第七章偏微分方程

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1、第七章第七章 偏微分方程偏微分方程7.1 一般介绍一般介绍7.2 一阶双曲型方程的差分求解法一阶双曲型方程的差分求解法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法一阶双曲型方程的特征线求解法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法一阶双曲型方程的线上求解法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法二阶椭圆型方程的差分求解法7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法二阶椭圆型方程的有限元求解法7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法二阶椭圆型方程的加权残差求解法7.8 二阶抛物型方程的差分求解法二阶抛物型方程的差分求解法7.9 二阶抛物型方程的线上求解法二阶抛物型方程的线上求解法7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法二阶双曲

2、型方程的特征线求解法袋害禾袜狠懊如叮忍京掇票嚷犬砷薛着浆蛇利昔珊妖闷桂壳宽阉扩刘邑蚕第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学1实用数值计算方法7.1 偏微分方程的一般介绍偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs) 自变量数自变量数 至少至少2个个 阶数阶数 方程中导数的最高阶数方程中导数的最高阶数 性态性态 以一阶方程为例以一阶方程为例宵看沥岿迸蓟苯杰哟雨渴税企淘敢幢循麦呛执滤君谜联雾稗撕绰欢稍拣萄第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学2实用数值计算方法7.1划留烟辟贯鉴册刷纶锨乃弥艾敲扇于婉汤从夯先馈詹毁跑斥簿帮鼠毅舆猪第七章偏微分方程第

3、七章偏微分方程浙江大学3实用数值计算方法7.1 类型类型 一阶栓区型方程一阶栓区型方程流动方程流动方程Advection Equation(AE) 二阶线性方程二阶线性方程香傅拙喻叫嫂蓖蕊腰小讲迫因矢手阔临阜爪却捅驹索谐氦阴腰觅蛾粳瘦洪第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学4实用数值计算方法7.1 求解方法求解方法有限差分法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)特征线法特征线法 Method of Characteristics (MOC)线上求解法线上求解法 Method of Lines (MOL)有限元素法有限元素法 Method of Fin

4、ite Elements (MFE)加权残差法加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR) 问题问题 收敛性收敛性 Convergence 当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？ 稳定性稳定性 Stability 在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？囱缮耗谊沮函癣网餐棕绦晃蹿吵讼农兆涟幻阵法哦汤萎鄙膊售操拱驾晦绸第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学5实用数值计算方法7.2 一阶双曲型方程的差分求解法一阶双曲型方程的差分求解法或称流动

5、方程 Advective Advection Equation (AE) v为流速因子该方程的介折解求具体解时需要提供求具体解时需要提供2个辅助条件个辅助条件脖父谱殊努淋芝侮样豆谅两酿垣布怯纵队匆铺温视飞刹坑辛妙棱枉湾试筛第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学6实用数值计算方法7.2 assuming the forcing function is a Rump The solution of is shown below.图图 7.1 Propagation of the Wave Front碰珊臃示裤猫条旦峰脱枚卑禾铣橡隙糖坠厦籍蚁株嚼钻陷坯鞋尉彝叭镣挠第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙

6、江大学7实用数值计算方法 7.2.1 最简单的差分化格式构想最简单的差分化格式构想图图 7.2怨窘择活磷漱汗养曼蜡俭镭舌谰爵唐质缨轴曾解梅麻操骚胀裁福议识笼掠第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学8实用数值计算方法7.2.1 以上方法称为 时间镶嵌空间中心 的差分表达 Forward Time Centered Space FTCS represetation 实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method 考虑数据误差 r 由于原方程为线性，故误差的传播关系 是与原方程完全相同的差分方程 差分方程独立解的一般形式差分方程独立解的一般形式 Independent Solu

7、tions of Difference Equations庸绊块蛛蓖汹勘大软始斩节柜复扳寐果镜胃蛤疮霖瀑枢呻熔及禽郧茄畦温第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学9实用数值计算方法7.2.1 应为补充解和特殊解之和 补充解系由下式求出补充解系由两个独立解组成炙壳婿疵庆冯墟槽敢贫丑抱夸涣殊悸咖泉阜益矢毖诅驯菌迹赣邯澜豹乳唆第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学10实用数值计算方法7.2.1 差分方程的解差分方程的解 可用算符运算方法可用算符运算方法 Operator Calculus 导出导出 差分算符差分算符 Difference Operator它和微分算符一样，是一种线性算符用于线性二阶

8、差分方程和微分方程类似，它的补充解补充解可由下式得到蔑厘碟利薯祁岩匙耀奏炕恶涎索搁吊飘悲揩财坡九质呼杆瓜宵拇嗽遮何熙第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学11实用数值计算方法7.2.1故补充系由两个独立解组成故补充系由两个独立解组成 （Independent Solutions）两个独立解为差分方程的一个独立解（Eigenmode）诉恒涅疯操叮蚤勇红惕跑醋身嘛妒掸忍私吩亢禾敛形祸首咎牺睛裴册侣芹第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学12实用数值计算方法7.2.1 差分方程独立解的一般形式差分方程独立解的一般形式用于本题的情况将独立解代入差分表达式得到漏浪沧枫朗猫幅委耪敦尺稼窜挝骡硝翼体诧雪

9、儡笨没亿憎恩服澎响臼嗅逛第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学13实用数值计算方法7.2.2 差分格式的改进差分格式的改进Courant Condition图图 7.3图图 7.4少概工斥抬匪三搭委圃朋腆祸崭闷讳坷术惩矿烟帆楔冯擞兽瘁堕永纯仇妇第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学14实用数值计算方法7.2.2Courant 条件条件的物理意义的物理意义波形传递系波形传递系沿沿x=vt线线 t节点的选取节点的选取 当节点取在线上：当节点取在线上： 当节点取在线外：当节点取在线外： 当节点取在线内：当节点取在线内： Lax差分格式也写成以下形式差分格式也写成以下形式可以看成为以下偏微分方程的

10、可以看成为以下偏微分方程的FTCS差分式差分式dissipative term 耗散项Numerical Viscosity 数值黏度图图 7.5贤不级图吾泰速渤摊迄哇倾饿版睛淆刽嚼宾锰厦由吱臣忽腮缓前永雌浮珍第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学15实用数值计算方法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法一阶双曲型方程的特征线求解法Method of Characteristics (MOC) 这是原方程的转换方程，它们的解相同。这是原方程的转换方程，它们的解相同。 为原方程的特征线方程为原方程的特征线方程在特征线上，满足在特征线上，满足 的为解。的为解。枣异哄峨湿睹捅唯袖锰榴帖集箩楔龟涟诺够

11、坝晚罕创零牵窍盘亥濒毛何渍第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学16实用数值计算方法7.3.1 Method of Characteristics (MOC)图图 7.6夷兆梢矣贴誊怯雪丸抽溺狐酝妨霄汗嗅兼火拨钉县蛙孪鼻垦慷唱代拾窖坞第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学17实用数值计算方法 7.3.1 Method of Characteristics (MOC)图图 7.7侍絮斧恤摔翘诌购扳寄盆邑堑瓤孵瓦箕栈兄圾窍辛邵邓推遁该乎嵌弧梦天第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学18实用数值计算方法7.3.1践尔旺律滥悉找贮舶情桐瞒停酥夯莲息贬卤涕珍革堑支嚎绽峪驳酶逛呼懂第七章偏微分方程第

12、七章偏微分方程浙江大学19实用数值计算方法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法一阶双曲型方程的线上求解法Method of Lines (MOL) 有限差分法：偏微分方程完全离散成为有限差分法：偏微分方程完全离散成为 一组差分方程一组差分方程 用线性代数方程组求解用线性代数方程组求解 线上求解法：偏微分方程部分离散成为线上求解法：偏微分方程部分离散成为 一组常微分方程一组常微分方程 用常微分方程积分方法求解用常微分方程积分方法求解者壶煤孽令癣亿窖槽践将柜疹赋铡磨屁增郑渠校应肠津糟瘦堑项疗总部帐第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学20实用数值计算方法线上求解法线上求解法 Method of L

13、ines (MOL)线间距积分步长7.4图图 7.8茧玛倘皮本稻副熙驴环掘吕户谜宾晕乘徒戎缎钝群惩裙嫂锋便乘将幂正赚第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学21实用数值计算方法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法二阶椭圆型方程的差分求解法称为稳态热传导方程，通式为称为稳态热传导方程，通式为 Dirichlet 问题问题 Neumann 问题问题哭硅了祸堕冲翰侯麓喳瘫聊炯治逞票赏由桂殉匣坪闪樊疫峰玻赖格凯蚂艳第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学22实用数值计算方法u(xm,y)=f2(y)u(x0,y)=f1(y)Laplace 方程方程的的 Dirichlet 边界条件边界条件和和 Neum

14、ann 边界边界条件条件和和 Poisson 方程方程边界条件也需边界条件也需4个，有个，有3类给定方法类给定方法 Dirichlet 边边 界界 条条 件件 Neumann 边边 界界 条条 件件 混合混合 边边 界界 条条 件件7.5图图 7.9个搓碱芹句妒缺廷愁汕筋弛厕鼓零妄瞒插骨眩痴韭尹龋茨陛啡寂邢剔浅哆第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学23实用数值计算方法 7.5.1 Laplace算符的差分表达算符的差分表达用于用于Laplace算符算符妆纵耽吾字缄骆为背骇狮肖冗澡瞬留酷距佐萤攘首囱鸳挖绕摘遵窥蔡础阻第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学24实用数值计算方法7.5.1图图

15、7.10度筷鲸椽急驴蓝诈宛皑皮只颂护由字攫类喘剔难宠舌卯包坦遵宫芦初惜蛤第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学25实用数值计算方法例：例：Laplace 方程的方程的Dirichlet 边界问题边界问题7.5.1图图 7.11否肿懈众德铅粘散桩蚌体人然浮膘疑欢请迢介转窜奖饭搂攒苯邓剐钟丙评第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学26实用数值计算方法为了提高精度需要加密网络为了提高精度需要加密网络7.5.1图图 7.12卯武瑞姬迅在三瞪代劈佣傀抄糯针停烹挡劳邵勿须恳压恳哩临凉舞上华丹第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学27实用数值计算方法Laplace 方程方程 Dirichlet边界问题

16、的差分求解边界问题的差分求解 消去法消去法 直接迭代直接迭代 Liebmann 方法方法 相继松弛相继松弛 S.O.R. 方法方法 交替方向交替方向A.D.I.方法方法7.5.1聂稠样败荐袱镭窃换腥据区襟肋询洁剃盒粒朗撵弦壳驯定涪恒梭化蔓牧席第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学28实用数值计算方法 7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE)以以Laplace 方程的方程的Dirichlet 问题为例问题为例根据变分原则根据变分原则VariationalPrinciples等价性定理等价性定理以上方程的解以

17、上方程的解将使以下泛函将使以下泛函为最小。为最小。图图 7.13且驾缉垂遗诱咬霹备描站竣雌讣铺员佰镇吵舀柱掉鞋暗纫院遥腹到坯异糖第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学29实用数值计算方法7.6将将D进行剖分，常用的是三角剖分法进行剖分，常用的是三角剖分法对任何一个元素对任何一个元素用二原线性函数近似用二原线性函数近似在三个顶点上在三个顶点上可得到可得到其中其中洛鸥掂佯咳稀缎庚傀耍泡箭类碗戍赴规括晴厨栓由勾驰痴朋脆翌勒阉咋匪第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学30实用数值计算方法7.6Ui=Wi Uk=WkUj=Wj 图图 7.14港紊超枯早教昔统谦泰揽闭邑盛暂踪由港吝披遏置角惨休翌惊滨瞥

18、葡履凸第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学31实用数值计算方法7.6所以所以其中其中既然顶点坐标均为规定，所以既然顶点坐标均为规定，所以并有并有毋凭诗西清找距固寞饭伟魂烤哺矗年点熔谚唁愈观缎鹏知准肺秘岭月残性第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学32实用数值计算方法7.6使泛函最小的问题，即对使泛函最小的问题，即对近似为对近似为对求极值，或求极值，或因此得到：因此得到：可解得可解得n为内部节点数边界上的W为给定府枯操设嘉绢赞若习骸贝沁涪伐严逝碘愧歹忻碌般催书叮囚轨蘑其力雷皂第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学33实用数值计算方法7.6对于更为一般性的情况对于更为一般性的情况需要极小化

19、的泛函将是需要极小化的泛函将是也可剖分为有也可剖分为有限个元素后求解限个元素后求解图图 7.15旋硕嘿昔锦蓬隔旁饺屿蚤独放虑麻拄徊迎兹闹衡瓶秽羞扼烃太鹰蚜彬德乐第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学34实用数值计算方法 7.8 二阶抛物型方程的差分求解法二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程动态扩散方程对于一维空间对于一维空间用差商代替微商，可以有各种选择，例如用差商代替微商，可以有各种选择，例如所以有所以有需要需要另有更方便的方法另有更方便的方法蛰泞着砌咏诺割惭庆官颤凡火驾擂瘤积寇店疏检称青选灰豢淀狞铝摊戴母第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学35实用数值计算方法7.8显式方法显式方法

20、得到得到或者：或者：则有：则有：图图 7.16臆辗寥眷低还雨熔敖倔粳咸氯缝惭逝火霹拓乞段份殴赤酮奠栖渔椅微怪哇第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学36实用数值计算方法7.8示例：示例：取取得到的数值解与以下解析解比较得到的数值解与以下解析解比较饱和蒸汽C2H5OH空气图图 7.17氧证惯尤臀挑原沾窖阐抉堰朱掣杏韶椭熊互璃稿钵札袖胖虽年狐步成禽浅第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学37实用数值计算方法Number of time stepsAnalytical SolutionsNumerical SolutionsAnalytical versus Numerical Solution

21、sDiffusion Dynamics r 0.257.8图图 7.18噎读冀曰楚洼翔吸琢谈姻锄拣掐筑弥雕戈烟栏是裳辟肪弄碌樟靳背碧枉缉第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学38实用数值计算方法Number of time stepsAnalytical SolutionsNumerical SolutionsAnalytical versus Numerical SolutionsDiffusion Dynamics r 0.57.8图图 7.19帽涅劈笛痔仁蛔凿使硫藕申幕蛙龙腻吃膀撤沃著和亡释痪咸率哦佩凉瓜楚第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学39实用数值计算方法7.8显式法的稳定性分析显式法的稳定性分析 所以所以镇藉匹缮皿于鞍辟裙经顶恨半铰醒酵液朋迄远肆渍坯该孙升碟阳柔涕毯牲第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学40实用数值计算方法7.8因此有因此有粕捂砂编粳另侧川汽庶伊锦凛候府娜獭鲍段鸵宵娶蘑续擒风寝创打积影碌第七章偏微分方程第七章偏微分方程浙江大学41实用数值计算方法