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1、-.-线面垂直与面面垂直根底要点线面垂直线线垂直面面垂直1、假设直线a与平面,所成的角相等,那么平面与的位置关系是 BA、/ /B、不一定平行于C、不平行于D、以上结论都不正确2、在斜三棱柱ABC A1B1C1,BAC 90,又BC1 AC,过C1作C1H底面ABC,垂足为H,那么H一定在BA、直线 AC 上 B、直线 AB 上 C、直线 BC 上 D、ABC的部3、如图示,平面平面,A,B, AB与两平面,所成的角分别为过A、 B分别作两平面交线的垂线, 垂足为A,B, 那么AB: AB AA、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:34、如图示,直三棱柱ABB1 DCC1中,ABB1 90
2、 , AB 4,和,46ABBAB1C1BC 2,CC11DC上有一动点P,那么APC1周长的最小值是5.长方体ABCD A1B1C1D1中,A1A AB 2,D1DCABC1B1假设棱 AB 上存在点 P,使得D1P PC,那么棱 AD 长A1的取值围是。DCAB题型一:直线、平面垂直的应用1.2014,卷如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点 .PA AC,PA 6,BC 8,DF 5.求证:(1)PA 平面DEF;(2)平面BDE 平面ABC.-可修编-.-证明:证明: (1) 因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DEPA.又因为 PA
3、平面 DEF,DE平面 DEF,所以直线 PA平面 DEF.(2) 因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA6,BC8,所以 DEPA,DE3,EF1BC4.22221PA2又因 DF5,故 DF DE EF ,所以DEF90 ,即 DE 丄 EF.又 PAAC,DEPA,所以 DEAC.因为 ACEFE,AC平面 ABC,EF平面 ABC,所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE,所以平面 BDE平面 ABC.2. (2014,卷,文科)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB BC,AA1 AC 2,E、F分别为A1C1、BC的中点.1求证:平面AB
4、E 平面B1BCC1; 2求证:C1F/平面ABE.证明:证明: 1在三棱柱ABC A1B1C1中,BB1 底面ABC,BB1 AB, AB BC,AB 平面B1BCC1,AB 平面ABE,平面ABE 平面B1BCC1.(2)取 AB 的中点 G,连接 EG,FGE、F分别为A1C1、BC的中点,FGAC,FG 1AC,2ACACFGEC1,FG EC1,那么四边形FGEC1为平行四边形,11,AC AC11,C1FEG,EG 平面ABE,C1F 平面ABE,C1F平面ABE.3 3如图,P是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC,平面PAC 平面PBC求证BC AC分析:分析:条件是线面垂
5、直和面面垂直, 要证明两条直线垂直, 应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直 .-可修编-.-证明:证明:在平面PAC作AD PC,交PC于D因为平面PAC 平面PBC于PC,AD 平面PAC,且AD PC,所以AD 平面PBC又因为BC 平面PBC,于是有AD BC另外PA平面ABC,BC 平面ABC,所以PA BC由及ADPA A,可知BC 平面PAC因为AC 平面PAC,所以BC AC说明:说明:在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系, 通过此题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直4. 4.过 点S引 三 条 不 共 面 的
6、直 线SA、SB、SC, 如 图 ,BSC 90,ASC ASB 60,假设截取SA SB SC a(1)求证:平面ABC平面BSC;(2)求S到平面ABC的距离分析:分析:要证明平面ABC平面BSC,根据面面垂直的判定定理,须在平面ABC或平面BSC找到一条与另一个平面垂直的直线(1)证明:SA SB SC a,又ASC ASB 60,ASB和ASC都是等边三角形,AB AC a,取BC的中点H,连结AH,AH BC在RtBSC中,BS CS a,SH BC,BC 22222a,22a2a22a) AH AC CH a (,SH222a2a2222在SHA中,AH,SH,SA a,222SA
7、 SH HA,AH SH,AH 平面SBCAH 平面ABC,平面ABC平面BSC或:SA AC AB,顶点A在平面BSC的射影H为BSC的外心,又BSC为Rt,H在斜边BC上,又BSC为等腰直角三角形,H为BC的中点,AH 平面BSCAH 平面ABC,平面ABC平面BSC(2)解:由前所证:SH AH,SH BC,SH 平面ABC,222.-可修编-.-SH的长即为点S到平面ABC的距离,SH BC2a,22点S到平面ABC的距离为2a25、如图示,ABCD为长方形,SA垂直于ABCD所在平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G,求证:AESB,AGSDSFGEDAB6.
8、在四棱锥 P-ABCD 中,侧面PCD 是正三角形,且与底面ABCD 垂直,底面是面积为2 3的菱形,ADC 60,M 是 PB 中点。(1)求证:PACDP(2)求证:平面 PAB平面 CDMMCD7.在多面体 ABCDE 中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,AE 面 ABC,AE/CD。(1)求证:AE/平面 BCD;(2)求证:平面 BED平面 BCDEABC.-可修编-CBAD-.-题型二、空间角的问题题型二、空间角的问题1. 如 图 示 , 在 正 四 棱 柱ABCD A1B1C1D1中 ,ACBDAB 1,BB131,E 为BB1上使B1E 1的点,平面AEC1交DD1于 F
9、,交A1D1的延长线于 G,求:1异面直线 AD 与C1G所成的角的大小2二面角AC1G A1的正弦值FEA1B1C1D1G2. 2.如图,点A在锐二面角 MN 的棱MN上,在面引射线AP,使AP与MN所成的角PAM为45,与面所成的角大小为30,求二面角 MN 的大小分析:分析:首先根据条件作出二面角的平面角, 然后将平面角放入一个可解的三角形中最好是直角三角形 ,通过解三角形使问题得解解:解:在射线AP上取一点B,作BH 于H,连结AH,那么BAH为射线AP与平面所成的BAH 30角,再作BQ MN, 交MN于Q,连结HQ,那么HQ为BQ在平面的射影由三垂线定理的逆定理,HQ MN,BQH
10、为二面角 MN 的平面角BQA 90,BAM 45, AB 设BQ a, 在RtBAQ中,中,2a,在RtBHQ.-可修编-.-2aBH222BHQ 90 ,BQ a,BH a,sinBQH ,2BQa2BQH是锐角,BQH 45,即二面角 MN 等于45说明:说明: 此题综合性较强, 在一个图形中出现了两条直线所称的角, 斜线与平面所称的角,二面角等空间角,这些空间角都要转化为平面角, 而且还要彼此联系相互依存, 要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线3. 3.正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1,求二面角A BD1 P的大小P是AD的中点分析:分析:求二面角关键是确定它的平面角,
11、按定义在二面角的棱上任取了点, 在二个半平面上分别作棱的垂线,方法虽简便,但因与其他条件没有联系, 要求这个平面角一般是很不容易的,所以在解题中不大应用在解题中应用得较多的是“三垂线定理的方法,如图考虑到AB垂直于平面AD1,BD1在平面AD1上的射影就是AD1 再过P作AD1的垂线PF,那么PF面ABD1,过F作D1B的垂线FE,PEF即为所求二面角的平面角了解:过P作BD1及AD1的垂线,垂足分别是E、F,连结EFAB面AD1,PF面AD1,AB PF,又PF AD1,PF面ABD1又PE BD1,EF BD1,PEF为所求二面角的平面角RtAD1DPFA,PFAPDD1AD1而AP 21
12、,DD11,AD12,PF 42在PBD1中,PD1 PB 513PE BD1,BE BD 222.-可修编-.-在RtPEB中,PE PB2 BE22PF1,在RtPEF中,sinPEF ,2PE2PEF 304.PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、E、N分别是AB、CD和PC的中点,求证:MN平面PAD假设二面角PDCA为,求证:平面MND平面PDC45.正方体中ABCD A1B1C1D1,E 为棱CC1上的动点,PN1求证:A1EBD(2)当 E 恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD平面EBDADEC3在棱CC1上是否存在一个点 E,可以使二面角A1 BD E的大小为45?如果存在,试确定 E 在棱CC1上的位置;如果不存在,请说明理由。题型三、探索性、开放型问题题型三、探索性、开放型问题1.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,中心为 O。设PA 平面 ABCD,EC/PA,且 PA=2。问当CE 为多少时,PO平面 BED。PEABODC2.ABC中,BCD 90 ,BC CD 1,AB平面BCD,ADB 60,E、F分别是AC、MBAD上的动点,且1求证:不管为何值,总有平面BEF平面ABC2当为何值时,平面BEF平面ACD?AEAF(01)ACAD.-可修编-