小学六年级奥数教案完整30讲

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1、小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0101 比较分数的大小比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比

2、较大小。由于要比较的分数千差万别， 所以通分的方法不一定是最简捷的。 下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大， 而分子的最小公倍数比较小时， 可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母 （子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差

3、相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数 m 和 n，若 mk，kn，则 mn。（2）对于分数 m 和 n，若 m-kn-k，则 mn。前一个差比较小，所以 mn。（3）对于分数 m 和 n，若 k-mk-n，则 mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点， 当两个已知分数不容易比较大小， 新分数与其

4、中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多， 同学们可以在学习中不断发现总结， 但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习练习 1 11.比较下列各组分数的大小：答案与提示练习练习 1 1小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0202 巧求分数巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、 分母发生变化的题目， 例如分子或分母加、 减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。分析：若把这个分数的分子、

5、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。分析与解：分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？分析与解：分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例 3 类似，可以求出在例 1例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？数 a。分析与解：分析与解： 分子减去 a， 分母加上 a， （约分前） 分子与分母之和不变， 等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8

6、，所以分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 426=7 得到分析与解：分析与解：分子加 10，等于分子增加了 105=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加82=16。在例 8 中，分母应加的数是在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减

7、）的数原分数。分析与解：分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）3=（x+5）4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。练习练习 2 2是多少？答案与提示练习练习 2 25.5。解：(53+79)(4+7)=12， a=53-412=5。6.13。解：（67-22）（16-7）=5，75-22=13。解：设分子为 x，根据分母可列方程小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0303 分数运算技巧分数运算技巧对于分数的混合运算， 除了掌握常规的四则运算法则外， 还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问

8、题。1.1.凑整法凑整法与整数运算中的 “凑整法” 相同， 在分数运算中， 充分利用四则运算法则和运算律 （如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。2.2.约分法约分法3.3.裂项法裂项法若能将每个分数都分解成两个分数之差， 并且使中间的分数相互抵消， 则能大大简化运算。例例 7 7 在自然数 1100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等于 1。分析与解：分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成：所求的 10 个数是 2，6，12，

9、20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。4.4.代数法代数法5.5.分组法分组法分析与解：分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之和为原式中分母为 220 的分数之和依次为练习练习 3 38.在自然数 160 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。答案与提示练习练习 3 31.3。8.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。解：从前向后，分子与分母之和等于 2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个，等于 4 的有 3个人一般地，分子与分母之和等于 n 的有(n-1)个。分

10、子与分母之和小于 9+99=108 的有1+2+3+106=5671（个），5671+9=5680（个）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0505 工程问题一工程问题一顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量工作量= =工作效率工作时间，工作效率工作时间，工作时间工作时间= =工作量工作效率，工作量工作效率，工作效率工作效率= =工作量工作时间。工作量工作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢

11、， 其意义是单位时间里所干的工作量。 单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量 /时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两队合干 50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？分析与解：分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例例 2 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队

12、干了多少天？分析：分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。例例 3 3 单独完成某工程，甲队需10 天，乙队需15 天，丙队需20 天。开始三个队一起干， 因工作需要甲队中途撤走了， 结果一共用了 6 天完成这一工程。 问： 甲队实际工作了几天？分析与解：分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例例 4 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60

13、个零件。这批零件共有多少个？分析与解：分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，例例 5 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例例 6 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60 分钟，乙需40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？分析：分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发

14、5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟，再加上取东西的 5分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需40 分钟，乙先干15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习练习 5 51.某工程甲单独干 10 天完成， 乙单独干 15 天完成， 他们合干多少天才可完成工程的一半？2.某工程甲队单独做需 48 天， 乙队单独做需 36 天。 甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠，甲、乙两队合挖

15、需30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？5.修一段公路， 甲队独做要用 40 天， 乙队独做要用 24 天。 现在两队同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离。答案与提示练习练习 5 52.14 天。3.120 天

16、。4.350 棵。5.6000 米。6.8 时。提示：甲管 12 时都开着，乙管开7.280 千米。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0606 工程问题二工程问题二上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。 在较复杂的工程问题中， 工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方法，问题也不难解决。例例 1 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可完成；如果甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？分析与解：分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出： 甲

17、 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等， 即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作4 天”等量替换题中“甲工作5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例例 2 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙队先做 7 天，然后么还要几天才能完成？分析与解：分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做 4 天，乙再单独例例 3 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天才能完成。如果甲

18、、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？分析与解：分析与解：乙单独做要超过 3 天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要例例 4 4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3 号阀门，则20 分钟可以完成；若同时打开 2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开 1，3，4 号阀门，则 28 分钟可以完成；若同时打开 1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4 号阀门，那么

19、多少分钟可以完成？分析与解：分析与解：同时打开 1，2，3 号阀门 1 分钟，再同时打开 2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，2，4 号阀门 1 分钟，这时，1，2，3，4号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于一例例 5 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成；由二、三、四小队合干，需要10 天完成；由一、四小队合干，需15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最后完成？分析与解：分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是例例 6 6 甲、乙、丙三人做一

20、件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？分析与解：分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁后，完成的总工作量都相同。 所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同 （见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。由最后一轮完成的工作量相同，得到练习练习 6 61.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？3.加工一批零件，王师傅先做 6 时李师傅再做 12 时可完成，王师傅先做 8 时李

21、师傅再做 9 时也可完成。现在王师傅先做 2 时，剩下的两人合做，还需要多少小时？独修各需几天？5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10，12，15 时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？6.单独完成某项工作，甲需 9 时，乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮流工作，每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？7.一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完

22、工。问：甲单独干需要几天？答案与提示练习练习 6 61.360 个。2.甲 18 天，乙 12 天。3.7.2 时。解：由下页图知，王干 2 时等于李干 3 时，所以单独干李需 12+623=21（时），王需 2132=14（时）。所求为5.上午 9 时。6.10 时 15 分。7.8.5 天。解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙 甲现在乙先比甲先要多用半天， 所以甲先时， 完成的天数一定是奇数， 于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做17

23、天等于甲做 8.5 天。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0707 巧用单位“巧用单位“1 1”在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更简捷。分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位答：这本故事书共有 240 页。分析与解：分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3 个不同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本题中，不统一单位“ 1”反而更方便。我们先

24、把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的共有多少本图书？分析与解：分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分率，这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，可以以图书室原来共有图书分析与解：分析与解：与例 3 类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。例例 5 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了 10 分钟，小轿车追上

25、了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车追上客车？分析与解：分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，设这段距离为单位“1”。由“走了 10 分钟，小轿车追上了货车”，可知小轿可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段距离的两班各有多少人？乙班有 84-48=36（人）。练习练习 7 7树上原有多少个桃？剩下的部分收完后刚好又装满 6 筐。共收西红柿多少千克？7.六年级两个班共有学生 94 人，其中女生有 39 人，已知一班的女生占本答案与提示练习练习 7 71.35 个。2.60 个。3.64 吨。4.384 千克。6.男生

26、15 人，女生 21 人。7.一班 45 人，二班 49 人。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0808 比和比例比和比例比的概念是借助于除法的概念建立的。两个数相除叫做两个数的比。例如，56 可记作 56。比值。表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，37=921。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果 ab=cd，那么 ad=bc。两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如 abc。连比中的“”不能用“”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一

27、个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲乙=56，乙丙=43，因为6，4=12，所以 5 6=10 12， 43=129，得到甲乙丙=10129。例例 1 1 已知 3(x-1)=79，求 x。解： 7(x-1)=39，x-1=397，例例 2 2 六年级一班的男、女生比例为 32，又来了 4 名女生后，全班共有 44 人。求现在的男、女生人数之比。分析与解：分析与解：原来共有学生 44-4=40（人），由男、女生人数之比为 32 知，如果将人数分为 5 份，那么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出女生增加 4 人变为 16+4=20（人），男生人数不变，

28、现在男、女生人数之比为 2420=65。在例 2 中，我们用到了按比例分配的方法。将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。 按比例分配的方法是将按已知比分配变为按份数分配， 把比的各项相加得到总份数， 各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各个分量。例例 3 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是 1212，现在要配制这种农药 2700 千克，求各种原料分别需要多少千克。分析：分析：总量是 2700 千克，各分量的比是 1212，总份数是 1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要 180，360 和 2160 千克。在按比例分配的问题中，也

29、可以先求出每份的量，再求出各个分量。如例 3 中，总份数是 1+2+12=15， 每份的量是 270015=180 （千克） ， 然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用 180 千克分别乘以 1，2，12，就可以求出各个分量。例例 4 4 师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒弟加工一个零件用 15 分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？分析与解：分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效率有多少学生？按比例分配得到例例 6 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小客车 15 元，小轿车 10 元。 某日通过该收费站

30、的大客车和小客车数量之比是 56， 小客车与小轿车之比是 411，收取小轿车的通行费比大客车多 210 元。求这天这三种车辆通过的数量。分析与解：分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将 56 中的 6 与411 中的 4 统一成4，6=12，就可以得到大客车小客车小轿车的连比。由 56=1012 和 411=1233，得到大客车小客车小轿车=101233。以 10 辆大客车、12 辆小客车、33 辆小轿车为一组。因为每组中收取小轿车的通行费比大客车多 1033-3010=30（元），所以这天通过的车辆共有21030=7（组）。这天通过大客车=107=70（辆），小客车=1

31、27=84（辆），小轿车=337=231（辆）。练习练习 8 81.一块长方形的地，长和宽的比是 53，周长是 96 米，求这块地的面积。2.一个长方体，长与宽的比是43，宽与高的比是54，体积是450 分米3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？3.一把小刀售价 6 元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是 35；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是 911。问：两人原来共有多少钱？5.甲、乙、丙三人分 138 只贝壳，甲每取走 5 只乙就取走 4 只，乙每取走5 只丙就取走 6 只。问：最后三人各分到多少只贝壳？6.一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各

32、段路程的长度之比是123，某人走各段路程所用的时间之比是345。已知他走平路的速度是5 千米/时，他走完全程用多少时间？7.某俱乐部男、女会员的人数之比是 32，分为甲、乙、丙三组，甲、乙、丙三组的人数之比是 1087。如果甲组中男、女会员的人数之比是 31，乙组中男、女会员的人数之比是 53，那么丙组中男、女会员的人数之比是多少？答案与提示练习练习 8 81.540 米2。2.长 100 厘米，宽 75 厘米，高 60 厘米。解：长宽高=201512，450000(201512)=125=53。长=205=100（厘米），宽=155=75（厘米），高=125=60（厘米）。3.86 元。解：

33、设小明有 x 元钱。根据小强的钱数可列方程36+50=86（元）。4.2640 元。5.甲 50 只，乙 40 只，丙 48 只。解：甲乙丙=252024，138(25+20+24)=2，甲=225=50（只），乙=220=40（只），丙=224=48（只）。6.12 时。7.5：9小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案0909 百分数百分数百分数有两种不同的定义。（1）分母是分母是 100100 的分数叫做百分数。的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）

34、的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。百分数通常不写成分数形式，而采用符号“”来表示，叫做百分号。在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：比较数标准数比较数标准数= =分率（百分数），分率（百分数），标准数分率标准数分率= =比较数，比较数，比较数分率比较数分率= =标准数。标准数。根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。例例 1 1 纺织厂的女工占全厂人数的 80，一车间的男工占全厂男工的25。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？分析与解：分析与解：因为“女工占全厂人数

35、的 80”，所以男工占全厂人数的 1-80=20。又因为“一车间的男工占全厂男工的 25”，所以一车间的男工占全厂人数的 2025=5。例例 2 2 学校去年春季植树 500 棵，成活率为85，去年秋季植树的成活率为90。已知去年春季比秋季多死了 20 棵树，那么去年学校共种活了多少棵树？分析与解：分析与解：去年春季种的树活了 50085=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55（1-90）90=495（棵）。所以，去年学校共种活 425+495=920（棵）。例例 3 3 一次考试共有 5 道试题。做对第 1，2，3，4，5 题

36、的人数分别占参加考试人数的 85，95，90，75，80。如果做对三道或三道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？分析与解：分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不妨设总量即参加考试的人数为 100。由此得到做错第 1 题的有 100（1-85）=15（人）；同理可得，做错第 2，3，4，5 题的分别有 5，10，25，20 人。总共做错 15+5+10+25+20=75（题）。一人做错 3 道或 3 道以上为不及格，由 753=25（人），推知至多有 25 人不及格，也就是说至少有 75 人及格，及格率至少是 75。例例 4 4 育红小学四年级学生比三年级学生多 25

37、，五年级学生比四年级学生少 10，六年级学生比五年级学生多 10。如果六年级学生比三年级学生多 38 人，那么三至六年级共有多少名学生？分析：分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125，五年级是三年级的125（1-10），六年级是三年级的 125（1-10）（1+10）。因为已知六年级比三年级多 38 人，所以可根据六年级的人数列方程。解：解：设三年级有 x 名学生，根据六年级的人数可列方程： x125（1-10）（1+10）=x+38， x12590110=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。三年级有 160 名学生。四年级有学生 160

38、125=200（名）。五年级有学生 200（1-10）180（名）。六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。答：三至六年级共有学生 738 名。在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液 =糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量溶液重量=

39、 =溶质重量溶质重量+ +溶剂重量，溶剂重量，溶质含量溶质含量= =溶质重量溶液重量，溶质重量溶液重量，溶液重量溶液重量= =溶质重量溶质含量，溶质重量溶质含量，溶质重量溶质重量= =溶液重量溶质含量。溶液重量溶质含量。溶质含量通常用百分数表示。例如，10 克白糖溶于 90 克水中，含糖量（溶例例 5 5 有含糖量为 7的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10，需要再加入多少克糖？分析与解：分析与解：在 600 克含糖量为 7的糖水中，有糖（溶质）6007=42（克）。设再加 x 克糖，可使其含糖量加大到 10。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加

40、入 20 克糖。例例 6 6 仓库运来含水量为 90的一种水果 100 千克，一星期后再测，发现含水量降低到 80。现在这批水果的总重量是多少千克？分析与解：分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重100（1-90）=10（千克）。一星期后含水量变为 80，“果”与“水”的比值为因为“果”始终是 10 千克，可求出此时“水”的重量为所以总重量是 10+40=50（千克）。练习练习 9 91.某修路队修一条路，5 天完成了全长的 20。照此计算，完成任务还需多少天？2.服装厂一车间人数占全厂的 25，二车间人数比一车间少 20，三车间人数比二车间多 30。已知三车间有 156 人

41、，全厂有多少人？3.有三块地， 第二块地的面积是第一块地的 80， 第三块地的面积比第二块多 20，三块地共 69 公顷，求三块地各多少公顷。4.某工厂四个季度的全勤率分别为 90，86，92，94。问：全年全勤的人至少占百分之几？5.有酒精含量为 30的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为 24的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？6.配制硫酸含量为 20的硫酸溶液 1000 克，需要用硫酸含量为 18和 23的硫酸溶液各多少克？7.有一堆含水量 14.5的煤，经过一段时间的风干，含水量降为 10，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？答案与提示练习练习 9 91.2

42、0 天。解：520-5=20（天）。2.600 人。解：156(1-20) (1+30)25=600（人）。3.第一、 二、 三块依次为 25， 20 和 24 公顷。 解： 第一块地的面积为 691+80+80(1+20)=25（公顷），第二块地为 2580=20（公顷），第三块地为 69-25=24（公顷）。4.62。解；设全厂有100 人，则四个季度没有全勤的共有 10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时， 全年没有全勤的人最多， 为38人， 所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为 62。5.20。解： 设酒精含量为 30的酒精溶液有 100

43、 克， 则溶质为 30 克。 稀释成酒精含量为 24的酒精溶液需加水 3024-100=25（克）。若再加入 25 克水，则酒精含量变为30(100+25+25)=20。6.600 克，400 克。提示：设需要 18的溶液 x 克，则需要 23的溶液(100-x)克。根据溶质重量可得x18+(1000-x)23=100020。解得 x=600。7.95。解：设原有 100 吨煤，则有水份 14.5 吨。又设风干掉水份 x 吨，则由含现在煤的重量为 100-5=95（吨），是原来的 95。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1010 商业中的数学商业中的数学市场经济中有许多数学问题。 同学们可能

44、都有和父母一起去买东西的经历， 都知道商品有定价， 但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的成本、 利润等听起来有些陌生的名词。这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。利润利润= =售出价售出价- -成本，成本，例如，一件商品进货价是 80 元，售出价是 100 元，则这件商品的利润是 100-80=20（元），利润率是在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本除了进货价，还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。例例 1 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱，与按每个 11 元的利润卖出 12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？解：解：设进货价是

45、每个 x 元。由“售出价=进货价+利润”，根据前、后两次卖出的钱相等，可列方程（x+7）13=（x+11）12， 13x+91=12+132x=41。答：进货价是每个 41 元。例例 2 2 租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金7000 元。这些货物原计划要销售3 个月，由于降低了价格，结果 2 个月就销售完了，由于节省了租仓库的租金，所以结算下来， 反而比原计划多赚了 1000 元。问：每千克货物的价格降低了多少元？分析与解：分析与解：原计划租仓库 3 个月，现只租用了 2 个月，节约了 1 个月的租金 7000 元。如果不降低价格，那么应比原计划多赚 7000 元，但现在只多赚了 1000

46、元，说明降价损失是7000-1000=6000（元）。因为共有 3 吨，即 3000 千克货物，所以每千克货物降低了 60003000=2（元）。例例 3 3 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价 1 元，我就多订购 4 件。”商店经理算了一下，若减价5，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多 100 元。问：这种商品的成本是多少元？分析与解：分析与解：设这种商品的成本是 x 元。减价 5就是每件减 1005=5（元），张先生可多买 45=20（件）。由获得利润的情况，可列方程（100-x）80 +100=（100-5-

47、x）（80 + 20）， 8000-80x+100=9500-100x，20x=1400，x=70，这种商品的成本是 70 元。由例 2、例3 看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利润有时反而比原来多。例例 4 4 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离是 400 千米， 运费为每吨货物每运 1 千米收 1.50 元。 如果在运输及销售过程中的损耗是 10，商店要想实现 25的利润率，零售价应是每千克多少元？分析与解：分析与解： 本题的成本包括收购价、 运费、 损耗。 每千克的收购价加运费是 1.20+1.504001000=1.80（元）。因为

48、有 10的损耗，所以每千克的成本为 1.80（1-10）=2.00（元）。售出价=成本（利润率+1）=2.00（25+1） =2.50（元），即零售价应是每千克 2.50 元。例例 5 5 小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价 2 元 3 个，白球原价 3 元 5个。新年优惠，两种球都按1 元 2 个卖，结果小明少花了8 元钱。问：小明共买了多少个球？例例 6 6 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40 万元，每年需付利息5 万元。甲种贷款年利率为 12，乙种贷款年利率为 14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少？解：解：设申请甲种贷款 x 万元，则申请乙种贷款（40-x）万元。根据需付

49、利息可得方程x12+（40-x）14=5，0.12x+5.6-0.14x5，0.02x0.6，x=30（万元）。40-30=10（万元）。答：申请甲种贷款 30 万元，乙种贷款 10 万元。练习练习 10101.商店进了一批钢笔， 用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖出 15 支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？2.某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的 80。妈妈第一天买了 2 个，第二天买了 3 个，第三天买了 5 个，共花了 38 元。若这 10 个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？3.商店以每双 13 元购进一批凉鞋，售价为 14.8 元，卖到还剩 5

50、双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利 88 元。问：这批凉鞋共多少双？4.体育用品商店用 3000 元购进 50 个足球和 40 个篮球。零售时足球加价 9，篮球加价 11，全部卖出后获利润 298 元。问：每个足球和篮球的进价是多少元？5.某种商品的利润率是 20。如果进货价降低 20，售出价保持不变，那么利润率将是多少？6.某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地到商店的距离是400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收费 1.50 元。如果不计损耗，那么商店要想实现 25的利润率，零售价应是每千克多少元？减价 10 元出售，全部售完，共获利润 3000 元。书

51、店共售出这种挂历多少本？答案与提示练习练习 10101.7 元。解：（1020-1115）（20-15）=7（元）。2.6 元。解：设第一天每个蜜瓜 x 元。由2x+3x80+5x80=38，解得 x=5（元）。10 个瓜都在第三天买要花5108080=32（元），少花 38-32=6（元）。3.90 双。解：(88+14.85)(14.8-13)=90（双）。4.足球 32 元，篮球 35 元。解：设 50 个足球的进价为 x 元，则 40 个篮球的进价为(3000-x)元。根据利润可得方程x9+(3000-x)11=298。解得 x=1600。每个足球的进价为 160050=32（元），每

52、个篮球的进价为(3000-x)40=35（元）。5.50。解：设原来进价为 1 元，则售出价为 1(1+20)=1.2（元）。现在的进价为 1(1-20)=0.8（元），利润率为（1.2-0.8）0.8=50。6.2.25 元。解：(1.20+1.504001000)(1+25)=2.25（元）。7.250 本。解：将售出的挂历分组，每组 5 本，其中原价的 2 本，减价的 3 本。每组可获利润182+83=60（元），推知共有 300060=50（组），所以共售出 550=250（本）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1111 圆与扇形圆与扇形五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯

53、形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。圆的面积圆的面积= =r r2 2，圆的周长圆的周长=2=2r r，本书中如无特殊说明，圆周率都取=3.14。例例 1 1 如下图所示，200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽 1.22 米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到 0.01 米）分析与解：分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之

54、宽。设外弯道中心线的半径为 R，内弯道中心线的半径为 r，则两个弯道的长度之差为R-r（R-r）3.141.223.83（米）。即外道的起点在内道起点前面 3.83 米。例例 2 2 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：分析与解：由右上图知，绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC 弧长之和。将图中与 BC 弧类似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，得到 6 个角的和是 360，所以 BC 弧所对的圆心角是60，6 个 BC 弧等于直径 5 厘米的圆的周长。而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长=5653.1445.

55、7（厘米）。例例 3 3 左下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积。分析与解：分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是 4 个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同， 等于一个正方形与 4 个半圆 （即 2 个圆） 的面积之和，为 （2r）2r22=1023.1450257（厘米2）。例例 4 4 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长 30 米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？分析与解：分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可

56、以分为 A，B，C 三部分，所以羊活动的范围是例例 5 5 右图中阴影部分的面积是 2.28 厘米2，求扇形的半径。分析与解：分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。所以，扇形的半径是 4 厘米。例例 6 6 右图中的圆是以 O 为圆心、径是 10 厘米的圆，求阴影部分的面积。分析与解：分析与解：解此题的基本思路是：从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分 S1的面积，就必须想办法求出 S2和 S3的面积。S3的面积又要用下图的基本思路求：现在就可以求出 S3的面积，进而求出阴影部分的面积了。S3=S4-S5=50-100（厘米2），S1=S2-S3=50-（50-100）=100

57、（厘米2）。练习练习 11111.直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长 10 厘米。如下图所示，三角形由位置绕 A 点转动，到达位置，此时 B，C 点分别到达 B1，C1点；再绕 B1点转动，到达位置，此时 A，C1点分别到达 A2，C2点。求 C 点经 C1到 C2走过的路径的长。2.下页左上图中每个小圆的半径是 1 厘米，阴影部分的周长是多少厘米？3.一只狗被拴在一个边长为 3 米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4 米，求狗所能到的地方的总面积。5.右上图是一个 400 米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是 100 米，中间是

58、一个长方形，长为 100 米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。6.左下图中， 正方形周长是圆环周长的 2 倍， 当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？7.右上图中，圆的半径是 4 厘米，阴影部分的面积是 14厘米2，求图中三角形的面积。答案与提示练习练习 11111.68 厘米。2.62.8 厘米。解：大圆直径是6 厘米，小圆直径是2 厘米。阴影部分周长是6+27=62.8（厘米）。3.43.96 米2。解：如下页右上图所示，可分为半径为 4 米、圆心角为 300的扇形与两个半径为 1米、圆心角为 120的扇形。面积为4.60。解：设CAB 为 n 度，

59、半圆 ADB 的半径为 r。由题意有解得 n=60。5.13。6.3 圈。7.8 厘米2。解：圆的面积是 42=16（厘米2），空白扇形面积占圆面积的 1-的等腰直角三角形，面积为 442=8（厘米2）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1212 圆柱圆锥圆柱圆锥这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。例例 1 1 如右图所示，圆锥形容器中装有 5 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？分析与解：分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。这表明容器可以装 8 份 5 升水，已经装了 1 份，还能装水 5（81）=35（升）。例例 2 2

60、 用一块长 60 厘米、宽 40 厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到 1 厘米3）分析与解：分析与解：铁桶有以 60 厘米的边为高和以 40 厘米的边为高两种做法。时桶的容积是桶的容积是例例 3 3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是 30 分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分的高度为 5 厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？分析与解：分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当

61、相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 205=25（厘米）例例 4 4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 15 厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：解：皮球的体积是水面升高的高度是 4509000.5（厘米）。答：水面升高了 0.5 厘米。例例 5 5 有一个圆柱体的零件，高10 厘米，底面直径是6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4 厘米，孔深5 厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析与解：分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔

62、的侧面、圆孔的底面， 其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。 涂漆面积为例例 6 6 将一个底面半径为 20 厘米、高 27 厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为 30 厘米、高 20 厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为 15 厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。解：解：被熔的圆锥形铝块的体积：被熔的圆柱形铝块的体积：30220=18000（厘米3）。熔成的圆柱形铝块的高：（360018000）（152） =21600225=96（厘米）。答：熔铸成的圆柱体高 96 厘米。练习练习 12121.右图是一顶帽子。 帽顶部分是圆柱形， 用黑布做； 帽沿部分是一个圆环，

63、用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是 a 厘米，那么哪种颜色的布用得多？2.一个底面直径为 20 厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为 18厘米、高为 20 厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？3.用直径为 40 厘米的圆钢锻造长 300 厘米、宽 100 厘米、厚 2 厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？容器高度的几分之几？5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长 20 厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。6.有两个盛满水的底面半径为 10 厘米、 高为 30 厘米的圆锥形容器， 将它们盛的水全部倒入一个底面半径为 20 厘米的圆柱形

64、容器内，求水深。答案与提示练习练习 12121.一样多。2.5.4 厘米。3.47.8 厘米。解：（3001002）（3.14202）47.8（厘米）。解：设水面高度是容器高度的 x 倍，则水面半径也是容器底面半径的 x 倍。根据题意得到5.表面积 2942 厘米2，体积 11140 厘米3。6.5 厘米。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1313 立体图形立体图形我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。例例 1 1 左下图中共有多少个面？多少条棱？分析与解：分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向

65、看这个立体图形。前、后看各有1 个面，左面看有1 个面，右面看有2 个面，上面看有2 个面，下面看有 1 个面。所以共有11+1+221= 8（个）面。前后方向的棱有 6 条，左右方向的棱有6 条，上下方向的棱也有6 条，所以共有棱666=18（条）。例例 2 2 右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。分析与解：分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。如上图所示，可求得表面积为（978）2=48（厘米2）。例例 3 3 右图是由 22 个小正方体组成的立体图

66、形， 其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？分析与解：分析与解：正方体只可能有两种：由 1 个小正方体构成的正方体，有 22 个；由 8 个小正方体构成的 222 的正方体，有 4 个。所以共有正方体 224=26（个）。由两个小正方体组成的长方体， 根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、 左右位、前后位三种， 其中上下位有 13 个， 左右位有 13 个， 前后位有 14 个， 共有 131314=40 （个） 。例例 4 4 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。分析与解：分析与

67、解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由 8 个棱长为 2 厘米的正方体和 12 个棱长为 1 厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为 2 厘米的正方体分别在 8 个顶角， 12 个棱长 1 厘米的正方体分别在 12 条棱的中间。由于每个小正方体都有 2 个面分别粘接两个较大正方体， 相对于不粘接， 减少了表面积 4 厘米2，所以总的表面积为（226）8（116）12-412=216（厘米2）。例例 5 5 右图是由 120 块小立方体构成的 456 的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？分析与解：分析与解

68、：一个长方体有 8 个角、12 条棱、6 个面，角上的 8 个小立方体三面涂有红色， 在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色， 在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。根据上面的分析得到：三面涂有红色的小立方体有 8 块；两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的 2 块，故有（4-2）（5-2）+（6-2）4=36（块）；一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有（4-2）（5-2）（4-2）（6-2）（5-2）（6-2）2 52（块）。一般地，当 a，b，c 都不小于 2 时，对于 abc 的立方体：三面涂有红色的小立方体有 8

69、 块；两面涂有红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（c-2）4；一面涂有红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（a-2）（c-2）（b-2）（c-2）2；没有被涂上红色的小立方体的块数是：（a-2）（b-2）（c-2）。例例 6 6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）分析与解：分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。（2）两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按

70、右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。所以共有 6 种不同涂法。练习练习 13131.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？2.有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？最少有几个？4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1 厘米3的小正方体， 其中一点红色都没有的小立方体只有 3 块。求原来长方体的体积。5.将一个 555 的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成 111 的小立方体，取出全部至少有一个面是红

71、色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。那么，可组成的长方体的体积最大是多少？6.在边长为 3 分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞， 洞口呈边长为1 分米的正方形（见左下图）。求挖洞后木块的体积及表面积。7.把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形（右上图）。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？答案与提示练习练习 13131.9 个面，21 条棱。2.56 米2。解：44+（1+2+3+4）4=56（米2）。3.8 个；2 个。提示：颜色相同的面两两相对时有 8 个；颜色相同的面两两相邻时有 2 个。

72、4.45 厘米3。解：由 3 块小立方体构成的长方体体积为 113 厘米3，故原来长方体的体积为（1+2）（1+2）（3+2）=45（厘米3）。5.96。解：至少有一个面是红色的小立方体有 53-33=98（个），其中三面红的8 个，两面红的 36 个，一面红的54 个。可以组成446 的表面全是红色的长方体，体积是446=96。6.20 分米3；72 分米3。7.22 个。解：一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）。因为染有 5 个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格。其余四个面中， 每个面的四个角上的方格不能再染成红色， 至多能染 4 个红色方格

73、 （见上中图）。因为染有4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格。最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图）。所以，红色方格最多有 52+42+22=22（个）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1414 立体图形二立体图形二本讲主要讲长方体和立方体的展开图， 各个面的相对位置， 提高同学们的看图能力和空间想象能力。例例 1 1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。分析与解：分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四面体的每个顶点只与三个面相连， 而在图 2 中， “中心点”与四个面相连

74、，所以图 2 不是正四面体的展开图。例例 2 2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？分析与解：分析与解：观察立方体图形，A，B，C 三个面两两相邻，即三个面有一个公共顶点。再看四个展开图，图 1 中 A 与 C 不相邻，是相对的两个面，不合题意；图 3 中 C 与 B 是相对的两个面，也不合题意；图2、图 4 中 A，B，C 三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：这两个图虽然相似，但是 A，B，C 三个面的相对位置不同。我们可以借助一个现成工具右手，帮助判断三个面的相对位置。伸出右手，让除大姆指外的四指从 A 向 B 弯曲，此时，左上图中 C 位于大姆指指

75、向的方向，右上图中 C 位于大姆指指向的相反方向。所以两个图A，B，C 三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。用右手方法很容易判断出，图 4 是所求的展开图。例例 3 3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？分析与解：分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察 8 个顶点，其中与 A 点不在一个表面上的只有 B 点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个

76、端点。 在上页右下图中， 1，2，6 点都距 9 点最远，也就是说，1，2，6 点都与 9 点不在一个表面上。而与9 点不在一个表面上的只有一个点，所以 1，2，6 点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6 点重合。例例 4 4 有两块六个面上分别写着 16 的相同的数字积木，摆放如下图。在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？分析与解：分析与解：由两图看出，5 与 1，3，4，6 都相邻，所以 5 的对面只能是 2；对右上图使用右手方法，四指由 5 向 4 弯曲，大姆指指向 6，将 5，4，6 的这个关系移到左上图，立刻得到 1 的对面是 4，3 的对面是 6。5210，144，

77、3618，相对两个面上的数字的乘积最小是 4。例例 5 5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？分析与解：分析与解：五颗骰子有三颗露出了 5，并且 5 和 1，2，3，6 相邻，所以 5 的对面是4；2 与 1，3，5 相邻，因为 5 与 4 相对，故 2 也与 4 相邻，所以 2 的对面是 6；剩下的 1 与 3必相对。五颗骰子底面的点数从左至右依次是 4，6，3，1，4，其和为 4631418。例例 6 6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？分析与解：分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。

78、截口通过 1 条棱是 1 种情况，截口通过 2 条棱是 1 种情况，截口不通过任何棱有 2 种情况。所以共有下图所示的四种可能。练习练习 14141.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？2.将左下图沿虚线折成一个立方体， 它的相交于一个顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在右上图（ 2）中，从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要剪开几条棱？5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？6.在一个立方体的六个面上分别写有 A，B，C，D，E 五

79、个字母，其中两个面写有相同的字母。下图是它的三个视图。问：哪个字母被写了两遍？7.右图中第 1 格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着 A，B，C，D，E，F六个字母，其中A 与 D，B 与 E，C 与 F 相对。如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第 21 个格时，木块向上的面写的是哪个字母？答案与提示练习练习 14141.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共 11 个。2.13；8。提示：最大是 6+4+3=13；最小是 1+2+5=8。3.12。提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为 3，6 和 1。4.7 条

80、。提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加 2 条棱长。展开图的周长是 14 条棱长，所以剪开了 142=7（条）棱。注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开7 条棱。也就是说，无论哪种展开图，周长都等于 14 条棱长。5.图（1）。提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到，所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。6.C。解：假设 C 只写了一遍。因为 C 与 A，B，D，E 都相邻，所以被写了两遍的字母在 C的对面。与 C 相邻的四个字母的相互

81、位置是确定的。图（2）（3）都有 D，C，用右手方法判断，图（2）与图（3）不符。这个矛盾的出现，是因为假设 C 只写了一遍，所以 C 写了两遍。7.A。提示：木块沿直线滚动 4 格，与原来的状态相同，所以木块到第 5，9，13，17，21格时，与在第 1 格的状态相同。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1515 棋盘的覆盖棋盘的覆盖同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1），围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图 3）。用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问

82、题。棋盘的覆盖问题可以分为两类： 一是能不能覆盖的问题， 二是有多少种不同的覆盖方法问题。例例 1 1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？分析与解：分析与解：因为图形由 3 个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是 3 的倍数，从而正方形的边长应是 3 的倍数。经试验，不可能拼成边长为 3 的正方形。所以拼成的正方形的边长最少是 6（见右图），需要用题目所示的图形363= 12（个）。分析与解：分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共有 34 个小方格，17 个 12 的卡片也有 34 个小方格，好象能覆盖住。我们将左上图黑白相间染色

83、，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格有 16 个，白格有 18 个，而 12 的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以 17 个 12 的卡片应当盖住黑、白格各 17 个，不可能盖住左上图。例例 3 3 下图的七种图形都是由 4 个相同的小方格组成的。现在要用这些图形拼成一个47 的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？分析与解：分析与解：先从简单的情形开始考虑。显然，只用 1 种图形是可以的，例如用 7 个（7）；用 2 种图形也没问题，例如用 1 个（7），6 个（1）。经试验，用 6 种图形也可以拼成 47 的长方形（见下图）。能否将 7 种图形都用上

84、呢？7 个图形共有 47=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用 1 个，那么有可能拼成 47 的长方形。但事实上却拼不成。为了说明，我们将 47 的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14 个。在7 种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2 个，共覆盖黑、白格各12 个，还剩下黑、白格各2个。第（2）种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格，因此不可能覆盖住另 6种图形覆盖后剩下的 2 个黑格 2 个白格。综上所述，要拼成 47 的长方形，最多能用上 6 种图形。例例 4 4 用 11，22，33 的小正方形拼成一个 1111 的大

85、正方形，最少要用 11的正方形多少个？分析与解：分析与解：用 3 个 22 正方形和 2 个 33 正方形可以拼成 1 个 56 的长方形（见左下图）。用 4 个 56 的长方形和 1 个 11 的正方形可以拼成 1 个 1111 的大正形（见右下图）。上面说明用 1 个 11 的正方形和若干 22， 33 的正方形可以拼成 1111 的大正方形。那么，不用 11 的正方形，只用 22，33 的正方形可以拼成 1111 的正方形吗？将 1111 的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将 22 或 33 的正方形沿格线放置在任何位置， 都将覆盖住偶数个白格， 所以无论放置多少个 22 或 3

86、3 的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。但是，右图中的白格有 117=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不用 11 的正方形不可能拼成 1111 的正方形。综上所述，要拼成 1111 的正方形，至少要用 1 个 11 的小正方形。例例 5 5 用七个 12 的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？分析与解：分析与解：盲目无章的试验，很难搞清楚。我们采用分类讨论的方法。如下图所示， 盖住 A 所在的小格只有两种情况， 其中左下图中两个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4 种覆盖方法：右下图中三个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 3 种覆盖方法。所以，共有 7 种不同覆盖方法。例例 6

87、6 有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些硬纸片拼成一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）解：有一个边长 3 厘米纸片有如下 3 种拼法：有两个边长 2 厘米纸片的有如下 4 种拼法：有一个边长 2 厘米及 11 个边长 1 厘米纸片的有 2 种拼法， 边长全是 1 厘米纸片的有1 种拼法。共有不同的拼法 342+1=10（种）。答：共有 10 种不同的拼法。练习练习 1515在不重叠的情形下， 不能再在正方形中多放一个这样的卡片？ （要求卡片的边缘与格线重合）4.小明有 8 张连在一起的

88、电影票（如右图），他自己要留下 4 张连在一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？5.有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为 4 的大正方形， 共有多少种不同拼法？ （只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）7.能不能用 9 个 14 的长方形卡片拼成一个 66 的正方形？答案与提示练习练习 15151.3 个。提示：左下图是一种放法。2.图（2）。提示：图（1）的小方格数不是 3 的倍数；图（3）的小方格数是 3 的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。3.不能。提示：右图中黑、白格各 18 个，每张卡片盖住的黑格数是

89、奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住 18 个黑格。4.25 种。提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有 3，10，6，6 种。5.6 种。解：用小正方形拼成边长为 4 的大正方形有 6 种情形：（1）1 个 33，7 个 11；（2）1 个 22，12 个 11；（3）2 个 22，8 个 11；（4）3 个 22，4 个 11；（5）4 个 22；（6）16 个 11。6.5 种。提示： 盖住 A 有下图所示的 5 种方法， 其中左下图所示的 3 种都无法覆盖； 下中图中，放好后，左下方和右上方各有 2 种放法，共有 4 种覆盖方法；右下图只有 1 种覆盖方法。7.不

90、能。提示：用 1，2，3，4 对 66 棋盘中的小方格编号（见右图）。一个 14 的矩形一次只能覆盖 1，2，3，4 号各一个，而 1，2，3，4 号数目不等，分别有 9，10，9，8 个。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1616 找规律找规律同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算公式。例例 1 1 求 99 边形的内角和。分析与解：分析与解：三角形的内角和等于 180，可是 99 边形的内角和怎样求呢？我们把问题简化一下，先求四边形、五边形

91、、六边形的内角和，找一找其中的规律。如上图所示，将四边形 ABCD 分成两个三角形，每个三角形的内角和等于 180，所以四边形的内角和等于 1802= 360；同理，将五边形 ABCDE 分成三个三角形，得到五边形的内角和等于 1803540；将六边形 ABCDEF 分成四个三角形，得到六边形的内角和等于 1804720。通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式：n 边形的内角和=180（n-2）（n3）。有了这个公式，再求 99 边形的内角和就太容易了。99 边形的内角和=180（99-2）17460。例例 2 2 四边形内有 10 个点

92、，以四边形的 4 个顶点和这 10 个点为三角形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？分析与解：分析与解：在 10 个点中任取一点 A，连结A 与四边形的四个顶点，构成4 个三角形。再在剩下的 9 个点中任取一点 B。如果 B 在某个三角形中，那么连结 B 与 B 所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加2 个（见左下图）。如果B 在某两个三角形的公共边上，那么连结 B 与 B 所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加 2 个（见右下图）。类似地，每增加一个点增加 2 个三角形。所以，共可剪出三角形 4 2 9= 22（个）。如果将例 2 的“10 个点”改为 n 个点，其它条件不变，那么由以上

93、的分析可知，最多能剪出三角形42（n-1）=2n2=2（n1）（个）。同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到了三棱柱（左下图）；同理可以得到四棱柱（下中图），五棱柱（右下图）。如果底面是正三角形、正四边形、正五边形那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱例例 3 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么 n 棱柱共有多少对不相交的棱？分析与解：分析与解：n 棱柱的底面和顶面都是 n 边形，每个n 边形有 n 个顶点，所以n 棱柱共有 2n 个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2 个顶点，所以 n

94、 棱柱共有棱 2n32=3n（条）。进一步观察可以发现， n 棱柱中每条棱都与 4 条棱相交， 与其余的 3n4-1 = （3n5）条棱不相交。共有 3n 条棱，所以不相交的棱有 3n（3n- 5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍，所以不相交的棱共有3n（3n-5）2（对）。例例 4 4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用 100 条直线呢？分析与解：分析与解：4 条直线时，我们可以试着画，100 条直线就不可能再画了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是1 块；1 条直线将圆分为 2 块，即增加了1 块；2 条直线时，当 2 条直线不相交时，增加了1 块，当2

95、 条直线相交时，增加了2 块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第 3 条直线时，应当与前面 2 条直线都相交，这样又增加了 3 块（见左下图）；画第 4 条直线时，应当与前面3 条直线都相交，这样又增加了4 块（见右下图）。所以4 条直线最多将一个圆分成 11234=11（块）。由上面的分析可以看出，画第 n 条直线时应当与前面已画的（n1）条直线都相交，此时将增加 n 块。因为一开始的圆算 1 块，所以 n 条直线最多将圆分成1（123n）=1n（n+1）2（块）。当 n=100 时，可分成1100（1001）2=5051（块）。例例 5 5 用

96、3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角形呢？分析与解：分析与解：平面本身是 1 部分。一个三角形将平面分成三角形内、外 2 部分，即增加了 1 部分。两个三角形不相交时将平面分成 3 部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）。由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第 3 个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为 1 条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3 个三角形的每条边最多与前面 2 个三角形的各两条边相交，共可产生3（22）= 12（个）交点，即增加 12 部分。因此， 3 个三角形最多可以把平面分成11612= 20（部分）。由上面的

97、分析，当画第 n（n2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点3（nl）2=6（n1）（个），能新增加6（n1）部分。因为 1 个三角形时有 2 部分，所以 n 个三角形最多将平面分成的部分数是2612（n1）当 n=10 时，可分成 2310（101）=272（部分）。练习练习 16161.求 12 边形的内角和。2.五边形内有 8 个点。 以五边形的 5 个顶点和这 8 个点为三角形的顶点， 最多能剪出多少个小三角形？3.已知 n 棱柱有 14 个顶点，那么，它有多少条棱？4.n 条直线最多有多少个交点？5.6 条直线与 2 个圆最多形成多少个交点？

98、6.两个四边形最多把平面分成几部分？答案与提示练习练习 16161.1800。2.19 个。提示：与例 2 类似可得 5+2（8-1）=19（个）。3.21 条棱。提示：n 棱柱有 2n 个顶点，3n 条棱。4.n（n-1）2。解：1+2+3+（n-1）=n（n-1）2。5.41 个。解：6 条直线有交点 6（6-1）2=15（个），每条直线与两个圆各有2 个交点，两个圆之间有 2 个交点，共有交点 15+64+2=41（个）。6.10 部分。提示：见右图。与例 5 类似，当画第 n（n2）个四边形时，每条边应与已画的（n-1）个四边形的各 2 条边相交，共可产生交点4（n-1）2=8（n-1

99、）（个），新增加 8（n-1）部分。因为 1 个四边形有 2 部分，所以 n 个四边形最多将平面分成 2+81+2+（n-1）=2+4n（n-1）（部分）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案1717 操作问题操作问题所谓操作问题， 实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换， 这种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加 1，是偶数就除以 2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续进行这种操作后可能得到的结果。例例 1 1 对于任意一个自然数 n，当 n 为奇数时，加上 121；当 n 为偶数时，除以 2。这算一次操作。现在对 231 连续进行这种操作，在操作过程

100、中是否可能出现 100？为什么？讨论：讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到 100，但也不能肯定得不到 100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长，所以这不是好方法。解：解：因为 231 和 121 都是 11 的倍数，2 不是 11 的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是 11 的倍数。100 不是 11 的倍数，所以不可能出现。由例 1 看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门。例例 2 2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两

101、数之差，称为一次变换。如对 18 和 42 可进行这样的连续变换：18， 42 18， 24 18， 6 12， 6 6， 6。直到两数相同为止。问：对 12345 和 54321 进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？分析与解：分析与解：如果两个数的最大公约数是 a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个的最大公约数也是 a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为 12345 和 54321 的最大公约数是 3，所以最后得到的两个相同的数是 3。注：注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例例 3

102、 3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着 0。然后转动圆盘，每次可以转动 90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。 问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是 999？解：解：不可能。因为每次加上的数之和是 1234=10，所以黑板上的四个数之和永远是 10 的整数倍。 9994=3996，不是 10 的倍数，所以黑板上的四个数不可都是 999。例例 4 4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1，这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图。问：右下图中

103、 A 格中的数字是几？分析与解：分析与解：每次操作都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加1 或减 1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持不变。因为原题左图的这个差是 13，所以原题右图的这个差也是 13。由（A12）-12=13 解得 A=13。例例 5 5 将 110 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。当 110 十个数如下排列时，需交换多少次？8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。分析与解：分析与解：为了不

104、打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最大的数 10 开始交换，将 10 交换到它应在的位置后，再依次对 9，8，7，实施交换，直至按从小到大排列为止。因为 10 后面有 5 个比它小的数，所以对 10 连续交换 5 次，10 到了最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看 9，9 后面有 3 个比它小的数，需交换 3 次，9 到了右边第二位，排在 10 前面；再依次对 8，7，6，实施这样的交换。10 后面有 5 个比它小的数，我们说 10 有 5 个逆序；9 后面有 3 个比它小的数，我们说 9 有 3 个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2 依次有 7，3，3，4，1，0，1 个

105、逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数，所以需交换537334101= 27（次）。例例 6 6 右图是一个 56 的方格盘。先将其中的任意 5 个方格染黑。然后按以下规则继续染色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？分析与解：分析与解：以一个方格的边长为 1，开始时 5 个黑格的总周长不会超过 45=20。以后每染一个格， 因为这个格至少与两个黑格都有公共边， 所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A 与 4 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少 4；下中图中，A 与 3个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长将减少

106、 2；右下图中，A 与 2 个黑格有公共边，染黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周长永远不会超过 20，而 56 方格盘的周长是 22，所以不能将整个方格盘染成黑色。练习练习 17171.黑板上写着 115 共 15 个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减 1。例如，擦掉 5 和 11，要写上 15。经过若干次后，黑板上就会只剩下一个数，这个数是几？2.在黑板上任意写一个自然数， 然后用与这个自然数互质并且大于 1 的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现 2？3.口袋里装有 101 张小纸片，上面分别写着 1101。每次

107、从袋中任意摸出 5 张小纸片，然后算出这 5 张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2 和 4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的平均数3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第 8 次标完后，圆周上所有标出的数的总和是多少？5.六个盘子中各放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？6.将

108、110 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面的数为止。已知 10 在这列数的第 4位，那么最少要交换多少次？最多要交换多少次？7.在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是 5 的倍数？为什么？答案与提示练习练习 17171.106。提示：操作一次，黑板上的数减少 1 个，数字总和减少 1。经过 14 次操作，剩下的一个数是（1+2+15）-14=106。2.2 次。提示：若写的是奇数，则只需 1 次操作；若写的是大于 2 的偶数，则经过 1 次操作变为奇数，再操作

109、1 次变为 2。3.51。提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。4.758。提示： 第一次标完数后， 以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的 2 倍。第 8 次标完后的总和是628-1=627=768。5.4 次。提示：将各次操作表示如下：（1，1，1，1，1，1）（0，3，1，1，1，0）（2，2，1，1，0，0）（4，1，1，0，0，0）（6，0，0，0，0，0）。6.6 次；42 次。提示：与例 5 类似，当十个数按 1，2，3，10，4，5，6，7，8，9 排列时，交换的次数最少，要交换6 次；当十个数按9，8，7

110、，10，6，5，4，3，2，1 排列时，交换的次数最多，要交换 42 次。7.不能。解：要使第一列的两个数1，4 都变成 5 的倍数，第一行应比第二行多变（3+5n）次；要使第二列的两个数 2，3 都变成 5 的倍数，第一行应比第二行多变（1+5m）次。因为（3+5n）除以 5 余 3，（1+5m）除以 5 余 1，所以上述两个结论矛盾，不能同时实现。注：m，n 可以是 0 或负数。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2020 数值代入法数值代入法有一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无法求解，但是仔细分析发现，题中只涉及几个存在着倍数或比例关系的数量，而题目中缺少的条件，对于答案并无影响

111、，这时就可以采用“数值代入法”，即对于题目中“缺少”的条件，假设一个数代入进去（当然假设的这个数应尽量方便计算），然后求出解答。例例 1 1 足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加一倍，收入增加五分之一。问：一张门票降价多少元？分析与解：分析与解：初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数与答案无关。因为降价前后观众人数存在倍数关系，收入也存在比例关系，所以可以使用数值代入法。我们随意假设观众人数，为了方便，假设原来只有一个观众。，则降价后每张票价为 9 元，每张票降价 15-96（元）。例例 2 2 某幼儿园中班的小朋友平均身高 115 厘米，其中男孩人数比女孩人分析与解：分析与解：题中

112、没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有 5 人，则男孩有 6 人。这时总身高为：115（56）1265（厘米）。例例 3 3 甲、乙分别由 A，B 两地同时出发，甲、乙两人步行的速度比是 75。如果相向而行，那么 0.5 时后相遇；如果按从 A 到 B 的方向同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析与解：分析与解：设甲、乙的速度分别为 7 千米/时和 5 千米/时，则 A，B 两地相距（7+5）0.5=6（千米）。同向而行，甲追上乙需要 65（75）=3（时）。需要说明的是，A，B 两地的距离并不一定是 6 千米，6 千米是根据假设甲、乙的速度分别为 7 千米/时和 5 千米/时而计算出来的。

113、假设不同的速度，会得出不同的距离，因为假设的速度与计算出的距离成正比，所求的时间是“距离速度差”，所以不影响结论的正确性。例例 4 4 五年级三个班的人数相等，一班的男生人数与二班女生人数相等，三几？分析：分析：由“三个班人数相等，一班男生数与二班女生数相等”知，一班女生数等于二班男生数，因此一、二班男生人数的和以及一、 二班女生人数的和给三班的男生人数设一个具体数值， 那么就可依次求出全部男生人数以及一、二班男生人数的和（即每班人数），问题就迎刃而解了。个班在上面的例题中，将假设的数值代入解题过程， 便得到正确答案。对于这类题目，假设不同的数值，都会得到相同的答案。还有一类题目，也可以使用数

114、值代入法，但因为题中涉及的量不仅仅是倍数关系，所以假设的数不同，结果就不同，需要通过比较所得结果与已知结果来修正假设的数，从而得出正确解答。例例 5 5 用绳子测量井深，把绳三折来量，井外余 4 米；把绳四折来量，井外余 1 米。求井深和绳长。分析与解：分析与解：由题意可知，三折后的绳子比四折后的绳子多4-1=3（米）。假设这根绳长 12 米，那么三折后的绳长比四折后的绳长长 123-12井深=364-1=8（米）。例例 6 6 甲车从 A 地到 B 地需行 6 时，乙车从B 地到 A 地需行 10 时。现在甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，相遇时甲车比乙车多行 90 千米，求

115、 A，B 两地的距离。分析与解：分析与解：假设 A，B 相距 30 千米（既是 6 的倍数又是 10 的倍数），那么甲车的速度为 306=5（千米/时），乙车的速度为 3010=3（千米/时），两车相遇需 30（53）=3.75（时），相遇时甲车比乙车多行（5-3）3.75=23.75=7.5（千米）。题目条件“甲车比乙车多行 90 千米”是 7.5 千米的 907.5= 12（倍），说明 A，B两地距离是假设的 30 千米的 12 倍，即3012=360（千米）。练习练习 20201.上山的速度是 3 千米/时，下山的速度是 6 千米/时。求上山后又下山的平均速度。高为 132 厘米。问：女

116、生平均身高是多少厘米？3.一堆糖果，分给大、小幼儿班，每人可得 6 块；只分给大班，每人可得 10 块。若只分给小班，则每人可得几块？那么不及格同学的平均分是多少？能当选？6.一个数除以 5 与除以 3 的商相差 4，余数都是 1，求这个数。7.甲、乙两人搬一堆砖，甲单独搬完需 40 分钟，乙单独搬完需 60 分钟。现在两人同时开始搬，搬完时甲比乙多搬 72 块砖。这堆砖共有多少块？答案与提示练习练习 20201.4 千米/时。提示：设山路长 6 千米。2.128 厘米。提示：设有 2 个男生 3 个女生。3.15 块。提示：设有 30 块糖果。4.40 分。提示：设有 4 人参加考试。6.3

117、1。提示：设这个数减1 后是 15。153-155=2，实际的4 是 2 的 2 倍，所以这个数是152+1=31。7.360 块。解： 设这堆砖有 120 块。 由此推知每分钟甲搬 12040=3 （块） ， 乙搬 12060=2 （块） 。两人合搬需 120（3+2）=24（分），甲比乙多搬（3-2）24=24（块）。实际的 72 块是 24 块的 7224=3（倍），所以共有砖 1203=360（块）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2121 枚举法枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的

118、算式，似乎无从下手。但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来， 或能被分类列举出来， 那么问题就可以通过枚举法获得解决。所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。例例 1 1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为 7，则小明胜；若点数和为 8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。分析与解：分析与解：将两枚骰子的点数和分别为 7 与 8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。用 ab 表

119、示第一枚骰子的点数为 a，第二枚骰子的点数是 b 的情况。出现 7 的情况共有 6 种，它们是：16，25，34，43，52，61。出现 8 的情况共有 5 种，它们是：26，35，44，53，62。所以，小明获胜的可能性大。注意，本题中若认为出现 7 的情况有 16，25，34 三种，出现 8 的情况有 26，35，44 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。例例 2 2 数一数，右图中有多少个三角形。分析与解：分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角

120、形分成单个的、由两部分组成的、由 3 部分组成的再一类一类地列举出来。单个的三角形有 6 个：1 ，2，3，5，6，8。由两部分组成的三角形有 4 个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分组成的三角形有 1 个：（5，7，8）。由四部分组成的三角形有 2 个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分组成的三角形有 1 个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。总共有 64121=14（个）。对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。例例 3 3 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？分析与解：分析与解：上珠一个表示 5，下珠一个表示 1。分三类枚举：（1

121、）两颗珠都是上珠时，可表示 5005，5050，5500 三个数；（2）两颗珠都是下珠时，可表示 1001，1010，1100，2000 四个数；（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。一共可以表示 347=14（个）四位数。由例 13 看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。例例 4 4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共

122、有多少种不同的展开图？分析与解：分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：最长一行有 4 个正方形的有 2 种，见图（1）（2）；最长一行有 3 个正方形的有 5 种，见图（3）（7）；最长一行有 2 个正方形的有 1 种，见图（8）。不同的展开图共有 2518（种）。例例 5 5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？分析与解：分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差异即为不同的安排）。这类问题简单一

123、些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由于限定条件较多，很难列出算式计算。但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。由上图可知，共有 6 种不同的安排。例例 6 6 一次数学课堂练习有 3 道题，老师先写出一个，然后每隔 5 分钟又写出一个。规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解完各题的不同顺序共有多少种可能？分析与解：分析与解：与例 5 类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可

124、以通过画枚举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。由上图可知，共有 5 种不同的顺序。说明：说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，表示在第一个5分钟内做完了第 1 题，在第二个5 分钟内没做完第 2 题，这时老师写出第3 题，只好转做第3题，做完后再转做第 2 题。例例 7 7 是否存在自然数 n，使得 n2n2 能被 3 整除？分析与解：分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数， 自然数有无限多个， 那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以 3 的余数分类， 有整除、余 1 和余 2 三类，这样只要按类一一枚举就可以了。当 n 能

125、被 3 整除时，因为 n2，n 都能被 3 整除，所以（n2n2）3 余 2；当 n 除以 3 余 1 时，因为 n2，n 除以 3 都余 1，所以（n2n2）3 余 1；当 n 除以 3 余 2 时，因为 n23 余 1，n3 余 2，所以（n2n2）3 余 2。因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数 n，（n2n2）都不能被3 整除。练习练习 21211.10 种。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9 种。解：一天吃完有 1 种：（10）；两天吃完有 5 种：（3，7），（4，6），

126、（5，5），（6，4）， （7，3）；三天吃完有3 种：（3，3，4）， （3，4，3）， （4，3，3）。共1+5+3=9（种）。3.8 种。解：如下图所示，只有1 个小矩形竖放的有 3 种，有3 个小矩形竖放的有 4 种，5 个小矩形都竖放的有 1 种。共 341=8（种）。4.6 个。解：15 个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面 6 种：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有 6 个球。5.10 个。提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1

127、个，共有 432110（个）。6.6 种。提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：7.14 种。提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如下：练习练习 21211.将 6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？2.小明有 10 块糖，如果每天至少吃 3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？3.用五个 12 的小矩形纸片覆盖右图的 25 的大矩形，共有多少种不同盖法？4.15 个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？5.数数右图中共有多少个三角形？6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。已知甲胜了第一盘，并最终获胜。问：各盘的胜负情况有多少种可能？7.经理有 4 封信先后

128、交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第 3封信时第 4 封信还未到，此时如果第 2 封信还未打完，那么就应先打第 2 封信而不能打第 1封信。打字员打完这 4 封信的先后顺序有多少种可能？答案与提示练习练习 21211.10 种。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9 种。解：一天吃完有 1 种：（10）；两天吃完有 5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4）， （7，3）；三天吃完有3 种：（3，3，4）， （3，4，3）， （4，3，3）。共1+5+3=9（种）。3.8

129、 种。解：如下图所示，只有1 个小矩形竖放的有 3 种，有3 个小矩形竖放的有 4 种，5 个小矩形都竖放的有 1 种。共 341=8（种）。4.6 个。解：15 个球分成数量不同的四堆的所有分法有下面 6 种：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3，5，6），（2，3，4，6）。可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有 6 个球。5.10 个。提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有4，3，2，1 个，共有 432110（个）。6.6 种。提示：将各盘获胜者写出来，可画出枚举树如下：7.14 种。提示：按四封信的完成顺序可画出枚举树如

130、下：小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2222 列表法列表法在四年级讲还原问题（逆推法）和逻辑问题时，我们使用的就是列表法。对于一些计算比较简单，而且多次重复计算的问题，使用列表法，表达简洁，不易出错，如例1；有些问题，条件不断变化，不便统一列式计算，也应采用列表法，如例 2、例 3；还有些问题，无法列式计算，只能采用列表推演，如例 4、例 5。总之，使用列表法可以解决许多复杂而有趣的问题。例例 1 1 一个运动队进行翻山训练， 往返于一座山两侧山脚下的 A， B 两地。 从 A 地出发，上山路长 3000 米，每分钟行 75 米；下山每分钟行 100 米，用 42 分钟到达 B 地。如果上

131、、下山的速度不变，那么从 A 地到 B 地，再从 B 地返回 A 地，共需多长时间？分析与解：分析与解：这是一道很简单的题目，只需利用时间、路程、速度的关系，就可以得到结果。因为从A 地到 B 地，要先上山再下山，从B 地返回 A 地，又要先上山再下山，中间经过四次变化。为了减少计算错误，可以利用列表法。先将已知的数据填入下表：再根据时间、路程、速度的关系，从上到下，由已知的两个求出另一个，边计算边填表，得到下表：由上表得到往返所需时间为40425630168（分）=2 时 48 分。例例 2 2 有 100 个人，第一位带了 3 元 9 角钱，以后每位都比前一位多带 1 角钱。每人把自己的钱

132、全部用来买练习本。练习本有每本 8 角与每本 5 角的两种。如果每人尽可能买 5角一本的，那么这 100 人共买了多少本每本 8 角的练习本？分析与解：分析与解：因为每人带的钱数不同，所以不可能统一列式计算。可以采用列表法，然后从表中发现规律。填表计算时注意，一要尽量多买 5 角一本的，二要把钱用完。由于 44 角比 39 角多 5 角，所以可多买 1 本 5 角的，而 8 角 1 本的买的数量相同。类似地，45 角比 40 角多 5 角等等。由此看出，所买8 角一本的本数随钱数增加呈周期规律，一个周期内有五个数：3，0，2，4，1（本）。所以 100 个人共买 8 角一本的（30241）（1

133、005）=200（本）。例例 3 3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲的速度是 6.6 米/秒，乙的速度是 2.9米/秒。以后每分钟内的速度，甲总是前一分钟的 2 倍，乙总是前一分钟的 3 倍。问：出发后多长时间乙追上甲？分析与解：分析与解：因为两人的速度都在变化，不好统一列式计算，我们可以列一个表观察一下。由上表看出，乙在出发后 3 分多钟追上甲。从 3 分钟后开始计算，乙追上甲还需（2772-2262）（2.933-6.623）51025.5=20（秒）。所以，出发后 3 分 20 秒乙追上甲。例例 4 4 一只大桶装了 10 升水，另外有恰好能装 3 升和 7 升水的桶各一只。怎样才

134、能只利用这三只桶把这 10 升水平均分为两份？分析与解：分析与解：这道“桶分液体”的古题根本无法列式计算，就是找到了正确方法，叙述整个倒水过程也很繁杂不便。 我们列表来表示具体倒法， 其中箭头表示从箭头尾部的桶中将水倒入箭头指向的桶中。列表使倒水的过程一目了然，既有利于对问题的思考，又简化了文字叙述。在例 4 中，始终按从大桶向 7 升桶倒水，从 7 升桶向 3 升桶倒水，从 3 升桶向大桶倒水的方向操作。如果在倒水的过程中，出现从这桶倒向那桶，又从那桶倒回这桶（这两步不一定挨着），那么这个操作毫无意义，肯定可以简化掉。例例 5 5 甲、乙、丙三只盘子里分别盛着 6 个苹果。小明按下面的方法搬

135、动 5 次：第 1 次，把 1 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 2 次，把 2 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 3 次，甲盘不动，把 3 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 4 次，乙盘不动，把 4 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第 5 次，丙盘不动，把 5 个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。最后发现，甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4，6，8 个苹果。你知道小明是怎样搬动的吗？分析与解：分析与解：关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬动，每次可以有 6 种不同选择；后三次搬动，因为固定了一只盘子，所以每次只有 2 种不同选择。显然， 从后

136、向前逆推比较容易。 逆推过程见下页表， 其中圈起来的数字是题目条件规定不动的，箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘子里。因为第五次丙盘不动，由搬动后甲盘中只有 4 个苹果，它不可能是接受 5 个苹果的，所以第五次是从甲盘中搬走 5 个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后的情况。第四次乙盘不动， 或者从甲盘搬到丙盘， 或者从丙盘搬到甲盘。 若是从甲盘搬到丙盘，因为搬完后甲盘有 9 个苹果，搬前应有 94=13（个）苹果，可是甲盘初始时有6 个苹果，就是前三次搬动的苹果都给甲盘，也只有 6+1+23=12（个）苹果，与 13 个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬 4 个苹果到甲盘。于是得到下表中“第三次后

137、”的情况。类似地可以得到“第二次后”的情况。最后，为满足“初始状态”各盘都是 6 个苹果，可得到第一次、第二次搬动的情况。练习练习 22221.小明骑自行车从 A 地到 B 地去送信，先走了一段上坡路，用了 14 分钟，又走了一段 3000 米长的平路，最后下坡用了 11 分 40 秒。已知小明骑车上坡、走平路、下坡时的速度分别为 2.5 米/秒、4 米/秒、6 米/秒，求小明从 A 地到 B 地，再返回 A 地所用的时间。2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛，即每个队都与其他各队赛一场。请将下面的比赛日程表补全：3.下图是一个跑道的示意图，沿 ACBEA 走一圈是

138、400 米，沿 ACBDA 走一圈是 275 米，其中 A 到 B 的直线距离是 75 米。甲、乙二人同时从 A 点出发练长跑，甲沿 ACBDA 的小圈跑，每 100 米用 24 秒，乙沿 ACBEA 的大圈跑，每 100 米用 21 秒。问：.（1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？（2）出发后多长时间甲、乙再次在 A 点相遇？4.有一堵墙厚 3.1 米，大、小两鼠从墙的两边对着挖，大鼠第一天挖了 7.5 厘米，小鼠第一天挖了 40 厘米，从第二天起，大鼠后一天挖的是前一天的 2 倍，小鼠后一天挖的是前一天的一半。问：两鼠几天能把洞挖通？挖通时各挖了多少厘米？5.一只大桶装了 12 千克水，另外有

139、两个恰好能装 5 千克和 7 千克的桶各一只。利用这三只桶，最少倒几次，就可以把水分成两个 6 千克？6.有一路公共汽车，包括起点和终点共有 12 个车站。如果一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客到这一站以后的每一站下车。问：公共汽车内最多时有多少位乘客？答案与提示练习练习 22221.84.5 分。解：共用（8407507001680750350）60=84.5（分）。2.提示：第一、三天山东分别对上海、广东，所以第二天山东只能对北京，另一场是上海对广东；同理，第三天天津只能对北京，另一场是上海对江苏；第一天天津只能对广东，另一场是北京对江苏；第四、五天类似可填出。3.（1）

140、第 5 圈；（2）15 分 24 秒。提示：（1）从 A 到 B 长 200 米，乙比甲快 6 秒，所以如果乙在甲经过 A 点 6 秒以内到达 A 点，乙在此圈就可以追上甲。甲经过 A 点的时间依次为（单位：秒）66，132，198，264，330，396，乙经过 A 点的时间依次为（单位：秒）84，168，252，336，420，由 336-330=6 知，乙在第 5 圈的 B 点追上甲。（2）66，84=924（秒）=15 分 24 秒。4.5 天挖通；大鼠挖 232.5 厘米，小鼠挖 77.5 厘米。提示：大、小鼠每天挖的速度在变化，可以列表帮助分析：5.11 次。解：6.36 位。提示

141、：第 n 站有（12-n）人上车，（n-1）人下车，车上人数见下表：小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2323 图解法图解法有许多应用题， 其中的数量关系比较复杂， 而通过画图可以把数量之间的关系变得直观明了，从而达到解题目的。这种通过画图帮助解题的方法就是图解法。我们通过下面几道例题来讲解在各种类型的应用题中如何使用图解法解题。例例 1 1 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁赛了 1 盘。问：小强已经赛了几盘？分别与谁赛过？分析与解：分析与解：这道题按照常规思路似乎不太好解决，我们画个图试试。用五

142、个点分别表示参加比赛的五个人，如果某两人已经赛过，就用线段把代表这两个人的点连结起来。因为甲已经赛了 4 盘， 除了甲以外还有 4 个点， 所以甲与其他 4 个点都有线段相连 （见左下图）。因为丁只赛了 1 盘，所以丁只与甲有线段相连。因为乙赛了 3 盘，除了丁以外，乙与其他三个点都有线段相连（见右上图）。因为丙赛了 2 盘，右上图中丙已有两条线段相连，所以丙只与甲、乙赛过。由上页右图清楚地看出，小强赛过 2 盘，分别与甲、乙比赛。例例 2 2 一群人在两片草地上割草，大的一片草地比小的正好大 1 倍。他们先全体在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上继续干，收工时正好把草割完；另一半

143、人到小草地上干，收工时还余下一块，这块再用 1 人经 1 天也可割完。问：这群干活的人共有多少位？分析与解：分析与解：本题有多种解法，其中利用图解法十分简洁。设一半人干半天的工作量为 1 份。 因为在大草地上全体人干了半天， 下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是 3 份。由题意，小草地因为下午有一半人在小草地上干了半天，即干了 1 份，所以小草地没干完的是例例 3 3 A，B 两地间有条公路，甲从A 地出发步行到 B 地，乙骑摩托车从B 地同时出发，不停顿地往返于 A，B 两地之间。80 分钟后他们第一次相遇，又过了20 分钟乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。分析与解：分析与解

144、：在行程问题中，通常先画出运行图，这样直观清晰，可以帮助我们分析各个量之间的关系。依照题意画运行图如下：第一次相遇时甲、乙各行了 80 分钟，到第一次超越时，甲共行 100 分钟，而乙在第一次相遇到第一次超越的这 20 分钟内行的路程，相当于甲行 80100=180（分）的路。所以甲、乙的速度之比为2018019。例例 4 4 两名运动员在长为 50 米的游泳池里来回游泳。甲运动员的速度是 1 米/秒，乙运动员的速度是 0.5 米/秒，他们同时分别在游泳池的两端出发，来回共游了 5 分钟，如果不计转向时间，那么在这段时间里共相遇了几次？分析与解：分析与解： 甲游完一个全程要 501=50 （秒

145、） ， 乙游完一个全程要 500.5=100 （秒） ，画出这两人的运行图。图中实线段和虚线段的每个交点表示两运动员相遇了一次，从图上可以看出，甲、乙两运动员在 5 分钟内共相遇了 5 次，其中，有 2 次在游泳池的两端相遇。例例 4 4 中，如果按照相遇、追及的过程分别计算，是十分麻烦的。通过画出运行图，结果一目了然。例例 5 5 容器中有某种酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为 25；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为 40。那么原来容器中酒精溶液的酒精含量是多少？分析与解：分析与解：把加完水和酒精后的酒精溶液分成 5 份，因为酒精含量是 40，所以其中有 2 份纯酒精，3 份水（见左

146、下图，表示纯酒精，表示水）。加入纯酒精前酒精含量为25，即纯酒精与水之比是 13，因此应该是 1 个和 3 个（见下中图），推知加入的一杯纯酒精相当于 1 个，则一杯水是1 个，原来容器中有1 个和 2 个（见右下图），酒精含量为 33.3。例例 6 6 有三堆围棋子，每堆棋子数相等。第一堆中的黑子与第二堆中的白子部棋子的几分之几？分析与解：分析与解：因为三堆围棋子数量相同，我们可以用三条长度相等的线段分别表示三堆棋子，每条线段又分成两段分别表示黑子和白子（见下页图）。从图中看出，黑 1 与黑 2 正好等于一条线段的长，即等于全练习练习 23231.A，B 两地相距 1000 米，甲、乙二人分

147、别从A，B 两地同时出发，在 A，B 两地间往返散步。如果两人第一次相遇时距 A，B 两地的中点 100 米，那么，两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多远？2.小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了 10 分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的 4 倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？3.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机： “后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10 分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10 分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的 3 倍，那么，汽车速度是人

148、步行速度的多少倍？4.公共汽车从甲站开往乙站，每 5 分钟发车一趟，全程要 15 分钟。有一人从乙站骑自行车去甲站， 出发时恰有一辆车到达乙站， 在路上他又遇到 10 辆迎面开来的汽车才到甲站，到站时恰有一辆汽车从甲站开出。问：他从乙站到甲站共用了多少分钟？5.甲、 乙两地相距 15 千米， 每天 8 点开始从乙地每隔 15 分钟开出一辆公共汽车到甲地去，车速是 30 千米/时。某人 8 点 20 分骑车从甲地到乙地去，速度是 15 千米/时。他在路上可以看到几辆从乙地开出的公共汽车？6.某区举行小学数学竞赛， 结果不低于 80 分的人数比 80 分以下的人数的 4 倍还多 2人；及格的人数比

149、不低于 80 分的人数多 22 人，恰是不及格人数的 6 倍。求参赛的总人数。7.1，2，3，4，5，6 号六名运动员进行乒乓球单打循环赛。到现在为止，1，2，3，4，5 号运动员已参加比赛的场数正好等于他们的编号数。问：6 号运动员已经赛了几场？答案与提示练习练习 23231.400 米。解： 由下图看出， 第一次相遇时两人共走一个单程， 第二次相遇时两人共走三个单程。由第一次相遇时两人走的路程相差 200 米， 推知第二次相遇时相差 600 米， 所以两次相遇地点相距（200600）2=400（米）。2.50 分。解：由下图看出，爸爸把书包交给小马虎后，小马虎到学校用 10 分，爸爸返回家

150、用10 分，这段路小马虎走了 40 分。所以小马虎从家到学校共用 1040=50（分）。3.7 倍。解：由下图看出，汽车追上骑车人后 10 分遇到步行人，此时骑车人到达 B 地；又过10 分，步行人与骑车人在 B 点相遇。所以，汽车 10 分的路等于步行 10 分加骑车 20 分的路，也等于步行 1020370（分）的路。所以汽车速度是步行速度的 7010=7（倍）。4.40 分。解：根据出发时恰有一辆车到达乙站和到达甲站时恰好遇到第 11 辆车出发，画出汽车和骑车人的运行图。从图中可以看出骑车人从第 15 分出发，第55 分到达，中间经过了55-15=40（分）。5.6 辆。提示：6.392

151、 人。解：由“不低于80 分的比 80 分以下的 4 倍还多 2 人”可画出左下图，由“及格的比不低于 80 分的多 22 人”可画出右下图。因为及格人数是不及格人数的 6 倍，由右上图知，222242=112（人）是不及格人数的 2 倍，所以参赛总人数为（1122）（16）392（人）。7.3 场。提示：与例 1 类似（见右图）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2424 时钟问题时钟问题“时间就是生命”。自从人类发明了计时工具钟表，人们的生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学全都依靠钟表，如果没有钟表，生活就乱套了。时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题。大家都知

152、道，钟面的一周分为 60格，分针每走 60 格，时针正好走 5 格，所以时针的速度是分针速度垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。例例 1 1 现在是 2 点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：分析：如右图所示，2 点分针指向 12，时针指向 2，分针在时针后面例例 2 2 在 7 点与 8 点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分析与解：分析与解：7 点时分针指向 12，时针指向 7（见右图），分针在时针后 面 5735（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差 15 格，在 7 点与 8 点之间，有

153、下图所示的两种情况：（1） 顺时针方向看， 分针在时针后面 15 格。 从 7 点开始， 分针要比时针多走 35-15=20（格），需（2）顺时针方向看，分针在时针前面 15 格。从 7 点开始，分针要比时针多走 351550（格），需例例 3 3 在 3 点与 4 点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？分析与解：分析与解：3 点时分针指向 12，时针指向 3（见右图），分针在时针后 面 5315（格）。时针与分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针与分针成180角两种情况（见下图）：（1）时针与分针重合。从 3 点开始，分针要比时针多走 15 格，需 15（2）时针与分针成 180

154、角。从 3 点开始，分针要比时针多走 1530例例 4 4 晚上 7 点到 8 点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好成一条直线，结束时两针正好重合。这部动画片播出了多长时间？分析与解：分析与解：这道题可以利用例 3 的方法，先求出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时间。但在这里，我们可以简化一下。因为开始时两针成180，结束时两针重合，分针比时针多转半圈，即多走 30 格，所以播出时间为例 1例 4 都是利用追及问题的解法，先找出时针与分针所行的路程差是多少格，再除以它们的速度差求出准确时间。但是，有些时钟问题不太容易求出路程差，因此不能用追及问题的方法求解。如果将追及问题变为相遇

155、问题，那么有时反而更容易。例例 5 5 3 点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？分析与解：分析与解：假设 3 点以后，时针以相反的方向行走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。这就变成了相遇问题，两针所行距离和是 15 个格。例例 6 6 小明做作业的时间不足 1 时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。小明做作业用了多少时间？分析与解：分析与解：从左上图我们可以看出，时针从 A 走到 B，分针从 B 走到 A，两针一共走了一圈。换一个角度，问题可以化为：时针、分针同时从 B 出发，反向而行，它们在 A 点相遇。两针所行的时

156、间是：练习练习 24241.时针与分针在 9 点多少分时第一次重合？2.王师傅 2 点多钟开始工作时，时针与分针正好重合在一起。5 点多钟完工时，时针与分针正好又重合在一起。王师傅工作了多长时间？3.8 点 50 分以后，经过多长时间，时针与分针第一次在一条直线上？4.小红 8 点钟开始画一幅画，正好在时针与分针第三次垂直时完成，此时是几点几分？5.3 点 36 分时，时针与分针形成的夹角是多少度？6.3 点过多少分时，时针和分针离“2”的距离相等，并且在“2”的两边？7.早晨小亮从镜子中看到表的指针指在 6 点 20 分，他赶快起床出去跑步，可跑步回来妈妈告诉他刚到 6 点 20 分。问：小

157、亮跑步用了多长时间？答案与提示练习练习 2424解：分针比时针多转 5-2=3（圈），所以王师傅工作了解：从 9 点开始，分针还要比时针多走 15 格，所求时间为解：8 点分针在时针后面 40 格，第一次垂直分针要比时针多走 40-15=25（格），第三次垂直要多走 25302=85（格），5.108。解：分针走 36 格，时针走 3612=3（格）。3 点 36 分时，分针在时针前面 36-（533）=18（格），它们形成的夹角是360（1860）108。解：与例 5 类似，假设2 点以后，时针以相反的方向走，时针与分针第 2 次相遇的时刻就是所求的时刻。第一次相遇，两针共走 5210（格）

158、，第二次相遇，两针还要共走一圈，即 60 格。所以需要7.40 分。提示：镜子中的影像左右位置互换了，所以镜子中看到的 6 点 20 分（左下图），实际上是 5 点 40 分（右下图）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2525 时间问题时间问题同学们都知道， 任何一块手表或快或慢都会有些误差， 所以手表指示的时刻并不一定是准确时刻。这一讲的内容是与不准确时钟有关的时间问题。这类题目的变化很多，无论怎样变，关键是抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含多少个单位时间，就可求出这一时间段内的误差。例例 1 1 肖健家有一个闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上 8 点整时，肖健对准了闹

159、钟，他想第二天早晨 5 点 55 分起床，于是他就将闹钟的铃定在了 5 点 55 分。这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？分析与解：分析与解：因为这个闹钟走得慢，所以响铃时间肯定在 5 点 55 分后面。，闹钟走 595 分相当于标准时间的响铃时是标准时间的 6 点整。例例 2 2 爷爷的老式时钟的时针与分针每隔 66 分重合一次。如果早晨 8 点将钟对准，到第二天早晨时针再次指示 8 点时，实际上是几点几分？分析与解：分析与解：由上一讲知道，时针与分针两次重合的时间间隔为所以老式时钟每重合一次就比标准时间慢时钟 24 时重合多少次呢？我们观察从 12 点开始的 24 时。分针转 24 圈，时

160、针转 2圈，分针比时针多转 22 圈，即 22 次追上时针，也就是说 24 时正好例例 3 3 小明家有两个旧挂钟，一个每天快 20 分，一个每天慢 30 分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？分析与解：分析与解：由时钟的特点知道，每隔 12 时，时针与分针的位置重复出现。所以快钟和慢钟分别快或慢 12 时的整数倍时，将重新显示标准时间。快钟快 12 时，需经过（6012）2036（天），即快钟每经过 36 天显示一次标准时间。慢钟慢 12 时需要（6012）3024（天），即慢钟每经过 24 天显示一次标准时间。因为36，24=72，所以两个钟

161、同时再次显示标准时间，至少要经过 72 天。例例 4 4 一个快钟每时比标准时间快 1 分，一个慢钟每时比标准时间慢 2 分。若将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 时内，快钟显示 9 点整时，慢钟恰好显示 8 点整。此时的标准时间是多少？何时将两个钟同时调准的？分析与解：分析与解：因为两个钟是同时调准的，所以当两个钟相差 60 分时，快钟 20120（时），所以是 20 时前（12 点 40 分）将两个钟同时调准的。当然，本题也可以由慢钟求出结果。同学们不妨试试。例例 5 5 某科学家设计了一只怪钟， 这只怪钟每昼夜 10 时，每小时 100 分钟（见右图）。当这只钟显示 5 点整时，实际

162、上是中午 12 点整。当这只钟显示 3 点 75 分时，实际上是什么时间？实际时间下午 5 点 24 分时，这只钟显示什么时间？分析与解：分析与解：怪钟每天 100101000（分），而实际即正常的钟是每天 60241440（分），所以怪钟的 1 分等于实际的144010001.44（分），实际的 1 分等于怪钟的怪钟的 10 点整相当于正常钟的 12 点整。 怪钟从 10 点到 3 点 75 分经过了 375 分， 等于实际的1.44375540（分）9（时）。所以怪钟的 3 点 75 分就是实际的上午 9 点整。从 0 点（即半夜 12 点）到下午 5 点 24 分，正常钟走了60（125

163、）241044（分），等于怪钟的所以实际时间下午 5 点 24 分时，怪钟显示 7 点 25 分。例例 6 6 李叔叔下午要到工厂上 3 点的班，他估计快到上班的时间了，就到屋里去看钟，可是钟停在了 12 点 10 分。他赶快给钟上足发条，匆忙中忘了对表就上班去了，到工厂一看离上班时间还有 10 分钟。夜里11 点下班，李叔叔回到家一看，钟才9 点钟。如果李叔叔上、下班路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？分析与解：分析与解：这道题看起来很“乱”，但我们透过钟面显示的时刻，计算出实际经过的时间，问题就清楚了。钟从 12 点 10 分到 9 点共经过 8 时 50 分，这期间李叔叔上了 8

164、 时的班，再减去早到的 10 分钟，李叔叔上、下班路上共用8 时 50 分8 时10 分40（分）。 李叔叔到工厂时是 2 点 50 分，上班路上用了 20分钟，所以出发时间是 2 点 30 分。因为出发时钟停在 12 点 10 分，所以钟停了 2 时 20 分。练习练习 25251.钟敏家有一个闹钟，每小时比标准时间快 2 分钟。星期天早晨 7 点整时，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11 点 30 分闹铃，提醒她帮助妈妈做饭。钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？2.小明晚上 8 点将手表对准， 到第二天下午 4 点发现手表慢了 3 分钟。 小明的手表一天慢几分几秒？3.有一个钟每小时快

165、 15 秒， 它在 7 月 1 日中午 12 点时准确， 下一次准确的时间是什么时候？4.一辆汽车的速度是 72 千米/时，现有一块每小时慢 20 秒的表，用这块表计时，测得这辆汽车的速度是多少？（保留一位小数）5.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正挂钟最早在什么时间恰好快 3 分？6.某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每小时慢 30 秒，而闹钟比标准时间每小时快 30 秒。问：这块手表一昼夜比标准时间差多少秒？7.小明上午 8 点要到学校上课，可是家里的闹钟早晨 5 点 50 分就停了，他上足发条但忘了对表就急急忙忙上学去了，到学校一看还提前了 20 分钟。中午

166、 12 点放学，小明回到家一看钟才 11 点整。假定小明上学、下学在路上用的时间相同，那么，他家的闹钟停了多少分钟？答案与提示练习练习 25251.11 点 39 分。提示：每小时快 2 分，4.5 时快 9 分。2.3 分 36 秒。解：32024=3.6（分）=3 分 36 秒。3.10 月 29 日中午 12 点。解：每天快 1524=360（秒）=6（分），快 12 时需60126=120（天），7，8，9 月共 313130=92（天），120-92=28（天），所以下次准确的时间是 10 月 29 日中午 12 点。4.72.4 千米/时。解：这块表的 3580 秒等于实际的 36

167、00 秒，所以这块表的 1 时等于实际的5.10 月 16 日傍晚。6.慢 6 秒。7.1 时 25 分。解：小明早晨离家到中午回到家共经过 5 时 10 分，减去在学校的 4 时和提前到校的20 分，路上共用 50 分，上、下学各 25 分。8 点减去提前到校的 20 分，再减去上学路上用的25 分，小明离家时是 7 点 15 分，所以闹钟停了 1 时 25 分。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2727 运筹学初步一运筹学初步一小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2828 运筹学初步二运筹学初步二本讲主要研究分配工作问题。实际工作中经常会碰到分配工作的问题。 由于工作任务的性质不同， 每

168、个人的工作能力不同，因而完成这些任务所需的时间和花费的代价也不同。我们希望通过合理分配工作，使所用时间最少或花费代价最小。例例 1 1 甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用 16 天生产上衣，14 天做裤子，共生产 448 套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12 天生产上衣，18 天生产裤子，共生产 720 套衣服。两厂合并后，每月（按 30 天计算）最多能生产多少套衣服？分析与解：分析与解：应让善于生产上衣或裤子的厂充分发挥特长。甲厂生产上衣和裤子的时间比为 87，乙厂为 23，可见甲厂善于生产裤子，乙厂善于生产上衣。因为甲厂 30 天可生产裤子 4481430960（条）

169、，乙厂 30 天可生产上衣 7201230=1800（件），9601800，所以甲厂应专门生产裤子，剩下的衣裤由乙厂生产。设乙厂用 x 天生产裤子，用（30-x）天生产上衣。由甲、乙两厂生产的上衣与裤子一样多，可得方程96072018x=72012（30-x），96040x1800-60x，100x840，x=8.4（天）。两厂合并后每月最多可生产衣服960408.41296（套）。例例 2 2 某县农机厂金工车间共有 77 个工人。已知每天每个工人平均可加工甲种部件 5个，或乙种部件4 个，或丙种部件3 个。每3 个甲种部件、1 个乙种部件和 9 个丙种部件恰好配成一套。问：分别安排多少人加

170、工甲、乙、丙三种部件时，才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套？分析与解：分析与解：如果采用直接假设，那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数，这已经超出了我们的知识范围。由题目条件看出，每套成品中，甲、乙、丙三种部件的件数之比是 319，因为是配套生产，所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是 319。设每天加工乙种部件 x 个，则加工甲种部件 3x 个，丙种部件 9x 个。从而加工甲、乙、丙三种部件应分别安排 12 人、5 人和 60 人。例例 3 3 有 4 辆汽车要派往五个地点运送货物，右图中的数字分别表示五个地点完成任务需要的装卸工人数，五个地点共需装卸工

171、20 人。如果有些装卸工可以跟车走，那么应如何安排跟车人数及各点的装卸工人数，使完成任务所用的装卸工总人数最少？分析与解：分析与解：可用试探法。因为五个地点中需装卸工最多的是 5 个人，所以如果每辆车跟 5 个工人，那么每辆车到达任何一个地点，都能正常进行装卸。由此得到，跟车人数的试探范围是 15 个人。若每车跟车 5 人，则各点不用安排人，共需 20 人；若每车跟车 4 人，则原来需 5 人的点还需各安排 1 人，共需 18 人；若每车跟车 3 人，则原来需 5 人的点还需各安排 2 人，原来需 4 人的点还需各安排 1人，共需 17 人；同理可求出，每车跟车 2 人，共需 18 人；每车跟

172、车 1 人，共需 19 人。可见，安排每车跟车3 人，原来需5 人的两个点各安排 2 人，原来需4 人的点安排 1人，这时所用的装卸工总人数最少，需 17 人。在例 3 中，我们采用试探法，逐一试算，比较选优。事实上，此类题目有更简捷的解法。假设有 m 个地点 n 辆车（nm），m 个地点需要的人数按从多到少排列为A1A2A3Am，则需要的最少总人数就是前 n 个数之和，即A1A2An。这时每车的跟车人数可以是 An1至 An之间的任一数。具体到例 3，5 个点 4 辆车，5 个点中需要人数最多的 4 个数之和，即 5543=17（人）就是需要的最少总人数，因为A4=A5=3，所以每车跟车 3

173、 人。若在例 3 中只有 2 辆车，其它条件不变，则最少需要 55=10（人），因为 A2=5，A3=4，所以每车跟车 5 人或 4 人。当每车跟车 5 人时，所有点不再安排人；当每车跟车 4 人时，需要 5 人的两个点各安排 1 人，其余点不安排人。注：注：如果车辆数大于地点数，即 nm，则跟车人数是 0，各点需要人数之和就是总共需要的最少人数。例例 4 4 有 17 根 11.1 米长的钢管，要截成 1.0 米和 0.7 米的甲、乙两种长度的管子，要求截成的甲、乙两种管子的数量一样多。问：最多能截出甲、乙两种管子各多少根？分析与解：分析与解：要想尽量多地截出甲、乙两种管子，残料应当尽量少。

174、一根钢管全部截成 1.0 米的，余下0.1 米，全部截成0.7 米的，余下0.6 米。如果这样截，再要求甲、乙管数量相等，那么残料较多。怎样才能减少残料， 甚至无残料呢？我们可以将 1.0 米的和 0.7 米的在一根钢管上搭配着截，所得残料长度（单位：米）见下表：由上表看出，方法 3 和方法 10 没有残料，如果能把这两种方法配合起来，使截出的甲、乙两种管子数量相等，那么就是残料最少的下料方案了。设按方法 3 截 x 根钢管，按方法 10 截 y 根钢管。这样共截得甲管（9x2y）根，乙管（3x13y）根。由甲、乙管数量相等，得到9x2y3x13y，9x-3x13y-2y，6x=11y。由此得

175、到 xy= 116。用方法 3 截 11 根钢管，用方法 10 截 6 根钢管是符合题意的截法，共可截得甲、乙管各91126=111（根），或 311136=111（根）。例例 5 5 给甲、乙二人分配 A，B 两项工作，他们完成这两项工作所需要的时间如下表：怎样分配工作才能使完成这两项工作所需的总时间最少？分析与解：分析与解：因为不同的人要做不同的工作，所以上表中不同行、不同列的两数之和对应一种方案，共两种：（1）甲做 A、乙做 B，需要 76=13（时）；（2）甲做 B、乙做 A，需要 48=12（时）。显然后一种方案优于前一种方案。为了能够处理更复杂的问题，我们将上例的数量关系尽量简化。

176、如果把表中第一行的两数都减去该行的最小数 7，变成 0 和 1，那么上面（1）（2）各式也各减少 7，不影响它们之间的大小关系，即不影响最优方案的确定。同理，第二行都减去该行的最小数 4，变成 0 和 2，也不影响最优方案的确定。经上述变换后，原表变成左下表：此时，再将第二列都减去该列的最小数 1，变成 0 和 1，同样不影响最优方案的确定，原表变为右上表。不同行、不同列的两个数之和代表一种方案，因为000+1，所以最优方案为乙做 A、甲做 B。上面的化简过程可表示为：总结上面的方法：对于 n 个人 n 项工作的合理分配问题：（1）先将各行都减去该行中最小的数；（2）再将各列都减去该列中最小的

177、数；（3）最后选择不在同一行，也不在同一列的 n 个 0 即可。在实施上述变换后，如果仍选不出 n 个不同行也不同列的 0，因为我们的目的是选取一组不同行、不同列的n 个数，使这n 个数之和尽量小，既然得不到n 个 0，可用表中最小的数代替 0（见例 6）。例例 6 6 给甲、乙、丙三人分配A，B，C 三项工作，他们完成这三项工作的时间如下表：完成这三项工作所需总时间最少是多少？分析与解：分析与解：因为没有三个不同行也不同列的 0，我们用右下角的 1 代替 0，此时，内的三个数就是我们要找的最佳方案，即甲做 B、乙做 A、丙做 C。所需总时间为979=25（时）。练习练习 28281.某种健身

178、球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产这种现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？2.某车间有铣床 5 台、车床 3 台、自动机床 1 台，生产一种由甲、乙两种零件各 1个组成的产品。每台铣床每天生产甲零件 10 个，或者生产乙零件 20 个；每台车床每天生产甲零件 20 个，或者生产乙零件30 个；每台自动机床每天生产甲零件30 个，或者生产乙零件80个。这些机器每天最多可生产多少套产品？3.车过河交渡费 3 元，马过河交渡费 2 元，人过河交渡费 1 元。某天过河的车、马数目的比为 29，马、人数目的比为 37，共收得渡费 945 元。问：这天渡河的车、马、人的数

179、目各多少？4.有 4 辆汽车要派往七个地点运送货物， 右图中的数字分别表示这七个地点完成任务需要的装卸工人数。如果装卸工可以跟车，那么最少要安排多少名装卸工才能完成任务？5.有一批长 4.3 米的条形钢材，要截成 0.7 米和 0.4 米的甲、乙两种毛坯，要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。如何下料才能使残料最少？6.用 10 米长的钢筋做原材料，截取 3 米和 4 米长的钢筋各 100 根，至少要用多少根原材料？7.给甲、乙、丙分配A，B，C 三项工作，他们完成这三项工作的时间如下表。怎样分配工作才能使完成这三项工作所需总时间最少？最少用多少时间？答案与提示练习练习 28281.600 套。因

180、为 450900，所以应安排甲车间专门生产黑球，剩下的由乙车间生产。乙车间生产 450 个白球后，剩下的时间还能生产白球900-450=450（个），因为乙车间生产1 个黑球与生产 2 个白球的时间相同，450（12）=150，所以这段时间还能生产黑、白球各 150 个。两车间联合生产每月最多生产（450150）=600（套）。2.100 套。甲零件。 安排自动车床专门生产乙零件， 车床专门生产甲零件， 铣床两种零件都生产，并使其配套。自动车床一天生产乙零件 80 个，车床一天生产甲零件203=60（个）。铣床一天可生产 105=50（个）甲零件，补上车床与自动车床的差后，还有生产 50-20

181、=30（个）甲零件的时间，这个时间可生产甲、乙零件各 20 个。所以，每天最多生产 8020=100（套）产品。3.42 辆车，189 匹马，441 个人。解：这天过河的车、马、人的数量之比是2921。以 2 车 9 马 21 人为一组，每组收渡费3229121=45（元）。这天共渡河 94545=21（组），由此得到，这天渡河的数量为车：221=42（辆）；马：921=189（匹）；人：2121=441（个）。4.26 人。提示：每车跟 5 人。5.解：每根钢材有下表所示的 7 种截法：无残料的有第 2 和第 6 两种方法。 用第 2 种方法的条形钢材数量与用第 6 种方法的条形钢材数量之比

182、是 83，就可使截出的甲、乙两种毛坯的数量相同，且无残料。6.75 根。解：有三种截法：（1）截成 3 米、3 米、4 米，无残料；（2）截成 3 米、3 米、3 米，残料 1 米；（3）截成 4 米、4 米，残料 2 米。尽量用方法（1）。50 根用方法（1），截出 3 米的 100 根，4 米的 50 根，还差 50根 4 米的。再用方法（2）截 25 根原材料，截出 50 根 4 米的。共用原材料 5025=75（根）。7.20 时。解：由此得到，丙做 A，甲做 B，乙做 C。所需时间为 668=20（时）。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案2929 运筹学初步三运筹学初步三本讲主要讲

183、统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。1.1.统筹安排问题统筹安排问题例例 1 1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要 20 分钟，收拾厨房要 15 分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10 分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要 40 分钟，晾衣服要 10 分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要 95 分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它

184、事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的 40 分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需 60 分钟（见下图）。例例 1 1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。2.2.排队问题排队问题例例 2 2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要 10，12，15，20 和 24 分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。甲先给需10

185、 分钟的人理发，然后15 分钟的，最后24 分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后 20 分钟的。甲给需 10 分钟的人理发时，有 2 人等待，占用三人的时间和为（103）分；然后，甲给需 15 分钟的人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为（152）分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待。甲理发的三个人，共用（10315224）分，乙理发的两个人，共用（12220）分。总的占用时间为（10315224）（12220）=128（分）。按照上面的安排， 从第一人开始理发到五个人全部理完， 用了 10152449 （分） 。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短， 那么

186、做个调整， 甲依次给需10，12，20 分钟的人理发，乙依次给需 15，24 分钟的人理发，总的占用时间仍是 128 分钟，而五人全部理完所用时间为10122042（分）。例例 3 3 车间里有五台车床同时出现故障， 已知第一台到第五台修复时间依次为 18， 30，17，25，20 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5 元。现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？分析与解：分析与解：因为（1830172520）2=55（分），经过组合，一人修需 18，17 和 20 分钟的三台，另一人修需 30 和 25 分钟的两台，修复时间最短，为 55 分钟。上面只考

187、虑修复时间， 没考虑经济损失， 要使经济损失少， 就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。第一人按需 17，18，20 分钟的顺序修理，第 2 人按需 25，30分钟的顺序修理，经济损失为5（17318220）（25230）=935（元）。3.3.最短路线问题最短路线问题例例 4 4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从 A 到 B 最快要几分钟？分析与解：分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。从 A 到 O 有两条路， ACO 用 6 分钟， AFO 用 7 分钟， 排除后者， 可将 FO 抹去，但 AF 不能抹去，因为从

188、A 到 B 还有其它路线经过 AF，简化为左下图。从 A 到 E 还剩两条路，ACGE 用 12 分钟，ACOE 用 10 分钟，排除前者，可将 CG，GE 抹去，简化为右上图。从 A 到 D 还剩两条路，ACOD 用 12 分钟，AHD 用 13 分钟，排除后者，可将AH，HD 抹去，简化为左下图。从 A 到 B 还剩两条路，ACOEB 用 17 分钟，ACODB 用 16 分钟，排除前者，可将 OE，EB 抹去，简化为右上图。小明按 ACODB 走最快，用 16 分钟。4.4.场地设置问题场地设置问题例例 5 5 下图是 A，B，C，D，E 五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生

189、人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。分析与解：分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A 和 C，若设在 A 村，则在 C 村一侧将集结 20203550=125（人），这些人都要走 AC 这段路；若设在 C 村，则只有 40 人走 AC 这段路。对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C 村比设在 A 村好。从上面比较 A 和 C 的过程可以看出， 场地设置问题不必考虑场地之间的距离， 只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。同理

190、，经比较得到C 比 B 好，D 比 E 好。最后比较C 和 D。若设在 C 村，则在 D 村一侧将集结 35 50= 85（人）；若设在 D 村，则在 C 村一侧将集结 402020=80（人）。因为在 D 村集结的人数比 C 村多，所以设在 D 村比 C 村好。经过上面的比较，最合理的方案是设在 D 村。不难发现，本题的解法与第 27 讲例 2 的解法十分类似。例例 6 6 某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的 AG 七个居民区， 每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有粗细两种规格，粗管可供所有 7 个居民区用气，每千米8000 元，细管只能供1 个居民区用气，每千

191、米3000 元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问：应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？分析与解：分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于 2 根细管的费用，小于 3 根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于 2 个，这一段就应选用粗管。从天然气站开始， 分成顺时针与逆时针两条线路安装， 因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有7 个居民区，所以至少有3 个居民区由粗管通达。因为长度相同时，2 根或1 根细管的费用都低于 1 根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳

192、方案：（1）天然气站经 G，F，E 到 D 安装粗管，D 到 C 安装 2 根细管，C 到 B 安装 1 根细管；（2）天然气站到 A 安装 1 根细管。此时总费用最少，为8000（3+12+8+6）+300025+3000（9+10）=319000（元）。练习练习 29291.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要 15 分钟，擦桌椅要 8 分钟，准备暖瓶要 1 分钟，灌开水要 2 分钟，买油条要 10 分钟，煮牛奶要 7 分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的 3 个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为 4，5，

193、6，6，8，9，9 分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需多长时间？3.车间里有 5 台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为 15，8，29，7，10 分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失 5 元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？4.下页左上图是一张道路图， 每条路上的数是小王走这段路所需的时间 （单位： 分） 。小王从 A 到 B，最快需要几分钟？5.东升乡有 8 个行政村。分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）。现在这个乡要建立有线广播网，沿

194、道路架设电线。问：电线至少要架多长？6.有七个村庄 A1，A2，A7 分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？7.有一个水塔要供应某条公路旁的 AF 六个居民点用水（见下图，单位：千米），要安装水管， 有粗细两种水管， 粗管足够供应 6 个居民点用水， 细管只能供应 1 个居民点用水，粗管每千米要 7000 元，细管每千米要 2000 元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？答案与提示练习练习 29291.22 分。提示：先烧开水后煮牛奶共需 22 分，其它事情可以在这个期间做，顺序是买油条，准备暖瓶

195、，擦桌椅（水开时暂停，煮上奶），灌开水，继续擦桌椅。2.17 分。3.（1）780 元；（2）36 分。提示：（1）按修复时间需 7，8，10，15，29 分的顺序修理；（2）一人修需 7 分和29 分的，另一人修需 8，10，15 分的。4.48 分。提示：AEOGB。5.50 千米。提示：架设的线路如下图。6.D。提示：本题可简化为“B，C，D，E，F 处分别站着 1，1，2，2，1 个人（见下页图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”。7.从水塔到 C 点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为 297000 元。提示：当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细

196、管。小学六年级奥数教案小学六年级奥数教案3030 趣题巧解趣题巧解生活中的许多事都蕴含着数学思想，我们先看一个猜数游戏。甲心中想一个 32 以内的数，乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”，那么乙最多5 次必可猜中。比如甲想的是 23，下面是 5 次提问与回答：（1）“比 16 大吗？”，“是”；（2）“比 24 大吗？”，“不”；（3）“比 20 大吗？”，“是”；（4）“比 22 大吗？”，“是”；（5）“比 23 大吗？”，“不”。于是乙猜中甲想的 23。这里乙用的是对分法。32 的一半是 16，第 1 次问话后，乙知道甲想的数在 1732之间； 1732 中间的数是 24，第二

197、次问话后，乙知道甲想的数在 1724 之间。依此类推，因为 32=25，经 5 次对分，必猜中。对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。例例 1 1 有 1000 箱外形完全相同的产品，其中 999 箱重量相同，有 1 箱次品重量较轻。现有一个称（一次可称量 500 箱），怎样才能尽快找出这箱次品？分析与解：分析与解：因为称量一次只有两种结果：等于规定重量或轻于规定重量，所以可用对分法。先取500 箱称，若等于规定重量，则次品在另500 箱中；若轻于规定重量，则次品在这 500 箱中。然后对有次品的 500 箱再对分，取其中的 250 箱称因为 10001024=210，所以经过 10 次

198、称必可查出次品。若一次试验可以有三种不同的结果，则可用三分法。例例 2 2 现有 80 粒重量、外形完全相同的珍珠和 1 粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？分析与解：分析与解：因为天平称重有三种结果；两边一样重，左边重，右边重，所以可以用三分法。先将 81 粒珍珠三等分，在天平两边各放 27 粒珍珠，天平下还有 27 粒。若两边一样重，则假珍珠在天平下的27 粒中；若左边重，则假珍珠在天平右边的27 粒中；若右边重，则假珍珠在天平左边的 27 粒中。然后再将有假珍珠的一堆三等份，继续上面的做法。因为 81=34，所以只需要称 4 次就可将假珍珠挑出来。

199、我们再看看“空瓶换酒问题”。例例 3 3 某商店出售啤酒， 规定每 5 个空啤酒瓶能换 1 瓶啤酒。 张叔叔家买了 80 瓶啤酒，喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒？分析与解：分析与解：我们按照实际换酒过程分析：喝掉 80 瓶啤酒，用 80 个空瓶换回 16 瓶啤酒；喝掉 16 瓶啤酒，用 16 个空瓶换回 3 瓶啤酒余 1 个空瓶；喝掉 3 瓶啤酒，连上次余下的 1 个空瓶还剩 4 个空瓶。此时，再借 1 个空瓶，与剩下的 4 个空瓶一起又可换回 1 瓶啤酒，喝完后将空瓶还了。所以，他们家前后共喝到啤酒 80+16+3+1=100（瓶）。解例 3 的关键是：正

200、确运用“5 个空瓶可换 1 瓶啤酒”这个条件，特别是最后一次换瓶的技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始酒的瓶数很多，那么这个换酒的过程就会很长。 有没有简便的算法呢？注意到 “每 5 个空瓶可换一瓶啤酒” （连酒带瓶）这个条件，可知每 4 个空瓶就能换到一瓶啤酒（不带瓶）， 那么喝剩的 80 个空瓶共能换到 20 瓶啤酒，所以张叔叔家前后共能喝到 80+20=100（瓶）啤酒。综合式是 80+80（5-1）=100（瓶）。有了上面的简捷思路，求解类似的问题就简单多了。例例 4 4 一块钢锭可以铸成 25 个机器零件的毛坯，每加工 5 个机器零件的毛坯所剩的脚料又可以铸成一个机器零件的

201、毛坯。现在有这种钢锭 10 块，最多可以加工多少个机器零件？分析与解：分析与解：这类“铸坯加工零件”问题显然也属于“空瓶换酒”问题。由“每加工5个机器零件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯” 可知， 实际每加工 5 个机器零件只需要 4 个机器零件的毛坯（没有脚料），即每（个）机器零件。注意，此处不能使用四舍五入，只能使用去尾法。综合式是也可以这样想：因为每加工 5 个机器零件只需要 4 个机器零件毛坯（没有10312（个）机器零件。综合式是例例 5 5 5 个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了 189 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶？分析与解：分析与解

202、：本题告诉了按空瓶换汽水的原则和共能喝到的汽水，反过来求原先至少要买的汽水瓶数。根据“5 个空瓶可以换 1 瓶汽水”（连汽水带瓶）能喝到 189 瓶汽水呢？显然至少应买汽水注意，此处不能使用四舍五入，只能使用收尾法。综合式是下面，我们讲讲如何利用对称的思想来分析解决问题。例例 6 6 甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？分析与解：分析与解：这道题初看太抽象，既不知道圆桌的大小，又不知道硬币的大小，谁知道该怎样放呀！我们用对称的思想来分析一下。圆是关于圆心对称的

203、图形，若 A 是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点 B 与 A 关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）。所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点。由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币。也就是说，只要乙能放，甲就一定能放。最后无处可放硬币的必是乙。甲的获胜策略是： 把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处， 以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智， 而这种机智来源于数学思想。 同学们经常进行这种锻炼，就会变得越来越聪明。比如，有两堆火柴，第一堆 20 根，第二堆 25

204、根，甲、乙二人轮流从中取火柴，每次可以从任一堆中取走任意数量的火柴，取走最后一根火柴者胜。甲先取，怎样才能保证获胜？利用对称的思想分析，只要甲先从第二堆中取走 5 根，此时两堆火柴的数量相等（也是一种对称），以后无论乙从哪一堆取多少根火柴， 甲都对称地从另一堆取相同数量的火柴，只要乙能取，甲就能取，所以最后一根必被甲取走，甲胜。例例 7 7 十个相同的圆摆成左下图所示的形状，过其中两个圆的圆心 A 和 B 作直线，求直线右上方圆内总面积与直线左下方圆内总面积的比。分析与解：分析与解：我们把直线 AB 以及 AB 经过的四个圆单独画成右上图，此图关于 C 点对称，所以这四个圆正好被平均分成两部分

205、，即直线两侧的面积各为 2 个圆面积。所以在左上图中，直线右上侧圆内面积总和是 4 个圆面积，直线左下侧圆内面积总和是 6 个是圆面积，两者的面积比是 4/6=2/3。练习练习 30301.甲、乙玩猜数游戏。甲在心中想好一个 1000 以内的数，乙只许问“比某数小吗？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少问几次就一定能猜中这个数？2.现有 700 粒相同的珍珠和 1 粒外形相同、 重量略轻的假珍珠， 用一台天平至少称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？3.某校开运动会，学校给同学们买来 50 箱汽水，每箱 24 瓶。由于商店规定每 6 个空瓶可换到一瓶汽水， 所以同学们每喝完 6 瓶汽水就去换一

206、瓶， 这样他们共能多喝多少瓶汽水？4.一块铝锭可铸成 20 个机器零件毛坯，每 4 个毛坯车成零件后的铝屑又能铸成一个毛坯。那么 7 块这样的铝锭最多能车成多少个机器零件？5.某校开运动会，打算发给 1000 位学生每人一瓶汽水，由于商店规定每 6 个空瓶可换到一瓶汽水，所以学校不必买 1000 瓶汽水，那么最少要买多少瓶汽水？6.有一艘轮船停在港口里，轮船的外舷有一软梯，软梯的第一级正好挨着海面，往上每隔 20 厘米有一级。这时海水正在涨潮，每小时上涨30 厘米。问：经过多长时间，海水涨到软梯的第四级？7.红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。 这时红墨水中的蓝墨水多， 还是蓝墨水中的红墨水多？答案与提示练习练习 30301.10 次。提示：210=10241000，与例 1 类似，利用对分法，10 次必能猜中。2.6 次。解：36=729701，与例 2 类似，利用三分法，6 次必能挑出来。3.240 瓶。解：2450（6-1）=240（瓶）。6.因为“水涨船高”，所以永远涨不到。7.一样多。提示：变化后两瓶墨水的体积都没变，所以红墨水中进来多少蓝墨水，必然有相同体积的红墨水进入蓝黑水，即红墨水中的蓝墨水与蓝黑水中的红墨水一样多。