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1、5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr /2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图22mg T2 2ma（1）T1 mg ma（2）(T2T1)r J（3）(T T1)r J（4）a r (5)联立a 5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上,设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止
2、转动。（1）设杆的线111g，T mg48m，在杆上取一小质元dm dxldf dmg gdxdM gxdx考虑对称1M 2gxdx mgl4（2）根据转动定律M J Jl20ddtt0 Mdt Jdw0011mglt ml20412所以t 0l3g5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR /2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。2mg T ma mTR Jdvdtdv Rdt1dvM) mg2dtvtmmgtdv gdtv 001MmMm22整理(m5-4.
3、 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M /4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M /4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J MR /4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重物上升的速度，系统对轴的角动量2L MMvR M(u v)R (R2)443MvR MuR2根据角动量定理M dLdt3d3MgR (MvR MuR)4dt 2du33dv3 0MgR MRMRadt42dt2g所以a 25-5. 计算质量为m半径为R的均质球体
4、绕其轴线的转动惯量。证明：设球的半径为R，总重量为m，体密度3m，34R将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘，则盘的体积为( R2 Z2)2dZ21R8222J (R Z ) dZ R5mR22R1555-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k 40N/m，当 0o时弹簧无形变，细棒的质量m 5.0kg，求在 0o的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？解：机械能守恒mg111J2kx22222221根据几何关系(x 0.5) 1.5 1 3.28rad s5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的
5、摩擦，求：（1）盘到虚线所示的铅直位置时， 质心 C 和盘缘 A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：在虚线位置的 C 点设为重力势能的零点，下降过程机械能守恒mgR 11J2J mR2 mR2224Rg34gvc R3RvA 2R16Rg3Fy mg mR27mg方向向上3135-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平2l轻杆原来静止在竖直位置。31今有一质量为m的小球，以水平速度v v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v v0的速度返2光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l和回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解：根据角动量守衡有
6、22ll21mv0l ()2m ( )22mml v0333323v02l5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)， 圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。 开始时， 圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为1MR2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)21MR2 mR222mv(2mM)RRM2（2）M dM dmgr gr2 rdr MgR20R3解（1）角动量守恒mvR 2M
7、2m2122RMgRt (MR mR )0，t 4Mg32由（1）已得：2mv3mv，代入即得t 2MgM 2mR5-10. 有一质量为m1、 长为l的均匀细棒， 静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v v1和v v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕O点的转动惯量J 碰撞时角动量守恒1m1l2)31m2v1l m1l2m2v2l33m2(v1 v2)m1l细棒运动起来所受到的摩擦力矩M
8、0lm11gxdx m1gll2 M Jddt12m l1dt3dt 01m1gl22l2m2(v1 v2)3gm1gt 5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k 200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求： （1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。 (2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。（1）机械能守恒。设下落最大距离为h212kh mgh22mgh 0.49mk121212（2）kx mv J mgx22222mgxkxv Jmr2dv若速度达最大值， 0dx12x m
9、g 0.245(m)k1212259.80.2452000.24522mgxkx2v 1.31m/sJ0.01m2522r(710 )5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P， 叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。 （1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度； （2）电扇稳定转动时的转速为多大？（ 3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解： （1）通电时根据转动定律有M Mr JddtM PMr ktJ代入两边积分dt d00P k2tP(1eJ)k2k（2）电扇稳定转动时的转速m（3）k JPk0dkdd0mdJJk
10、Pk5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒1112J0J2mv2v R2221v R03T mg maTR JT mg3a R5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、 转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆
11、时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度为多少？解：此过程角动量守恒0 mrv JmRvJ5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小） ，边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度； （2）此时，货物箱A边所受的支反力。解： （1）角动量守恒mv0根据转动定律mg3vl22ml04l23l223gml234l00（2）Nx macx macncos45 mactcos45思考题5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、 质量为M的定滑轮， 绳的两端分别悬有质量m1和m2的物
12、体 (m1m2)，如图所示.绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？m1g T1 m1a（1）T2 m2g m2a（2）插入图 5-29(T1T2)r J（3）a r (4)联立方程可得T1、T2。T2 T1 5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度怎样变化？答：增大5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的：（A）机械能守恒,角动量守恒;（
13、B）机械能守恒,角动量不守恒,（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒.答： （C）5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的 6 个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量： （1）设转轴、在质点所在的平面内，如图a所示； （2）设转轴垂直于质点所在的平面，如图b所示。以为轴转动惯量J 9ma以为轴转动惯量J 3ma以为轴转动惯量J 7.5ma5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。J10 J2222J10J25-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
