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1、经典题突破方法-圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民3P(x,y)与两点A(2,0),B(2,0)的连线的斜率之积是4，求问题 1：平面上一动点x2y21(x 2)43P点的轨迹方程.x2y21A(2,0),B(2,0)的连线的斜率之积是3问题 2：椭圆4上任一点P与两点k1k2 34.x2y2212A(a,0),B(a,0),椭圆上任意异于 A、B 的b探究：（1）已知椭圆a上两点b22点P与 A、B 连线的斜率之积是a.x2y2212ab（2） 已知椭圆上两点A(0,b),B(0,b),椭圆上任意异于 A、 B 的点P与 A、b22B 连线的斜率之积是a.x2y221
2、2A(x0,y0),B(x0,y0)，椭圆上任意异于 A、Bb（3）已知椭圆a上两定点b22的点P与 A、B 连线的斜率之积是a.x2y221(a b 0)2ab结论结论 1.1.设 A、B 是椭圆上关于原点对称的两点，点 P 是该椭圆b2k1k2 2a上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则x2y221(a b 0)2b探究：（3）设 A、B 是双曲线a上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线上不同于 A，B 的任一点，直线 PA,PB 的斜率是 k1,k2，猜想 k1k2 是否为定值？并给予证明x2y221(a 0,b 0)2ab结论结论 2.2.设 A、
3、B 是双曲线上关于原点对称的两点，点 P 是该b2k1k22a双曲线上不同于 A，B 的任一点，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则应用拓展：应用拓展：x2y21.1.设椭圆221(a b 0)的左、 右顶点分别为A,B， 点abP 在椭圆上且异于A,B两点，若直线 AP 与 BP 的斜率之积为1，2则椭圆的离心率 为.2b2c12b解析：利用kAPkBP2，可以得到e 11.aa22ax2y2132.椭圆 C:4的左、右顶点分别为A1, A2，点P在 C 上且直线PA2斜率的取值范围是2,1，那么直线PA1斜率的取值范围是A. , 1 32 4B. , 3 38 4C. ,112D
4、. ,134解析：因为kPA1kPA2 kPA1 , ,故选 B.b3 ，所以kPA1kPA2a24234 ,k2,1PA23 38 43 3.如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，F1,F2分别为椭圆x2y221(a b 0)的左、右焦点， B、 C 分别为椭圆的上、2ab下顶点，直线BF2与椭圆的另一交点为 D.若 cosF1BF2则直线 CD 的斜率为7，25解析解析：由已知可得coscosF1BF2 2cos2OBF217252b4bc3b，所以cosOBF2，所以，又因为kBD ，且kBDkCD 2，5aa5cabb2b c4 312所以kCD 2，即kCDcaa a5 525x23 3. .已知椭圆C : y21，点M1,M2,M5为其长轴AB的 6 等分点，分别过这五点2作斜率为k(k 0)的一组平行线，交椭圆C于点P则这 10 条直线AP1,P2,P10,1,AP2,AP10的斜率的乘积为132.
