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1、28.向量及向量的基本运算向量及向量的基本运算 1）向量的有关概念）向量的有关概念向量：向量：既有大小又有方向的量。向量一般用既有大小又有方向的量。向量一般用 来来表表示示，或或用用有有向向线线段段的的起起点点与与终终点点的的大大写写字字母母表表示示，如如： ，或或用用坐坐标标表表示示。向向量量的的大小即向量的模（长度），记作大小即向量的模（长度），记作| |。零零向向量量：长长度度为为0的的向向量量，记记为为 ，其其方方向向是是任任意的，意的， 与任意向量平行。与任意向量平行。单位向量：单位向量：模为模为1个单位长度的向量。个单位长度的向量。平平行行向向量量（共共线线向向量量):方方向向相相
2、同同或或相相反反的的向向量量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相相等等向向量量：长长度度相相等等且且方方向向相相同同的的向向量量。相相等等向向量经过平移后总可以重合，记为量经过平移后总可以重合，记为 。 2）向量加法：）向量加法：求两个向量和的运算叫求两个向量和的运算叫做向量的加法。设做向量的加法。设 ,则则: 向量加法有向量加法有“三角形法则三角形法则”（首尾相接首尾相接） 与与“平行四边形法则平行四边形法则” （起点相同起点相同） 说明：说明：（1） ； 2）向量加法满足交换律与结合律；）向量加法满足交换律与结合律；3)向量的减法向量的减法 相相
3、反反向向量量：与与 长长度度相相等等、方方向向相相反反的的向向量量，叫叫做做 的的相相反反向向量量。记记作作 ,零零向向量量的的相反向量仍是零向量。相反向量仍是零向量。向量减法：向量减法：向量向量 加上的加上的 相反向量叫做相反向量叫做 与与 的的差差，记记作作： 。求求两两个个向向量差的运算，叫做向量的减法。量差的运算，叫做向量的减法。 的作图法：的作图法： 可以表示为从可以表示为从 的终的终点指向点指向 的终点的向量（的终点的向量（ 、 有共同起点）有共同起点） 向量减法有向量减法有“三角形法则三角形法则” （必须起点相同必须起点相同 ）4)实数与向量的积实数与向量的积实实数数与与向向量量
4、 的的积积是是一一个个向向量量,记记作作 ，它它的长度与方向规定如下：的长度与方向规定如下：（） ；（）当当时时 , 的的方方向向与与的的方方向向相相同同；当时当时 ， 的方向与的方向与 的方向相反；当时的方向相反；当时 ， ，方向是任意的。，方向是任意的。数乘向量满足数乘向量满足交换律、结合律与分配律交换律、结合律与分配律。 5)两个向量共线定理两个向量共线定理向向量量 与与非非零零向向量量 共共线线 有有且且只只有有一一个个实数实数 ，使得，使得 = 。证三点共证三点共线方法：线方法：6)平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一是一个平面内的两
5、个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量平面内的任一向量 , ,有且只有一对实数有且只有一对实数 ， 使：使： 其中不共线的向量其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。一组基底。 推论推论：如果：如果 是一个平面内的两个不共线向量，是一个平面内的两个不共线向量， 例例1、判断下列各命题是否正确判断下列各命题是否正确(1)零向量没有方向零向量没有方向 (2)若若 则则(3)单位向量都相等单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点两相等向量若共起点,则终点也相同则终点也相同 (6)若若 ， ，则，则 ；(7)若若 ，
6、 ，则，则 (8) 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形,则则(9)已已知知A（3，7），B（5，2），将将 平平移移后后可可能得到的向量能得到的向量 的坐标为（的坐标为（3,3）(10） 的充要条件是的充要条件是 且且 ； 错错错错错错错错对对对对错错错错错错错错题型一题型一:基本概念问题基本概念问题练习练习1:1:例例2、如图平行四边形如图平行四边形OADB的对角线的对角线OD,AB相交于点相交于点C，线段线段BC上有一点上有一点M满足满足: :BC=3BM,线段线段CD上有一点上有一点N满足满足CD3CN,设设 题型二题型二:向量的相互表示向量的相互表示例例3 3: 已知已知G是
7、是ABC的重心，求证：的重心，求证： 例例4、设设 , 是两个不共线的非零向量，是两个不共线的非零向量，若若 ， 求证：求证：A、B、C三点共线；三点共线；练习练习3 3：设设 是不共线的向量是不共线的向量,已知向量已知向量 若若A,B,D三点共线三点共线,求求k的值的值 题型三题型三:平面向量基本定理与三点共线问题平面向量基本定理与三点共线问题例例6 6： O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不是平面上不共线的三个点，动点共线的三个点，动点P满足满足 ，则，则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过 的（的（ ）A 外心外心 B 内心内心 C重心重心 D垂心垂心B题型四题型四:判断动点轨迹判断动点轨迹课堂小结：课堂小结：1）向向量量的的有有关关概概念念: 向向量量零零向向量量单单位位向量向量平行向量（共线向量）平行向量（共线向量）相等向量相等向量2）向量加法减法）向量加法减法:3)实数与向量的积实数与向量的积4)两个向量共线定理两个向量共线定理5)平面向量的基本定理平面向量的基本定理, 基底基底作业作业:P65: 例例3 跟踪练习跟踪练习3 P38 :16补充补充2：若在平面内存在点若在平面内存在点O, 使得使得: 试判断试判断ABC的形状的形状.
