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1、一、一阶线性微分方程的概念一、一阶线性微分方程的概念一、一阶线性微分方程的概念一、一阶线性微分方程的概念与解的结构与解的结构与解的结构与解的结构第六章微分方程初步第六章微分方程初步第六章微分方程初步第六章微分方程初步第三节一阶线性微分方程第三节一阶线性微分方程第三节一阶线性微分方程第三节一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程二、伯努利方程二、伯努利方程一阶线性微分方程的概念与解的结构定义定义 一阶微分方程的一般形一阶微分方程的一般形式为式为F(x, y, y ) = 0.一、一阶线性微分方程的概念与解的结构一、一阶线性微分方程的概念与解的结构一阶线性微分方程的概念与解的结构一、一阶线性微
2、分方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程. . 其中其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数. . 左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y ，且均为，且均为 y 或或 y 的一次项的一次项. . 它的特点它的特点是：右边是已知函数，是：右边是已知函数，一阶线性微分方程的概念与解的结构称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程，简简称称线线性性齐齐次次方方程程， 0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微
3、分为一阶线性非齐次微分方程，简称方程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程. 通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.若若 Q (x)若若 Q (x) 0，则方程成为，则方程成为一阶线性微分方程的概念与解的结构1 1. . . .一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程. .两边积分，得两边积分，得所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为分离变量，得分离变量，得一阶线性微分方程的概念与解的结构例例 6 求方程求方程 y + + (sin x)y
4、= 0 的通解的通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，且且 P(x) = sin x，由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则一阶线性微分方程的概念与解的结构例例 7求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy = 0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1 = e 的特解的特解. .解解将所给方程化为如下形式：将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解将初始条件将初始条件 y(1) = e 代入通解，代入通解， 得得 C = 1. .故所求特解为故所求
5、特解为一阶线性微分方程的概念与解的结构2 2. . . .一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解， 将将 y = C(x)y1 ( (其其中中 y1 是是齐齐次次方方程程 y + + P (x) y = 0 的的解解) )及及其其导导数数 y = C (x) y1 + + C(x) y 1 代入方程代入方程则有则有即即一阶线性微分方程的概念与解的结构因因 y1 是对应的线性齐次方程的解，是对应的线性齐次方程的解，因此有因此有其中其中 y1 与与 Q(x) 均为已知函数，均为已
6、知函数，代入代入 y = C (x)y1 中，得中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分所以可以通过积分求得求得一阶线性微分方程的概念与解的结构且且含含有有一一个个任任意意常常数数，所所以以它它是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程的通解的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：上上述述讨讨论论中中所所用用的的方方法法，是是将将常常数数 C 变变为为待待定定函数函数 C(x)， 再通过确
7、定再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，称为称为常数变易法常数变易法. .一阶线性微分方程的概念与解的结构例例 8 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为程的通解为将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设设所所给给线线性性非非齐齐次次方方程程的的解解为为一阶线性微分方程的概念与解的结构于是，有于是，有因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为解
8、法解法二二 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：一阶线性微分方程的概念与解的结构则则代入通解公式，得原方程的通解为代入通解公式，得原方程的通解为一阶线性微分方程的概念与解的结构例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性齐次方程的通解为的通解为一阶线性微分方程的概念与解的结构设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为于是，有于是，有将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得一阶线性微分方程的概念与解
9、的结构因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为将初始条件将初始条件 y(p p) = 1 代入，得代入，得 C = p p，所所 以以 ，所求的特解，即初值问题的解为所求的特解，即初值问题的解为一阶线性微分方程的概念与解的结构例例 10求方程求方程 y2dx + (x - - 2xy - - y2)dy = 0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这这是是一一个个关关于于未未知知函函数数 x = x(y) 的的一一阶阶线线性性非非齐齐次次方程，方程，它的自由项它的自由项 Q(y) = 1.一阶线性微分方程的概念与解的结构代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为即所求通解为一阶线性微分方程的概念与解的结构二、伯努利方程二、伯努利方程称为伯努利方程。当称为伯努利方程。当n=0或或1时，该方程是线性方时，该方程是线性方程；当程；当n0或或1时，该方程不是线性的，但是通过时，该方程不是线性的，但是通过变量替换，可以把它化为线性的。变量替换，可以把它化为线性的。方程方程一阶线性微分方程的概念与解的结构如以如以yn除以方程两边，得除以方程两边，得则则令令化简为化简为一阶线性微分方程的概念与解的结构例例 求方程求方程的通解的通解.一阶线性微分方程的概念与解的结构
