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1、-.-线面垂直与面面垂直根底要点线面垂直线线垂直面面垂直1、假设直线a与平面,所成的角相等，那么平面与的位置关系是 BA、/ /B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABC A1B1C1,BAC 90,又BC1 AC,过C1作C1H底面ABC，垂足为H，那么H一定在BA、直线 AC 上 B、直线 AB 上 C、直线 BC 上 D、ABC的部3、如图示，平面平面，A,B, AB与两平面,所成的角分别为过A、 B分别作两平面交线的垂线， 垂足为A,B， 那么AB: AB AA、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:34、如图示，直三棱柱ABB1 DCC1中，ABB1 90
2、 , AB 4,和，46ABBAB1C1BC 2,CC11DC上有一动点P，那么APC1周长的最小值是5.长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A AB 2,D1DCABC1B1假设棱 AB 上存在点 P，使得D1P PC,那么棱 AD 长A1的取值围是。DCAB题型一：直线、平面垂直的应用1.2014，卷如图，在三棱锥P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点 .PA AC,PA 6，BC 8，DF 5.求证：(1)PA 平面DEF；(2)平面BDE 平面ABC.-可修编-.-证明：证明： (1) 因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA
3、平面 DEF，DE平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2) 因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DEPA，DE3，EF1BC4.22221PA2又因 DF5，故 DF DE EF ，所以DEF90 ，即 DE 丄 EF.又 PAAC，DEPA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC平面 ABC，EF平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.2. (2014,卷，文科)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB BC，AA1 AC 2，E、F分别为A1C1、BC的中点.1求证：平面AB
4、E 平面B1BCC1； 2求证：C1F/平面ABE.证明：证明： 1在三棱柱ABC A1B1C1中，BB1 底面ABC,BB1 AB, AB BC,AB 平面B1BCC1,AB 平面ABE,平面ABE 平面B1BCC1.(2)取 AB 的中点 G，连接 EG，FGE、F分别为A1C1、BC的中点,FGAC,FG 1AC,2ACACFGEC1，FG EC1,那么四边形FGEC1为平行四边形，11，AC AC11，C1FEG,EG 平面ABE,C1F 平面ABE,C1F平面ABE.3 3如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC 平面PBC求证BC AC分析：分析：条件是线面垂
5、直和面面垂直， 要证明两条直线垂直， 应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直 .-可修编-.-证明：证明：在平面PAC作AD PC，交PC于D因为平面PAC 平面PBC于PC，AD 平面PAC，且AD PC，所以AD 平面PBC又因为BC 平面PBC，于是有AD BC另外PA平面ABC，BC 平面ABC，所以PA BC由及ADPA A，可知BC 平面PAC因为AC 平面PAC，所以BC AC说明：说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系， 通过此题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直4. 4.过 点S引 三 条 不 共 面 的
6、直 线SA、SB、SC， 如 图 ，BSC 90，ASC ASB 60，假设截取SA SB SC a(1)求证：平面ABC平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离分析：分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明：SA SB SC a，又ASC ASB 60，ASB和ASC都是等边三角形，AB AC a，取BC的中点H，连结AH，AH BC在RtBSC中，BS CS a，SH BC，BC 22222a，22a2a22a) AH AC CH a (，SH222a2a2222在SHA中，AH，SH，SA a，222SA
7、 SH HA，AH SH，AH 平面SBCAH 平面ABC，平面ABC平面BSC或：SA AC AB，顶点A在平面BSC的射影H为BSC的外心，又BSC为Rt，H在斜边BC上，又BSC为等腰直角三角形，H为BC的中点，AH 平面BSCAH 平面ABC，平面ABC平面BSC(2)解：由前所证：SH AH，SH BC，SH 平面ABC，222.-可修编-.-SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH BC2a，22点S到平面ABC的距离为2a25、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AESB,AGSDSFGEDAB6.
8、在四棱锥 P-ABCD 中，侧面PCD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面是面积为2 3的菱形，ADC 60，M 是 PB 中点。(1)求证：PACDP(2)求证：平面 PAB平面 CDMMCD7.在多面体 ABCDE 中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE 面 ABC，AE/CD。(1)求证：AE/平面 BCD；(2)求证：平面 BED平面 BCDEABC.-可修编-CBAD-.-题型二、空间角的问题题型二、空间角的问题1. 如 图 示 ， 在 正 四 棱 柱ABCD A1B1C1D1中 ，ACBDAB 1,BB131，E 为BB1上使B1E 1的点，平面AEC1交DD1于 F
9、，交A1D1的延长线于 G，求：1异面直线 AD 与C1G所成的角的大小2二面角AC1G A1的正弦值FEA1B1C1D1G2. 2.如图，点A在锐二面角 MN 的棱MN上，在面引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角 MN 的大小分析：分析：首先根据条件作出二面角的平面角， 然后将平面角放入一个可解的三角形中最好是直角三角形 ，通过解三角形使问题得解解：解：在射线AP上取一点B，作BH 于H，连结AH，那么BAH为射线AP与平面所成的BAH 30角，再作BQ MN， 交MN于Q，连结HQ，那么HQ为BQ在平面的射影由三垂线定理的逆定理，HQ MN，BQH
10、为二面角 MN 的平面角BQA 90,BAM 45, AB 设BQ a， 在RtBAQ中，中，2a,在RtBHQ.-可修编-.-2aBH222BHQ 90 ,BQ a,BH a,sinBQH ,2BQa2BQH是锐角，BQH 45,即二面角 MN 等于45说明：说明： 此题综合性较强， 在一个图形中出现了两条直线所称的角， 斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角， 而且还要彼此联系相互依存， 要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线3. 3.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，求二面角A BD1 P的大小P是AD的中点分析：分析：求二面角关键是确定它的平面角，
11、按定义在二面角的棱上任取了点， 在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系， 要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1 再过P作AD1的垂线PF，那么PF面ABD1，过F作D1B的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EFAB面AD1，PF面AD1，AB PF，又PF AD1，PF面ABD1又PE BD1，EF BD1，PEF为所求二面角的平面角RtAD1DPFA，PFAPDD1AD1而AP 21
12、，DD11，AD12，PF 42在PBD1中，PD1 PB 513PE BD1，BE BD 222.-可修编-.-在RtPEB中，PE PB2 BE22PF1，在RtPEF中，sinPEF ，2PE2PEF 304.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，求证：MN平面PAD假设二面角PDCA为，求证:平面MND平面PDC45.正方体中ABCD A1B1C1D1，E 为棱CC1上的动点，PN1求证：A1EBD(2)当 E 恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBDADEC3在棱CC1上是否存在一个点 E，可以使二面角A1 BD E的大小为45？如果存在，试确定 E 在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由。题型三、探索性、开放型问题题型三、探索性、开放型问题1.如图，正方形 ABCD 的边长为 2，中心为 O。设PA 平面 ABCD，EC/PA,且 PA=2。问当CE 为多少时，PO平面 BED。PEABODC2.ABC中，BCD 90 ,BC CD 1,AB平面BCD，ADB 60,E、F分别是AC、MBAD上的动点，且1求证：不管为何值，总有平面BEF平面ABC2当为何值时，平面BEF平面ACD?AEAF(01)ACAD.-可修编-
