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1、3. 3. 4 4基本不等式： （2 2课时）一、导学提示，自主学习一、导学提示，自主学习二、新课引入，任务驱动二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析三、新知建构，典例分析四、当堂训练，针对点评四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业五、课堂总结，布置作业一、导学提示，自主学习1.本节学习目标本节学习目标（1）理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件基本不等式成立的条件 （2）能利用基本不等式求代数式或函数的最值能利用基本不等式求代数式或函数的最值 ，并会解决有关的实际问题并会解决有关的实际问题.学习重点学习重点：基本不等式的应
2、用基本不等式的应用学习难点：学习难点：基本不等式推导过程及成立的条件基本不等式推导过程及成立的条件一、导学提示，自主学习2.本节主要题型本节主要题型题型一题型一 比较大小比较大小题型二题型二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值题型三题型三 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用3.自主学习教材自主学习教材P97-P1003. 4基本不等式：基本不等式：线性规划的两类重要实际问题的解题思路：线性规划的两类重要实际问题的解题思路： （1 1）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。确定线性目标函数。 （2 2）用图解法求得
3、数学模型的解，即画出可行域，）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(.(一般最优解一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较. .） （3 3）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。问题的解，即结合实际情况求得最优解。 二、新课引入，任务驱动通过本节的学习你能掌握基本不等式及通过本节的学习你能掌握基本不等式及应用吗？应用吗？二、新课引入，任务驱动三、新知建构，典例分析 一一.基本不等式的推基本不等式
4、的推导二二.基本不等式基本不等式 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。风车，代表中国人民热情好客。三、新知建构，典例分析 20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标三国时期三国时期吴国的数学家赵爽吴国的数学家赵爽三、新知建构，典例分析 思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找
5、出一些相等关系或不等关系？或不等关系？三、新知建构，典例分析 问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积总和是形，它们的面积总和是S S= =问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=AF=a,BFa,BF=b,=b,则则AB=AB=则正方形的面积为则正方形的面积为S=S=。问问3 3：观察图形：观察图形S S与与S S有什么样的大有什么样的大小关系？小关系？ 易得，易得，s ss s, ,即即ADCBHGFE问问4 4：那么它们有相等的情况吗？那么它们有相等的情况吗？何时相等
6、？何时相等？变化的弦图变化的弦图问题问题4 4：s,s, S有相等的情况吗？何时相等？有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 u形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立问问5 5：当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 还成立吗？还成立吗？此不等式称为此
7、不等式称为重要不等式重要不等式替换后得到：替换后得到： 即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？三、新知建构，典例分析 证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分分析析法法证明不等式：证明不等式：特别地，若特别地，若a0，b0，则，则通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫
8、做正数a，b的算术平均数，的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围： a0,b0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b
9、表示表示OD? OD=_你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正
10、数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b Ra0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式三、新知建构，典例分析 重要变形：重要变形：（由小到大）（由小到大）三、新知建构，典例分析 2 .典例分析：典例分析：题型一题型一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值题型二题型二 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用三、新知建构，典例分析结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值配凑系数配凑系数分析分析: x+(1- -2x) 不是不是
11、常数常数.2=1为为 解解: 0x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 14当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418例例2. 若若 0x0， 0，若，若 是是 与与 的等比中的等比中项，则得最小值为（得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. （2009年天津理年天津理6）B因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是7
12、2m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2四、当堂训练，针对点评2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数 （ 0， 0）的最大的最大值为12，则 的最小的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 略解略解：xy02-22(4,6)A2.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少
13、？四、当堂训练，针对点评2.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72五、课堂总结，布置作业1课堂总结：课堂总结：（1）涉及知识点：）涉
14、及知识点：基本不等式及其基本不等式及其应用。用。（2）涉及数学思想方法：）涉及数学思想方法：转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合思想。思想。求最值时注意把握求最值时注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).142. 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1. 两个重要的不等式两个重要的不等式三、新知建构，典例分析五、课堂总结，布置作业2.作业设计：作业设计：P93习题习题3.3A组组1-23.预习任务：必修预习任务：必修5教材教材87-913.3.2简单的线性规划问题简单的线性规划问题
