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1、 最短距离的探索最短距离的探索初初 中中 数数 学学 随着课改的深入，数学越来越贴近生随着课改的深入，数学越来越贴近生活，更着眼于解决实际生活中的问题，于活，更着眼于解决实际生活中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是解答依据是“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”或或“垂线段最短垂线段最短”，证明的时候也用到了，证明的时候也用到了“三三角形三边关系定理角形三边关系定理”，由于所给的条件的，由于所给的条件的不同，解决方法和策略又有所差别，现分不同，解决方法和策略又有所
2、差别，现分几种情况举例说明：几种情况举例说明：（一）两点一线最短距离的探索（一）两点一线最短距离的探索(1)(1)两点在直线的异侧两点在直线的异侧 某某供供电电部部门门准准备备在在输输电电主主干干线线L L上上连连接接一一个个分分支支点点为为M M，同同时时向向新新落落成成的的A A、B B两两个个居居民民小小区区送送电电。如如果果居居民民小小区区A A、B B在在主主干干线线L L的的两两旁旁，如如下下图图所所示示，那那么么分分支支点点M M在在什什么么地地方方时时总总线线路路最最短？短？案例案例案例案例1 1 根根据据两两点点之之间间线线段段最最短短，直直接接连连结结这这两两点点与与直直线
3、线的的交交点点就就为为所所求作的点。求作的点。一、在同一平面内最短距离的探索一、在同一平面内最短距离的探索 利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离。求路线长转化为两定点之间的距离。在研究几条在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。把其中的部分特殊点进行恰定的线段进行比较。把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段
4、（2 2）两点在直线的同侧）两点在直线的同侧 案例案例案例案例2 2 2 2 如图，在铁路旁边建如图，在铁路旁边建一个货场，该货场建在什一个货场，该货场建在什么地方，才能使货场到么地方，才能使货场到A A、B B两厂的距离之和最短？两厂的距离之和最短？ （二）两线一点最短距离（二）两线一点最短距离的探索的探索 如如图图，P P为为马马厩厩，ABAB为为草草地地边边缘缘（下下方方为为草草地地），CDCD为为一一河河流流，牧牧人人欲欲从从马马厩厩牵牵马马先先去去草草地地吃吃草草，然然后后到到河河边边饮饮水水，最最后后回回到到马厩，请帮他确定一条最佳行走路线。马厩，请帮他确定一条最佳行走路线。案例案
5、例3 3分析：所谓最佳路线即分析：所谓最佳路线即 分别在分别在ABAB、CDCD上上 各找一点各找一点M M、N N与与 点点P P构成三角形构成三角形 且周长最短且周长最短1 1、分别作点分别作点P P关于关于ABAB、CDCD的的 对称点对称点P P1 1、P P2 2. .2 2、连结连结P P1 1P P2 2，分别交，分别交ABAB、CD CD 于点于点M M、N.N.3 3、分别连结分别连结MPMP、NP.NP. 因因PM=PPM=P1 1M M、PN=PPN=P1 1N N，且，且P P1 1 M M、N N、P P2 2在同一条直线在同一条直线 上，此时上，此时PM+MN+PN
6、PM+MN+PN为最为最 小，所以，点沿小，所以，点沿PMPM、 MN MN、NPNP行走为最佳路线行走为最佳路线. .作法：作法： 在一条河的两岸分别有在一条河的两岸分别有A A、B B两个村庄，两个村庄，一直河岸一直河岸L L1 1 1 1与与L L2 2 2 2相互平行，现在要在这段河相互平行，现在要在这段河道上修建一座与河岸垂直的桥，使道上修建一座与河岸垂直的桥，使从从A A村到村到B B村所走的路程最短，画出示意图。村所走的路程最短，画出示意图。 （三）两线两点最短距离的探索（三）两线两点最短距离的探索案例案例案例案例4 4 4 4 通过平移，通过平移，除去固定部分除去固定部分的长，
7、使其余的长，使其余几段的和正好几段的和正好为两定点之间为两定点之间的距离。的距离。（四）多点的最短距离的探索（四）多点的最短距离的探索 如如 图图 所所 示示 ， 有有 A A、 B B、 C C、 D D四四个个居居民民小小区区，为为了了解解决决统统一一供供暖暖问问题题，政政府府准准备备投投资资修修建建一一个个供供暖暖厂厂，向向四四个个居居民民小小区区供供暖暖，请请你你帮帮助助他他们们选选择择一一个个地地点点P P，使使这这点点P P到到四四个个小小区区的的距距离离和和最最短短，以以便便节节省省资金，并说你的理由。资金，并说你的理由。案例案例5 5 在一条直线上有依次排列的在一条直线上有依次
8、排列的在一条直线上有依次排列的在一条直线上有依次排列的n n（n1)n1)台机床在工台机床在工台机床在工台机床在工作，我们要设置一个零件供应站作，我们要设置一个零件供应站作，我们要设置一个零件供应站作，我们要设置一个零件供应站P P，使这，使这，使这，使这n n台机床到供台机床到供台机床到供台机床到供应站应站应站应站P P的距离和最小，问供应站的距离和最小，问供应站的距离和最小，问供应站的距离和最小，问供应站P P应设在什么地方？应设在什么地方？应设在什么地方？应设在什么地方？当有当有当有当有5 5 5 5台机床时，台机床时，台机床时，台机床时，P P P P应设在第应设在第应设在第应设在第3
9、 3 3 3台的台的台的台的位置位置位置位置不难知道不难知道当当当当n n n n为奇数时，为奇数时，为奇数时，为奇数时，P P P P应设在第应设在第应设在第应设在第 台的位置；台的位置；台的位置；台的位置；当当当当n n n n为偶数，为偶数，为偶数，为偶数，P P P P应应应应设在第设在第设在第设在第 台和台和台和台和第第第第 台之台之台之台之间的任何位置间的任何位置间的任何位置间的任何位置。 实际上该题要运实际上该题要运实际上该题要运实际上该题要运用分类讨论和从特殊用分类讨论和从特殊用分类讨论和从特殊用分类讨论和从特殊到一般的思想方法。到一般的思想方法。到一般的思想方法。到一般的思想
10、方法。案例案例6 6当直线上有当直线上有当直线上有当直线上有2 2 2 2台机床时，台机床时，台机床时，台机床时，P P P P应设在应设在应设在应设在两台之间的任何地方；两台之间的任何地方；两台之间的任何地方；两台之间的任何地方；当有当有当有当有3 3 3 3台机床时，台机床时，台机床时，台机床时，P P P P应设在第应设在第应设在第应设在第2 2 2 2台的台的台的台的位置；位置；位置；位置；当有当有当有当有4 4 4 4台机床时，台机床时，台机床时，台机床时，P P P P应设在第应设在第应设在第应设在第2 2 2 2台和台和台和台和第第第第3 3 3 3台之间的任何位置；台之间的任何
11、位置；台之间的任何位置；台之间的任何位置； 二、关于空间中的最短距离的探索二、关于空间中的最短距离的探索 空间中的最短距离的求法，通过展开空间中的最短距离的求法，通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用化曲线或折线为直线，利用“两点之间线两点之间线段最短段最短”或或“点到直线的垂线段最短点到直线的垂线段最短”及及“勾股定理勾股定理”的有关知识来解决问题，这的有关知识来解决问题，这类问题涉及的几何体主要有正方体、长方类问题涉及的几何体主要有正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。在将几何体的表体、圆柱体、圆锥体等。在将几何体的表面展开时可
12、能有几种不同的结果，这就需面展开时可能有几种不同的结果，这就需要通过分析比较选出适合题意的答案。要通过分析比较选出适合题意的答案。 A A和和B B是棱长为是棱长为a a正方体的两个相对正方体的两个相对的端点，一只蜘蛛要从点的端点，一只蜘蛛要从点A A爬到另一个顶爬到另一个顶点点B B，它沿哪条路线爬行的距离最短？它沿哪条路线爬行的距离最短？（一）正方体中最短路线问（一）正方体中最短路线问题题案例案例案例案例7 7 7 7aaaaa 一个长方体的长、宽、高分别一个长方体的长、宽、高分别一个长方体的长、宽、高分别一个长方体的长、宽、高分别为为为为a a a a、b b b b、c c c c。一
13、只昆虫要从点一只昆虫要从点一只昆虫要从点一只昆虫要从点A A A A爬到另爬到另爬到另爬到另一个顶点一个顶点一个顶点一个顶点B B B B，它沿哪条路线爬行的距它沿哪条路线爬行的距它沿哪条路线爬行的距它沿哪条路线爬行的距离最短？离最短？离最短？离最短？案例案例案例案例8 8 8 8ABabc （二）长方体中最短路线问题（二）长方体中最短路线问题abcABabcABabc 通过展开立体图形的表面或侧面，化通过展开立体图形的表面或侧面，化立体为平面，化曲线或折线为直线，利用立体为平面，化曲线或折线为直线，利用两点之间线段最短解决问题。两点之间线段最短解决问题。 一一圆圆柱柱的的高高为为h h，底底
14、面面半半径径为为r r，在在底底部部点点A A处处有有一一只只蚂蚂蚁蚁。如如果果它它沿沿柱柱体体表表面面去去点点B B处处觅觅食食，采采取取怎怎样样的的爬爬行路线最近？行路线最近？ （三）圆柱体中最短路线问题（三）圆柱体中最短路线问题案例案例案例案例9 9 9 9路线路线1 1：沿侧面沿侧面ABAB爬行，其距离设爬行，其距离设 为为l l1 1，则有：，则有：路线路线2 2：沿高沿高ACAC和底面直径和底面直径CBCB爬行，爬行， 其距离设为其距离设为l l2 2，则有：，则有： 如如图图，已已知知圆圆锥锥的的母母线线长长OA=8OA=8，底底面面圆圆的的半半径径r=2r=2，若若一一只只小小
15、虫虫从从A A点点出出发发，绕绕圆圆锥锥的的侧侧面面爬爬行行一一周周后后又又回回到到A A点点，则则小小虫爬行的最短路线的长是多少？虫爬行的最短路线的长是多少？（四）圆锥中最短路线问题（四）圆锥中最短路线问题案例案例案例案例10101010谢谢大家谢谢大家 !解析：如图8，将圆锥侧面展开，其侧面展开是一个扇形。此扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即l，又l=，解得n=90。AOA是一个等腰直角三角形。最短路线的长是。 这个问题最终的解决，是把圆柱的侧面沿着它的一条母线剪开展成一个长方形（如图2所示），从而把曲面上的路线问题转化为平面上A、B两点间的路线问题。像这种，将空间问题转化为平面问题的方法
16、，对发展我们的空间观念是很有好处的。 上面我们是规定蚂蚁必须沿圆柱的侧面从A到B，那么无论圆柱的形状如何，上述的走法路线一定是最短的。但是，如果问题没有规定，结论就不一定了。例如：我们把圆柱的形状加以改变：高是7厘米，底面半径为8厘米，此时从A到B的最短路线还是图2中的线段AB吗？我们可以很容易算得 ，但是，若从A沿着圆柱母线走到上底面的C，再到B，这时蚂蚁所走过的距离为 。图2中的线段AB已经不是从A到B的最短路线了，为什么会这样呢？ 其实把圆柱展开，点B的对应点是不惟一的，如图3所示， 都是圆柱上B点的对应点。所以在把圆柱中由A到B这样一个曲面路线问题转化为平面上的路线问题时，应考虑到A，
17、B两点间的线段是不惟一的，A，B间的最短路线问题，应通过比较 的长度进而作出判断。 看来，这个“最短路线”与圆柱的形状有关，也就是说，圆柱的高h与底面半径r的大小关系会影响最短路线的选择。下面我们作进一步的探讨： 有关蚂蚁在几何体上爬行的试题频频出现在近几年的中考试卷中，这类试题主要考查同学们的空间观念、空间想象能力、数形结合能力，解答此类题关键要应用转化思想，“化折为直，化曲为平”，把空间问题转化为平面问题，依据“两点之间线段最短”综合运动其它知识解题0 总之，在学习数学知识的过程中，应注意把握知识间的内在联系，大胆实践，灵活运用，深入探究，这样才能把知识学活、学透从而把数学知识和实际生活联系起来，实实在在地培养自己数学的意识。
