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1、北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 2 2等差数列2 2.1 1等差数列等差数列第1 1课时等差数列的定义和通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数就叫作等差数列的公差,通常用字母d表示.【做一做1】下列数列是等差数列的是()答案:D 归纳总结理解等差数列注意以下几点(1)等差数列的定义还可以用数学符号语言表述为:在数列an中,如果an+1-an=d(常数)对任意nN+(或an-an-1=d(常数)对任意nN+且n2)都成立,那么称数列an为等差数列,常数d称为等差数列的公差.(2)要
2、注意定义中的an+1-an=d(常数)是对任意nN+(或an-an-1=d(常数)对任意nN+且n2)都成立,如有一项不满足,则an就不是等差数列.例如,数列1,1,2,3,4,5,就不是等差数列.(3)常数列是公差等于0的等差数列.(4)等差数列的公差d一定是由后一项减去前一项所得,不能颠倒顺序.2.等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1,公差为d,an为它的通项,则an=a1+(n-1)d.(1)等差数列通项公式的推导方法除了教材中介绍的归纳法以外,还可用以下几种方法推导等差数列的通项公式:(叠加法)由等差数列an的定义得a2-a1=d,a3-a2=d,an-1-an-2=d,an-an
3、-1=d(n2),将这(n-1)个式子的等号两边分别相加,得an-a1=(n-1)d,即an=a1+(n-1)d(显然n=1时,a1也满足该式).叠加法是推导an+1-an=f(n)型数列的通项公式的一种重要方法.(迭代法)an是等差数列,an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=a1+(n-1)d(n2),an=a1+(n-1)d(显然n=1时,a1也满足该式).(3)等差数列通项公式的函数特征等差数列的通项公式是n的一次函数或是常数函数.由an=a1+(n-1)d,得an=dn+(a1-d).设d=p,a1-d=q,则上式变为an=pn+q.
4、由此可见,等差数列的通项公式是n的一次函数(公差d0)或常数函数(公差d=0).若数列的通项公式为an=pn+q(p,q为任意实数),则数列an是等差数列.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是n的一次函数或常数函数,所以其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率.(4)等差数列通项公式的应用已知等差数列的首项和公差,可以求得这个数列的任意一项;在等差数列中,已知a1,n,d,an这四个量中的三个,可以求得另一个量;等差数列的首项a1和公差d称为等差数列的“基本量”,列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法.
5、【做一做2】(2016福建福州高二检测)2 017是等差数列1,4,7,10,的第()A.673项B.672项C.671项D.670项答案:A【做一做3】在数列an中,a1=2,2an+1=2an+1,则a2 017的值是()A.1 010B.1 009C.1 008D.1 007答案:A思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)等差数列的公差不能为0. ()(2)若一个数列从第三项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,则该数列为等差数列. ()(3)若一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差是常数,则该数列为等差数列. ()(4)若数列an满足an=pn+
6、q,nN+(其中p,q为常数),则数列an一定为等差数列. ()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思维辨析【例1】(1)下列各数列是等差数列的是.2,2,2,2;cos 0,cos 1,cos 2,cos 3;3m,3m+a,3m+2a,3m+3a;a-3,a+1,a+5.(1)答案:(2)分析:要证明三个数成等差数列,只要证明中间位置的数的2倍是另外两个数的和即可.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟判断或证明一个数列是不是等差数列的方法(1)若数列为有穷数列且各项已给出,可直接计算每一项与其前一项的差,按定义判断即可;(2)若数列的通项公式已给出,可根据定义判断an+1-an=
7、d(nN+)是否满足即可,即若d是与n无关的常数,则是等差数列;否则,不是等差数列;(3)要证明一个数列不是等差数列,只需举一个反例进行否定,也可证明an+1-an或an-an-1(n2)不是一个常数,而是一个与n有关的变数.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1探究一探究二探究三思维辨析【例2】(1)已知an为等差数列,且其前三项为a,2a-1,10-a,试求an的通项公式以及第20项;(2)在等差数列an中,若a7=12,a15=4,求a30,并判断20是否是该数列中的项.分析:(1)由前三项求出a的值,从而得首项和公差,即可求出通项公式;(2)由a7和a15的值建立a1与d的方程组,求出a
8、1与d的值即可求a30,并根据通项公式判断20是否是其中的项.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)因为a,2a-1,10-a是等差数列的前三项,所以2(2a-1)=a+10-a,整理得4a=12,所以a=3,即前三项依次为3,5,7,因此首项a1=3,公差d=5-3=2.于是an的通项公式为an=3+2(n-1),即an=2n+1.数列an的第20项a20=220+1=41.(2)设an的公差为d,于是an的通项公式为an=18-(n-1),即an=19-n.所以a30=19-30=-11.令19-n=20,解得n=-1N+.所以20不是该数列中的项.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知等
9、差数列an,a5=11,a8=5,求通项an.解:设数列an的公差为d,解得a1=19,d=-2,所以,数列an的通项公式an=19+(n-1)(-2)=21-2n.探究一探究二探究三思维辨析【例3】已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.分析:根据题意可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,利用已知条件,求出a,d,进而求出这四个数.解:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.则由题设,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟已知几个数成等差数列,并满足其他条件,求这几个数时,通常采用如下设法:当等差数列an的项数n为奇数时,可设中间一项为a,
10、再以公差d向两边分别设项:,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,;当项数n为偶数时,可设中间两项分别为a-d,a+d,再以公差2d向两边分别设项:,a-3d,a-d,a+d,a+3d,.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析纠错心得本例错解都对“从第10项开始比1大”这句话理解不透彻,由等差数列的增减性知,这句话的含义表明a101,但里面也隐含着a91这一条件.因此解决等差数列的此类问题时要多结合等差数列本身的增减性.探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知首项为-24
11、的等差数列,从第10项开始为正数,则公差d的取值范围为.123451.若一个无穷数列an的前4项分别是1,2,3,4,则下列说法中正确的是()A.它一定是等差数列B.它一定是递增数列C.通项公式是an=nD.以上结论都不一定正确解析:仅给出数列的前4项,后面的项未知,所以不能确定该数列一定是等差数列或递增数列,通项公式也不一定是an=n.答案:D123452.已知an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()答案:B123453.等差数列1,-1,-3,-89共有项.答案:46123454.已知三个数成等差数列,它们的和等于15,且前两个数之积等于10,则这三个数分别为.解析
12、:设三个数分别为a-d,a,a+d,则有因此三个数分别为2,5,8.答案:2,5,8123455.已知a,b,c成等差数列,求证:a+b,a+c,b+c成等差数列.证明:因为a,b,c成等差数列,所以b-a=c-b,即2b=a+c.又因为2(a+c)=(a+c)+(a+c)=a+c+2b=(a+b)+(b+c),所以a+b,a+c,b+c也成等差数列.123456.已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3).(1)判断数列an是否为等差数列,说明理由;(2)求an的通项公式.解:(1)当n3时,an=an-1+2,即an-an-1=2,而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n3),故an不是等差数列.(2)当n2时,令a2=b1=1,a3=b2=3,a4=b3=5,则bn是等差数列,an=bn-1=1+2(n-1)-1=2n-3(n2).
