《高考数学 3.8应用举例配套课件 文 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 3.8应用举例配套课件 文 新人教A版（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 应 用 举 例1.1.三角形中常用的面积公式三角形中常用的面积公式（1 1）S= ahS= ah（h h表示边表示边a a上的高）上的高）. .（2 2）S= bcsinS= bcsin A=_=_. A=_=_.（3 3）S= r(a+b+c)(rS= r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径为三角形的内切圆半径).).2.2.实际问题中的有关概念实际问题中的有关概念(1)(1)仰角和俯角仰角和俯角: :在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，的角叫仰角，在水平线在水平线_的角叫俯角（如图的角叫俯角（如图）. .上方上方下方下方(2)
2、(2)方位角方位角: :从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B B点的方位角点的方位角为为(如图如图).).(3)(3)方向角方向角: :相对于某一正方向的水平角相对于某一正方向的水平角( (如图如图) )(i)(i)北偏东北偏东即由指北方向顺时针旋转即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；到达目标方向；(ii)(ii)北偏西北偏西即由指北方向逆时针旋转即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；到达目标方向；(iii)(iii)南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似. .(4)(4)坡角与坡度坡角与坡度坡角坡角: :坡面与水平面所成的二面角的度数坡面
3、与水平面所成的二面角的度数( (如图如图，角，角为坡角为坡角) )；坡度坡度: :坡面的铅直高度与水平长度之比坡面的铅直高度与水平长度之比( (如图如图，i i为坡度为坡度).).坡度又称为坡比坡度又称为坡比. .判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或或“”）. .(1)(1)面积公式中面积公式中S= bcsin A= absin C= acsinS= bcsin A= absin C= acsin B B，其实质，其实质就是面积公式就是面积公式S= ah= bh= ch(hS= ah= bh= ch(h为相应边上的高为相应边上的高) )的变形的变形. .
4、（ ）(2)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 . .（ ）(3)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系点之间的位置关系. .（ ）（4 4）方位角大小的范围是）方位角大小的范围是0, 2)0, 2)，方向角大小的范围一，方向角大小的范围一般是般是 ）. .（ ）（5 5）坡度与坡比是同一个概念，均为角度）坡度与坡比是同一个概念，均为角度. .（ ）【解析【解析】（1 1）正确）正确. .如如S= absin C= ah(h=bsin C)hS= absin C= a
5、h(h=bsin C)h即为边即为边a a上的高上的高. .（2 2）错误）错误. .俯角是视线与水平线所构成的角俯角是视线与水平线所构成的角. .（3 3）正确）正确. .方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的置关系的. .（4 4）正确）正确. .方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为角，故大小的范围为0,2)0,2)，而方向角大小的范围由定义可，而方向角大小的范围由定义可知为知为 ）. .（5 5）错误）错误. .由坡度与坡比定义可知坡度是一个角度，而坡比为由坡度
6、与坡比定义可知坡度是一个角度，而坡比为比值不是角比值不是角. .答案：答案：(1) (1) （2 2） (3) (4) (5) (3) (4) (5)1.1.在在ABCABC中中, AB=1,AC=2, AB=1,AC=2,则则S SABCABC的值为（的值为（ ）【解析【解析】选选C.C.由已知得由已知得 AB=c=1,AC=b=2,AB=c=1,AC=b=2,2.2.在在ABCABC中中, , 则则coscos A A等于（等于（ ）【解析【解析】选选D.D.由已知得由已知得3.3.如图所示，已知两座灯塔如图所示，已知两座灯塔A A和和B B与海洋与海洋观察站观察站C C的距离相等，灯塔的
7、距离相等，灯塔A A在观察站在观察站C C的的北偏东北偏东4040，灯塔，灯塔B B在观察站在观察站C C的南偏东的南偏东6060，则灯塔，则灯塔A A在灯塔在灯塔B B的方向为（的方向为（ ）(A)(A)北偏西北偏西5 5 (B) (B)北偏西北偏西1010(C)(C)北偏西北偏西1515(D)(D)北偏西北偏西2020【解析【解析】选选B.B.由已知由已知ACBACB180180404060608080，又又ACACBCBC，AAABCABC5050，606050501010. .灯塔灯塔A A位于灯塔位于灯塔B B的北偏西的北偏西1010. .4.4.已知已知A A，B B两地的距离为两
8、地的距离为10 km,B10 km,B，C C两地的距离为两地的距离为20 km,20 km,现测现测得得ABC=120ABC=120，则，则A A，C C两地的距离为两地的距离为_km._km.【解析【解析】如图所示，由余弦定理可得：如图所示，由余弦定理可得：ACAC2 2=100+400-2=100+400-210102020cos 120cos 120=700=700，答案：答案：5.5.海上有海上有A A，B B，C C三个小岛，测得三个小岛，测得A A，B B两岛的距离为两岛的距离为1010海里，海里，BAC=60BAC=60,ABC=75,ABC=75，则，则B,CB,C间的距离为
9、间的距离为_海里海里. .【解析【解析】连结连结A A，B B，C C岛，得岛，得ABCABC，则则C=180C=180-BAC-ABC=45-BAC-ABC=45，则由正弦定理得：则由正弦定理得：所以所以 ( (海里海里).).答案：答案：考向考向 1 1 与三角形面积有关的问题与三角形面积有关的问题 【典例【典例1 1】（1 1）（）（20132013中山模拟）已知中山模拟）已知O O为为ABCABC内一点，满内一点，满足足 且且BAC= BAC= 则则OBCOBC的面积为的面积为（ ）(2)(2013(2)(2013衡阳模拟衡阳模拟) )在在ABCABC中，若中，若A=30A=30，b=
10、2b=2，且且 则则ABCABC的面积为（的面积为（ ）(3)(2013(3)(2013龙溪模拟龙溪模拟)ABC)ABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c c，且，且2b2bcos A=ccos A=ccos A+acos A+acoscos C, C,求角求角A A的大小的大小; ;若若 求求ABCABC的面积的面积. .【思路点拨【思路点拨】（1 1）先确定）先确定O O点的位置，可知点的位置，可知O O为为ABCABC的重心，的重心，再利用向量关系求得再利用向量关系求得ABCABC面积即可求得面积即可求得S SOBCOBC. .（2 2）利用已知
11、条件求边）利用已知条件求边a,ba,b, ,角角C C可求面积可求面积. .（3 3）利用正弦定理得角）利用正弦定理得角A A，再利用余弦定理得，再利用余弦定理得bcbc，从而可求面，从而可求面积积. .【规范解答【规范解答】（1 1）选）选B.B.由由 可知可知O O为为ABCABC的的重心，故重心，故由由 得得c cbcosbcos BAC=2, BAC=2,又又 故故bcbc=4,=4,（2 2）选）选B.B.由由 得得2cacos B=c2cacos B=c2 2，即，即2acos B=c,2acos B=c,方法一方法一: :故故2sin Acos B=sin C=sin(A+B2s
12、in Acos B=sin C=sin(A+B),),得得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B B，故故sin Acos B-cos Asinsin Acos B-cos Asin B=0, B=0,即即sin(Asin(A-B)=0,-B)=0,又又A,BA,B是是ABCABC的内角的内角, ,故故A-B=0,A-B=0,A=B,aA=B,a=b=2,=b=2,A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .由由方法二：由方法二：由2acos B=c2acos B=c得，得，即即a=
13、b=2,A=B,a=b=2,A=B,又又A=30A=30,B=30,B=30,C=120,C=120. .（3 3）从已知条件得从已知条件得2cos Asin2cos Asin B= B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+Csin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.)=sin B.sin B0,cos A= sin B0,cos A= 又又0 0A A180180,A=60,A=60. .由余弦定理得，由余弦定理得，7=a7=a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bc-2bccos 60cos 60=b=b2 2+c+c2 2-bc=(b
14、+c)-bc=(b+c)2 2-3bc-3bc，代入，代入b+cb+c=4=4，得，得bcbc=3.=3.故故ABCABC的面积为的面积为【互动探究【互动探究】若将本例题若将本例题(1)(1)中中“ ”修改为修改为“O O为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点”. .其他条件不变，则其他条件不变，则OBCOBC的面积又的面积又该如何求解该如何求解? ?【解析【解析】由由 得得cbcoscbcos A=2, A=2,又又又又OO为为ABCABC中线中线ADAD的中点的中点, ,【拓展提升【拓展提升】三角形的面积公式三角形的面积公式（1 1）已知一边和这边上的高）已知一边和这边上的高: :（
15、2 2）已知两边及其夹角：）已知两边及其夹角：（3 3）已知三边：）已知三边：（4 4）已知两角及两角的共同边：）已知两角及两角的共同边：（5 5）已知三边和外接圆半径）已知三边和外接圆半径R R，则，则【变式备选【变式备选】在在ABCABC中，内角中，内角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a a，b b，c.c.已知已知 (1)(1)求求 的值的值. .(2)(2)若若 求求ABCABC的面积的面积S.S.【解析【解析】(1)(1)方法一方法一: :在在ABCABC中，由中，由及正弦定理可得及正弦定理可得即即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-s
16、in Acoscos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B B，则则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csincos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B B，sin(A+Bsin(A+B)=2sin(C+B)=2sin(C+B)，而，而A+B+C=A+B+C=，则，则sin C=2sin Asin C=2sin A，即，即方法二：在方法二：在ABCABC中，由中，由 可得，可得，bcos A-2bcos C=2ccos B-acosbcos A-2bcos
17、C=2ccos B-acos B B，由余弦定理可得由余弦定理可得整理可得整理可得c=2a.c=2a.由正弦定理可得由正弦定理可得 (2)(2)由由c=2ac=2a及及 可得可得4=c4=c2 2+a+a2 2-2accos B=4a-2accos B=4a2 2+a+a2 2-a-a2 2=4a=4a2 2, ,则则a=1a=1，c=2c=2，即即考向考向 2 2 测量距离问题测量距离问题 【典例【典例2 2】（1 1）如图）如图, ,设设A A，B B两点在两点在河的两岸，一测量者在河的两岸，一测量者在A A的同侧，在的同侧，在所在的河岸边选定一点所在的河岸边选定一点C C，测出，测出AC
18、AC的的距离是距离是50 m50 m，ACB=45ACB=45，CAB=CAB=105105后，就可以计算出后，就可以计算出A A，B B两点的距离为（两点的距离为（ ）(2)(2)在相距在相距2 2千米的千米的A A，B B两点处测量目标点两点处测量目标点C C，若，若CAB=75CAB=75，CBA=60CBA=60, ,则则A A，C C两点之间的距离为两点之间的距离为_千米千米. .(3)(3)某人在某人在M M汽车站的北偏西汽车站的北偏西2020的方向上的的方向上的A A处，观察到点处，观察到点C C处处有一辆汽车沿公路向有一辆汽车沿公路向M M站行驶站行驶. .公路的走向是公路的走
19、向是M M站的北偏东站的北偏东4040. .开始时，汽车到开始时，汽车到A A的距离为的距离为3131千米，汽车前进千米，汽车前进2020千米后，到千米后，到A A的的距离缩短了距离缩短了1010千米千米. .此时汽车离汽车站的距离是此时汽车离汽车站的距离是_._.【思路点拨【思路点拨】（1 1）利用三角形的内角和定理得）利用三角形的内角和定理得ABCABC，再利用，再利用正弦定理可解正弦定理可解. .（2 2）利用已知角求得）利用已知角求得ACBACB，再利用正弦定理求解，再利用正弦定理求解. .（3 3）先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角）先画出图形，利用已知条件及余弦定理求角C C的
20、余弦值，的余弦值，再利用正弦定理求解即可再利用正弦定理求解即可. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.由由ACB=45ACB=45，CAB=105CAB=105, ,得得ABC=30ABC=30, ,由正弦定理得由正弦定理得(2)(2)由由CAB=75CAB=75,CBA=60,CBA=60, ,得得ACB=180ACB=180-75-75-60-60=45=45. .由正弦定理得由正弦定理得即即答案：答案：（3 3）由题设，画出示意图，设汽车）由题设，画出示意图，设汽车前进前进2020千米后到达千米后到达B B处处. .在在ABCABC中，中，AC=31AC=31，BC=20BC
21、=20，AB=21AB=21，由余弦定理得由余弦定理得所以所以sinMACsinMAC = sin = sin （120120-C-C）=sin 120=sin 120cos C-cos C-coscos 120 120sin C =sin C =在在MACMAC中，由正弦定理得中，由正弦定理得从而有从而有MB=MC-BC=15(MB=MC-BC=15(千米千米),),所以汽车还需要行驶所以汽车还需要行驶1515千米才能到达千米才能到达M M汽车站汽车站. .答案：答案：1515千米千米【互动探究【互动探究】若将本例题（若将本例题（1 1）中）中A A，B B两点放到河岸的同侧，两点放到河岸的
22、同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距但不能到达，在对岸的岸边选取相距 的的C C，D D两点，同两点，同时，测得时，测得ACBACB7575，BCDBCD4545，ADCADC3030，ADBADB4545(A(A，B B，C C，D D在同一平面内在同一平面内) )，则两点，则两点A A，B B之间的距离之间的距离又如何求解又如何求解? ?【解析【解析】如图所示，如图所示，在在ACDACD中，中，ADCADC3030，ACDACD120120，CADCAD3030，ACACCDCD在在BDCBDC中，中，CBDCBD180180454575756060. .由正弦定理可得由正弦定理可得在在
23、ABCABC中，由余弦定理可得中，由余弦定理可得ABAB2 2ACAC2 2BCBC2 22AC2ACBCBCcos BCAcos BCA，ABAB (km).(km).即两点即两点A A，B B之间的距离为之间的距离为 km.km.【拓展提升【拓展提升】解三角形应用题的一般步骤解三角形应用题的一般步骤（1 1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系清量与量之间的关系. .（2 2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. .（3 3）选择正弦定理、余弦定理
24、或其他相关知识求解）选择正弦定理、余弦定理或其他相关知识求解. .（4 4）将三角形的解还原为实际问题的解）将三角形的解还原为实际问题的解. .【变式备选【变式备选】如图，如图，A A，B B是海面上位于东西方向相距是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现位于海里的两个观测点，现位于A A点北偏东点北偏东4545，B B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘轮船发出求救信号，位于点有一艘轮船发出求救信号，位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相点相距距 海里的海里的C C点的救援船立即前往营救，其航行速度为点的救援船立即前往营救，其航行速度为3030海里海里/ /小时，该
25、救援船到达小时，该救援船到达D D点需要多长时间？点需要多长时间？【解析【解析】由题意知由题意知 海里，海里，DBA=90DBA=90-60-60=30=30, ,DAB=90DAB=90-45-45=45=45. . ADB=180 ADB=180-(45-(45+30+30)=105)=105. .在在ABDABD中，由正弦定理得中，由正弦定理得 = (= (海里海里).).又又DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90-60-60)=60)=60，BC= BC= 海里，海里，在在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得CDCD2 2=BD=BD2 2+B
26、C+BC2 2-2BD-2BDBCBCcosDBCcosDBCCD=30(CD=30(海里海里).).故所需时间故所需时间 （小时）（小时）. .故救援船到达故救援船到达D D点需要点需要1 1小时小时. .考向考向 3 3 测量高度问题测量高度问题 【典例【典例3 3】（1 1）(2013(2013开封模拟开封模拟) )如图，如图，测量河对岸的旗杆高测量河对岸的旗杆高ABAB时，选与旗杆底时，选与旗杆底B B在同一水平面内的两个测量点在同一水平面内的两个测量点C C与与D.D.测得测得BCD=75BCD=75，BDC=60BDC=60，CD=aCD=a，并在，并在点点C C测得旗杆顶测得旗杆
27、顶A A的仰角为的仰角为6060，则旗杆，则旗杆高高ABAB为为_._.（2 2）（）（20132013郑州模拟）某气象仪器研究所按以下方案测试郑州模拟）某气象仪器研究所按以下方案测试一种一种“弹射型弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：气象观测仪器的垂直弹射高度：A A，B B，C C三地三地位于同一水平面上，在位于同一水平面上，在C C处进行该仪器处进行该仪器的垂直弹射，观测点的垂直弹射，观测点A A，B B两地相距两地相距100100米，米，BAC=60BAC=60，在，在A A地听到弹射声音地听到弹射声音的时间比的时间比B B地晚地晚 秒秒. .在在A A地测得该仪器地测得该仪器至最高点
28、至最高点H H时的仰角为时的仰角为3030，求该仪器，求该仪器的垂直弹射高度的垂直弹射高度CH.(CH.(声音在空气中的传播速度为声音在空气中的传播速度为340340米米/ /秒秒) )【思路点拨【思路点拨】（1 1）由正弦定理求出）由正弦定理求出BCBC，再利用正切求，再利用正切求ABAB即可即可. .（2 2）利用已知条件先求）利用已知条件先求ACAC，再利用正切求，再利用正切求CHCH即可即可. .【规范解答【规范解答】（1 1）在三角形）在三角形BCDBCD中，由正弦定理得：中，由正弦定理得：在直角三角形在直角三角形ABCABC中，中，答案：答案：(2)(2)由题意，设由题意，设AC=
29、x,AC=x,则则在在ABCABC中，由余弦定理得：中，由余弦定理得：BCBC2 2=BA=BA2 2+CA+CA2 2-2BA-2BACACAcos BAC,cos BAC,即即(x-40)(x-40)2 2=10 000+x=10 000+x2 2-100x,-100x,解得解得x=420.x=420.在在ACHACH中，中，AC=420,CAH=30AC=420,CAH=30,ACH=90,ACH=90, ,所以所以CH=ACCH=ACtanCAHtanCAH= = 故该仪器的垂直弹射高度故该仪器的垂直弹射高度CHCH为为 米米. .【拓展提升【拓展提升】处理高度问题的注意事项处理高度问
30、题的注意事项(1)(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角( (视线在水平线视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角上方、下方的角分别称为仰角、俯角) )是一个关键是一个关键(2)(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面在实际问题中，可能会遇到空间与平面( (地面地面) )同时研究的同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错这样处理起来既清楚又不容易搞错. .【提醒【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三高度问题一般是把它转化成三
31、角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合平面图形的结合. .【变式训练【变式训练】要测量底部不能到达的电视塔要测量底部不能到达的电视塔ABAB的高度，在的高度，在C C点点测得塔顶测得塔顶A A的仰角是的仰角是4545，在，在D D点测得塔顶点测得塔顶A A的仰角是的仰角是3030，并，并测得水平面上的测得水平面上的BCDBCD120120，CDCD40 m40 m，求电视塔的高度，求电视塔的高度. .【解析【解析】如图，设电视塔如图，设电视塔ABAB的高为的高为x mx m，则在，则在RtA
32、BCRtABC中，由中，由ACBACB4545得得BCBCx.x.在在RtABDRtABD中，中，ADBADB3030，在在BDCBDC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得BDBD2 2BCBC2 2CDCD2 22BC2BCCDCDcos 120cos 120，即即 x x2 240402 22 2x x4040cos 120cos 120，解得解得x x4040，电视塔高为电视塔高为4040米米. .【满分指导【满分指导】三角形中面积公式的应用三角形中面积公式的应用 【典例【典例】（1212分）（分）（20122012江西高考）在江西高考）在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的
33、对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，已知，已知（1 1）求证：）求证：（2 2）若）若 求求ABCABC的面积的面积. .【思路点拨【思路点拨】【规范解答【规范解答】（1 1）由）由bsinbsin （ +C+C）-csin-csin （ +B+B）=a=a，应用正弦定理，得应用正弦定理，得 3 3分分整理得整理得sin Bcos C-cos Bsinsin Bcos C-cos Bsin C=1, C=1,即即sin(Bsin(B-C-C）=1, =1, 5 5分分 6 6分分（2 2）B+C=-A= B+C=-A= 由（由（1 1）知）知B-C= B-C= 因此因此 8 8分分 1
34、010分分所以所以ABCABC的面积的面积 1212分分【失分警示【失分警示】（下文（下文见规范解答过程）见规范解答过程）1.1.（20132013佛山模拟）某校运动会开幕佛山模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度1515的看台的某一列正前方，从这一列的看台的某一列正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为角分别为6060和和3030，第一排和最后一排的距离为，第一排和最后一排的距离为 米米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上. .若国歌若国歌
35、长度约为长度约为5050秒，升旗手应以秒，升旗手应以_米米/ /秒的速度匀速升旗秒的速度匀速升旗. .【解析【解析】在在BCDBCD中，中，BDC=45BDC=45,CBD=30,CBD=30, , 由正弦定理，得由正弦定理，得在在RtABCRtABC中，中，AB=BCsinAB=BCsin 60 60= = （米），所以升（米），所以升旗速度旗速度 （米（米/ /秒）秒）. . 答案：答案：0.60.62.2.（20132013肇庆模拟）小明的爸爸开汽车以肇庆模拟）小明的爸爸开汽车以80 km/h80 km/h的速度的速度沿着正北方向的公路行驶，小明坐在车里向外观察，在点沿着正北方向的公路行
36、驶，小明坐在车里向外观察，在点A A处望见电视塔处望见电视塔P P在北偏东在北偏东3030方向上，方向上，1515分钟后到点分钟后到点B B处望见处望见电视塔在北偏东电视塔在北偏东7575方向上，则汽车在点方向上，则汽车在点B B时与电视塔时与电视塔P P的距的距离是离是_km._km.【解析【解析】如图所示，如图所示，BAP=30BAP=30,CBP=75,CBP=75,BPA=45,BPA=45, ,由已知得由已知得AB= =20(km),AB= =20(km),由正弦定理得由正弦定理得故故答案：答案：3.3.（20132013珠海模拟）如图，一艘船上午珠海模拟）如图，一艘船上午9 9：3
37、030在在A A处测得灯塔处测得灯塔S S在它的北偏东在它的北偏东3030方向上，之后方向上，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午它继续沿正北方向匀速航行，上午10:0010:00到达到达B B处，处，且与灯塔且与灯塔S S相距相距 n mile.n mile.此船的航速是此船的航速是32 n mile/h32 n mile/h，则灯塔则灯塔S S对于点对于点B B的方向角是的方向角是_._.【解析【解析】由已知可得由已知可得, ,AB=32 n mile/hAB=32 n mile/h =16 n mile =16 n mile，BS= mile,BASBS= mile,BAS=30=30,
38、,由正弦定理得由正弦定理得又又0 0ASBASB180180，得，得ASB=45ASB=45或或135135, ,若若ASB=45ASB=45，则，则ABS=105ABS=105，此时，此时，S S在点在点B B的北偏东的北偏东7575方向上；方向上；若若ASB=135ASB=135，则，则ABS=15ABS=15, ,此时，此时，S S在点在点B B的南偏东的南偏东1515方向上方向上. .答案：答案：北偏东北偏东7575或南偏东或南偏东15154.4.（20122012新课标全国卷）已知新课标全国卷）已知a a，b b，c c分别为分别为ABCABC三个内三个内角角A A，B B，C C的
39、对边，的对边， (1)(1)求求A.A.(2)(2)若若a=2a=2，ABCABC的面积为的面积为 求求b,cb,c. .【解析【解析】（1 1）由）由c= asin C-ccosc= asin C-ccos A A及正弦定理得及正弦定理得 sin Asin C-cos Asinsin Asin C-cos Asin C-sin C=0. C-sin C=0.由于由于sin C0sin C0，所以，所以又又0A0A，故，故（2 2）ABCABC的面积的面积而而a a2 2=b=b2 2+c+c2 2-2bccos A,-2bccos A,故故b b2 2+c+c2 2=8.=8.解得解得b=c
40、=2.b=c=2.1.1.在在ABCABC中，中， 点点D D是是BCBC的中点，且的中点，且AD=1AD=1，BAD=30BAD=30，则，则ABCABC的面积为（的面积为（ ）【解析【解析】选选C.C.如图所示，在如图所示，在ABDABD中，中，BDBD2 2=AB=AB2 2+AD+AD2 2-2AB-2ABADcos 30ADcos 30= =故故BD=1.BD=1.方法一：由于方法一：由于D D是是BCBC的中点，故的中点，故S SABCABC=2S=2SBADBAD方法二：由方法二：由BD=1BD=1，得，得BC=2,BC=2,方法三方法三: :由于由于BD=1BD=1，AD=1,
41、AD=1,故故B=BAD=30B=BAD=30, ,而而BC=2BD=2,BC=2BD=2,故故2.2.如图，为了计算渭河岸边两景点如图，为了计算渭河岸边两景点B B与与C C的距离，由于地形的限制，需要的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取在岸上选取A A和和D D两个测量点两个测量点. .现测得现测得ADCD,AD=100 m,AB=140 m,BDAADCD,AD=100 m,AB=140 m,BDA=60=60,BCD=135,BCD=135，求两，求两景点景点B B与与C C之间的距离之间的距离( (假设假设A A，B B，C C，D D在同一平面内，测量结在同一平面内，测量结果保留
42、整数；参考数据：果保留整数；参考数据： ).).【解析【解析】在在ABDABD中，设中，设BD=x m,BD=x m,则则BABA2 2=BD=BD2 2+AD+AD2 2-2BD-2BDADADcosBDA,cosBDA,即即1401402 2=x=x2 2+100+1002 2-2-2100100x xcos 60cos 60, ,整理得整理得x x2 2-100x-9 600=0,-100x-9 600=0,解得解得x x1 1=160,x=160,x2 2=-60=-60（舍去）（舍去）, ,故故BD=160 m.BD=160 m.在在BCDBCD中，由正弦定理得中，由正弦定理得: :
43、又又ADCD,CDB=30ADCD,CDB=30, , = 113(m). = 113(m).即两景点即两景点B B与与C C之间的距离约为之间的距离约为113 m.113 m.3.3.攀岩运动是一项刺激而危险的运动攀岩运动是一项刺激而危险的运动, ,在在某次攀岩运动中，为确保运动员的安全某次攀岩运动中，为确保运动员的安全, ,地面救援者应时刻注意运动员离地面的距地面救援者应时刻注意运动员离地面的距离离, ,以备发生危险时进行及时救援以备发生危险时进行及时救援. .为了方为了方便测量和计算便测量和计算, ,如图，如图，A,CA,C分别为两名攀岩者所在位置分别为两名攀岩者所在位置,B,B为山的为
44、山的拐角处拐角处, ,且斜坡且斜坡ABAB的坡角为的坡角为,D,D为山脚为山脚, ,某人在某人在E E处测得处测得A,B,CA,B,C的的仰角分别为仰角分别为,ED,ED=a,=a,(1)(1)求求B B，D D间的距离及间的距离及C C，D D间的距离间的距离. .(2)(2)求证求证: :在在A A处，攀岩者距地面的距离处，攀岩者距地面的距离【解析【解析】(1)(1)根据题意得根据题意得CED=,BED=,AEDCED=,BED=,AED=,=,在直角在直角三角形三角形CEDCED中中, , 在直角三角形在直角三角形BEDBED中中, ,(2)(2)易得易得在在ABEABE中中,AEB=-,ABE=+,AEB=-,ABE=+, ,EAB=-(+EAB=-(+),),由正弦定理得由正弦定理得代入整理得代入整理得: :
