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1、不等式、推理与证明第第 六六 章章第第3232讲一元二次不等式及其解法讲一元二次不等式及其解法考纲要求考情分析命题趋势1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.2017江苏卷，72016江苏卷，52015山东卷，1对一元二次不等式的考查，主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.分值：5分板板 块块 一一板板 块块 二二板板 块块 三三栏
2、目导航三个二次之间的关系1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R. ()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(5)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()D 3不等式x(2x)0的解集为_.解析x(2x)0，x(x2)0，0x2，故解集为(0,2)(0,2) 5 不 等 式 x
3、2 ax 40的 解 集 不 是 空 集 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是_.解析由题意可知a2160，解得a4或a4.14 (，44，) (1)解一元二次不等式的一般步骤化为标准形式(二次项系数大于0)；确定判别式的符号；若0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若0，则对应的二次方程无根；结合二次函数的图象得出不等式的解集一一元二次不等式的解法(2)解含参数的一元二次不等式，需要对参数进行分类讨论二次项中若含有参数，应讨论是小于零、等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与零的关系；确定无根时可直接写出解集，确定方程有
4、两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式【例1】 解下列关于x的不等式(1)2x2x30；(2)ax222xax(aR)二一元二次不等式恒成立问题不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值【例2】 函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x
5、)a恒成立，求a的取值范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求x的取值范围解析(1)xR时，有x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，所以6a2，故a的取值范围为6,2(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足条件，有a24(3a)0，即6a2.如图(2)，g(x)的图象与x轴有2个交点，三一元二次不等式的实际应用求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读、理解、审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，并注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果D D D 错因分析：如果式子中含有两个或多个变量，解题时通常是以一个为主，再兼顾其他【例1】 (1)对任意x1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求a的取值范围(2)对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围易错点分不清主元、次元D
