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1、不等式恒成立、能成立、恰成立问题不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：fxmin Af (x)（1） 若不等式fx A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上，的下界大于 Afxmax Bf (x)（2） 若不等式fx B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上,的上界小于 A例 1、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。x2 2x afx,x例 2、已知对任意x1, fx 0恒成立,试求实数a的取值范围;例 3 、 R 上 的 函 数fx既 是 奇 函 数 ， 又 是
2、 减 函 数 ， 且 当0,2时 ， 有f cos2 2msin f2m2 0恒成立，求实数 m 的取值范围.44f (x) ax ln x bx c(x 0)在x 1处取得极值3c，其中a、b为常例 4、已知函数数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数f (x)的单调区间；2f (x) 2cx 0（3）若对任意，不等式恒成立，求c的取值范围。2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对例 6、若对于任意x1,2恒成立，求实数 a 的取值范围a 12x，不等式(a4)x42a 0恒成立，求实数 x 的取值范围f (x) 例7、 已知函数a332x x (a1)x12 f (x)x xa132
3、a， 其中为实数 若不等式)都成立，求实数x的取值范围对任意a(0，3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为（2） 求g fx（或g fx）恒成立的形式；fx在xD上的最大（或最小）值；（3） 解不等式g f (x)max(或g fxmin) ，得的取值范围。适用题型： （1） 参数与变量能分离； （2） 函数的最值易求出。例 8、当x(1,2)时，不等式x2mx 4 0恒成立，则m的取值范围是 .1f (x) ax3bx2 x33例 9、已知函数,其中a 0（1）当a,b满足什么条件时,f (x)取得极值?（2）已知a 0,且f (x)在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围
4、.4、数形结合例 10 、若对任意x R,不等式| x| ax恒成立，则实数a的取值范围是_2logax恒成立，求 a 的取值范围。(x1)例 11、当 x(1,2)时，不等式二、不等式能成立问题的处理方法二、不等式能成立问题的处理方法fxmax A若在区间D上存在实数x使不等式fx A成立,则等价于在区间D上；fxmin B若在区间D上存在实数x使不等式fx B成立,则等价于在区间D上的.例 12、已知不等式_例 13、 若关于x的不等式x ax a 3的解集不是空集， 则实数a的取值范围是2x 4 x 3 a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围1fx ln xax22x2例 14
5、、已知函数（a 0）存在单调递减区间，求a的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法三、不等式恰好成立问题的处理方法1x|1 x 23则ab _例 15、不等式ax bx 1 0的解集为x2 2x afx,x例 16、已知当x1, fx的值域是0,试求实数a的值.例 17、已知两函数 f(x)=8x2+16x-k，g(x)=2x3+5x2+4x，其中 k 为实数。（1）对任意 x-3，3，都有 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x-3，3，使 f（x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意 x1、x2-3，3，都有 f（x1)g(x2)，求 k 的取值范围。不等式恒
6、成立、能成立、恰成立问题专项练习不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习（请做在另外作业纸上）2(m1)x (m1)x3(m1) 0对任意实数 x 恒成立，求实数 m 取值范围1、若不等式kx2kx6 22x x22、已知不等式对任意的x R恒成立，求实数 k 的取值范围f (x) x33、设函数92x 6xa2对于任意实数x，f (x) m恒成立，求m的最大值。2x4、对于满足|p|2 的所有实数 p,求使不等式 px1 p2x恒成立的 x 的取值范围。5、已知不等式6、对任意的x22xa 0对任意实数x2， 3恒成立。求实数a的取值范围。a2,22f (x) x (a4)x42a的值总是正
7、数，求x 的取值范围，函数120,x log x 0m7、 若不等式在2内恒成立，则实数m 的取值范围。8、不等式ax x(4 x)在x0,3内恒成立，求实数 a 的取值范围。29、不等式kx k 2 0有解，求k的取值范围。10、对于不等式x 2 x1 a，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是 M；对于5，使此不等式恒成立的实数a的集合为 N，求集合M，N任意x0，11、对一切实数 x,不等式若不等式若方程x3 x2 a恒成立，求实数 a 的范围。x3 x2 a有解，求实数 a 的范围。x3 x2 a有解，求实数 a 的范围。22x (y1) 1，不等式x y c 0恒成立，求实数 c
8、 的范围。12、 若 x,y 满足方程22x (y1) 1，x y c 0，求实数 c 的范围。若 x,y 满足方程4322f (x) x ax 2x b(xR)，其中a,bR若对于任意的a2，13、设函数，不，11上恒成立，求b的取值范围等式f (x) 1在f (x) 14、 设函数13x (1a)x24ax24a3， 其中常数a 1， 若当x 0时，f (x) 0恒成立，求a的取值范围。215、已知向量a=(x，x+1)，b= (1-x，t)。若函数f (x) ab在区间（-1，1）上是增函数，求 t 的取值范围。不等式恒成立、能成立、恰成立问题不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案参考
9、答案例 1、解：a 的取值范围为-3，12 x x 2x a 0对任意x1,例 2、解：等价于恒成立,又等价于x 1时,x的最小值 0成立.2 x x 1 a 1在1,上为增函数,由于t=mg(t)则minx1 a 3,所以a 3 0,a 3o1t图 12例 3、解：由f cos 2msin f2m2 0得到：f cos2 2msin f2m2因为fx为奇函数，2f cos 2msin f2m 2恒成立，故有2又因为fx为 R 减函数， 从而有cos 2msin 2m 2对g(t)t=mto1图 20,2恒成立2设sin t，则t 2mt 2m 1 0对于t0,1恒成立，2在设函数gt t 2
10、mt 2m1,对称轴为t m.当t m 0时，g0 2m1 0，g(t)t=mm 即11 m 02，又m 02(如图 1)t当t m0,1，即0 m 1时, 4m 4m2m1 0,即m 2m 1 0,22o112 m 12,又m0,1,0 m 1(如图 2)当t m 1时，g112m 2m1 2 0恒成立.m 1(如图 3)图 3m 故由可知：12.例 4、解： （1） （2）略（3）由（2）知，f (x)在x 1处取得极小值f (1) 3c，此极小2f (x) 2c (x 0)恒成立，只需3c 2c2.即2c2c 3 0，值也是最小值.要使从而(2c 3)(c 1) 0. 解得c 33(,1
11、,)2或c 1.c的取值范围为2.a 例 5、解：12例 6、解：x(,1)(3,)22)都成立，即ax 3x(a1) x xa1对a(0，例 7、解析：由题设知“)都成立。设g(a) (x22)a x22x（aR）a(x22) x22x 0对a(0，则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。x22 0恒成立，则对x R，g(a)为R上)，g(a) 0恒成立的充分必要条件是g(0) 0，的单调递增函数。 所以对a(0，x22x 0，2 x 0，于是x的取值范围是x|2 x 0。x24x244m f (x) x2x.令xx，例 8、解析: 当x(1,2)时，由x mx4 0得f (x)max则易知
12、f (x)在(1,2)上是减函数， 所以x1,2时m 5.x24()min 5 f (1)5， 则x22f (x)(0,1f (x) ax 2bx1 0在(0,1a b例 9、 解析：（1）（2）在区间上单调递增上恒成立b ax1ax1, x(0,1b ()max22x22x恒成立，x(0,1。1a(x2)ax1a1ag(x) g(x) 2 222x，22x2x设，x 11x a(舍去)，a或令g(x) 0得当a 1时,0 11ax1x(0,)1g(x) a时g(x) 0，a22x单调增函数；，当x(当1ax1,1g(x) a时g (x) 0，22x单调减函数,g(1) aa。b a。g(x)
13、max1ax11g(x) 22x在区间当0 a 1时，a，此时g (x) 0在区间(0,1恒成立，所以(0,1上单调递增，g(x)maxg(1) a1a1b 2，2。b a1y | x|2。y ax综上，当a 1时,b a；当0 a 1时，例 10、解析：对x R,不等式| x| ax恒成立yy | x|y ax则由一次函数性质及图像知1 a 1，即1 a 1。例 11、解：10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在-2,2上恒大于 0，故有：2x 4x 3 0x 3或x 1f (2) 02x 1 0x 1或x 1x3.f (2) 即解得：1yy ax5、解：a 0 6
14、、解：x(,0)(4,),1) 7、解：168、解：画出两个凼数y ax和y x(4 x)在x0,303x 3a 3上的图象如图知当时y 3，3a 33当3x0,3x(4 x)a 时总有ax 所以39 、 解 ： 不 等 式kx2k 2 0有 解 k(x21) 2 k 2有 解x21有 解 k 2x21 2max，所以k(， 2)。2x1(x 1)，f (x) x2 x1 3(1 x2)，10、解：由2x1(x 2).又a f (x)有解 a f (x)min3，所以M a a 3令g(x) x2 x1，x0，5 a g(x)恒成立 a g(x)max g(5)9所以N a a 911、解：a
15、 5a 5a5,5 12、解：c 2 1c12,1213、解：f (x) 4x3 3ax2 4x x(4x2 3ax 4)由条件a2， 2可知 9a264 0，从而4x23ax4 0恒成立当x 0时，f (x) 0；当x 0时，f (x) 0因此函数f (x)在11 ，上的最大值是f (1)与f (1)两者中的较大者为使对任意a2， 2，不等式f (x) 1在11 ，上恒成立，当且仅当f (x)max1，f (1)1b b (2a)min即f (1)12a，即b 2a在a2， 2上恒成立即b (2a)min，a2， 2所以b 4，因此满足条件的b的取值范围是， 4x14、解： （II）由（I）
16、知，当x 0时，f (x)在x 2a或x 0处取得最小值。14f (2a) (2a)3(1 a)(2a)2 4a2a 24a a3 4a2 24a33；f (0) 24a则由题意得a 1f (2a) 0,f (0) 0,即a 1,4a(a 3)(a 6) 0,324a 0.解得1 a 6a(1,6)。2322yf (x) x (1 x)t(x 1) x x tx tf (x) 3x 2x t，15、解：依定义。则1g(x)x f (x)f (x) 0若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设恒成立。32f (x) 0 t 3x 2x在（-1，1）上恒成立。2g(x) 3x 2x，考虑函数（如图）1x 3，开口向上的抛物线，由于g(x)的图象是对称轴为-1o1x2t 3x 2x在（-1，1）上恒成立 t g(1)，即t 5。故要使而当t 5时，f (x)在（-1，1）上满足f (x)0，即f (x)在（-1，1）上是增函数。故 t 的取值范围是t 5.
