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1、第5讲不等式的应用考纲要求考点分布考情风向标1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能解决2011年新课标卷第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2012年新课标卷第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2013年新课标卷第12题以分段函数为背景，考查函数与不等式的综合应用，并求参数的取值范围；2014年新课标卷第21题考查函数、导数、不等式的综合应用；2015年新课标卷第21题考查函数、导数、不等式的综合应用从近几年的高考试题来看，高考越来越增大了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度.主要有两种形式：(1)线性规划问
2、题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围.(2)基本不等式的应用： 求函数或数列的最值，侧重“正”“定”“等”的满足条件2ab则 z2xy 的最大值为_.3解析：作出可行域如图 D28 阴影部分.作直线 2xy0，并向右平移，当平移至直线过点 B 时，z2xy 取最大值.而由可得 B(3,3).zmax2333.图 D280图D293.建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_元.200084.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市，已知两
3、地路线长 400 千米，为了安全，两辆货车间距至少不得时(不计货车长度).考点 1 实际生活中的基本不等式问题例1：出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150 cm2，上、下边要留 1.5 cm 空白，左、右两侧要留 1 cm 空白，出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张？故应选用 12 cm18 cm 的纸张.【规律方法】利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题.注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大.【互动探究】D1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m
4、 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，则最大的种植面积是()A.218 m2 B.388 m2 C.468 m2 D.648 m2解析：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab800.蔬菜的种植面积：S(a4)(b2)ab4b2a8b20 m时，Smax648 m2.2.一份印刷品，其排版面积为 432 cm2 (矩形)，要求左、右各留有 4 cm 的空白，上、下各留有 3 cm 的空白，则当排版的长为_cm，宽为_cm 时，用纸最省.2418考点 2 实际生活中的线性规划问题例2：某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌
5、需要方木料0.1 m3，五合板2 m3，生产一个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m3，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？如何安排生产可使所得利润最大？解：(1)设只生产书桌 x 张，可获利润 z 元，当x300时，zmax8030024 000(元).即如果只安排生产书桌，最多可生产 300 张书桌，可获利润 24 000 元.(2)设只生产书橱 y 个，可获利润 z 元，当y450时，zmax12045054 000(元).即如果只安排生产书橱，最多可生产 450 个书橱，可获利润 54 000
6、 元.(3)设生产书桌 x 张，生产书橱 y 个，可获总利润 z 元，z80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 D30.图 D30作直线 l80x120y0，即直线 2x3y0.把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点 M，此时 z80x120y 取得最大值.解得点 M 的坐标为(100,400).当 x100，y400 时，zmax8010012040056 000(元).因此安排生产 400 个书橱，100 张书桌，可获利润最大为56 000 元.【规律方法】利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：应准确建立数学模型，即根据题意找出
7、约束条件，确定线性目标函数.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求使目标函数取得最值的解.根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.本题完全利用图象，对作图的准确性和精确度要求很高，在现实中很难做到，为了得到准确的答案，建议求出所有边界的交点，再代入检验.当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解.【互动探究】3.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A原料 3 吨，B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨，B原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可
8、获得利润 3 万元.该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得的最大利润是()A.12 万元C.25 万元B.20 万元D.27 万元解析：设生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨，由图D31可知，当直线5x3yz经过点A时，zmax27.图 D31答案：D原料甲乙原料限额A/吨3212B/吨1284.(2015 年陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为()A.12 万元C
9、.17 万元B.16 万元D.18 万元解析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y吨，则利润 z3x4y(万元)，其表示如图 D32 阴影部分区域：当直线 3x4yz0 过点 A(2,3)时，z 取得最大值，所以zmax324318(万元).故选 D.答案：D图D32易错、易混、易漏利用基本不等式时忽略了等号成立的条件例题：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图 6-5-1)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为 80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.图 6-5-
10、1(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.值，首先考虑利用均值不等式，利用均值不等式时要注意等号成立的条件及题目的限制条件；如果均值不等式中等号不能成立，则考虑利用“对勾”函数的单调性在区间(0，a上单调递减，在区间a，)上单调递增或者利用导数求最值.1.应用基本不等式求最值：应遵循“一正”“二定”“三相等”三项基本原则，尤其等号能否成立最容易忽视，如果等号不能成立则考虑利用函数的单调性求解.2.利用线性规划求最值.3.与函数、导数相结合求单调性及最值(极值).
