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1、5-1. 如图,一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为mr /2,将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解:受力分析如图22mg T2 2ma(1)T1 mg ma(2)(T2T1)r J(3)(T T1)r J(4)a r (5)联立a 5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l,质量为m,平放在摩擦系数为的水平桌面上,设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动,试求:(1)作用于杆的摩擦力矩;(2)经过多长时间杆才会停止
2、转动。(1)设杆的线111g,T mg48m,在杆上取一小质元dm dxldf dmg gdxdM gxdx考虑对称1M 2gxdx mgl4(2)根据转动定律M J Jl20ddtt0 Mdt Jdw0011mglt ml20412所以t 0l3g5-3. 如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR /2,试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系。2mg T ma mTR Jdvdtdv Rdt1dvM) mg2dtvtmmgtdv gdtv 001MmMm22整理(m5-4.
3、 轻绳绕过一定滑轮,滑轮轴光滑,滑轮的质量为M /4,均匀分布在其边缘上,绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端,而在绳的另一端B系了一质量为M /4的重物,如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J MR /4,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求B端重物上升的加速度?解:选人、滑轮与重物为系统,设u为人相对绳的速度,v为重物上升的速度,系统对轴的角动量2L MMvR M(u v)R (R2)443MvR MuR2根据角动量定理M dLdt3d3MgR (MvR MuR)4dt 2du33dv3 0MgR MRMRadt42dt2g所以a 25-5. 计算质量为m半径为R的均质球体
4、绕其轴线的转动惯量。证明:设球的半径为R,总重量为m,体密度3m,34R将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘,则盘的体积为( R2 Z2)2dZ21R8222J (R Z ) dZ R5mR22R1555-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接,装置如图所示,已知弹簧的劲度系数k 40N/m,当 0o时弹簧无形变,细棒的质量m 5.0kg,求在 0o的位置上细棒至少应具有多大的角速度,才能转动到水平位置?解:机械能守恒mg111J2kx22222221根据几何关系(x 0.5) 1.5 1 3.28rad s5-7. 如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的
5、摩擦,求:(1)盘到虚线所示的铅直位置时, 质心 C 和盘缘 A 点的速率; (2)在虚线位置轴对圆盘的作用力。解:在虚线位置的 C 点设为重力势能的零点,下降过程机械能守恒mgR 11J2J mR2 mR2224Rg34gvc R3RvA 2R16Rg3Fy mg mR27mg方向向上3135-8. 如图所示,长为l的轻杆,两端各固定质量分别为m和2m的小球,杆可绕水平2l轻杆原来静止在竖直位置。31今有一质量为m的小球,以水平速度v v0与杆下端小球m作对心碰撞,碰后以v v0的速度返2光滑固定轴O在竖直面内转动,转轴O距两端分别为l和回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度。解:根据角动量守衡有
6、22ll21mv0l ()2m ( )22mml v0333323v02l5-9. 一质量均匀分布的圆盘,质量为M,半径为R,放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为), 圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。 开始时, 圆盘静止,一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上,求:(1)子弹击中圆盘后,盘所获得的角速度;(2)经过多少时间后,圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为1MR2,忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)21MR2 mR222mv(2mM)RRM2(2)M dM dmgr gr2 rdr MgR20R3解(1)角动量守恒mvR 2M
7、2m2122RMgRt (MR mR )0,t 4Mg32由(1)已得:2mv3mv,代入即得t 2MgM 2mR5-10. 有一质量为m1、 长为l的均匀细棒, 静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v v1和v v2,如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕O点的转动惯量J 碰撞时角动量守恒1m1l2)31m2v1l m1l2m2v2l33m2(v1 v2)m1l细棒运动起来所受到的摩擦力矩M
8、0lm11gxdx m1gll2 M Jddt12m l1dt3dt 01m1gl22l2m2(v1 v2)3gm1gt 5-11. 如图所示,滑轮转动惯量为0.01kgm,半径为7cm;物体的质量为5kg,用一细绳与劲度系数k 200N/m的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求: (1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。 (2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。(1)机械能守恒。设下落最大距离为h212kh mgh22mgh 0.49mk121212(2)kx mv J mgx22222mgxkxv Jmr2dv若速度达最大值, 0dx12x m
9、g 0.245(m)k1212259.80.2452000.24522mgxkx2v 1.31m/sJ0.01m2522r(710 )5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P, 叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比,比例系数的k,并已知叶片转子的总转动惯量为J。 (1)原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度; (2)电扇稳定转动时的转速为多大?( 3)电扇以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度?解: (1)通电时根据转动定律有M Mr JddtM PMr ktJ代入两边积分dt d00P k2tP(1eJ)k2k(2)电扇稳定转动时的转速m(3)k JPk0dkdd0mdJJk
10、Pk5-13. 如图所示,物体A放在粗糙的水平面上,与水平桌面之间的摩擦系数为,细绳的一端系住物体A,另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上,物体与转轮的质量相同。开始时,物体与转轮皆静止,细绳松弛,若转轮以0绕其转轴转动。试问:细绳刚绷紧的瞬时,物体A的速度多大?物体A运动后,细绳的张力多大?解:细绳刚绷紧时系统机械能守恒1112J0J2mv2v R2221v R03T mg maTR JT mg3a R5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、 转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆
11、时针走动时,此平台相对地面旋转的角速度为多少?解:此过程角动量守恒0 mrv JmRvJ5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上,有一质量为m(m较小) ,边长为l的立方形货物箱,如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止时,货物箱绕其底面A边翻转。试求:(1)汽车刹车停止瞬时,货物箱翻转的角速度及角加速度; (2)此时,货物箱A边所受的支反力。解: (1)角动量守恒mv0根据转动定律mg3vl22ml04l23l223gml234l00(2)Nx macx macncos45 mactcos45思考题5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、 质量为M的定滑轮, 绳的两端分别悬有质量m1和m2的物
12、体 (m1m2),如图所示.绳与轮之间无相对滑动,某时刻滑轮沿逆时针方向转动,则绳的张力多大?m1g T1 m1a(1)T2 m2g m2a(2)插入图 5-29(T1T2)r J(3)a r (4)联立方程可得T1、T2。T2 T1 5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上,则盘的角速度怎样变化?答:增大5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的:(A)机械能守恒,角动量守恒;(
13、B)机械能守恒,角动量不守恒,(C)机械能不守恒,角动量守恒;(D)机械能不守恒,角动量不守恒.答: (C)5-4. 在边长为a的六边形顶点上,分别固定有质量都是m的 6 个质点,如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量: (1)设转轴、在质点所在的平面内,如图a所示; (2)设转轴垂直于质点所在的平面,如图b所示。以为轴转动惯量J 9ma以为轴转动惯量J 3ma以为轴转动惯量J 7.5ma5-5. 如图a所示,半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体,可绕垂直于图面的轴转动,最初大圆柱体的角速度为0,现在将小圆柱体向左靠近,直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力,小圆柱体被带着转动,最后,当相对滑动停止时,两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒?为什么?小圆柱的最终角速度多大?答:角动量守恒,摩擦力的力矩为0。J10 J2222J10J25-6. 均质细棒的质量为M,长为L,开始时处于水平方位,静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x d处撞击细棒,给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。答:撞击过程角动量守恒,棒获得一个角速度向上转动,当转到最大角度时,开始往下运动,最后回到平衡位置。