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1、排列组合公式排列组合公式排列组合公式排列组合公式非降路径问题非降路径问题组合恒等式组合恒等式1学校教课排列与组合从五个候选人中选出选出两个代表把5本不同的书安排安排在书架上从五个候选人中选出两个代表时，有10种可能的结果。把5本不同的书安排在书架上有120种方法选出-组合；安排-排列2学校教课一、排列排列组合组合公式排列问题：从某个集合中有序有序地选取若干个元素的问题组合问题：从某个集合中无序无序地选取若干个元素的问题注意：可以重复 不能重复3学校教课排列无重排列可重排列从1,2,9中选取数字构成四位数，使得每位数字都不同，有多少个？从1,2,9中选取数字构成四位数，使得不同数位上的数字可以相
2、同，有多少个？4学校教课1、 无重排列n个元素的r-无重排列无重排列数：排列的长度r计算（一般情形）：乘法原理r=n时,n个元素的全排列r=0时rn时5学校教课2、可重排列n个元素的r-可重排列可重排列数计算（乘法原理）6学校教课例题在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中，有多少个数含有数码1？又有多少个数不含数码1？不含1:910含1:1010-910+17学校教课放球问题设nr，把r个不同的球放入n个不同的盒子，这里每一盒最多只能装一物，允许空盒。放球的方法数为多少？第一个球有n种选法，第二个球有n-1种，等等，乘法原理P(n,r) 10学校教课放球问题把r个不同的球放入n个
3、不同的盒子，一个盒中可以放多个球，也允许空盒。放球的方法数为多少？第一个球有n种选法，第二个球有n种，等等，乘法原理nr这里n和r的大小没有限制11学校教课例子将3封信向2个信箱投寄，有多少种投寄方法？23=8无序占位模型：不考虑盒子中的排列次序12学校教课例子某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？69=6714七部汽车通过五间收费亭的方式数？今欲在五根旗杆上悬挂七面不同的旗子，全部旗都得展示出来，但并非所有的旗杆都得使用，问有多少种安排的方法？14学校教课组合无重组合可重组合从a,b,c中选取2个不同元素，选法数是多少？从a,b,c中选取5个元素，元素可以相同，选法数是多
4、少？16学校教课3、无重组合（Combination）n个元素的r-无重组合无重组合数无重组合数与无重排列数的关系计算r=0时r=n时rn时17学校教课组合数的推广18学校教课计算20学校教课例题如果一个凸十边形无三条对角线在这个十边形的内部交于一点，问这些对角线被它们的交点分成多少条线段？21学校教课多边形22学校教课例题对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边形外）任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成两段每个对角线是一段35+C(10,4) 2=45523学校教课例题C(5,2)-5+C(
5、5,4) 2=15C(10,2)-10+C(10,4) 2=455C(4,2)-4+C(4,4) 2=424学校教课4、可重组合n个元素的r-可重组合可重组合例子计算一一对应的思想25学校教课推论方程x1+x2+xn=r 的非负整数解的个数。nr时，此方程的正整数解的个数n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少出现一次。正整数r的n-长有序分拆的个数求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 3, x2 1,x3 0,x4 5。26学校教课例题从为数众多的一分币、二分币、一角币和二角币中，可以有多少种方法选出六枚来？F(4,6)=C(4+6-1,6)=C(9,6)=8427学校教
6、课例题某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕点，求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕点，且要求每种糕点至少放一块。求市场上能买到多少种该厂出品的盒装糕点？28学校教课例题摇三个不同的骰子的时候，可能的结果的个数是多少？63=216。如果这三个骰子是没有区别的，则可能结果的个数是多少？从1,2,3,4,5,6这六个数中允许重复地选出三个数。F(6,3)=C(6+3-1,3)=56将r个骰子掷一次，总共可以掷出多少种不同结果？F(6,r)=C(6+r-1,r)=C(r+5,r)=C(r+5,5)29学校教课有约束条件的排列：引例用两面红旗、三面黄旗依次悬挂
7、在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？30学校教课5、有约束条件的排列设有k个元素a1，a2，ak，由它们组成一个n-长的排列，其中对1ik，ai出现的次数为ni，n1+n2 + +nk=n，求排列的总数。求解方法1求解方法231学校教课例题 五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方式？如果只用这十三个短划和点中的七个，则有多少种不同的方式？32学校教课例题证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k个物体属于第二类， ，k个物体属于第(k-1)!类。33学校教课推论多项式(x1+x2+xn)r的展开式中有 项，其中项 的系数为
8、。34学校教课例题数1400有多少个正因数？1400=23 52 7(3+1)(2+1)(1+1)=2435学校教课放球问题设nr，把r个相同的球放入n个不同的盒子使得每盒至多装一个球，方法数？选盒子即可C(n,r)36学校教课放球问题把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？放这r个球，等价于从n个盒中选出r个来装这r个球而允许诸盒重复选取。F(n,r)=C(n+r-1,r)37学校教课放球问题把r个相同的球放入n个不同的盒子，每盒可以装任意多个球，方法数？另解：把分配这r个球入n个盒子设想为这r个球和n-1个隔板的一个排列。球是相同的，隔板也是相同的。C(n+r-1,
9、r)38学校教课放球问题设r n，把r个相同的球放入n个不同的盒子中，盒子中可以放入任意多个球，但不允许空盒，方法数？现在每个盒中放入一个球，再放剩下的r-n个球C(r-n)+n-1,r-n)=C(r-1,r-n)=C(r-1,n-1)39学校教课放球问题设r n，把r个相同的球放入n个不同的盒子中，要求每一盒至少包含q个球，方法数？现在每个盒中放入q个球，再放剩下的r-qn个球C(r-qn)+n-1,r-qn)=C(n-nq+r-1,r-nq)= C(n-nq+r-1,n-1)40学校教课多重集合通常的“集合”具有无重性。在多重集中，同一个元素可以出现多次。1,2,3是一个集合，而1,1,1
10、,2,2,3不是一个集合，而是一个多重集，简记为31,22,13。计算多重集的势时，出现多次的元素则需要按出现的次数计算。上面多重集的势为6。可重组合与可重排列可以看作是多重集的组合与排列问题。44学校教课可重排列与可重组合n个元素a1,a2, ,an的r-无重组合(排列)可以看做多重集1a1, 1 a2, , 1 an的r-组合(排列) 。n个元素a1,a2, ,an的r-可重组合(排列)可以看做多重集a1, a2, , an的r-组合(排列) 。有限制的排列问题可以看做多重集n1a1, n2 a2, ,nk ak的全排列。45学校教课分组与分堆46学校教课限距组合：引例书架上有1-24共2
11、4卷百科全书，从其中选5卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？54学校教课6、限距组合设A=1,2,n，它的任一r-无重组合均可以依自然顺序排出a1,a2, ,ar，其中a1a2 ar 。设k是非负整数，用f(k,n,r)表示A的一切满足条件ai+1-aik+1(1ir-1)的r-无重组合数，求f(k,n,r)。求解思想：一一对应k=0时55学校教课例题书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？56学校教课7、圆排列n个元素的r-无重圆排列数圆排列与线排列的区别计算57学校教课例题例1把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式有 种。例2
12、把20个不同的珍珠串成项链，串项链的方式有 种。项链问题项链问题58学校教课例 从1到300间取出3个不同的数，使它们的和被3整除，有多少种取法？提示：将1到300这300个整数按照除以3的余数分成3组，考虑选出的3个数属于哪些组。59学校教课例 下图中有多少个矩形？60学校教课映射设映射f：1,2, ,n 1,2, ,m(nm)(1) 若f是严格递增的，则不同的f有多少个？(2) 若f是不减的，则不同的f有多少个？63学校教课例题1、从A=a,b,c中任取两个不同的字母构成的字共有多少个？2、m元集合的n元子集的个数？3、平面上任三点都不共线的25个点，可形成多少条直线？可形成多少个三角形？
13、64学校教课例题用26个英文字母能构成多少个含有3个、4个或5个元音的长为8位的单词？（其中，一个字母出现在单词中的次数不限）65学校教课例题用4个a，4个b，2个c和2个d这12个字母能组成多少个具有12个字母的字？用字母a，b，c组成5个字母的字，每个字中a至多出现2次，b至多出现1次，c至多出现3次。这种字的个数是多少？67学校教课例题单词mississippi中字母的排列数为？求多重集3a,2b,4c的8排列的个数？68学校教课例题求26个英文字母的全排列中，任意两个元音字母都不相邻的方案数？69学校教课例题Banach火柴盒问题：某数学家随身携带A,B两盒火柴，要用火柴时就随意从其中
14、一盒中取出一根。假定开始两个火柴盒各放有n根火柴，问在某一次当数学家发现拿出的那一个火柴盒变空时，另一盒中尚剩p(pn)根火柴的概率是多少？70学校教课例题10个人排成一排，其中有2个人不愿彼此挨着，求所有不同的排列的数目。10！-29！或 8！A(9,2)=290304010个人围一圆桌入座，其中有2个人不愿彼此挨着就座，求所有不同的圆排列的数目。9!-28!或7！A(8,2)=28224071学校教课例题安排10个男生和5个女生排成一排，使任意2个女生都不相邻的排法有多少种？A(10,10)A(11,5)安排10个男生和5个女生围成圆圈入座，使任意2个女生都不相邻的坐法有多少种？72学校教
15、课例 从给定的6种不同的颜色中选不同的颜色将一个正方体的六个面染色，要求每个面染一种颜色，具有相同棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案有多少种？分析：一种颜色？两种颜色？三种颜色？相对的面染成相同的颜色,只有一种方式C(6,3)73学校教课四种颜色：五种颜色：六种颜色：C(6,4) C(4,2)C(6,5) C(5,1)3！/2C(6,6) C(5,1)3！74学校教课例 试求由1,3,5,7组成的数字不重复出现的整数的总和。分析：一位数1，3，5，7两位数个(十)位数为1的两位数的个数三位数个(十、百)位数为1的三位数的个数四位数个(十、百、千)位数为1的四位数的个数75学校教课例 假定把
16、全部的5码数印刷在纸条上，而一张纸条上印一个数。所谓5码数是由0,1,2,9这十个数字中的5个数字组成的数，开头的一个或者几个可以为0，例如00102,00000都是5码数，显然有100000个这样的5码数。然而由于数字0,1,6,8,9被倒过来就成了0,1,9,8,6。而一张纸条可以从上下两个方向正看和倒看，所以有些5码数可以共用一张纸条，如89166与99168。于是我们的问题是要用多少个不同的纸条才能做出这些5码数？76学校教课0 1 2 3 4 5 6 7 8 90 101 倒过来 8 8 6 9 9 677学校教课1357813578倒过来 89166681898916668189不
17、是5码数仍是5码数仍是5码数但不是自己而且是自己78学校教课5码数共105个倒过来仍是5码数的有55个倒过来不再是5码数的有10555个一个数一张纸条倒过来是自己的有3x52个倒过来不是自己的有553x52个一个数一张纸条两个数共用一张纸条79学校教课所以纸条的个数为(10555)+ 3x52+ (553x52)/2105(553x52)/2=9847580学校教课例 甲、乙两方各有7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。双方先由1号参加比赛，负者被淘汰，胜者再与对方2号队员比赛，直到有一方全部被淘汰，另一方获得胜利，形成一种比赛过程。那么所有可能出现的比赛过程的种数为多少？81学校教课
18、甲乙箭头指向谁，表示谁负甲方赢：甲方赢：这是的一个7-可重组合82学校教课甲乙83学校教课甲乙84学校教课甲乙85学校教课例 某车站有6个进站口，今有9人进站，有多少种不同的进站方法？进站口人2ABCDEF13456789任务：给每个人选择进站口，选择进站的次序？86学校教课安排 ：ABCDEF16种方式1安排 ：27种方式222安排 ：38种方式3333安排 ：914种方式进站方式种数为方法一：87学校教课123456取213456789的一个全排列，和5个213456789对应的进站方式为：913456872方法二：88学校教课ABCDEF进站方式为：913456872213456789对
19、应的排列为：89学校教课进站方式种数为213456789的排列5个或14个位置取5个放方框(不讲顺序)，剩下的放人(将顺序)90学校教课方法三： 先选车站，A B C D EF 的9-可重组合AAACCDEEF再排人，213456789的排列213456789对应的进站方式为：ABCDEF91345687291学校教课例 8个人 两两配对分成4组有多少种方式？方法一 给每个人配对方法二 一对一对地选，注意会重复推广：2n个人两两配对分成n组有多少种方式？93学校教课非降路径问题从点 到达点 的非降路径非降路径94学校教课非降路径数由(0,0)到(m,n)的非降路径数为 。由(a,b)到(m,n
20、)的非降路径数为 。由(0,0)到(m,n),再到(a,b) 的非降路径数 。95学校教课例题从点(0,0)到达点(m,n)，其中mn，要求中间所经过的路程上的点(a,b)都满足ab。问有多少种不同的路径？96学校教课分析从(0,0) 到(m,n) 的非降路径 过对角线必过对角线一一对应：反射(0,0) (0,1) (m,n)(0,0) (1,0) (m,n)不过对角线97学校教课反射：从上向下看，找路径与对角线交点的第一个点，关于对角线反射左下边路径，与右上的路径组合成一条路径。98学校教课例题求从点(0,0)到达点(n,n)且不与直线y=x相交的非降路径数？分析：上一例题的特殊情况99学校
21、教课例题一场音乐会的票价为50元/张，排队买票的顾客中有n位持有50元的钞票，m位持有100元的钞票，售票处没有准备50元的零钱。试问有多少种排队的方法，使购票能顺利进行，不出现找不开钱的状况，假定每位顾客限买一张，每位顾客仅买票一张，而且nm。100学校教课例题用(m+n)维0,1-行向量(a1,a2, ,am+n) 表示一种购票排队状态，其中ai=1表示第i位持50元的钞票， ai=0表示第i人持100元的钞票。这样的行向量有m个0，n个1，所以这样的行向量共有C(m+n,m)个，每个行向量可以对应从点(0,0)到点(m,n)的非降路径。当ai=1时，对应路径中的第i步沿y轴向上走一格，当
22、ai=0时，对应路径中的第i步沿x轴向右走一格。为了使购票顺利进行，每个路径中的点(a,b)应满足ab。也就是每个路径在直线y=x的上方且不穿过直线 y=x，可以有交点。101学校教课由于nm ，也就是在直线y=x-1上方的所有路径。从(0,0)到(m,n)的在直线y=x-1上方的非降路径从(0,1)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径从(0,0)到(m,n+1)的在直线y=x上方的非降路径第n个Catalan数102学校教课Catalan数第n个Catalan数103学校教课Catalan数的组合学意义104学校教课例题n个+1和n个-1所组成的序列中所有其前k项(k=1,2, ,2
23、n)之和不小于0的序列的数目是多少？满足条件的序列为好序列，不满足条件的为坏序列。好序列数=序列总数-坏序列数。n个+1和n个-1所组成的坏序列与n+1个+1和n-1个-1所组成的序列一一对应。105学校教课例题对每个坏序列，总可以找到最小的正奇数，使得ak=-1且ak之前的+1和-1的个数相等。将这个坏序列中前k项的每一项取反号，其余部分保持不变。所得序列为n+1个+1和n-1个-1组成的序列。-1,-1,1,1,-1,1变为1,-1,1,1,-1,1反之， 对任一由n+1个+1和n-1个-1组成的序列，从左到右扫描，当+1的个数第一次比-1的个数多1时就把这些扫描到的项全部取反号，其余项不
24、变，结果得到满足要求的坏序列。1,-1,1,1,-1,1变为-1,-1,1,1,-1,1106学校教课二项式定理107学校教课组合恒等式组合数组合恒等式：由组合数构成的恒等式组合数的大小关系n为奇数n为偶数108学校教课1.证明一：计算证明二：组合分析法109学校教课110学校教课111学校教课2.杨辉三角形计算Pascal三角形证明一：证明二：组合分析法112学校教课3.利用二项式代特殊值证明一：证明二：一方面，按照子集的个数分类求和n元集合的所有子集的个数另一方面，按照元素与集合的属于、不属于关系113学校教课4.二项式定理代特殊值证明一：证明二：组合分析法114学校教课5.115学校教课
25、朱世杰恒等式116学校教课6.应用：117学校教课118学校教课7.证明一：倒写，然后两式相加证明二：计算，提出n证明三：求导数证明四：组合分析法证明五：数学归纳法119学校教课8.证明一：积分证明二：计算，分子分母同乘n+1120学校教课证明一：组合分析法证明二：利用多项式的系数证明三：非降路径法121学校教课证明三： 非降路径法从 到 的非降路径过且仅过直线 上线段AB的一个格点122学校教课证明一：计算证明二：组合分析法123学校教课证明一：计算证明二：组合分析法124学校教课证明一：数学归纳法证明二：一般项证明三：加减项证明四：组合分析法125学校教课例 设集合A=a1,a2, ,an ，A 的m个子集A1,A2, ,Am 两两互不包含。试证：(1)(2)126学校教课例 给出 的个位数字和十位数字。127学校教课例 证明r个连续自然数的乘积可被r！整除。128学校教课例 如果p是素数，则都能被p整除。129学校教课
