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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第8 8章章 常微分方程常微分方程高等数学高等数学A A8.2 8.2 一阶微分方程一阶微分方程 8.2.2 8.2.2 齐次方程齐次方程 8.2.3 8.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 8.2 8.2 一阶微分方程一阶微分方程8.2.2 8.2.2 齐次方程齐次方程 8.2.3 8.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程 齐次方程齐次方程 基本形式和求解方法基本形式和求解方法例题例题基本形式和解法基本形式和解法例例 题题一阶线性微分方程题解一阶线性微分方程题解
2、 基本形式基本形式例题例题习题习题一阶齐次线性方程的解法一阶齐次线性方程的解法一阶非齐次线性方程的解法一阶非齐次线性方程的解法8.2.1可分离变量的方程（可分离变量的方程（复习上次课的相关内容复习上次课的相关内容） 一一阶阶微微分分方方程程8.2.2 齐次方程齐次方程8.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程习习 题题由光的反射定律由光的反射定律:可得可得 OMA = OAM = 模型模型1 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由解解: 将光源所在点取作坐标原点将光源所在点取作坐标原点, 并设并设入射角入射角 = 反射角反射角能的要求能的要求, 在其旋转轴在其旋转轴 (x 轴轴)上一点
3、上一点O处发出的一切光线，处发出的一切光线，xOy 坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线 L 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成 , 按聚光性按聚光性经它反射后都与旋转轴平行经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线求曲线 L 的方程的方程.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) 从而从而 AO = OM而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : 积分得积分得故有故有得得 (抛物线抛物线)故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.齐次方程的定义和解法齐次方程的定义和解法的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2. 解法解法作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量
4、的方程1.1.定义定义齐次方程的定义和解法齐次方程的定义和解法例例 1 1 求解微分方程求解微分方程例例2 解微分方程解微分方程例例 3 3 求解微分方程求解微分方程例例 例例 例例 例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例题例题例例2. 解微分方程解微分方程解解:则有则有分离变量分离变量积分得积分得代回原变量得通解代回原变量得通解即即说明说明: 显然显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 为任意常数为任意常数)求解过程中丢失了求解过程中丢失了. 例例 3 3 求解微分方程求解微分方程解解例题例题微分方程的
5、解为微分方程的解为例题例题于是，原方程化为于是，原方程化为两边积分，得两边积分，得即即例例 4 4解：解：例例原方程可化为原方程可化为代入原方程得代入原方程得解：解：即即所以通解为所以通解为例例6 原方程可化为原方程可化为代入上述方程得代入上述方程得解解即即分离变量并积分得分离变量并积分得可化为齐次的方程可化为齐次的方程（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）2.解法解法定义定义有唯一一组解有唯一一组解.得通解代回得通解代回未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.可化为齐次的方程可化为齐次的方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程
6、.可分离变量可分离变量.可化为齐次的方程可化为齐次的方程例例例例解解代入原方程得代入原方程得分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为例例解解分离变量并积分得分离变量并积分得于是，原方程变为于是，原方程变为联立方程组联立方程组解之，得解之，得可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的可化为齐次方程的例例解解两边积分，得两边积分，得即即在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0模型模型2. 有一电路如图所示有一电路如图所示, 电阻电阻 R 和电和电 解解: 列方程列方程
7、.已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i 经过经过 L的电压降为的电压降为由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流求电流感感 L 都是常量都是常量,如何解方程？如何解方程？ 因此有因此有即即初始条件初始条件: 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的. 一阶线性微分方程的标准形式一阶线性微分方程的标准形式例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1. 线性齐次方程线性齐次方程一阶线性齐次微分方程的一阶线性齐次微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变
8、量法)2. 线性非齐次方程线性非齐次方程讨论讨论两边积分两边积分非齐次方程通解形式非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比与齐次方程通解相比:一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微分方程的解法解法常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .实质实质: : 未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微分方程的解法解法积分得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解一阶线性非齐次微分方程的一阶线性非齐次微
9、分方程的解法解法解方程解方程:由初始条件由初始条件: 得得利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得 暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义: 例例1010例例1313 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :例例1111例例1212一阶线性微分方程的例题一阶线性微分方程的例题解解例例1010例例1111. 解方程解方程 解解: 先解先解即即积分得积分得即即用用常数变易法常数变易法求特解求特解.则则代入非齐次方程得代入非齐次方程得解得解得故原方程通解为故原方程通解为令令一阶线性微分方程的例题一阶线性微分方程的
10、例题例例1212原方程可以改写为原方程可以改写为这是一个以这是一个以 x 为自变量的非线性方程为自变量的非线性方程.把把 x 看着看着y的函数，该方程进一步变形为的函数，该方程进一步变形为这是一个以这是一个以 x 为函数为函数y为自变量的一阶线性方程为自变量的一阶线性方程.解解整理得原方程的通解整理得原方程的通解解解分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为例例1313 用适当的变量代换解下列微分方程用适当的变量代换解下列微分方程: :解解代入原式代入原式分离变量法得分离变量法得所求通解为所求通解为另解另解例例14. 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向游向点点为平行直线为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子设鸭子(在静水中在静水中)的游速大小为的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为水流速度大小为 a ,两岸两岸 则则则鸭子游速则鸭子游速 b 为为定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为( 自己求解自己求解 )( 齐次方程齐次方程 )思考题思考题已知已知 ，求，求 .
