《量子力学第2章定态薛定谔方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《量子力学第2章定态薛定谔方程（84页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章第二章 定态薛定鄂方程定态薛定鄂方程（一）定态（一）定态SchrSchr dingerdinger方程，定态方程，定态 （二）能量本征值方程（二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质（四）定态的性质 （五）如何由定态得到一般解（五）如何由定态得到一般解（一）定态（一）定态SchrSchr dingerdinger方程，定态方程，定态讨论有外场情况下的讨论有外场情况下的 SchrSchrdinger dinger 方程：方程：令：令：于是：于是：V(r)V(r)与与t t无关时，可以无关时，可以分离变量分离变量代代入入等式两边是相互无等式两边是
2、相互无关的物理量，故关的物理量，故应应等于与等于与 t, r t, r 无关无关的常数的常数 此波函数与时间此波函数与时间t t的关系是正弦型的，其角频率的关系是正弦型的，其角频率=2E/h=2E/h。 由由de Brogliede Broglie关系可知：关系可知： E E 就是体系处于波函数就是体系处于波函数(r,t)(r,t)所描写所描写的状态时的能量。也就是说，此时的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数种状态称为定态，波函数(r,t)(r,t)称为定态波函数。称为定态波函数。空间波函数空间波函数(r(r) )由方程由方程
3、和具体的边界条件所确定。和具体的边界条件所确定。该方程称为该方程称为定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程。方程。 （1 1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相同。这与数学物理方法中的本征值方程相同。 数学物理方法中：数学物理方法中：微分方程微分方程 + + 边界条件构成本征值问题边界条件构成本征值问题； 或或 （2 2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条
4、件波函数的自然边界条件。 因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量常量 E E 称为称为算符算符 H H 的的本征值本征值；称为称为算符算符 H H 的的本征函数本征函数。 （3 3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称的状态（简称能量本征态能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。（二）能量本征值方程（二）能量本征值方程（三）
5、求解定态问题的步骤（三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数(r,t(r,t) )和在这些态中的能量和在这些态中的能量 E E。其具体步骤如下：其具体步骤如下：（1 1）列出定态）列出定态 SchrodingerSchrodinger方程方程（2 2）根据波函数三个标准）根据波函数三个标准条件求解能量条件求解能量 E E 的的本征值问题，得：本征值问题，得：（3 3）写出定态波函数即得）写出定态波函数即得到对应第到对应第 n n 个本征值个本征值 E En n 的定态波函数的定态波函数（4 4）通过归一化确定归一化系数）通
6、过归一化确定归一化系数 C Cn n（四）定态的性质（四）定态的性质（2 2）几率流密度与时间无关）几率流密度与时间无关（1 1）粒子在空间几率密度分布与时间无关）粒子在空间几率密度分布与时间无关4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数推论正交归一性薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为其中展开系数由初始条件定由定态波函数的正交归一性我们来求处在能量的期待值我们在来看的归一化从上面两个式子可以看出，具有几率的概念，当对测量能量时，测到的几率是也可以说体系是部分地处于态，各个态出现的几率分别是需要注意的是，尽管分离解自身是
7、定态解，其几率和期望值都不依赖时间， 但是一般解并不具备这个性质； 因为不同的定态具有不同的能量，在计算时 含时指数因子不能相互抵消 2.2一维无限深势阱一维无限深势阱l求解求解 S S 方程方程 分四步：分四步： l（1 1）列出各势域的一维）列出各势域的一维S S方程方程 l（2 2）解方程）解方程 l（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4 4）定归一化系数）定归一化系数-a 0 aV(x)IIIIII（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可方程可 简化为：简化为：-a 0 aV(x)IIIIII势势V(x)V(x)分为三个区域，分为三个区域，
8、 用用 I I 、II II 和和 III III 表示，其上的波函数分表示，其上的波函数分别为别为I I(x),(x),IIII(x(x) ) 和和 IIIIII (x) (x)。则方程为：则方程为： 2 2（3 3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = (a) = 0(-a) = (a) = 0。-a 0 aV(x)IIIIII 1 1。单值，成立；。单值，成立； 2
9、2。有限：当。有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。(2) (2) 解方程解方程3 3。连续性。连续性: :在势的分界点在势的分界点由波函数的连续性：由波函数的连续性：点,点,由此得到A和B不能同时为零,否则波函数处处为零(处处为零的波函数总是满足薛定谔方程的),这在物理上是没有意义的.因此,我们得到两组解(1) 2.6-8对第一种情况,我们必须有 对第二种情况,我们必须有 n=0对应于波函数恒为零的解没有意义, n等于负整数时不给出新的解.由(2.6-5,10)体系的能量为可以看出由无限多个能量值, 它们组成体系的分离能级,每一个能级对应一个n, 我们称
10、n为量子数.正整数 (2.6-11)(2)2.6-92.6-10我们得到的两组波函数解 2.6-12这两组解可以合并为一个式子 2.6-14 2.6-13由归一化条件求出 所以一维无限深势阱中粒子的定态波函数是利用公式可以将正弦波写成指数函数由此可知是由两个沿相反方向传播振幅相等的平面波叠加而成的驻波 波函数在势阱外时为零,即粒子被束缚在势阱内部.通常把在无限远处通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态为零的波函数所描写的状态称为束缚态,一般来讲一般来讲,束缚态所属的能级是分束缚态所属的能级是分立的立的.体系能量最低的态称为基态体系能量最低的态称为基态,一维无限深势阱中的粒子的基态是
11、一维无限深势阱中的粒子的基态是n=1的本征态的本征态.（6 6）粒子的能级间隔）粒子的能级间隔相邻两个能级的能量差：相邻两个能级的能量差： 相邻两个能级的能量差与势阱宽度的平方成反比。因此，量子化现相邻两个能级的能量差与势阱宽度的平方成反比。因此，量子化现象对于空间范围很小的微观体系才显著。象对于空间范围很小的微观体系才显著。 一维无限深势阱应用举例：一维无限深势阱应用举例：解释有机燃料分子（多烯烃）不同颜色的根源。解释有机燃料分子（多烯烃）不同颜色的根源。 有机燃料分子是线性分子，电子在分子内运动是自由的，但不能跑出分有机燃料分子是线性分子，电子在分子内运动是自由的，但不能跑出分子外，可以简
12、化为电子在一维无限深势阱中运动。设分子限度为子外，可以简化为电子在一维无限深势阱中运动。设分子限度为2a，例如，例如 1 1）靛蓝，其）靛蓝，其 a a大，大， 小，他吸收低频光，反射高频光，因此呈蓝小，他吸收低频光，反射高频光，因此呈蓝紫色。紫色。 2 2）刚果红，其）刚果红，其 a a小，小， 大，他吸收高频光，反射低频光，因此呈大，他吸收高频光，反射低频光，因此呈红色。红色。 （三）宇称（三）宇称（1 1）空间反射变换：空间矢量反向的操作。）空间反射变换：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： 称波函数具有偶宇称；称波函数具有偶宇称；称波函数具有奇宇称；称波函数具有奇宇
13、称；（3 3）如果在空间反射下，如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。2.3 2.3 线性谐振子线性谐振子 （一）引言（一）引言 l（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子 l（2 2）为什么研究线性谐振子）为什么研究线性谐振子 l（二）线性谐振子（二）线性谐振子 l（1 1）方程的建立）方程的建立 l（2 2）求解）求解 l（3 3）应用标准条件）应用标准条件 l（4 4）厄密多项式）厄密多项式 l（5 5）求归一化系数）求归一化系数 l（6 6）讨论）讨论l（三）实例（三）实例（一）引言（一）引言（1 1）何谓谐振子）何谓谐振子 量量子子力力学学中中的的线线性性谐谐振振
14、子子就就是是指指在在该该式式所所描描述述的的势势场中运动的粒子。场中运动的粒子。 在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受的粒子，受弹性力弹性力F = - F = - kxkx作用，由牛顿第二定律可以作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：写出运动方程为：其解为其解为 x = x = Asin(Asin( t + ) t + )。这种运动称为简谐这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取若取V V0 0 = 0 = 0，即即平衡位置处于势平衡位置处于势 V = 0 V = 0 点，则点，则2221xVmw=（2 2）为什么研究线性谐振子
15、）为什么研究线性谐振子l 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。重要的。 例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势V V是二者
16、相对距离是二者相对距离x x的函数，的函数，如图所示。在如图所示。在 x = a x = a 处，处，V V 有一极小值有一极小值V V0 0 。在在 x = a x = a 附近势可以展开附近势可以展开成泰勒级数：成泰勒级数：axV(x)0V0 取新坐标原点为取新坐标原点为(a,V(a,V0 0) )，则，则势可表示为标准谐振子势的形式：势可表示为标准谐振子势的形式： 可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。0)(0= = = = =axxVVaV（1 1）方程的建立）方程的建立线性谐振子的线性谐振子的
17、HamiltonHamilton算符：算符：定态定态 SchrSchrdinger dinger 方程方程 ：为简单起见，为简单起见，引入无量纲变量引入无量纲变量代替代替x x，此式是一变系数二阶常微分方程。此式是一变系数二阶常微分方程。（2 2）求通解）求通解为求解方程，我们先看一下它的渐为求解方程，我们先看一下它的渐 近解，即当近解，即当 时波函数时波函数 的行为。在此情况下，的行为。在此情况下， 1 1其中其中 H() H() 必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即： l 当当有限时，有限时，H()H()有限；有限； l 当当时，时
18、，H()H()的行为要保证的行为要保证() 0() 0。将将()()表达式表达式代入方程得代入方程得 关于关于 待求函数待求函数 H() H() 所满足的方程：所满足的方程：2. H()2. H()满足的方程满足的方程此方程称为此方程称为 HermiteHermite 方程。方程。3.3.Hermite Hermite 方程的方程的级数解级数解以级数形式来求解，令：以级数形式来求解，令：用用 k k 代替代替 k k由上式可以看出：由上式可以看出： b b0 0 决定所有角标决定所有角标k k为偶数的系数；为偶数的系数； b b1 1 决定所有角标决定所有角标k k为奇数的系数。为奇数的系数。
19、 因为方程是二阶微分方程，应有两个因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：线性独立解。可分别令：b b0 0 0, b 0, b1 1=0. =0. H Heveneven(); ); b b1 1 0, b 0, b0 0=0. =0. H Hoddodd().).即：即： b bk+2k+2(k+2)(k+1)- (k+2)(k+1)- b bk k 2k + b 2k + bk k(-1) = 0 (-1) = 0 从而导出系数从而导出系数 b bk k 的递推公式：的递推公式：该式对任意该式对任意都成都成立，立，故故同次幂前同次幂前的系数均应为零。的系数均应为零。只含偶
20、次幂项只含偶次幂项只含奇次幂项只含奇次幂项则通解可记为：则通解可记为： H = cH = co o H Hoddodd + + c ce e H Heveneven = (c = (co o H Hoddodd + + c ce e H Heveneven e) exp- e) exp-2 2/2/2（3 3）用标准条件定解）用标准条件定解(I)=0 (I)=0 exp-exp-2 2/2|/2|=0=0 = 1 = 1 H Heveneven()|()|=0=0 = b = b0 0 H Hoddodd()|()|=0=0 = 0 = 0 皆有限皆有限(II) (II) 需要考虑无穷级数需要
21、考虑无穷级数H()H()的收敛性的收敛性为此考察相邻为此考察相邻 两项之比：两项之比：考察幂级数考察幂级数expexp2 2 的展开式的收敛性的展开式的收敛性比较二级数可知：比较二级数可知： 当当时时， H()H()的的渐近行为与渐近行为与expexp2 2 相同。相同。单值性单值性和和连续性连续性条件自然满足，条件自然满足，只剩下第三个只剩下第三个有限性有限性条件需要进行讨论。条件需要进行讨论。 因为因为H()H()是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点，是一个幂级数，故应考虑他的收敛性。考虑一些特殊点， 即势场有跳跃的地方以及即势场有跳跃的地方以及x=0, x x=0, x 或或
22、=0, =0, 。所以，总波函数有如下发散行为：所以，总波函数有如下发散行为： 为了满足波函数有限性要求，幂级数为了满足波函数有限性要求，幂级数 H()H() 必须从某一项截断变必须从某一项截断变成一个多项式。换言之，要求成一个多项式。换言之，要求 H()H() 从某一项（比如第从某一项（比如第 n n 项）起项）起 以以后各项的系数均为零，即后各项的系数均为零，即 b bn n 0, b 0, bn+2n+2 = 0. = 0.递推关系推关系结论结论 基于波函数基于波函数 在无穷远处的在无穷远处的 有限性条件导致了有限性条件导致了 能量必须取能量必须取 分立值。分立值。（4 4）厄密多项式）
23、厄密多项式 从有限性条件得到从有限性条件得到 H(H() )是多项式，是多项式，该多项式称为厄密多项式，记为该多项式称为厄密多项式，记为H Hn n() )，于是，总波函数可表示为：于是，总波函数可表示为：由上式可以看出，由上式可以看出，H Hn n() ) 的最高次幂是的最高次幂是 n n 其系数是其系数是 2 2n n。归一化常数归一化常数H Hn n() ) 也可写成封闭形式：也可写成封闭形式： = 2n+1 = 2n+1 下面给出前几个厄密多项式具体表达式：下面给出前几个厄密多项式具体表达式： H H0 0=1=1；H H2 2=4=42 2-2 -2 ；H H4 4 = 16 = 1
24、64 4-48-482 2+12 +12 H H1 1=2=2；H H3 3=8=83 3-12-12；H H5 5=32=325 5-160-1603 3+120+120厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：从上式出发，可导出从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系：厄密多项式的递推关系： 应应 用用 实实 例例例：已知例：已知 H H0 0 = 1, H = 1, H1 1=2=2，则根据上述递推关系得出：则根据上述递推关系得出： H H2 2 = 2H = 2H1 1-2nH-2nH0 0 = 4 = 42 2-2-2基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振
25、子波函数基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数(x(x) )的递推关系：的递推关系：（5 5）求归一化常数）求归一化常数 分分 步步 积积 分分该式第一项是一个多项式与该式第一项是一个多项式与 exp-exp-2 2 的的 乘积，当代入上下限乘积，当代入上下限=后，该项为零。后，该项为零。继续分步积分到底继续分步积分到底因为因为H Hn n的最高次项的最高次项 n n的系数是的系数是2 2n n，所以所以 d dn nH Hn n /d /dn n = 2 = 2n n n! n!。则谐振子波函数为：则谐振子波函数为：(I)(I)作变量代换，因为作变量代换，因为=x=x， 所以所以dd=
26、 =dxdx； (II)(II)应用应用H Hn n() )的封闭形式。的封闭形式。（6 6）讨论）讨论 3. 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并是非简并的。值得注意的是，基态能量的。值得注意的是，基态能量 E E0 0=1/2=1/2 0 0，称为称为零点能零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的相性的表现，能量为零的“静止的静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。波是没有意义的，零
27、点能是量子效应。1. 1. 上式表明，上式表明，H Hn n() )的最高次项是的最高次项是(2)(2)n n。所以。所以, , 当当 n = n = 偶，则厄密多项式只含偶，则厄密多项式只含的偶次项；的偶次项； 当当 n = n = 奇，则厄密多项式只含奇，则厄密多项式只含的奇次项。的奇次项。2. 2. n n具有具有n n宇称宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的上式描写的谐振子波函数所包含的 exp-exp-2 2/2/2是是的偶函数，所以的偶函数，所以n n的宇称由厄密多项式的宇称由厄密多项式 H Hn n() ) 决定为决定为 n n 宇称。宇称。n = 0n = 1n = 24. 4
28、. 波函数波函数 然而，量子情况与此不然而，量子情况与此不同同, ,对于基态，其几率密度对于基态，其几率密度是：是： 0 0() = |() = |0 0()|()|2 2 = N = N0 02 2 exp- exp-2 2 (1) (1)在在= 0= 0处找到粒子的处找到粒子的几率最大；几率最大； (2)(2)在在|1|1处，即在阱处，即在阱外找到粒子的几率不为零外找到粒子的几率不为零, ,与经典情况完全不同。与经典情况完全不同。 以基态为例，在经典情以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在形下，粒子将被限制在| | x| 1 x| VE V0 0 情况情况因为因为 E 0, E VE 0
29、, E V0 0, , 所以所以 k k1 1 0, 0, k k2 2 0. 0. 上面的方程可改写为：上面的方程可改写为： 上述三个区域的上述三个区域的 SchrSchrdinger dinger 方程可写为：方程可写为：定态波函数定态波函数1 1,2 2,3 3 分别乘以含时因子分别乘以含时因子 exp-exp-iEtiEt/ / 即可看出：即可看出：式中第一项是沿式中第一项是沿x x正向传播的平面波，第二项是沿正向传播的平面波，第二项是沿x x负向传播的平面波。由于负向传播的平面波。由于在在 x a x a 的的III III 区没有反射波，所以区没有反射波，所以 C=0C=0，于是解
30、为：，于是解为：利用波函数标准条件来定系利用波函数标准条件来定系数。首先数。首先, ,解单值、有限解单值、有限条件满足。考虑连续性条件满足。考虑连续性: :1. 1. 波函数连续波函数连续2. 2. 波函数导数连续波函数导数连续解出写成矩阵形式4. 4. 透射系数和反射系数透射系数和反射系数求解方程组得求解方程组得: :为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被 势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I I 透射系数：透射系数： 透射波几率流密度与入射波透射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为透射系数几率流密度之比
31、称为透射系数 D = JD = JD D/J/JI III II 反射系数：反射系数： 反射波几率流密度与入射波反射波几率流密度与入射波 几率流密度之比称为反射系数几率流密度之比称为反射系数 R = JR = JR R/J/JI I 物理意义：物理意义：描述贯穿到描述贯穿到 x a x a 的的 IIIIII区中的粒子在单位区中的粒子在单位时间内流过垂时间内流过垂直直 x x方向的单位面积的数目与入射粒子（在方向的单位面积的数目与入射粒子（在 x 0 x a x a 的的IIIIII区，另一部分则被势垒反射回来。区，另一部分则被势垒反射回来。反射系数为：反射系数为：由于由于（2 2）E VE
32、V0 0 情况情况故令：故令：k k2 2=ik=ik3 3， 其中其中k k3 3=2(V=2(V0 0-E)/ -E)/ 1/21/2。这样把前面公式中的这样把前面公式中的 k k2 2 换成换成 ikik3 3 。 并注意到：并注意到：sin iksin ik3 3a = i a = i sinhsinh k k3 3a a即使即使 E VE V0 0，在一般情况下，透射系数在一般情况下，透射系数 D D 并不等于零。并不等于零。0 aV(x)xV0入射波入射波+ +反射波反射波透射波透射波因因 k k2 2=2(E-V=2(E-V0 0)/ )/ 1/21/2，当，当 E VE 1a
33、1时时故故4可略可略透射系数透射系数则变为：则变为：粗略估计，认为粗略估计，认为 k k1 1 k k3 3 （相当于（相当于E VE V0 0/2/2）, , 则则 D D0 0 = 4 = 4是一常数。是一常数。下面通过实例来说明透射系数的量级大小。下面通过实例来说明透射系数的量级大小。于是：于是：例例1: 1: 入射粒子为电子。入射粒子为电子。设设 E=1eV, VE=1eV, V0 0 = 2eV, = 2eV, a = 2a = 2 10 10-8-8 cm = 2 cm = 2 ， 算得算得 D 0.51D 0.51。若若a=5a=5 10 10-8-8cm = 5cm = 5 ，
34、 则则 D 0.024D 0.024，可见可见 透射系数迅速减小。透射系数迅速减小。 质子与电子质量比质子与电子质量比 p p/e e 1840 1840。 对于对于a = 2a = 2 则则 D 2 D 2 10 10-38-38。 可见透射系数明显的依赖于可见透射系数明显的依赖于 粒子的质量和势垒的宽度。粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，量子力学提出后，Gamow Gamow 首先用势垒穿透成功的说明首先用势垒穿透成功的说明 了放射性元素的了放射性元素的衰变现象。衰变现象。例例2: 2: 入射粒子换成质子。入射粒子换成质子。（2 2）任意形状的势垒）任意形状的势垒则则 abab贯穿势
35、垒贯穿势垒V(x)V(x)的的 透射系数等于贯穿这些小透射系数等于贯穿这些小 方势垒透射系数之积，即方势垒透射系数之积，即此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。此式的推导是不太严格的，但该式与严格推导的结果一致。0 a bV(x)E对每一小方势垒透射系数对每一小方势垒透射系数可把任意形状的势垒分割成许可把任意形状的势垒分割成许 多小势垒，这些小势垒可以近多小势垒，这些小势垒可以近 似用方势垒处理。似用方势垒处理。dx（四）应用实例（四）应用实例l（1 1）原子钟）原子钟 l（2 2）场致发射（冷发射）场致发射（冷发射）衰变、隧道二极管、热核聚变、扫描隧道显微镜等都是势衰变、隧道二
36、极管、热核聚变、扫描隧道显微镜等都是势垒穿透现象，下面介绍两个典型实例。垒穿透现象，下面介绍两个典型实例。 （1 1）原子钟）原子钟原子钟的频率标准就是利用氨分子原子钟的频率标准就是利用氨分子( N H( N H3 3 ) ) 基态势垒贯穿的振荡频率。基态势垒贯穿的振荡频率。氨分子氨分子(NH(NH3 3) )是一个棱锥体，是一个棱锥体，N N 原子在其顶点上，三个原子在其顶点上，三个 H H 原子原子 在基底。如右图所示。在基底。如右图所示。NNHHHNNE如果如果N N原子初始在原子初始在N N处，则由于隧处，则由于隧 道效应，可以穿过势垒而出现在道效应，可以穿过势垒而出现在 N N点。当
37、运动能量小于势垒高点。当运动能量小于势垒高度度 1.1.R-SR-S之间或之间或T-UT-U之间的振荡（谐振子）；之间的振荡（谐振子）；2.这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。这两个区域之间通过势垒的缓慢得多的振荡运动。 如图中能级如图中能级 E E 所示，则所示，则N N原子的原子的运动有两种形式：运动有两种形式： 对于对于NHNH3 3基态，第二种振荡频率为基态，第二种振荡频率为2.37862.3786 10 1010 10 HzHz。这就是原子钟在规这就是原子钟在规定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。定时间标准时所利用的氨分子的势垒贯穿运动。（2 2）场致发射（冷发射）场致
38、发射（冷发射）图 （a）图 （b） 欲使金属发射电子，可以欲使金属发射电子，可以将金属加热或用光照射给电子将金属加热或用光照射给电子提供能量，这就是我们所熟知提供能量，这就是我们所熟知的的热发射热发射和和光电效应光电效应。 但是，施加一个但是，施加一个外电场外电场，金属，金属中电子的所感受到的电势如图中电子的所感受到的电势如图(b)(b)所示。金属中电子面对一个势垒，所示。金属中电子面对一个势垒，能量最大的电子就能通过隧道效应能量最大的电子就能通过隧道效应穿过势垒漏出，从而导致所谓穿过势垒漏出，从而导致所谓场致场致电子发射电子发射。小结小结 1 1、深刻理解波函数的统计解释深刻理解波函数的统计解释, ,几率密度的含义几率密度的含义 波函数在空间中某一点的强度波函数在空间中某一点的强度(2) 和在该点找到粒子的几率成正比和在该点找到粒子的几率成正比在时刻t,在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率,称为几率密度 w（x，y，z，t）（x，y，z，t）2 2 2、掌握、掌握坐标、动量的算符表示坐标、动量的算符表示 3、掌握薛定鄂方程求解的一般方法4 掌握求解一维定态问题的方法，在求解时会熟练应用波函数的标准条件，深入理解能量的量子化和几率分布。
