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即d=-a1,又a1=2,d=-3,a5=a1+4d=-10,故选B.2.(2015重庆,2,5分)在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6=()A.-1B.0C.1D.6答案答案B设数列an的公差为d,由a4=a2+2d,a2=4,a4=2,得2=4+2d,d=-1,a6=a4+2d=0.故选B.3.(2014福建,3,5分)等差数列an的前n项和为Sn,若a1=2,S3
5、=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14答案答案CS3=3a2=12,a2=4.a1=2,d=a2-a1=4-2=2.a6=a1+5d=12.故选C.4.(2017课标全国,9,5分)等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案答案A本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式.设等差数列an的公差为d,依题意得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2或d=0(舍去),又a1=1,S6=61+(-2)=-24.故选A.5.(2016课标全国,3,5分)已知等差数列an前9项的和为
6、27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案答案C设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得解得an=a1+(n-1)d=n-2,a100=100-2=98.故选C.评析评析本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式.6.(2016江苏,8,5分)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是.答案答案20解析解析设等差数列an的公差为d,则由题设可得解得从而a9=a1+8d=20.评析评析数列的计算求值问题一般应以“基本元素”为主.7.(2017课标全国,15,5分)等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=
7、.答案答案解析解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.设公差为d,则an=n.前n项和Sn=1+2+n=,=2,=21-+-+-=2=2=.解后反思解后反思裂项相消法求和的常见类型:若an是等差数列,则=(d0);=(-);=-.思路分析思路分析求出首项a1和公差d,从而求出Sn.=2,从而运用裂项相消法求和即可.答案答案10考点二等差数列的性质考点二等差数列的性质(2015广东,10,5分)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.解析解析利用等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6=2a5,从而a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,故a5=
8、5,所以a2+a8=2a5=10.C C组组教师专用题组教师专用题组1.(2014辽宁,8,5分)设等差数列an的公差为d.若数列为递减数列,则()A.d0C.a1d0答案答案C由为递减数列,可知a1an也为递减数列,又a1an=+a1(n-1)d=a1dn+-a1d,故a1d0,故选C.2.(2016浙江,6,5分)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则()A.Sn是等差数列B.是等差
9、数列C.dn是等差数列D.是等差数列答案答案A不妨设该锐角的顶点为C,A1CB1=,|A1C|=a,依题意,知A1、A2、An顺次排列,设|AnAn+1|=b,|BnBn+1|=c,则|CAn|=a+(n-1)b,作AnDnCBn于Dn,则|AnDn|=a+(n-1)bsin,于是Sn=|BnBn+1|AnDn|=ca+(n-1)bsin=bcsinn+(a-b)csin,易知Sn是关于n的一次函数,所以Sn成等差数列.故选A.3.(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项.(1)设cn=-,nN*,求证:数列cn是
10、等差数列;(2)设a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:.证明证明(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-+)+(-+)+(-+)=2d(a2+a4+a2n)=2d=2d2n(n+1).所以=0,a7S3,则数列an的通项公式可以是.答案答案an=-n+2(答案不唯一)解析解析S2S3,S3-S20,即a30,a3=-3,a2a4=5,则an=;记数列an的前n项和为Sn,则Sn的最小值为.答案答案2n-9;-16解析解析a2a4=(-3-d)(-3+
11、d)=5,由d0,解得d=2,an=-3+2(n-3)=2n-9.a1=a3-2d=-7,Sn=-7n+2=n2-8n=(n-4)2-16,故当n=4时,Sn的最小值为-16.9.(2017北京东城第二学期综合练习一,12)天干地支纪年法源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,以此类推.排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重
12、新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知2017年为丁酉年,那么到新中国成立100年时,即2049年为年.答案答案己巳解析解析天干是以10为周期的周期数列,地支是以12为周期的周期数列,从2017年到2049年需经过32年,且2017年为丁酉年,因为3210=32,所以2049年的天干为己,因为3212=28,所以2049年的地支为巳.故答案为己巳.10.(2018北京门头沟一模,20)已知数列an满足a1=1,|an+1-an|=pn,nN*.(1)若p=1,写出a4的所有值;(2)若数列an是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值;(
13、3)若p=,且a2n-1是递增数列,a2n是递减数列,求数列an的通项公式.三、解答题(共15分)解析解析(1)因为a1=1,|an+1-an|=1,所以a1,a2,a3,a4的值为1,2,3,4;1,0,1,2;1,0,-1,0;1,0,-1,-2;1,0,1,0;1,2,1,0;1,2,1,2;1,2,3,2.所以a4的所有值为4,2,0,-2.(2)由于数列an是递增数列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn,又因为a1=1,所以a2=1+p,a3=1+p+p2,又a1,2a2,3a3成等差数列,所以4(1+p)=1+3(1+p+p2),所以3p2-p=0,解得p=或p=0.若p=0,则an=an+1,与数列an是递增数列矛盾,所以p=.(3)因为a2n-1是递增数列,所以a2n+1-a2n-10(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0,而|a2n+1-a2n|0,所以a2n-a2n-1=.因为a2n是递减数列,所以a2n+2-a2n0(a2n+2-a2n+1)+(a2n+1-a2n)0,而|a2n+2-a2n+1|,可得a2n+1-a2n0转化为(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)0,结合,得到|a2n+1-a2n|a2n-a2n-1|是解决本题的关键.
