高三数学第八章平面解析几何讲义

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1、第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程内容要求考题举例考向规律1 . 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2 .掌握确定直线位置的几何要素3 .掌握直线方程的几种形式（点斜式、截距式、两点式及一般式），（解斜截式与一次函数的关系20 1 9全国 I I I卷疗2 1 （直线过定点）20 1 8全国 I I卷不中）（直线方程）20 1 7浙江高考士（直线的斜率）20 1 4四川高考（最值问题）考情分析：直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择题、填空题中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识；二是在解答题中与圆、椭

2、圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查核心素养：直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀基础纤）梳理说 * &1 .直线的倾斜角（ 1 ）定义：当直线/ 与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/ 向上方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角。（ 2）规定：当直线/ 与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。。（ 3 ）范围：直线/ 倾斜角的取值范围是此过）。2 .斜率公式（ 1 ）定义式：直线/ 的倾斜角为j a司则斜率 -t a n a。（ 2）坐标式：R （ x ”） , P2（ x2, ”）在直线/ 上，且为 / 松，则 / 的斜率及 = 三普。檄提蕉

3、1 .当直线的倾斜角为时，斜率不存在。2 .斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是力一，那么分母必须是一X ；反过来，如果分子是乃一2,那么分母必须是X| 1 2。3 .直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式 _ 迨= 依一殉）不含垂直于.i轴的直线斜截式y=kx+b不含垂直于工轴的直线两点式yy _ x-xy2y x2- x不含直线X= X （ Xi r处）和直线 y = y i （ y W y 2）截距式= 1 (而 W O)不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式A r + 8 y + C = 0( A2+ 52 0 )平面内所有直

4、线都适用. 侬提醒“ 截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0 ,若不确定，则需分类讨论。x小题长演练一、常规题I .直线工一小）， +1 = 0的倾斜角为（）A . 30 B . 45C. 120 D. 150解析由题得，直线）， = 乎 + 率的斜率为坐，设其倾斜角为a ,则l an a =坐，又0。 180。，故a =30 o故选A。答案A2 .若过点。（1一4 1 + 4 ）和。（ 3,方）的直线的倾斜角为钝角，则实数。的取值范围是（）A . （ - 2, 1） B . （ - 1, 2）C. （一8, 0） D. （一8, - 2 ）

5、 u（ l , +）7/ 1- I -n / / - I解析由题意知 . , 0 ,即亍1 * 0,解得一2 1。故选A。3 -1+ a 2 - ta答案A3 .已知三角形的三个顶点4一5, 0） , 8（ 3, 3） , C（ 0, 2） ,则BC边上的中线所在直线的方程为解析由已知，得8 C的中点坐标为佳，一；），且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率太=-1V 故3 C边上的中线所在直线的方程为y + ； =gx一卷即x+ 13y + 5= 0。答案 x+ 13y + 5= 0二、易错题4 .（混淆倾斜角与斜率的关系）若直线x = 2的倾斜

6、角为a ,则a的值为（）A . 0 B . ；熠D .不存在解析因为直线x =2垂直于4轴，所以倾斜角Q为名答案C5 .（忽视斜率与横距对直线的影响）如果A C 0 ,且8 c 0 ,那么直线A r + 8 y + C = 0不经过第象限。A r A解析因为A C 0, B C 0, 0 ,所以一方 0 ,所以直线/ U + B . y + C= 0经过第一、二、四象限。答案三6 .（忽视截距为0的情况）经过点尸（4, 1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为。解析设直线 / 在x轴、），轴上的截距均为d 若a = 0 ,即/ 过点（

7、 0, 0）和（ 4, 1） ,所以/ 的方程为y=%,即x - 4 y = 0 o若a # 0 ,设/ 的方程为 +%=1 ,因为/ 过点（ 4, 1） ,所以1 + = ，所以。 =5 ,所以/ 的方程为x+ y 5 = 0。综上可知，所求直线的方程为x4. v= 0或x+ y 5 = 0。答案 x4y = 0 或 x+ y 5 = 0考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一直线的倾斜角与斜率自主练习1 . （多选）关于直线/ ：小xy 1 = 0 ,下列说法正确的有（）A.过点（小，- 2 ） B,斜率为小C .倾斜角为60 D .在y轴上的截距为1

8、解析对于A,将（小，一2）代入/ : 3 x - y - 1 = 0 ,可知不满足方程，故A不正确；对于B,由小4- y- 1 = 0 ,可得）， = 小1一1,所以k =小 ,故B正确；对于C ,由k =小 ,即t an a=小，可得直线倾斜角为60 ,故C正确：对于D ,由小x- y 1 = 0 ,可得）， = / 工一1,直线在），轴上的横距为一 1,故D不正确。故选B C。答案B C2 .如图所示，直线小l2, A的斜率分别为由，近，依，则（）A . k k ik i B . k 3 k k iC .七岛 %2 D. k yk z k 解析由题图可知h f e

9、 0,所以& 2七尢，故选C。答案C3 . (2021 石家庄模拟)直线x+ (/ + l )， +l=O的倾斜角的取值范围是()A . o , B 序兀 )C. o ,月U& n ) 暗 ,纵印 ,J解析由直线方程可得该直线的斜率为一黄大，又一1或一意力左 0 , b 0),则 + = 1 。2 1 1 2 I 1 I又因为N + 萨 2 、 j 证 = 记疝 2 4 ,当且仅当 = 石= 手即= 4, = 2 时，AAO 8的面积S = ab有最小值,为4。此时直线/ 的方程是点十 =1 , 即4 + 2 - 4 = 0 。( 2 ) 解法一：因为人( 失1 , 0 ) ，

10、伏0 / - 2 制伐 - 2 啦 = 0 。(2 k I 1( 3 ) 因为 , 0 , 6 ( 0 ,1 -2 & ) ( 4 3喏,2 D . , y 解析直线Zxcos ay3 = 0的斜率=2cos a ,因为仁去枭所以aWcos aW坐，因此攵=2cos I ,小。设直线的倾斜角为仇则有ia n 9 l,曲。又。 0 , n),所以9需，却即倾斜角的取值范围是ft- 5。答案B(2)直线/ 过点P (l,0),且与以4(2,1), 8(),5 )为端点的线段有公共点 , 则直线 / 斜率的取值范围为。解析设以与P B的

11、倾斜角分别为a, 0 ,直线刑的斜率是公/ = 1 ,直线P B的斜率是左陟 = 一小，当直线 / 由雨变化到与y轴平行的位置P C时，它的倾斜角由a增至9()。，斜率的取值范围为1, +8)。当直线/ 由P C变化到08的位置时，它的倾斜角由90。增至从斜率的变化范围是( 一8 , 一回故直线/ 斜率的取值范围是( - 8 , y(3 U 1, 4-)o答案 ( 一8 , -V 3JU 1, + 8)【例2】( 配合例1使用) 在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A (8 ,0 ),以Q A为直径的圆与直线y = 2 r在第一象限的交点为5 ,则直线A 4的方

12、程为()A. x+2y 8=0C. Z r+ y 16=0B. x - 2 y - 8 = 0D. 2x y 16=0解析解法一 :如图，由题意知O 4_LA 8,因为直线0 8的方程为，= 2一所以直线A 8的斜率为一上因为4 (8 ,0 ),所以直线A B的方程为厂0 =一笈一8 ) ,即叶2) ，- 8 = 0 ,故选A。f ( j ： - 4)2r =8+y = 1 6, I x 5f解法二：依题意，以OA 为直径的圆的方程为(X- 4 ) 2 + ) ? = 16 , 解方程组= 得J 1 61 6或； =： ( 舍去) ，即雄，学) ，因为48 , 0 )

13、 , 所以酎 =/= 一； ,所以直线A B的方程为厂 0=一如一8 ) , 即. r + 2 y 8 = 0 。故选 A 。答案 A第二节两条直线的交点与距离公式内容要求考题举例考向规律1 . 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2 . 掌握点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离3 .能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2 01 8 , 北京高考 *(点到直线距离的最大值)2 01 6 全国n卷T 4 (点到直线的距离)考情分析：本节知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：是利用直线方程判定两条直线的位置关系：二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三

14、是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是以客观题出现核心素养：直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀基、 k -劣梳理加也心 * K 杈1 .两条直线平行与垂直的判定两条直线平行：对于两条不重合的直线八，/2,其斜率分别为h，心，则有人俗& = 女2 。特别地，当直线心 6的斜率都不存在时，人与b 平行。与4 x + B . y + C = 0平行的直线，可设为A x + B y+m=0(/z O (2 )两条直线垂直：如果两条直线八，/2 斜率存在，设为心，心，则0 条公= 一 1 。特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线

15、垂直。与A x + B y + C = 0 垂直的直线可设为8 x A E = 0 。2 .两直线相交| A i x + 8 y + G = 0，(1 )交点：直线h Ad+Sy+G=0 和京 A M + % y + C 2 = 0 的公共点的坐标与方程组L Lo 八|A 2 X + 8 2 .V+ C 2 = 0的解 -i 对应。(2 )相交台方程组有唯一解, 交点坐标就是方程组的解。(3 )平行O方程组无解。(4 )重合O方程组有无数个解。3 .三种距离公式(1 )点A (x i ，y ), 8 (处，力)间的距离为依阳=、 /(乃一宝) + (、，2 刈口。(2 )点 P (

16、x o , 加 )到直线/： A v + B . y + C = 0的距离为I A v = 纵 + 历，则直线/ | /2人的充要条劭之岳，件是女| 饱= 1。2 .设 h A述+ 8 i y + G = 0 , / 2 ： A K + & y + C 2 = 0 ,则 G / ? 的必要条件是 4 %=4囱( 不充分) ；+ 8 8 2 = 0。考点二两条直线的交点【例1】( 1 )求证：动直线( 加+ 2机+ 3 r + ( l + m病)y + 3/ / + i = o(其中? R )恒过定点，并求出定点坐标。解解法一：令m = 0,则直线方程为3x + y + l = 0

17、。再令机=1时，直线方程为6 x + y + 4= 0 。 3x + y + l = 0 , | x = -1 , 和联立方程组 , .n 得l 6 x + . y 4- 4= 0 , 1尸2。将点A ( 1 , 2 )代入动直线( 加+2 m+ 3) 4+ ( 1 + 一户 ) ) ， +3产+1 =o中，Q / + 2帆 + 3) X ( 1 ) + ( 1+ ? 一M ) x 2 + 3 M + | = ( 3 1 -2 ) / + ( 2 + 2 ) 6 + 2 + 1 - 3= 0 ,故此点A ( 1 , 2 )坐标恒满足动直线方程，所以动直线炉+ 1 = 0恒过定点A

18、( 1 , 2 )。解法二：将动直线方程按？降解排列整理，得加a - y + 3) + M ( 2 r + ) ，) + 3x + y + l = 0 ，不论相为何实数，式恒为零，X - y + 3= 0 ,所以有“ 2 x + y = 0 , . 3x + y + l = 0 ,故动直线恒过点A ( 1 . 2 )。( 2 )求经过两条直线2 x + 3y + 1 = 0和x - 3y + 4= 0的交点，并且垂直于直线3x + 4) ， 7 = 0的直线方程。 2 i + 3) ， + l = 0 ,解解法一：由方程组 ”八| x 3y + 4= 0 ,v = -1 ,尸2。所以

19、交点为7-95万因为所求直线与3犬+4 , ， - 7 = 0垂直,4所以所求直线的斜率由点斜式，得y一5-3故所求直线的方程为4x 3y + 9 = ( ) o解法二：设所求直线的方程为4. r-3y + zn= 0,将解法一中求得的交点坐标5-3哥代人上式得4X5-3-7-9所以6= 9 。故所求直线的方程为4x3y + 9 = 0。解法三：设所求直线的方程为( 2 x+ 3y + 1) + i ( x-3y +4) = 0。即( 2 + 办丫+ ( 33力 ) ， +1+ 4% = 0 。又因为直线与3 x + 4 y - 7 = 0 垂直。则有 3( 2 + 力 + 4( 332 )

20、= 0,所以 2 = 2 。代人式得所求直线的方程为4x-3v + 9 = 0o1 .过定点问题的解决方法( 1) 找过定点的两条特殊直线方程，求其交点即可。( 2 ) 提取参数，令参数的系数为0。2 .求过两条直线交点的直线方程的方法( 1) 列方程组解出交点，根据条件求出直线方程。( 2 ) 采用过交点的直线系方程求解。【变式训练】( 1) 方程仅一1一厂1 2 4+ 1= 03 11) 所表示的直线恒过( )A.定点( 一2 ,3) B.定点( 2 ,3)C.点( 一2 ,3) 和点( 2 ,3) D .点( 一2 ,3) 和点( 3,2 )I - X - y+1 = 0, x= -2

21、 ,解析他一l) xy + 2 + 1 = 0 可化为一xy+1+ 4(X+ 2 ) = 0 , 由| . 八得。lx+ 2 = 0, 1丫= 3。答案 A( 2 ) 经过两直线小 x-2 y + 4= 0f n/2：% 十一2 = 0 的交点P, 且与直线A 3 x - 4 y + 5= 0垂直的直线/ 的方程为。A2 v + 4= 0, x= 0, 4解析由方程组 , 得即尸，2 ) o 因为小脑所以直线/ 的斜率仁一或所以直 x+ y 2 = 0, ly = 2 , 34线/ 的方程为 y 2=一即 4x+ 3y 6 = 0o答案 4x+ 3y 6 = 0考点

22、三距离问题例 2 ) 当点P ( 3,2 ) 到直线的一) ， + 1-2 / = 0的距离最大时，机的值为(A . 3C . -1B . 0D. 1解析 ? xy+1 2 rn= 0可化为y = ? ( x2 ) + 1 , 故该直线过定点0( 2 ,1) ,当直线PQ和直线y + I2 12 w = 0 垂直时，点P到直线“ ay + 1 2 / ? z= 0的距离取得最大值，此时m - k p Q= nv_ =nv 1 = I , 解得m= 1 故选 C 。答案 C( 2 ) 两条平行直线3x+ 4y -2 = 0. 3x+ 4y -12 = 0之间的距离是( )A . 2c 1

23、4BTC . 2 5D. 5解析由两平行直线间的距离公式可得所求距离= 匕标导创= 2 。故选A。答案 AI . 点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式。2 . 运用两平行直线间的距离公式 4=IG-Cd的前提是两直线方程中的x , ) ，的系数对应相等。 )A2- i- B2【变式训练】( 1) 已知点P ( 4,. ) 到直线4彳一 3) ， - 1 =0 的距离不大于3 , 则 a的取值范围是.解析点P到直线4x-3 y- 1 =0 的距离为| 4X 4-3X d -l| | 15 一 3。 |55, 由U 5：3 %3 , 即| 153。

24、区 15,得O W a W l O , 所以4 的取值范围是 0,10 。答案 0,10J( 2 ) 若两平行直线3 x - 2 y- l = (),6 x + ay+ c= 0之间的距离为嘴，则c的值是.解析依题意知，解得。 =4, c W 2 。由 6 x+ 纱+ c = 0 , 可得3x2 y + ， =0 , 又两平行直线之间的距离为喈,5+ 1, 解得c = 2 或 c = 6 。,所以 = 噜答案 2或一6考点四对称问题微专题微考向1：基本的对称问题【例 3】已知直线/ ： 2 x3) ， + l =0 , 点A ( 1, - 2 ) o 求：点A关

25、于直线/ 的对称点A的坐标；( 2 ) 直线in： 3. r2 厂 6 = 0 关于直线/ 的对称直线tn的方程;( 3) 直线/ 关于点4 一1, -2 ) 对称的直线/ 的方程。解( 1) 设A ) ，) ，由已知 4-2 2. r+ lX3 = - X 1 y - 2 , 八2X3X = - -+ l= 0,所以A -13 目v =3-3 -X 4尸 15。解得R( 2 ) 在直线m上取一点M ( 2 ,0) ,则M ( 2 ,0) 关于直线/ 的对称点M必在直线/ 上。+ 1= 0,解得借 , 1? ) 设直线，与直线/ 的交点为M则由口 3) ， + 1= 0, 3 x -

26、2 y6 = 0,得 N ( 4,3) 。又因为/ / 经过点M 4, 3) ,所以由两点式得直线w的方程为9 、 - 46 ) ， + 102 = 0。( 3) 设 P ( x, y ) 为i上任意一点，则尸( 兑y ) 关于点4 一1, - 2 ) 的对称点为P ( 2 x, - 4 - y ) , 因为尸在直线/ 上,所以 2 ( 2 -% ) 3( 4一田+ 1 = 0,即 2 x-3y 9 = 0 。解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点

27、的中心在对称轴上，即抓住 “ 垂直平分”，由 “ 垂直”列出一个方程，由 “ 平分”列出一个方程，联立求解。微考向2 ：对称的应用【例 4】光线从点4 一4, -2 ) 射出，射到直线y = x 上的点8后被直线y = x 反射到) ，轴上的点C,又被) ，轴反射，这时反射光线恰好过点。 ( 一1 , 6) , 求 8 c 所在的直线方程。解作出大致图象，如图所示，设 A关于直线y = x 的对称点为4,。关于) ，轴的对称点为。，则易得4 ( 一2 , -4),( 1 , 6) 。由入射角等于反射角可得A D所在直线经过点8与 C 。故 B C 所在的直线方程为送=串。即 10

28、x-3y+8=0。光线反射问题具有入射角等于反射角的特点，有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线（法线）对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称。【题组对点练】1 .（微考向1）若点他，份关于直线y = 2 r的对称点在x轴上，则小满足的条件为（）A. 4a+3b=0 B. 3a+4力=0C .加+3人=0 D. 3 +2力=0h-0ZZyX2= - 1, , 解得4。 +36=0。故选A。b+0 a+t亍尔丁答案A2 .（微考向2）已知点A（ 4, - 1 ） , 5（ 8,2）和直线/：工一）， -1 = 0 ,动点P（

29、x, y）在直线 /上，则仍4|+|PB|的最小值是。解析设点4与A关于直线/对称，为4 8与直线/的交点，所以|/il= |M |o在aAiPB中，附i| + |PB |2A说= 困尸。 | + 岛阴= 俨0川 + 岛8 |,所以照| + 仍训冽岛A|+仍同=|A倒。当尸点运动到九时，| 以 | 十俨8 |取得最小值向用。设点A关于直线I的对称点为4 3 , yi） ,则由对称的充要条件知， y + _X |-4 *八 fxi=O, .- 一解得 , 所以 Ai（ 0,3）。所以（ | 例+|PB|） min=|A8|=M84了 = 病。xi

30、+4 y ,-l 5 = 3。 I 2- - 1 = ，答案 65邑教师备用题【例（配合例2使用）已知曲线 = 音在点尸（2, 4）处的切线与直线/平行且距离为2小，则直线/的方程为（）A. 2x+y+2=0B. Zx+y+2=0 或 2x+y-18=OC. 2A-1 8 = 0D. 2x-y+ 2= 0 或 Z t-y -1 8 = 02cx1） 9 o解析 y = - （（ _ ） 2 =_Q. _） 2 , 当x = 2时，- （ 2 _ = - 2 ,因此卜= - 2。设直线/的方程为y=一法+ 九即2x+y匕= 0 ,由题意，得艮皆二磔=2小 , 解得8

31、 = 1 8或力= 一2 ,所以直线/ 的方程为2x+ y一18=0或小:+ ）， +2= 0。故选 B。答案B【例2】（配合例4使用）在等腰直角三角形ABC中，|AB| = |AQ=4, P是边人8上异于A, B的一点。光线从点P出发，经BC, CA反射后又回到点P（如图）。若光线QR经过ABC的重心，则AP的长度为（）2A.8-3C4-D .3B解析以A 8所在直线为工轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知8（ 4,0） ,C（ 0,4） , 4（ 0,0） ,则直线BC的方程为x+.v4 = 0 ,设A1,0）（ 0匹4） ,由对称知识可得点

32、尸关于8 c所在直线的对称点P的坐标为（ 4,4一。，点P关于），轴的对称点尸2的坐标为（一L0） ,根据反射定律可知P /2所在直线就是光线RQ所在直线。由P , e两点坐标可得P1P2所在直线的方程为）， =柒。+。，设4ABC的重心为G,易知Go因为重心器 , 才在光线RQ上，所以有方= 笠 / +“ ，即3产 4f=0。所以/= 0或t因4-V74 4为 0 1 注：确定圆心位置的方法：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；两圆相切时，切点与两圆圆心共线。3 .圆的一般方程当 Z + E Z - d Q O 时，方程F + , 2

33、 + 0 x + E y + F = O 叫做圆的般方程，它的圆心是（二g 二另，半径是屏一记C 4 = 8 W 0 ,、照 4H 二元二次方程A f + B U + D H - 6+F=0表示圆的充要条件是八。4 .确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：（ 1 ）根据题意，选择标准方程或一般方程；（ 2 ）根据条件列出关于a , b, r或 D , E ,产的方程组；（ 3 ）解出小b, r或 D , E ,尸代入标准方程或般方程。小题微演练小题演练提知能 .一、常规题1 .圆放 + 4 y =0的周长是 o解析

34、配方，得3 ） 2 + 6 + 2 ） 2 = 1 3 。所以r =小，所以圆的周长。 = 2 兀 /=2 行兀。答案 2 回 7 T2 .方程/ + 产+ 小城2 y + 5 ? = 0 表示圆的充要条件是 o解析（ x + 2 M ? + （ y 1 = 4 -一+ I 表示圆，则 4 m25 阳+ 1 0 , 解得或 m 1 答案 ? 13 .圆C与 * 轴相切于点7 U , 0 ) ,与y轴正半轴交于A , B两点，且H B |= 2 ,则圆C的标准方程为。解析由题意，得圆C的半径为护Z=啦，圆心坐标为( 1 ,啦) ，所以圆C的标准方程为( X - 1

35、 ) 2 +。一何= 2。答案( * - 1 ) 2 + ( ，一也 = 2二、易错题4 .( 错用点与圆的位置关系) 若点( 1 , 1 )在圆( x - a ) 2 + ( y + a ) 2 =4的内部，则实数a的取值范围是( )A . - a B. 0z z + 5。因为所以当y = l时，f + 4 y取得最大值4。答案4考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一求圆的方程【例1】( 1 )求圆心在直线上一2 ) - 3 = 0上，且过点A ( 2 , - 3 ) , 4 (一2 , 5 )的圆的方程。解解法一：设点。为圆心，因为点C在直线工一2 一3 =

36、0上，所以可设点C的坐标为( 2 a + 3 , a )。又该圆经过A , 5两点，所以| CA | =| C8 | ,印( 2 a + 3 - 2 ) 2 + (。 +3 ) 2=4 ( = + 3 + 2 ) 2 + ( a + 5 ) 2 ,解得。 =一2 ,所以圆心C的坐标为( 一 1 , - 2 ) ,半径r =4而。故所求圆的方程为( x + 1 ) 2 + 0+ 2 ) 2 =1 0。解法二：设所求圆的标准方程为(x - a)2- i- (yb)2= r,( 2 ) ?+ ( 3 6 ) 2 =户，由题意得” ( 2 ) 2 + ( 5 6 ) 2 =/，.4 2 人 - 3

37、=0,a = t解得衿一2 ,r =1 0,故所求圆的方程为a+1 y+。+2 ) 2 =i 0o解法三：设圆的一般方程为炉+9+。工+6+/=0,则圆心坐标为；一，一切。由题意得“4 + 9 + 2 D- 3 E + =0,、4 + 2 5 2 D5 E + /=0,D=2f解得| E =4 ,F = - 5 o故所求圆的方程为+ )2 + 2 r + 4 y - 5 =0,即( x + l) 2 + ( y + 2 ) 2 =1 0。( 2 )已知圆C与直线/： x + y 1 = 0相切于点P ( 3 , - 2 ) ,且圆心在直线y= 4元上，求圆。的方程。解解法一：设

38、圆C的标准方程为( x - a p + G ，一加2 = / ， =一他 g =i ,则有1 ( 3一“ +(-2 ，= / ，解得 g f所以圆C的方程为(X- 1) 2 + () ， + 4 ) 2 = 8。解法二：过切点P ( 3 , 2 )且与直线x + y 1 = 0垂直的直线方程为y + 2 = x - 3 ,与) ， =一以联立可求得圆心坐标为( 1 , - 4 ) 所以半径r = ( l-3 ) 2 + ( 4 + 2尸2啦,所以所求圆的方程为(X1) 2 +G， + 4 ) 2 = 8。总结反思求圆的方程有两种方法1 .几何法：即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关

39、系，进而求得圆的基本量( 圆心、半径) 和方程。2.待定系数法：( 1 )根据题意选择方程的形式标准形式或一般形式。( 2 )利用条件列出关于a , b, r ,或E ,广的方程组。( 3 )解出小儿r或。，E, F ,代入标准方程或一般方程。【变式训练】( 1 ) (多选) 已知 A 8 C的三个顶点的坐标分别为4一2 , 3 ) , 8 ( 2 , - 1 ) , C( 6 , 一1 ) ,以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )A . A24 -J2= 1 B. x2+ j2=- yC . 9+产4D. 9+产3 7解析依题意，直线AC的方程为署

40、= 直段，化为一般式方程x + 2 y - 4 = 0 ,点0到直线x + 2 y - 4= 0的距离d | - 4 | 4 5 .I ,义直线A8的方程为尸=一2 ,直线8c的方程为， = 一1 ,因此点O到直线A B的距离为2,到直线8。的距离为1 ,当以原点为圆心的圆与直线8c相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点，此时圆的半径为1 ,所以圆的方程为炉+ 2 = 1 ；又| 0川 =4 ( - 2 ) 2 + 3 2 =行 , |0阴 =4 ( - 2 ) 2 + ( - 1 ) 2 =小,| 0= 、6 2 + ( - 1 ) 2 =炳由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共

41、点，可得圆可以与三角形交于点C( 6 ,- 1 ) ,即圆的半径为厮，则圆的方程为r + 9 = 3 7。故选A D。答案A D( 2 ) ( 2 02 1山东聊城第一中学月考) 已知圆C与直线y= r 及x +厂4 = 0都相切，圆心在直线产”上，则圆C的方程为 ( )A . ( x - i y + G - 1 =2B. ( X 1 ) 2 + 0+ 1户=2C. ( x + l)2+ ( y - l)2=4D. ( x + 1 ) 2 +。+1 ) 2 =4解析解法一：因为圆心在直线x - y = 0上，所以圆心的横、纵坐标相同，排除B , C ; D中，圆心( 一 1 ,1

42、)到直线x + y = 0的距离是1代 = 也，圆心( 一1, 1)到直线x + y 4= ( )的距离是故D不符合题意。故选A。解法二：由圆心在直线y = x上，设圆心为( a, a ) ,因为圆C与直线1y =3及x + y - 4 = 0都相切，所以圆心到两直线) , = x及x+ y 4 = 0的距离相等，即M=E1生所以圆心坐标为( 1, 1) , R=巾,则圆C的标准方程为( xl ) 2 + ( y 1) 2 = 2。故选A o解法三：( 数形结合法求解) 由于直线) ，=-x与x + y - 4 = 0平行，且圆心在直线)， =x上，设直线y = x与两条切线的

43、交点分别为A , B,则两点的坐标为( 0 , 0 ) , ( 2 , 2 ) ,由已知条件可得，A8为圆的直径，所以圆心坐标为( 1, 1) ,半径为R =啦，因此圆的方程为( % 1) 2 +。-1) 2 = 2。答案A考点二最值问题微专题微考向1:借助几何性质求最值【例2】( 1) ( 2 0 2 0北京高考) 已知半径为1的圆经过点( 3 , 4) ,则其圆心到原点的距离的最小值为( )A . 4B . 5C . 6 D . 7解析设该圆的圆心为( a, b ) ,则该圆的方程为( xa) 2 + ( y b = 1,因为该圆过点( 3 , 4) ,所以

44、( 3 。 ) ?+( 4一加2 = 1 ,此式子表示点( ，切在以( 3 , 4)为圆心，1为半径的圆上，则点( 。，加到原点的最小值为小不? - 1= 4。故选A o答案A( 2 )已知 M ( m , ) 为圆 C ： . P + y24xI4y + 45 = 0 上的任意点，求根 +2的最大值；求合的最大值和最小值。解因为圆1 + 9 - 4 1一14 ， + 4 5 = 0的圆心C ( 2 , 7 ) ,半径r = 2啦，设机+ 2= ，，将?+ 2= / 看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d = * * % ； *W 2

45、啦 , 解得162亚W / W 16+ 2四 ,所以，所求的最大值为16+ 2回。f i-3记点。 ( -2 , 3 )。因为方1表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为了一3 = %。+2 ) ,n-3即 Z r y + 2 2 + 3 = 0 ,则“ 不； = 晨由直线MQ与圆C有公共点,所以| 2 / 1- 7 + 2 + 3 |W2啦。可得2 小 W k W 2 十小,所以启方的最大值为2+5，最小值为2一审。总结反思与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略1 .与圆有关的长度或距离的最值问题的解法。一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解。2 .与圆上的点( ,

46、 ) ，) 有关代数式的最值的常见类型及解法。( 1)形如=导型的最值问题，可转化为过点( 小3和点( x，) ，)的直线的斜率的最值问题。( 2 )形如， = 奴 + 力型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题。( 3 )形如( X 4) 2 +。-b ) 2型的最值问题，可转化为动点到定点( ，b )的距离的平方的最值问题。微考向2 ：借助代数法求最值【例3 设点P ( x, y )是圆: + ( 丁-3 ) 2 = 1上的动点，定点42 , 0 ) , 8 ( 2 , 0 ) ,则中瓦的最大值为。解析由题意，知或= ( 2 x,

47、-y ) , P & = ( - 2 x, y ) ,所以两闻= / + ) ? -4 ,由于点P ( x, y )是圆上的点，故其坐标满足方程3 ) 2 = 1,故；二一。-3 ) 2 + 1,所以限国 = 一( ) ， - 3 ) 2 + 1+ 3 2 4= 6y 12。由圆的方程 / + & - 3 ) 2 = ,易知2 W y W 4 ,所以，当) ， =4时，成风的值最大，最大值为6X 4 12 = 12。答案12总结反思根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值。【题组对点练】I .( 微考向I)已知x, y满足x + 2

48、 y - 5 = o ,则( 工一1) 2 +。一 )2的最小值为( )解析( % l ) 2 + ( y 表示点尸( x, y )到点Q 1. 1)的距离的平方，由已知可得点P在直线x+ 2 y 5 = 0上，所以| P Q |的最小值为点Q到直线/ 的距离，又点Q到直线/ 的距离方；12r二唔所以( 刀一 )2 + ( ) ,一41) 2的最小值为=5。故选A。答案A2 .( 微考向1)从点P( 加, 3 )向圆C。+2 ) 2 + ， + 2 ) 2 = 1引切线，则切线长的最小值为( )A . 2* B . 2 6 C . 4+ / 2 D . 5解析设切点为“

49、，则C M _ L M P ,于是切线M P的长知户= 。2 2一 = 一于 +2 ) 2 + ( 3 + 2 ) 2 1 ,显然,当机= 一2时，MP有最小值加= 2击。故选A。答案A3 .( 微考向2 )已知圆C ：。-3 ) 2 +。-4) 2 = 1,设P是圆C上的动点。记d= | P 8 F + | % F ，其中A ( 0 , l ) ,8 ( 0 , - I ) ,则d的最大值为。解析设P ( % o , . % ) , 1 =仍8 | 2 +|必|2 =焉+(0 +1 )2 +就+(泗一1 )2 =2 (焉 +另 )+2。焉+ 4为圆上任一点到原点距离的平方

50、，所以 (就 + 办皿 =(件值 +1 )2 =3 6 , 所以d m、 = 7 4 。答案 7 4考点三与圆有关的轨迹问题【例 4 】 (1 )(2 0 2 1 . “ 四省八校”联考)平面内到两定点A , 8的距离之比等于常数处 0 且拄 1 )的动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。已知A (O O ), 8 (3 0 ), | % | =；用，则点尸的轨迹围成的平面图形的面积为()A . 2 兀 B. 4 兀_ 3 itC . 7 D . y解析设 P (x, y ), 由 | 以| =)P 5 | , 得 2+ y= 乩丫- 3 )2 +, 4J2+ 4 /= (X-

51、3 )2+-2, x2+ . r =- 2X+ 3,(x+l)24 - r = 4 , 则点。的轨迹是以(-1 . 0 )为圆心，2为半径的圆，所以所求面积S=4TU答案 B(2 )已知 R t Z X A BC 的斜边为 A 8 , 且 A (1 , 0 ), 8 (3 , 0 )。求：直角顶点C的轨迹方程；直角边BC的中点M的轨迹方程。解解法一：设 C (x, y ), 因为4 , B , C三点不共线，所以)，关0 。因为A C L B C , 所以以c 依 c =-l,又- = 击，砧= 之,所以= - 1化简得/ +)2 一女-3 = 0 , 即(X 1 )2 +9 =4 。因

52、此，直角顶点C的轨迹方程为(x - l)2+r =4 (j0 )o解法二：设A8的中点为。，由中点坐标公式得0 (1 , 0 ),由直角三角形的性质知| 8 | = ：依阴=2 。由圆的定义知，动点C的轨迹是以 (1 , 0 )为圆心，2为半径的圆(由于A , B , C三点不共线，所以应除去与工轴的交点)。所以直角顶点C的轨迹方程为。- 1 )2 +)2 =4 ()， 0 )。设 M (x, ) C (xo , 比)，因为B(3 , 0 ), M是线段B C的中点，由中点坐标公式得x = ,y o +0产丁，所以沏=2 x3 , y o =2 y 。由知，点C的轨迹方程为。- 1 )2 +

53、)， =4 0 # 0 ),将沏=2 % 3 , o =2 y 代入阳2 x4 )2 +(2 y )2 =4 ,即(彳-2 )2 +尸1 。因此动点M的轨迹方程为(x2 +产 = 1 ()， W 0 )。总结反思求与圆有关轨迹问题的3种方法1 .直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程。2 .定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程。3 .代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程。【变式训练】自圆C (X -3

54、 )2 +()， +4 )2 =4 外一点y )引该圆的一条切线，切点为Q , P 。的长度等于点P到原点。的距离，则点夕的轨迹方程为()A . 8 x6 y 2 1 =0B. 8 x+6 y -2 1 =0C . 6 x+8 y -2 1 =0D . 6 x-8 y -2 1 =0解析由题意得，圆心C的坐标为(3 , -4 ) , 半径r = 2 , 如图。因为| 尸。 | =俨0 | , 且 P Q _ L C Q , 所以| P O + / =伊。 | 所以 f+ 2 + 4 = (X3 +U+ 4 ) 2 ,即 6 % 8 y 2 1 = 0 , 所以点 P 的轨迹方程为 6 x

55、8 y 2 1 = 0 。故选D o答案D区教师备用题【例1】(配合例1使用)(1 )已知圆心在与轴上，半径为小的圆位于y轴右侧，且截直线x + 2 y = 0所得弦的长为2 ,则圆的方程为。解析根据题意，设圆的圆心坐标为( 。 ,0 ) (公 0 ) ,则圆的标准方程为。一。 )2 +尸 =5( ( ) ) ,则圆心到直线x+ 2 y = 0的距离=害a。又该圆城直线x + 2 y = 0所得弦的长为2 ,所以可得12 + ；坐4 2 = 5,解得a= 2小。故圆的方程为( x 2小) 2 +式 =5。答案(x - 2 y/ 5)2+ y2= 5( 2 )若不同的四点A( 5, 0

56、 ) , B( - 1, O ) , C( - 3, 3) D (a, 3)共圆，则a的值是_ _ _ _ _ _ _ _。 2 5+ 0 + 5Q+ 0 +尸= 0 ,解析四点共圆，设圆的方程为 / +产 +以 + ) ， +尸 =0,则1 1+ 0 。+0 +户= 0 , 解得9 + 9 - 3 D + 3 E + F = 0 ,D = 4 , = - y , 所以圆的方程为一M-gy 5 = 0 ,将 ( 6 3)代入得苏一4 -2 1= 0。解得。 =7或a =F= - 5,一3(舍) 。答案7【例2】( 配合例2使用) 已知实数 ,) ，满足(

57、 x - I p + y W l ,则z = 3x 4 y + 2的最大值为。解析设点P( x , y),因为实数x , y满足a-l p+y W l ,所以点P在圆。- 1) 2 +产 = | 上或圆内。因为z= 3x 4 y + 2 ,所以 3x 4 y+ 2 z = 0 ,令直线方程为 3x 4 y+ / = 0 ( m= 2 z ) ,则当直线 3x 4 y+ ?= 0 与圆(x 1 + ) 2 = 1相切时，m取得最值，此时圆心(1, 0 )到直线3x 4 y+ / =0的距离d =I3+MA/32+ (-4 )2=1 ,所以| 3+ / 川=5 ,解得根=2或/ =8

58、,所以用的最小值为一8 ,所以z 2 = /的最大值为8 ,所以z的最大值为10。答案10【例3】( 配合例3使用) 若尸为圆f+V=l上的一个动点，A( - LO ) , 8 ( 1, 0 )为两个定点，则如I+ IP8 I的最大值为( )A. 2 B. 2 7 2C. 4 2 D. 4解析由已知得，线段A 8为圆的直径。所以| 以|2 +甲加 =4 ,由基本不等式得悍然1空幽苧效=2,当且仅当| 以| = | PB|时取等号，所以照| 十甲用W 2 v L答案B深度探究素养达成课外阅读增分培优从课本习题看“ 阿波罗尼斯圆”历史背景：阿波罗尼斯( Ap olloni

59、 ng ,约公元前2 6 0 17 0 ) ,是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书中， “ 阿波罗尼斯圆”是他的研究成果之一。【例】已知点M与两个定点0 ( 0 , 0 ) , A( 3, 0 )的距离之比为: ，求点M的轨迹方程。【解】如图所示，设动点M ( x , y),连接M。，M4,得| M A| = 2 | M 0 ,即个口-3) ?+ ) * =2 . x2+ ) ， ,化简得 F + V + 2 x - 3 = 0 ,即（X+ 1 ） 2 +2 = 4

60、，则方程即为所求点M的就迹方程，它表示以C（一 I , 0 ）为圆心，2为半径的圆。推广延伸：若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“ 阿波罗尼斯圆”。“ 阿波罗尼斯圆”不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现。【课本题目】（必修2 P . 4 4 B组T ? ）已知点M （ x , y）与两个定点M ，此距离的比是一个正数】，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=和 ?W1两种情形）。【解】以线段 / 此所在的直

61、线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设M（一， , 0 ） ,此（。 ,0 ）（。 0 ） , M（ x , y） o则依题意可得加（加），由距离公式得7（ x + a ） 2 +y= r j （ x a） 2 + 一 ,化简得（ 1 一， 21+（ 1 评）尸 +2。（1 + 加）X+（ 1 M） /=O （ * ） ,当机=1时，方程为x = （） ,图形是直线x = 0 ,也就是线段MM2的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；当mWl时，将方程（ * ）变形，得卜一黑! + . v2=（悬彳下 ,图

62、形是以匕言，（））为圆心，| 宗为半径的圆（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆）。【应用展示】在平面直角坐标系戈0 ），中，点A （ 0 , 3 ） ,直线 / ： y= 2 x 4。设圆。的半径为1 ,圆心在/上。若圆C上存在点使| A M | = 2 | M O | ,求圆心。的横坐标的取值范围。【解】点C在直线/ :）， =一4上，故设。的坐标为（ ,2。 -4 ）。因为圆。的半径八=1,所以圆。的方程是（ x一 + 口，一（ - 4 ） F=。设点M （ xt y）t则由| M A | = 2 | M O |可得点M的轨迹正是

63、阿波罗尼斯圆D,即+（ y3 =2 . x2+） 2 ,化简整理，得 /+（）， +1 ） 2 = 4。所以点M（ x ,），）在以0 （ 0 , 1 ）为圆心，/ 2 = 2为半径的圆上。又点M（ x , y）在圆C上，所以两圆有公共点1 ?的条件是| ， 1一，2 |忘| 。回+ 闻，即 1 W 5 1 2 . + 9 W 9 ,解得 OWaW5。【变式训练】满足条件A B = 2 ,从。 = 啦5。的 A 8 C的面积的最大值是 o解析建立如图所示的平面直角坐标系，将题中数据代入阿波罗尼斯圆公式，得（ . r - 3 ） 2 +产 =8。设圆心为 M ,显然当C M

64、 _ L x轴时， A BC的面租最大，此时| CM = 2 w ，所以（SMBC）2 =：X 2X 2巾 = 2 小。答案 2啦第四节直线与圆、圆与圆的位置关系内容要求考题举例考向规律1 . 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系2 . 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题2 0 2 0全国I卷T u（直线与圆相切）2 0 1 8全国i n卷工（圆的综合问题）2 0 1 6全国 i n考情分析：考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等。题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低

65、，但内容很重要，有时也会在解答题中出现3 . 初步了解用代数方法处理几何问题的思想卷, 1 6(弦长问题)核心素养：直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀基础细梳理知识必备固根基.1 .直线与圆的位置关系与判断方法方法过程依据结论代数法联立方程组消去M或y )得元二次方程，计算/ =护一4 a cJ 0相交J =0相切J 0相离几何法计算圆心到直线的距离d ,比较d与半径的关系。相交时弦长为2 4 3一小d r相离2. 圆与圆的位置关系设圆 0 z ( x j )2+ ( y Z i )2=H( n 0 ) ,圆。2 ：( X 4 2 ) 2 +。岳 )2 = 6( ， 2

66、 0 )。3. 两圆公切线的条数位置彘、几何法：圆心距d与n ，- 2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d + r 2无解外切d = +2一组实数解相交1八一r 2 1 V d O i +2两组不同的实数解内切d = l r i一4 /巴 )一组实数解内含Od n r2| ( n无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234微提醒1 .关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距( 圆心到直线的距离) 、弦长的一半及半径构成一个直角三角形。2 .两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆G： / + ) 2 +。| 工+ ) +2 | =0 , 圆C2：/+9+。亦+

67、石”+ 尸2 =0 , 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由一所得，即( 。-Z ) 2 ) x + ( E | E 2 ) y + ( HB)=0 o小题欷演练小邈演练提知能一、常规题1 .直线y = x + 1与圆x24 - =1的位置关系为( )A.相切 B .相交但直线不过圆心C .直线过圆心 D .相离解析因为圆心( ( ) , ( ) ) 到直线y = x + l的距离= 左= 坐，而()号1,所以直线和圆相交，但不过圆心。故选B。答案B2 .两圆r + y2-2 y = 0与炉+产-4 = 0的位置关系是()A.相交 B.内切C.外切 D .内含解析两

68、圆方程可化为f + ( y - 1)2 = 1,r +)2 = 4。两圆圆心分别为Oi (0 ,I), Q(0 ,0 ),半径分别为r )= l ,2 = 2。因为| 0。2 | = 1= r 2 - 所以两圆内切。故选B。答案B3 .直线y = x + l与圆/ +)2 +2 )、 -3 = 0交于A , B两点 ,则| A B | =。解析由广 +9 +2 )， - 3 = 0 ,得F +(y +l )2 = 4。所以圆心C (0 , 1),半径 =2。圆心C (0 , 1)到直线x-y-h I =0的距离 = 史瑟 =4 5 ,所以依阳= 2寸尸一心= 2百工= 2啦

69、。答案2啦二、易错题4 .(忽视切线斜率不存在)过点ML2 )的圆A2+ / - 4X-2J+ 4 = 0的切线方程是。解析圆/ +炉一4 / 2 )， + 4=0的圆心坐标为(2 ,1),半径为1 ,显然直线y = 2是该圆的一条切线。当过点M (l ,2 )的直线的斜率不存在时，该直线的方程为x = l ,易知直线x = l与圆也相切，所以所求切线方程为y= 2 或 x = l。答案y = 2或x=5 .(忽视两圆相切有两种情况)若半径为r ,圆心为(0)的圆和定圆(x 1)2 +。-2 )2 = 1相切，则r的值等于。解析依题意，叱0 1产+(1 2 )2 = + 1或叱

70、0 。 +( 1 2 )2 = 1一1| ,解得 =啦一 1或 / * = 也 +1。答案啦 1或a+ I6 .(忽视割线斜率不存在)若直线过点P(4 ,l )且被圆炉 +9 = 25截得的弦长是6,则该直线的方程为解析当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x = 4 ,代入圆的方程解得y = 3 ,故该直线被圆裁得的弦长为6。当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为)， - 1=总 4 ),即日一y一以+1= (),圆心到直线的距离则2、，5 2 -件=6,解得上= 一竽，所以直线方程为15 x +8 y 6 8 = 0。综上所述，所求直线方程为x = 4或l 5 x

71、 +81y 6 8 = 0。答案 x = 4 或 15 x +8 y -6 8 = 0考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一直线与圆的位置关系自主练习1 . 已知点M (a , A )在圆O ： f+ yul夕卜，则直线a t +b y = l与圆。的位置关系是( )A.相切 B.相交C.相离 D .不确定解析因为A f (a ,勿在圆。:炉+)， =1外，所以 +加 ,而圆心。到直线ov +b=1的距离d =9 +M=p0或m0o答案 D3 .圆/ +y 2 2 x +4 y = 0与直线2一,一2 -2 / = 0 (， 2的位置关系为( )A.相离 B.

72、相切C.相交 D .以上都有可能解析直线 2 a -y 2 -2 / = 0 恒过点(1, - 2 ) ,因为 y +(-2 )2 2 X 1+ 4乂(-2 )= 5 ， -3 )2 = 9上到直线3 x +4 y 11 =0的距离等于1的点的个数为( )A . 1 B . 2 C . 3 D. 419 +12 -1I I解析如图所示，因为圆心到直线的距离为171=2,又因为圆的半径为3 ,所以直线与圆相交,故圆上到直线,的距离为1的点有3个。答案 c练后感悟判断直线与圆的位置关系的常见方法1 .几何法：利用d与 r 的关系。2 . 代数法：联立方程之后利用/ 判断。3 . 点与圆的位

73、置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题。考点二圆的切线问题【例 1】（ 1）（ 2 0 2 0 浙江高考）已知直线= 依+仇女0 ）与圆/+ 9=1 和圆。- 4 ） 2 +），2 = 1 均相切，则k =， h=。解析解法一：因为直线， = 去+ 心0 ）与圆（+2 = 1 和圆。- 4 ） 2 +），2 = 1 都相切，所以依_| 4 A +例4 1 + K y11+ KI I 亚 I 2 3=1 , 得 = 方-, = -q- 。解法二：因为直线卜= 依 + 2 0 ）与圆/+1y2=1

74、和圆（ % 4） 2+） 2=I都相切，所以直线）， = 麻+ 必过两圆心连线的中点（ 2 , 0 ） ,所以2A+Q0。设直线产网+ 的倾斜角为仇则s i n e = 今又心0 , 所以0 弋，所以我=t a n6 = 3 b =-2k=- -o控案近一逋口呆 3 3（ 2 ）已知圆C ： W + y22 x 4 y + l =0上存在两点关于直线/ ：3 + 少+ 1 = 0 对称，经过点M（ 3 M作圆C的切线，切点为P ，则| M P | = o解析圆C: f + y ? - 2 x 4 ）， + 1 =0的圆心为C（ l , 2 ） ,半径为2 。因为圆上存在

75、两点关于直线, x + / . y +1 = 0 对称，所以直线/ :x + m y + 1 = 0 过点（ 1 , 2 ） , 所以1 + 2 m + 1 = 0 , 解得? = 一1 , 所以| 仞。2 = 1 3 , 附尸| = 小5= 3 o答案 3总结反思1 .切线方程的求解常用几何法，但需注意切线斜率是否存在。2 .与圆的切线有关的几何性质问题，常在涉及到的直角三角形中求解，如本例（ 2 ）。【变式训练】已知圆的方程为f+） 2 = 1 , 则在），轴上截距为血的切线方程为（）A . y = x + 啦B . y=x + V2C. y = x + 也或 y=x + 啦

76、D . x = l 或旷= % + 地解析在），轴上极距为啦且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为）， = 依 + 近，则J因尸,所以& = 1 , 故所求切线方程为 = 1 + & 或y=x +啦。答案 C（ 2 ）（ 2 0 2 0 全国I 卷）已知。M： F + y - Z x 2 厂 2 = 0 , 直线/ ： 2 x + y + 2 = 0 , 尸为/ 上的动点。过点P 作0M的切线用，P B ,切点为A , B,当I PM M B I 最小时，直线AB的方程为（）A . 2 x y 1 = 0 B . 2 x + y - 1 = 0C. 2Ay

78、,由A + y + 2 = 0 , J x = - 1 ,|x2 y+ l= 0 , 4 y=0,所以 P( 1,0)。因为点M 到直线才 = - 1 的距离为2 , 所以直线工 = - 1过点P 且与。M 相切，所以A ( - l,l) 。因为点A(1,1)在直线A 4 上，故排除B。故选D。答案 D考点三圆的弦长问题【例2】(1)设圆 / +22% 一2y2 = 0 的圆心为C , 直线/ 过点(0,3)与圆。交于A, B两点 ,若依加=2小，则直线/ 的方程为()A. 3x+4y-12=0 或 4x-3y+9=0B. 3x+4y12=0 或 x=0C. 4x

79、-3y+9=0 或 x=0D. 3x-4y+12=0 或 4x+3y+9=0解析当直线/ 的斜率不存在，即直线/ 的方程为x = 0 时，弦长为2，5 , 符合题意：当直线/ 的斜率存在时，可设直线/ 的方程为 = 履 + 3 ,由弦长为2小，半径为2 可知，圆心到该直线的距离为1 ,从而有= 1 , 解得太= 一 , 综上，直线/ 的方程为x = 0 或 3x+4y-12=0。答案 B(2)(多选)已知圆方程为(X1)2+。-1)2=4与直线x+m yM2 = 0 ,下列选项正确的是( )A.B.C.D.直线与圆必相交直线与圆不一定相交直线与圆相交且所截最短弦长为2小直线与圆

80、可以相切解析由题意，圆(x1)2+。- 1)2=4的圆心C (l )，半径 r = 2 , 直线x+m y2 = 0 变形得x2 +w ( y - l) = 0 ,得直线过定点A (2 ,l),因为|C4|=(2 1+(1 1)2=1V2 , 所以直线与圆必相交，故 A 正确， B,D 错误：由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2炉工 jE 乔=2小，故 C 正确。故选AC。答案 AC总结反思处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形的三边长。【变式训练】(1)(2021贵阳市适应性考试)已知圆

81、C 的圆心是抛物线r =4)，的焦点，直线4x-3y2=0与圆 C 相交于A, B两点、 ,且0 同 = 6 , 则圆 C 的标准方程为 o解析因为抛物线.F = 4y的焦点为(0 ,1 ),所以圆C 的圆心为(0,1)。圆 C 的圆心到直线43,2 = 0 的距离为又依8 |= 6 ,所以圆C的半径= = 5 ? + 32=回,所以圆C 的标准方程为f + ( y = 10。答案 / +。-1)2=10(2)已知直线/ ：吹 + y+ 3 加一小= 0 与圆产 + 9 = 1 2 交于 A, B 两点，过点 4, 8 分别作/ 的垂线与x 轴交于 C , 。两点。若|

82、A8|=2小，则| CQ| =o解析由题意|A4| = 2小，又圆的半径为2小，所以圆心到直线/ 的距离d = 3 ,所以号；誉= 3 , 所以用332小= 回2: , 所以直线/ 的倾斜语为30。。因为点C, D分别为过点A, B 作/ 的垂线与x 轴的交点，所以ICD|晨君 ) 。=4o答案 4考点四【例3】求证:圆与圆的位置关系已知圆 G：2x6y1=0 和圆。 2： x2+ y 1 Ox 12y+45=0o圆 G 和圆C2相交；求圆G 和圆G 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。解（ 1 ）证明：圆G 的圆心G （ l, 3 ） ,半径r尸， I T,圆C

83、 2 的圆心。 2 （ 5 , 6 ） ,半径生= 4 ,两圆圆心距 d= | GC d = 5 , r1 + r2= V n + 4 , |八一 2 | = 4 - 巾 1 ,所以历一r2 1 V d + 4 = 0 , 两圆作差得标 - 2 ）， +4=4 , 即y = 2 x + 4 , 所以直线A B的方程为y = 2 x + 4 , 故B错误：对于C,圆 0:f +产= 4的圆心为（ 0 , 0 ） ,半径为2,则圆心到直线48的距离4=7 =邛 , 所以依阴= 2 y 2 2 平 =竽 , 故 C错误；对于D,圆M : /+） 2 + 以一2 , ， +4=0的圆心M（ 2 ,

84、1 ） ,半径为1 , 所以| M m a x = | O M + 2 + l = 4 + 3 , 故 D 正确。故选 A D 。答案 A D（ 2 ）若圆。 | ：/+9=5与圆。 2 ：。+m ） 2 + ） 2 = 2 0 相交于A, B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段A B的长度是（）A. 3 B . 4C . 2 小 D . 8解析如图，连接。|4 , O2A,由于0 OI与。O 2 在点A 处的切线互相垂直，因此所以ON+QA 2,即产 = 5 + 2 0 = 2 5 , 设 4 8 交工轴于点 C 。在 R t Z kC M Q 中, s i n N A

85、Q O = 坐，所以在 R t Z AC Q中，A C = A O2 s in Z AO2O i = 2 V 5 X = 2 , 所以 A B = C = 4 。故选 B 。答案 Br ?教师备用题【例 1 】（配合考点一使用）已知点P （ a, b）（ a W 0 ）是圆片+ 产二/ 。。）内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线/ 的方程为公+ 勿= 产，那么（）A. m / / L且/ 与圆相交B . m_L / , 且/ 与圆相切C . m / / L且/ 与圆相离D . m l ,且/ 与圆相离解析因为点P ( a , Z ? ) 3 8 W 0 )在

86、圆内，所以圆的圆心为。( 0 , 0 ) ,由题意得。P _L i。因为k ()p =，斤以朦= 一方因为直线/ 的斜率2 / =一楙= , 所以” ? / 。因为圆心O到直线/ 的距离公后 + 产7= r ,所以/ 与圆相离。故选C。答案C【例2】 ( 配合例2使用) 设过点。 ( 一2 , 0 )的直线与圆C ：炉+ 产一叙一2、 +1 = 0的两个交点分别为A, B ,若8两= 5筋，则|A 8|=()A .挈 B .呼蛎口隹5 3解析由题意知，当直线A 8的斜率不存在或斜率为零时，不满足题意。设A( xi, y) , 8 ( X 2 ,力) ，直线X+y24 x2 y+

87、 l= 0 , 4 2 / 1 3A B 的方程为 x = ? y2 ,由，得 ( 产 +1 ) 2 (8 / % + 2 ) y + 1 3 =0 ,由 /0 ,得 rn2 =吊1 代入通 = 总不得 ) 彳 =房1 ，故货二嘴乂房 , 又8 + ) 2 =倍茕2 ,R f7 M + ) g + 2 y Ly 2 =贤、产; + ,?； = ：； * ；卜整理得 M4 0 ?+ 7 6 =0 ,解得 ?=2 或6=3 8。又| AB | =W靛而后见耗富所以当?= 2时，| AB | =竽；当m= 3 8时，| 4 8 | =挈。综上| A8 | =*。故选 A。答

88、案A【例3】(配合例3使用) 已知两圆H- . y22 x 6 y 1 = 0和A+ y2 1 0A 1 2 v + m = 0c求：(1 )加取何值时两圆外切？(2 )?取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3 )求?=4 5时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长。解两圆的标准方程分别为(x - 1 ) 2 + 0 - 3 ) 2 = I I , (x - 5 )2+ (- 6 )2=6 1 一 1 ,圆心分别为M (l ,3 ) , N (5,6 )t半径分别为y/ Tl和y 6 1tn 0(1 )当两圆外切时，AJ(5 l )2+ ( 6 - 3 )2=y/ Ti+y)6 l

89、in 解得机=2 5 + 1 0 1 1。(2 )当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值。故有) 6 i / 一q r y = 5 ,解得/ =2 5 i s/ T T。6 *1 -3 3因为4所以两圆公切线的斜率是一；。,=VHO4设切线方程为,=一三十力,9+3一则有所解得/ =号琢伍1 3 s容易验证，当h = w+NTT时，直线与圆片+ )2 1 (匕 -1 2 ) ， +加=() 相交，舍去。故所求公切线方程为严一 % +号一即，即 4 x + 3 y + 5 V H- 1 3 =0 o(3 )两圆的公共弦所在直线的方程为(x24 - y22 x 6 y

90、 1 ) ， + ) 2 1 0 x 1 2 y + 4 5 ) =0 ,即 4 x + 3 y 2 3 =()。I l, (1 4 + 3 X 3 - 2 3 ：则公共弦的长为 2 X A ； (V T 1 )2- =2 / 7 .第五节椭圆内容要求考题举例考向规律1 . 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）2 . r 解椭圆的简单应用3 .理解数形结合的思想2 0 2 0 全国f f l 卷/。（椭圆的方程及直线与椭圆位置关系）2 0 2 0 天津高考为8 （椭圆的方程及直线与椭圆位置关系）2 0 1 9 全国I 卷7 o （椭圆方程

91、）2 0 1 9 全国I I I 卷5 5 （椭圆的几何性质）考情分析：椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中。题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算教材回扣基础自测自主学习知识积淀基础细梳理知识必备固根基.1 . 椭圆的概念（ 1 ）文字形式在平面内到两定点K，B 的距离的和等于常数（大于I R B I ）的点的轨迹（或集合）叫幽。这两定点叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做焦题。（ 2 ）代数式形式集合 P = M I M R I + |

92、M F 2 | =2 ” , | FIF2| =2C2 0微提醒2 =旧后| 时，动点的轨迹是线段勿| B B I 时，动点的轨迹不存在。2 . 椭圆的标准方程与几何性质标准方程摄+ 方=1 （力 0 ）、+1 = 1 3 0 ）范围I x l Wa, I WWbh i WZy , I WWa对称性关于X 轴、V 轴、原点对称顶点（土 0 ） , （ 0 , 地（垃 0 ） , （ 0 , 士 m离心率0 v e=2 v lU微提醒1 .椭圆方程的两种设法AV2+ 5 （2=I 或会+ 5 = 1（ 4 0 , 8 0 , A H B ）表示椭圆。2 .离心率表示椭圆的

93、扁平程度。当e 越接近于1 时，c 越接近于m 从而越小 , 因此椭圆越扁O3 .焦点三角形椭圆上的点P （ x o , y o ）与两焦点构成的三角形PQB称做焦点三角形（如图）。/ 尸产尸2 =仇（ 1 ）焦点三角形的周长为2 3 + c ）。（ 2） SA?F|F2=r2s i n 0= c | y0| = Z ?2t an 。3 .直线与椭圆的位置关系（ 1 ）直线与椭圆位置关系的判断（y= k x - m ,尤+ 炉_ 得（接+ . 2 炉 * + 2 2 卜 n + 4 2 评“ 2 b2 = 0 , 该一元二次方程的判别式为4 。4 X ） 0有两个交

94、点相交;1= 00有二交点相切；/ v O O 无交点O相离。（ 2 ）椭圆的弦长A B 为椭圆的一条弦, 所在直线的斜率为七A （ x i，J , ） , 8 （ X 2 , ”），弦中点M（ x 。，y （）） o直线AB的方程：yyo = %（ % 即）。线段A 8 的垂直平分线方程：） , 一加=这。一沏）。小题微演练小题演铸提知能.一、常规题I . 若凡（一3, 0 ） ,尸 2 （ 3, 0 ） ,点尸到R ,尸 2 距离之和为1 0 ，则尸点的轨迹方程是（）A-费 +石 =1 B.赤 + 卧 1C . 5 7+77=1 D . 冬 +1=1 或泰

95、+亲 =12 5 1 0 2 5 1 0 2 5 1 0解析设点P的坐标为（ 4 , y ） ,因为| P Q| +| P B I =1 0 历B l = 6 , 所以点P的轨迹是以品，B为焦点的桶0 ,其中a=5 , c=3, h = - j a2c2=4,故点P的轨迹方程为去+汽=I 。故选A。答案 A2 . 椭圆J= 1的焦距为4,则， “ 等于（）1 。一？ in2A . 4 B . 8C . 4 或 8 D . 1 2解析当焦点在无轴上时， 1 0 ， L20,10，一（ ? - 2 ） = 4 , 所以? = 4 。当焦点在y 轴上时，机一2 1 0m 0, /

96、r i 2 （ 1 0w ） = 4,所以 ? =8 。所以小=4 或 8 。故选 C 。答案 C3 .若椭圆 +苓 =1 （ “ 0 ）的离心率为当短轴长为4,则椭圆的方程为。 2 6=4 ,解析由题意得里解得所以椭圆的方程为经 + = 1。a 2 仍=2 , 1 6 4、 2 =力 2 +/ ,答案函=1二、易错题4 .（忽视定义中2 公内尸2 | ）平面内一点M 到两定点向（ -6, 0 ） ,尸 2 （ 6, 0 ）的距离之和等于则点M 的轨迹是。解析由题意知| M R| + | M B I =1 2 , 但尸1 生| =1

97、2 , 即| M E | + | M B I =I P B I , 所以点M 的轨迹是线段&B。答案线段F尸25 .（忽视焦点位置）已知椭圆1 （ ? 0 ）的离心率则用的值为 o解析当椭圆焦点在工轴上时， 0 z n 5,由解得 = 号综上可得? =3或6 =号答案 3 或专6 .（忽视点尸的限制条件）已知点尸是椭圆方+宁=1 上y 轴右侧的一点，且以点P及焦点R, B为顶点的三角形的面积等于1 , 则点P的坐标为 O解析设尸（ x , y） ,由题意知/ =一=5 4 = 1 , 所以c = l , 则居（一 1 , 0 ） , F2（ 1,0）O由题

98、意可得点P到x轴的距离为1 , 所以）， = 1 , 把 y =1 代入, + ，= 1 , 得 x =理W 又x 0 , 所以1 = 理 , 所以尸点坐标为停，1 ）或婚，- 1 ） .答案理,1 ）或怨-第 1 课时椭圆及其简单几何性质考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一椭圆的定义及应用【例 1 】（ 1 ）已知 A 8 C 的顶点4 , C在椭圆专 +产 =1 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在8 C 边上，则 A 8 C 的周长是（）A . 2 小 B . 6C . 4 小 D . 1 2解析如图，设椭圆，+ 9 = 1的另一个焦点为产

99、2 , 则乃在 BC上，即| 3（ 7| =| 8 尸 2 | +旧。，又因为B , C都在楠圆5 + 9 = 1 上，所以| B A | +| B B I =| C A | +| C B | =2 4 =2 小，于是， Z U B C 的周长为| 区 4 | + | 8 。+| 。 | =| 8 4 |+ | 8 F2 | + | F2 C | +| C A | =4 5 。答案 c（ 2 ）已知R , F2 是椭圆C ：，+ 乐 = 1 3*0 ）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且由 1 . 丹I2 。若A P FiF?的面积为9 , 则b=o解析解法一：由椭圆定义，得|

100、P Fi | + | P F2 | =2 a, 所以|PFIF+|PFJ+ 2 |尸FIHPF2|=4 。因为炉J 用工所以| 尸产十| 月| 2 =阴川 2 =4 。 2 , 所以 2 | P Fi M P F2| = 4 a2-4 c2=4 b2,所以仍尸小 | 尸产 2 | = 2 。因为 5 旷勺七=；| P Fi H P B I =9, 所以 6 = 3 。解法二：由结论心”吃二乡=片面1 1 =Z ?2t an = ，得6 = 3 。答案 3（ 3）已知尸是椭圆5 , F+9），2 =4 5 的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（ l ,l ）是一定点。求解| 十

101、| P Q 的最大值和最小值。解如图所示，设椭圆右焦点为广则| P F| + | P H| = 6 。所以 | M | + | P F| = | % | 一 | P Fi | + 6 。利用一照 | 一 | P R | W | AB| （当P , A, Q共线时等号成立） ,所以| 附| 十 | P F| W 6 + 0 , | %| + | P F| 26 -V L故 | 附| + | P F 的最大值为6 + 也，最小值为6 &。总结反思I . 椭圆定义的应用范围（ 1 ）确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆。（ 2）解决与焦点有关的距离问题。2 . 焦点三角形的应用椭圆

102、上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“ 焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求IP F4, | 尸产通过整体代入可求其面积等。【变式训练】（ 1 ）已知两圆G ：。- 4） 2+ ） 2= 1 6 9 , C2：（ x + 4）2+/=9, 动圆M 在圆G 内部且和圆C相内切，和圆。 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）解析设圆M的半径为，，则| M G| + | M C 2l = (1 3-r )+ (3+ r )=】6 8 = | GC 2| ,所以M的轨迹是以G, C2为焦点的椭圆，且2o = 1 6 ,2c = 8 ,故所求的轨迹方程为器+

103、太= 1。故选D。答案D(2) (20 21 岳阳模拟)如图所示，椭圆2 +( = 的左、右焦点分别为Q，B ，过居的直线交椭圆于M ,N两点，交y轴于点”。若R,，是线段的三等分点，则 B M N的周长为 ( )A. 20 B. 1 0C . 2 5 D . 44解析由是线段MN的三等分点，得是H N的中点，又B C O ) ,所以点N的横坐标为服由得从。，皆，所以4 0,今，又尸Fi为H M的中点、 ,所以从一2c , 一不。把点M的坐标代入椭圆方程，得誓 + : =1,化简得4 / + 1 =屏，又/=4 4 ,所以2= 5 , = 小。由椭圆

104、的定义知 W BI + WQ | = | M B| + | M Q 1 = 2% 则 B MN 的周长为 | NBI + MF2 + MN = N F2 + | M BI+WQ | + | M Q | =4 a= 4小。故选D。答案D(3)设点P为椭圆C ，+5=lS2)上一点，Fi ， B分别为。的左、右焦点，且N R P B = 6 0。，则尸2的面积为 o解析由题意知，c = 2-4o 又NR P F2= 6 0。，| 尸固 +危| = 勿，| Fi F2| = 2 a2- 4 ,所以| FIB F = (| F| P |+ | P F2| )2-2| F,P | | P F

105、2| -2| FIP | -| P F2|C O S 6 0O= 42-3| FIP | | P F2| = 42- 1 6 ,所以内外| 尸臼= ； , 所以 5 F例 = ；1 P l p HP BIs i n 6 0。 = 改号乂坐 = 。答案竽考点二椭圆的标准方程【例2】过点(小，一而，且与椭圆( +看 =1有相同焦点的椭圆的标准方程为 .解析椭圆点 + 方 =1的焦点为(0 , -4), (0 ,4),即c = 4。由楠圆的定义知，2a = / (V 3-O )2+ (-V 5 + 4)2+1(小一0尸 + (一也一守 ,

106、解得。 =2 #。由 /=/一可得攵 =4。所以所求椭圆的标准方程为苏+5=|。答案知A 1 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点卜 | , I),(小，小 )，则椭圆方程为解析设械圆方程为，加 +五 =1 ( ? ，0 ,机金 )。由2,， + ,2 解得?= 上， = = 。所以1 3小 +5 = 1 ,桶圆方程为六 + 尢 =1。答案卷 + 卷 =1(3)已知椭圆C的焦点为Fi (-l ,0 ),尸2(1 ,0 ),过尸2的直线与C交于A, 8两点。若| AF2| = 2| BB| , A B = B F则C的方程为，.解析由

107、题意设椭圆的方程为3= 1 3/ 0 )，连接片A ,令内用 = ，则| A E| = 2m , | B FI| = 32。由椭圆的定义知， | 防| +| 8 月| = 2 ，即4 次= 2。，得? = 今故| F2A l =。 = 尸圜，则点A为辅圆C 的上顶点或下顶点。令NO A F2 = J （ O为坐标原点），则s i n = % 在等腰三角形A / ? Fi 中，c o s 2 0 = = ： ,所以;= 1 2（；： ,得辟T= 3 。义/=1 ,所以 / = 一/=2 ,椭圆C 的方程为5+ ；= 1 。答案 .+ 1 = 1总结反思利用

108、定义法求椭圆方程，要注意条件24|FIB I ;利用待定系数法要先定形（焦点位置），再定量，也可把椭圆方程设为，加 + 江 =1（心 , 0 , 加会）的形式。【变式训练】（ 1）己知椭圆C ：摄 +1= 13 0 ）的左、右焦点分别为K，” 2, 离心率为I ，过 B的直线与椭圆C 交于A , 8两点，若 QA B 的周长为8,则椭圆方程为（）A . B . f | +石= 1C. y + y2= 1 D . + 、=1Z4 Z解析如图，由桶圆的定义可知，凡4 6 的周长为4 d 所以4 = 8 , 。 =2 ,又离心率为:，所以c = l , = 3, 所以椭圆方程为,

109、/ + ,V2= 1。答案 A（ 2）（多选）若方程若+ m = 1 所表示的曲线为C ,则下面四个说法中正确的是（）A.若 1左3 , 则 C 为椭圆B.若 C 为椭圆，且焦点在. v 轴上，则2u 340,解得2UV 3, 故 B正确；对于D,当曲线C 为双曲线时，则（ 3。一1）。 0 ）的左焦点为凡上顶点为A,右顶点为8,若A / = B 是直角三角形，则椭圆C 的离心率为（）A.* B.坐rf c n 2 i - * o解析如图所示，F（ - c , 0 ） , A （ 0 , b） , B （ a, 0 ） ,因为A A B / 是直角三角形，所以4 / _ L

110、A B , 所以林油=0,又因为#=（ c , b） , A = （ a, b）t所以一农 +加 = 0,又因为= 2所以一加一/=0,又因为e=% 所以 +e 1 = 0 , 所以e = 孕 & 又因为0 方 0 ）的右焦点作x 轴的垂线，交 C 于A , B两点,直线/ 过C 的左焦点和上顶O,:点。若以4 8为直径的圆与/ 存在公共点，则C的离心率的取值范围是（）11或5应2解析由题设知，直线/ : + 5 = 1 ,即以一cy+ A c=O ,以A 8为直径的圆的圆心为（ c,0） ,根据题意,将x = c代入椭圆C的方程，得y =吟 ,即圆的半径 = 日。又圆与直线, 有公共点

111、，所以化简得2cW b,平方整理得. 2 2 5 / ,所以杀又01 ,所以0 历 0）上的两点，且A, 8关于坐标原点对称，尸是椭圆的一个焦点，若AAH产面积的最大值为2 ,则椭圆E的长轴长的最小值为（）A. 1 B. 2C. 3 D. 4解析因为A, 8关于坐标原点对称，所以可设A 5 ,巾），B（-x i, - y i） ,其中9乂）。不妨设 &c,0） ,则SAB/ = c-（yi + y i） = cy,因为 ABF面积的最大值为2, yi （ 0, b ,所以当y = Z?时ABb的面积取到最大值，且cb=2。故从。 =4 ,当且仅当8= c =也时 =”成立，此时=

112、2,2。 =4。故选D。答案D（ 2）已知点P是椭圆?+号= 1上的动点，且与椭圆的四个顶点不重合，R ,尸2分别是椭圆的左、右焦点,。为坐标原点，若点M是 /QPF2的角平分线上一点，且RM _LM P,则10M的取值范围是。解析不妨设点P在第二象限，延长R M ,交直线。尸2于N。因为M是N R P B的角平分线上一点，且FiM_LMP,所以历M = WM, |PFil = l尸N ,即M为F iN的中点。又因为。为QF?的中点，由中位线定理可得|O M |= /w i=；（ |P/ 2|IPN） ,又|PFi| + |P B |= 2 a = 4 ,所以|0 |=加川

113、 = ；（4 -2呐） = 2一|PH|。因为。-c |P F i| ,即 lv|P R |0）的右焦点为 & c,0） , 上顶点为A（ 0, b）f直线上存在点户满足（仲 +茂）砂= （） ,则椭圆的离心率的取值范围为（）A停，1） B . 悍 ,1 ）C . 年,1） D .（0 , 挈解析取 A P的中点Q , 则（冲 +两），所以（巾 +曲）介= 2升。 Q = 0 , 所以 F Q U P ,所以为等腰三角形，即| 阿 = |F P |,且网 = 夜耳 = 。因为点尸在宜线x = ? 上，所以|F P |N -c ,即心（

114、一c,所以1 , 所以”+ e1力0 , 解得e 2 * 2 或一坐 k又（） e l,故， ? 工 0% 2 , 则当x=2 时，可成取得最大值4。答案 4区教师备用题【例 1】（配合例 1 使用）设 F” 6 为椭圆卷+ 专 = 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段P A 的中点在y 轴上，则隔的值为（）Af B上A. 14 D- 13C. 1 D. 1解析由题意知” =3, b = 由横圆定义知|PK|+|PB|=6。在P B B 中，因为尸居的中点在y 轴上，O为的中点，由三角形中位线性质可得勿小轴，所以|P匕所以| 吗= 6仍尸 2

115、|=号，所以篇= 。故选 Bo答案 B【例 2】（配合例2 使用）已知椭圆E： 5 + = 小公功冽的右焦点为F（3。），过点尸的直线交E 于 A, B两点。若 A 8 的中点坐标为（ I, 一1） , 则 E 的方程为（）A-含 +卷 =1 B . 益 + 君 =1C:+ 的 =1 D . 需 + 若 =1解析如图所示，设点 A 的坐标为（ d, h ） , 点、B的坐标为（7, g） , AB的中点为P 。代入椭圆方程可得阳 N 如徨3+力( 一力4 - ( - g) ( / ? + g) 而b2 h - g两式相成可得- - -u- - - - - +-

116、- - - -P = 0,即可得了石7 , 一宗，因为k A B = JZ = k p Fh + g=|, G p = l M = 9苛 = - 1 ,所以一 % =一； , 即得 =2 ，义由/ = 一/ = 2一=3 2 =9 ,可得 b22=9 , 2 =1 8 ,则所求椭圆方程为标+= 1。故选D。答案D【例3】( 配合例3使用) 设O是坐标原点，尸是椭圆C ： 5 + * = 1 ( 。 0 )的一个焦点，点W在C外，且加= 3次，P是过点M的直线/ 与。的一个交点，APM尸是有一个内角为1 2 0。的等腰三角形，则。的离心率等于 ( )A. 坐 B

117、. fC - D.坐解析解法一: 如图，不妨设R( c , 0 ) , F ( c , 0 )分别为C的左、右焦点，可得M( 3 c , 0 )。由椭圆的几何性质知|P F |v ” + c。因为点M在。外，所以|F M + c ,所以|P F |v尸M |,所以在等腰APM/ 中，N M P尸=1 2 0 ,因为Q 为线段M/ 的中点，故PPJx轴，即为直角三角形且|P F | ：尸阴： |尸月=1 ：小：2 ,所以e=2 =甲臼 = 必选2 a P F P F 3 0 故远 B。解法二：不妨设尸i( - c , 0 ) ,广( c , 0 )分别为。的

119、丢+点= 1的左、右焦点， ” 是该椭圆上的一个动点，那么|暇芭+ 用人|的最小值是( )A . 4 B . 6C . 8 D . 1 0解析设M ( % ,川) ，F i( - 3 , 0 ) ,尸2 ( 3 , 0 )。则股左=( 一3一沏，- y0)f林2 =( 3沏，一地) ，所以林】 +油2= (- 2 x o , - 2 yo ), | 桥i + 桥2 l =劣4 r +4 4 =, 4 X 2 5。-制+ 4此 =y j 1 0 0 因为点 M 在椭圆上，所以0 W M W 1 6 ,所以当) % = 1 6时，I A 7 R +淋2 |取最小值为8。答案C第2课时

120、直线与椭圆的位置关系考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一直线与椭圆的位置关系自主练习1 .若直线y =H+l与椭圆行 + ) =1总有公共点，则m的取值范围是( )A . ( 1 , + o o ) B . ( 0 , + )C . ( 0 , l ) U( l , 5 ) D . 1 , 5 ) U( 5 , + 8 )解析由于直线) ， = 履 +1恒过点( 0 , 1 ) ,所以点( 0 , 1 )必在桶圆内或椭圆上，则( X、W1且机W5,故m2 1且 m W 5。答案D2 .已知直线/ ： y = 2 x+m,椭圆C ：试问当初取何值时，直线 / 与椭圆C

121、：( 1 )有两个不重合的公共点；( 2 )有且只有一个公共点；( 3 )没有公共点。解将克线/ 的方程与椭圆C的方程联立，y = 2 x + m ，将代入，整理得9. F + 8 ?x+ 2相2-4=0。方程根的判别式J = ( 8 / n )2- 4 X 9 X ( 2 产- 4 ) = - 8疗 + 1 4 4。( 1 )当/ 0 ,即一3啦v m 36时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解。这时直线/ 与椭圆C没有公共点。练后感悟判断直线与椭圆位置关系的方法1 .对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点。2 .判断直线和椭圆的位置关系，一般转化为研

122、究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数。考点二弦长问题【例I】椭圆两顶点A ( 1 , 0 ) , 8 ( 1 , 0 ) ,过焦点尸( 0 , 1 )的直线/ 与椭圆交于C ,。两点，当| 。。 | = 乎时 ,求 / 的方程。解由题意知方= 1 , C = l o所以 / = 护 + =1 + 1 = 2。所以椭圆方程为 + =1。若直线/ 斜率不存在时， C D = 2 yj 2t不合题意。若 / 斜率存在时，设/ 的方程为) ， = 履 +1 , y = H + 1 ,联立 . 得( 严+2帚 +2收 - 1 = 0 ol r+ 2 r= 2 ,/ =

123、8 ( K + l ) 0 恒成立。设 C ( M , y i ) , D(X2, 兑) 。“ 、，. 2 k 所以Xi + x2= . + 2 , X1X2 = 1+ 2。所以| C Z ) | =护不历- X2=q 1 + 网 3 +M) 2 -4 _ X M2市 ( 一 +1 )=F + 2 2A/ 2 ( + 1 ) _ 3 2即 F + 2 - 2 ，解得&2 = 2。所以*= V L所以直线/ 方程为恒一) ， + I =0或啦r+ y 1 = 0。总结反思1 .弦长公式的几种形式(1) |4 8 |= 护7 四一电1 。(2 ) |A B |=(4 ) |A B |=(3

124、) 凶8 | = #(1 +4)( X1 +X2)2_ 4XIX 2 O2 . 弦长公式的运用技巧弦长公式的运用需要利用曲线方程和直线方程联立建立一元二次方程，设直线方程也很考究，不同形式的直线方程直接关系到计算量的大小。若直线经过的定点在纵轴上，一般设为斜截式方程y = k x + b便于运算,即 “ 定点落在纵轴上，斜截式帮大忙”；若直线经过的定点在横轴上，般设为/ 畋= x 。可以减小运算量,即 “ 直线定点落横轴，斜率倒数作参数”。r2 y2 1【变式训练】如图，在平面直角坐标系x Q y 中，椭圆) + g = 1 ( 。 % 0) 的离心率为于过椭圆右焦点尸作两条互相垂直的

125、弦4 B 与 C 。当直线的斜率为 0 时，| 人用= 4 。(1) 求椭圆的方程；4 8(2 ) 若|A 8 |+ |C D |= 7 , 求直线AB的方程。解(1) 由题意知6 = 彳= 孑，2 = 4 。又 / 二 +产，解得= 2 , b =币,所以椭圆方程为5+$ =1 。(2 ) 当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|A B |+ |C Q |=7,不满足条件。当两弦所在直线的斜率均存在且不为0 时，设直线48的方程为 y = 4 不- 1) , A S , y O , B g y2) ,则直线CD的方程为y = (x D o

126、将直线A B的方程代入椭圆方程中并整理得(3 + 4 公*一8 后r+ 4 产 12 = 0,则即 +处 = 讦而 ,4 / 12孙处 =/,所以汝印= 仁尸+1小-x2=、/+ 臼 3+月 ) 2 - 4 由必= 鲁M)。同理,12 伙 2 + 1)3 4 ? + 4 0所以 |A B | + |C D | =12 (+ 1) 12 (+ 1)3 + 4 & 2 + 3 门 4_竺母援 _48解律上_ +一(3 + 4 炉 ) (3 炉+ 4 ) - 7，解得 H，所以直线A8的方程为xy 1 =0 或x + y 1= 0。考点三中点弦、弦中点问题【例 2 】已知椭圆与+

127、2 = 1,(1) 过 A (2 , l) 的直线I与椭圆相交，求 ; 被截得的弦的中点轨迹方程；(2 ) 求过点且被P点平分的弦所在直线的方程。解(1) 设弦的端点为P (x i, y i) , Q(X2, r2 ) , 其中点是y),则应+为= 办: ，”+ 1= 2 ) ， ,由于点P,。在桶圆上，则有：J 尹炉 = 1 ，1 芋+另= 1 ，一咋s=一制+为2。亡+% )xx v 1所以一旷曰，化简得1 - 2 * + 2 V - 2 y = 0 (包含在椭圆亨 +9=1内部的部分) 。(2 )由(1 )可得弦所在直线的斜率为仁一今= 一； ,4 ) 乙因此

128、所求直线方程是丁一3=一8一号，化简得 2 % +4 3 = 0。总结反思弦及弦中点问题的解决方法(1 )根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数的关系表示中点；(2 )点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率。【变式训练】若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0 , 2 ) ,直线) ， = 3 x + 7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1 ,则这个椭圆的方程为()A-0+龙= 1 B . 7+ =1C . + f =1 D./方= 12 o解析解法一：因为桶圆的中心在原点，一个焦点为(0 , 2 ) ,所以设椭圆方程为Wq+ =l (b 0 ) ,由+ 4 b-

129、消去X ,得(1 0 +4 ) 9一 1 4 (+4 ) y 9 +1 3 +1 9 6 = 0 ,设直线y = 3 x + 7与椭圆相交所、y = 3 x +7得弦的端点分别为A (x i , y i ) , 8(M, yi),由题意知 ;X=l,所以川+) 2 = 解得力2 = 8。所以所求桶圆方程为* + 缶= 1。故选D。o 1 Z解法二：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0 , 2 ) ,所以设椭圆的方程为优二+多=1。设直线y = 3 x +b2+ 4 b2 (V i V 2 X v i + v 2 )7与椭圆相交所得弦的端点分别为A (j q , y), B (x2,竺) ，

130、则彳， , 一得裨 + 品+ 自，g 铲出)=0,即0.哈=一空，又因为弦A B的中点的纵坐标为I,故横坐标为- 2 ,仁 0D X ) X2 X rX2 0 X X22 X 1 2 +4 r2 V2=3,代入上式得3XH77 2 ,解得 =8,故所求的椭圆方程为5+力= 1。故选D。2 X ( Z ) ，厂 o IZ答案D考点四最值与范围问题【例3】(2 0 2 1湖北八校联考) 已知点M( ，书在椭圆C ：3 + = 1 3 方 0 )上，且点 “到椭圆C的左、右焦点的距离之和为2啦。( 1 )求椭圆。的方程；( 2 )设O为坐标原点，若椭圆。的弦A8的中点在

131、线段 ( 不含端点O ,例) 上，求四加的取值范围。解( 1 )由条件知京+分 =1 , 2 .= 2也，所以 a= 5, b= l ,所以椭圆C的方程为弓+ y2= l。( 2 )设 A ( xi , y i ) , B (X2 , y a) ,则AB的中点；彳,3 H在线段O M上o因为 hz M =； ,所以由 +M=2 ( y i 4 -y2) o曰+ y ? = l, y + = l ,两式相减得S芈，土* ) + 3 竺 ) 。1 + / ) = 0 , 易知莺一% 2 WO, y i + 2 / 0 ,所以0 =汨+ 必X X2=- 1 ,即 k ： B =

132、1 O2 ( ) i + ”)设直线A8 的方程为y = x+机，* 2代入与+9=1并整理得婷一4 a+ 2 ? 2 2 = 0 。由 J = 8( 3 / / r) 0 得 m230由根与系数的关系得汨+4=竽，x x2=叉畤0所以竽c o , 乎所以 0 w * / 3 or tr 4 ( W/ 2 -= X X2+y | 、 2 =X X2+ ( -* + ? ) ( 一七+tn)2 x X2- z n( xi + & ) +/ 2 = J34-3而0 ? 0 ) 过点PQ.1 ) , 且离心率0 = 零( 1 ) 求椭圆C的方程；( 2 ) 直线/ 的斜率为; ，直线/ 与椭圆

133、C交于A , B两点。求以8 面积的最大值。/ cP / 3解( 1 ) 因为0 2 = 示 = 下一 = ，所以 a1= 4 b2o又椭圆 C : 5 十方= 1 ( 乂 0 ) 过点 P( 2 , l) ,4 1所以7+讲=1,所以/=8 ,力 2 = 2 。故所求椭圆C的方程为卷+ 引= 1 。o Z设/ 的方程为 = / + / ，点4 3 , y 。 , 3(M, y a) , 联立整理，得/ + 2 d + 2M4 = 0 。因为 =4 m 2 8加!+ 1 6 0 , 解得|同 0 ) 的离心率为乎，焦距为2 隹斜率为的直线/ 与椭圆M有两个不同的交点4,瓦( 1 ) 求椭圆

134、M的方程；( 2 ) 若& =1,求H 阴的最大值。解(1)由题意得v ： =乎，解得a =小 ,b= = o、2c=2隹所以椭圆M的方程为+ 9 = 1。设直线/ 的方程为 y= x+ ? ，A (x , yi), B (x2 f ”) 。() ，= x+ / ，x2 得4f+G/nx+Bm23=0,+ 产 1,因为直线/ 与椭圆M有两个不同的交点，所以 / () , 所以一2?fc0)的离心率是坐，短轴的个端点到右焦点的距离为啦，直线y= x+，，与椭圆C交于A, B两点 .(1)求椭圆C的方程；(2)当实数，变化时，求区8|的最大值；(3)求A8O(。为坐标原点) 面积

135、的最大值。e=啦解(1)由题意得J ： 2，0 = 个按+巾,解得 ( =；从而=1,所以椭圆C的方程为曰+ 9 = 1。y + r = l,(2)设 A(xi, yi), B(X2, ”) ，联立j 2 ,j= x + i,消去y ,整理得3 /+ 4a+2户一2=0,由题意知 / = 16 m24X 3(2 尸 -2) = - 8 nr+ 240,m、，2 , 4w 2 m2-2所以 /n2 0 ）的左、右焦点分别为小巳， P为椭圆上一点，且满足P +_L x 轴， I P B I3 1=2离心率为2 。（ 1 ）求椭圆的标准方程：（ 2 ）若 M 为），轴正半

136、轴上的定点，过例的直线/ 交椭圆于A , B两点、 ,设。为坐标原点，S / wm = 一| t a nN A O 8 , 求点M 的坐标。【解】（ 1 ）由题意知，苏= +/ ,所以= 2 , h = 小，所以椭圆的标准方程为5+ 5= 1.（ 2 ）设 M （ 0 , 0（ / 0） ,直线/: y= k x + t, A（ x i , ），B （ x i,巾）。3由 S4A08 = 1, a n N A。 8 ,一八 I 3 s i n NAO B可得/A| | 。邸 i n N A。 ” 一了五两，所以 | OA| | OB | co s Z A O B = 一

137、 3 ,即51通 = 1大 2 + ）仍 =-3 。联立直线/和楠圆的方程，得,消去y得（ 3 +4公） / + 8 履1+4尸- 12 = 0,-8 k l所以a+Q= 3 + 4&2 ,4 ? - 12W 2 =3 + 4 Ff t由 X X2 + （ 4 I + f ）（ k X2 + / ） = - 3 ,得伏2 + 1） X X2 + k t（ x +12 ） + - =3 ,即用 +1江 w +止芈+ 产 = _31 （七十“3 +4/十心3 +4,十二化简得7 尸 =3,解得/= 岑或/=一当工舍去）。所以点M 的坐标为（） ,当）。【名师微点】“ 设而

138、不求”是解析几何中简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简。解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（ 1）灵活应用“ 点、线的几何性质”解题；（ 2 ）根据题意，整体消参或整体代入等。【变式训练】（ 1）已知椭圆3+ =1 （ 0） ,点 /为左焦点，P 为下顶点，平行于Q的直线/交椭圆于A, 8两点，且的中点为 1 ,目，则椭圆的离心率为（）A . 坐 B . C . 1 D. 坐解析设4 处，川），8 3 2 , 券）。因为A 8的中点为从 1 ,9 所以汨 +汹 = 2 , 川 +以 = 1。因为P尸/, 所. . . . . . . b

139、y y i% , y r . 必说 . _ _ _ （制+即） 8 一处） , +光乂凹一力）八 _ _ _2 , c以痴因为了+ / = 1， + 方= 1 。所以- - - - -? - - - - -+ * =。，所以”+ 5=0 ,可得2 反= ，所以4c1苏一/ ） =,化为4 / 4 / + 1 = 0 , 解得/ =/ ,又因为0 A（ xi, yi） , B（X2, 2）,得（ 9+18产 21 2 - 1 6 = 0 ,且 /0,4f 163 9 + 18/2 9 - 5所以6 _ 1四。因为线段4 ?的中点为M,所以|A阴= 2|CM|。综上，恒有H B|=2|

140、CM。评A （五）关注社会热点, 体现科技前沿（五）关注社会热点，体现科技前沿【背景材料】嫦娥四号探测器，简称 “ 四号星”，是嫦娥三号的备份星。它由着陆器与巡视器组成，巡视器命名为“ 玉兔二号”。作为世界首个在月球背面软着陆巡视探测的航天器，其主要任务是着陆月球表面，继续更深层次更加全面地科学探测月球地质、资源等方面的信息，完善月球的档案资料。截止到2020年1（）月1 1日11时5 6分，嫦娥四号着陆器和“ 玉兔二号”月球车成功自主噢醒，迎来第2 3月昼工作期，嫦娥四号已在月球背面顺利度过647个地球日。嫦娥四号探测器的成功发射与运行标志着我国航天事业取得了巨大的成就，也

141、标志着我国进入了航天大国时代。【考题展示】 “ 嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆。如图所示，假设 “ 嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点产变轨进入以月球球心户为一个焦点的椭圆轨道1绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用白和6 2分别表示椭圆轨道I和【I的离心率，则（）A. e i e 2B . e 2版2乃2c2 ,同时两椭圆的近地距离相同，然后列出关系比较已与62的大小。【解答过程】设椭圆轨道I和椭圆轨道I I的长轴长分别为2 0 ,2 s ,焦距分别为2d2c2。由题意知120,

142、 ClC20,且 4 LC l= 42 - C 2,令- Cl = .2 - C 2 = f, Z 0 ,则 4l = H-Cl, 42 = / + 。2。所以上= l + 因为。2 0 , f 0 ,所唁。所以 ; 弓，即 ee” 故选 A。【答案】A【试题评价】本题以 “ 嫦娥四号”探测器的两次变轨为背景考查了椭圆离心率的知识，体现了我国航天技术的发展成就。【类题变式】（多选）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心尸为一个焦点的椭圆，如图所示。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m T米，远地点8（离地面最远的点）距地面千米，并且F, A ,

143、 B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2 a 2 82 c ,则下列结论中正确的是（）A . a- c= m - - RC. 2。 = / % + B . a + c = + RD. b= 7 (i+ R )(+ R )解析地球的中心是椭圆的一个焦点，由题图可得， m = a- cR ,n = a + c Rt所以a- c= m - - R ,故A正确；a+ c= + / ? , 故 B 正确；m + n = 2 a - 2 R ,可得 2 a =?+ 2 R ,故 C 不正确；（ ? + / ? （ + / ? ） = 一 / = 加，所以。=、

144、（ ? + / ? ）（ + / ? ） ,故 D 正确。故 ABD 正确。答案ABD第六节双曲线内容要求考题举例考向规律1 . 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）2 . 了解双曲线的简单应用3 .理解数形结合的思想2 0 2 0全国I卷丁夙双曲线的离心率）2 0 2 0全国n卷了式双曲线的几何性质）2 0 2 0全国III卷T ”（双曲线的几何性质）2 0 1 9全国I卷1 6 （双曲线的离心率）2 0 1 9, 全国H卷T ”（双曲线的离心率）2 0 1 9全国i n卷（）（双曲线的几何性质）考情分析

145、：主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数。，b, C及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点。以选择、填空题为主，难度为中低档。一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质核心素养：数学运算、直观想象教材回扣基础自测自主学习知识积淀基础细梳理知识必备国根基.1 .双曲线的概念平面内与两个定点自，F,的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于IFi B I）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。集合。 = M | |眼印一| 加乃| | =2 , |户内| =2

146、。，其中、。为常数且” 0 , 0 （） o 当 o V c 时 , M点的轨迹是双曲凶。( 2 ) 当a = c 时 , 用点的轨迹是两条射线。(3)当时 , 历点的轨迹不存在。2 . 双曲线的标准方程和几何性质标准方程-g = l (a 0, b0)y2r2=l(a0, b0)图形wr性质范围或 xW a, j E Rx R , y W a 或 y 2a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原息对称轴：坐标轴对称中心：眼点顶点顶点坐标：4(一“ (), 4(4 0)顶点坐标：4( ( ) , a), A2(0 a)渐近线3离心率e = e (l , + ), 其中。二7标十2性质

147、实虚轴线段4A 2叫做双曲线的实轴，它的长| 4 4 | = 四; 线段小民叫做双曲线的虚轴，它的长归山2| = /；叫做双曲线的实半轴长, 叫做双曲线的虚半轴长微提醒1 . 双曲线定义的四点辨析(1)当0 2. | 人尸 21时，动点的轨迹不存在。2 . 方程亍= 1(心 0)表示的双曲线(1)当机 0, 0时，表示焦点在x轴上的双曲线。(2)当m 0, 0, 解得m 或m 疝，离心率为小。答案 4 4巾y= y2x小3 . 经过点4 (3, 1), 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 o 2 2 .解析设双曲线方程为F), 2= .#0), 把点4 3, 1)代入，得2

148、= 8 , 故所求双曲线的方程为色一? =1 。答案 7- 8 = O O二、易错题4 .（忽视双曲线定义的条件致误）平面内到点F i （ 3, 0） ,尸2（ 3, 0）距离之差的绝对值等于6的点P的轨迹是。解析由题知用码=6,而| P F i L | P EI= 6 ,满足 & /= 历 & | 这一条件，故所术点的轨迹是两条射线。答案两条射线5 .（弄错双曲线上点的位置）P是双曲线9一旨 =1上任意一点，F ” B分别是它的左、右焦点，且俨向|10 o 1=9,则| P B I = o解析由题知a= 4 , b= 9 , c= y a2+ b2 = yf i,

149、由于| P F i | = 9a + c = 4 + Y所，故点P只能在左支上，所以| P B| -| P E| = 2a= 8 ,所以| P B| = | P R | + 8 = 17。答案176 .（忽视双曲线焦点的位置）坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为率则双曲线的离心率为。解析若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为a一 =1 ,则渐近线的方程为 =备，由题意可得， = t an， = 小，b= - 3 a,可得c = ，则e = = 2 ;若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为夕一齐=1,则渐近线的方程为.丫= 导

150、，由题意可得/ ta n卜小，a= y ibt可得c =邛，则e=。综上可得e = 2或2 =攀答案2或考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一双曲线的定义自主练习1 . 已知定点人（ -2 , 0 ） ,尸2 （ 2 , 0 ） , N是圆。：/ + 尸 =1上任意点，点 Q 关于点N的对称点为例，线段RM的中垂线与直线F , M相交于点P,则点P的轨迹是（）A .椭圆 B .双曲线C.抛物线 D.圆解析如图，连接ON,由题意可得| O N | = 1 ,且N为MQ的中点，又。为F i B的中点，所以| M BI = 2。因为点F i关于点

151、N的对称点为线段的中垂线与直线相交于点P ,由垂直平分线的性质可得| P M |= | P尸i ,所以I I P尸2 LI P尸il l = I I P尸2 | -| P M I = | M F 2 l = 2 阴户d,所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以尸I ,尸2为焦点的双曲线。2 .已知圆G：（ x+ 3 ） 2 + ），2 = l ,。2 ：（ x-3 ）2+r=9,动圆M同时与圆G和圆C 2相外切，则动圆圆心历的轨迹方程为（）2A. f之 =101 (* 1 )f8解析设圆M的半径为广，由动圆M同时与圆G和圆C ?相外切，得| M

152、G | = l + r , | M C = 3 + r , I M C zl一| M G I = 2 6 ,所以点M的轨迹是以点G（ 3 , 0 ）和。2 （ 3 , 0 ）为焦点的双曲线的左支，且2 = 2 , a =,又c = 3 ,V2则h2= c2a2=S ,所以点M的轨迹方程为fl （ x W 1 ）。o答案c3 .双曲线C的渐近线方程为丫 = 磬、 , 一个焦点为F （ 0 , 一木） ,点4 （啦，0 ） ,点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，出F周长的最小值为（）A. 8 B. 10C. 4 + 3 S D. 3+3亚解析由已知得双曲线方

153、程为: 一=1 ,设双曲线的另一个焦点为尸，则|PF| = |PF|+4, 雨F的周长为|PF|+照|+|A Q =|P Fl+4+|例+ 3 ,当产，P, A三点共线时，| 尸尸| 十| 以| 有最小值，为八尸| =3 ,故公尸的周长的最小值为10o答案B4 .已知尸B为双曲线C： / 一炉 =2的左、右焦点，点尸在。上，N F /尸2=60，则Q P B的面积为 0解析不妨设点尸在双曲线的右支上，则|PQ|一 |P/ 2|=2=2啦，在RPF2中，由余弦定理，得cosNPF I2+ |PF2|2IFI F2|2 1 1 r-F、PFU_ 2 1 嬴H P F ： |一 r 所以

154、|P FiH P & l=8,所以除SF2=5lPHHPFd-sin 60。 =2 / 答案 2小练后感悟I .利用双曲线定义要注意三点：距离之差的绝对值；2a / 正山焦点所在坐标轴的位置。2 .在 “ 焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合IIPRI|PBII=2 ，运用平方的方法，建立IPRI与IPBI的关系。L 23 .焦点三角形的面积SPF1F2- / FIPF?tan 2 考点二双曲线的标准方程【例1】（1） 02”是 “ 方程系+ = 1表示双曲线”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析若方程言1表示

155、双曲线，则5 + 1）（- 3 ） 0,解得一则（ 0,2）（ -1 ,3 ） ,所以“0= 啦, 所以双曲线方程为芸一，=1 , 即方一片= 2 。故选B 。答案 B( 2 ) ( 2 0 2 0 浙江高考) 已知点0 ( 0 , 0 ) , A ( - 2 . 0 ) , 8 ( 2 , 0 ) 。设点尸满足| % 一用 = 2 , 且尸为函数, y= 3 也二？图象上的点，则|08=()A.等 B.当C.小 D. V i o解析由解| 一 | P8 | = 2 V | A B | = 4 , 知点P 的轨迹是双曲线的右支，点户的轨迹方程为/ 一=1 ( x 2 1 ) ,

156、又产为函数y= 3 5 二) 图象上的点，所以入2=产 = 磊所以 | 。 /31 = 2+ 72= 号+午=， T 5 , 故选D 。答案 D考点三双曲线的几何性质微专题微考向I ：渐近线【例 2 】 ( 2 0 2 0 天津高考) 设双曲线。的方程为，一方= l ( a0 , b 0),过抛物线V = 4 x 的焦点和点( 0 ,力) 的直线为/ 。若 C的一条渐近线与/ 平行，另一条渐近线与/ 垂直，则双曲线C的方程为( )A . 一=1 B . /一%4解析由题知，双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的渐近线方程为y = i r , 又直线/ 过抛物线的焦点( 1 , 0

157、 ) 与( 0 , b),所以k=-b ,则一 6 = 1 , 即人= 1 。又显然=b ,所以。 =b =l,双曲线的标准方程为一) = 1 。故选 D 。答案 D( 2 ) ( 2 0 2 0 . 全国I I 卷) 设O为坐标原点，直线尸 a 与双曲线C ： J - p = l ( 0 , 0 0 ) 的两条渐近线分别交于D , E两点，若 OOE 的面积为8 , 则 C的焦距的最小值为( )A . 4 B . 8C . 1 6 D. 3 2解析由题意知双曲线的渐近线方程为) ， =备。因为O, E分别为直线4=4与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设Z ) ( a, b),

158、E(a, 一切，所以S A OD= ； X aX | ) E | = ； X qX 2 = a = 8 , 所以 / 二 + 加 2？ , 而= 1 6 , 所以c 2 4 , 所以2 c28,所以C的焦距的最小值为8 。故选B 。答案 B总结反思求双曲线的渐近线的方法求双曲线一1 = 1 3 0 , ( ) ) 或，一营= 1 3 0 , b0 ) 的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0 , 即令，一 =0，得尸玲；或令% 一1=。，得尸土齐。反之，已知渐近线方程为产土% , 可设双曲线方程为。一分= x ( a0 , b 0,微考向2 ：离心率【例 3 】( 2 ( ) 2

159、( ) . 全国I 卷) 已知产为双曲线C ：，一= 1 ( ( ) , 历0 ) 的右焦点， A为 C的右顶点，B为 C上的点，且 3 尸垂直于x轴。若A8的斜率为3 , 则。的离心率为 oW 1 2 2 f y S解析设 8 ( c, 6 ? ) ，因为8为双曲线C ：”一乒= 1 上的点，所以招所以 W=/。因为A8的斜生率为3 , 所以如= ，兰 7=3,所以 = 3 ac- 3 ，所以c2 - = 3 ac3 ，所以/ - 3 。。 +2 = 0 , 解得c=，（舍去）或c = 2 a , 所以C的离心率e = = 2 。答案 2总结反思求双曲线的离心率时，将提

160、供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量小，C的方程或不等式，利用/ = + 和 e =5 转化为关于e的方程（或不等式），通过解方程（或不等式）求得离心率的值（或范围）。微考向3 ：其他应用【例 4 】（ 20 20 . 全国川卷）设双曲线C ：5一 = = 1 3 0 , ， 0 ）的左、右焦点分别为凡，B，离心率为小。P 是 C上一点，且 E P _ L B P 。若 PR Fz的面积为4,则。 = （）A . 1 B . 2C . 4 D. 8解析解法一：设|PFI|=7, PF2H, P 为双曲线右支上一点，则以出 =；， =4 ，mn= 2 ci, 产

161、 +/=4 0 , 小 0 ）的左、右焦点分别为居， & P 为双曲线上一点。若N R P F 2 = e ，则S 尸尸总按 / ） 0t an 5【题组对点练】I .（微考向1 ）若双曲线=一接=1 3 0 , 0 ）的焦距为2 #,且渐近线经过点（ 1 , 一2） ,则此双曲线的方程为（）A.方一产 1 B . 小一 ? =1C 武 =1 D止q = 1 , 4 1 6 1 1 6 4 1b解析由题意知，渐近线尸一小过点（ 1 , - 2 ） , 2c=24厂，所（以O2+/?解2=5,得匕（ = 1） ,所以双曲线的方程为9 一号=1 。故选B 。答案 B2 .

162、（微考向1 ）以双曲线C ： 5一 = 1 （。乂）， / ;乂））的右焦点F 为圆心，； | O f l（。为坐标原点）为半径的圆与C的渐近线相切，则 C的渐近线方程为（）A.小 x y= 0 B . x / 3 y= 0C . y/ 5x y= 0 D. x y 5y= 0解析解法一：不妨设圆与双曲线的渐近线Z . L 4 =0 相切于点A,则| E4 | =、；；；尸， , 又 = 4+拄，所以2=3 人所以 = 坐，所以该双曲线的渐近线方程为. v =% =土坐x ,即一由/ = 0 。故选B 。解法二：因为双曲线的焦点到渐近线的距离为人, 所以由题

163、意，知。 = 另即 c=2b, 所以二b ,所以该双曲线的渐近线方程为土坐r , Pp x 3 y= （）o故选B 。答案 B3 . （微考向1 , 2）（多选）已知双曲线C ： $ 一 1 = 1 （。（） , 的离心率 c=2, C上的点到其焦点的最短距离为 1 ，则（）A.双曲线C的焦点坐标为（ 0 , 2）B.双曲线C的渐近线方程为）， = W 5 xC.点（ 2, 3 ）在双曲线。上D .直线机xy/M=O(MR)与双曲线C恒有两个交点解析双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c。 = 1 ,离心率e = ： = 2 ,所以a

164、=l, c = 2 ,所以加 =3 ,v2b所以双曲线C的方程为一5= 1,所以C的焦点坐标为( 2, 0 ) , A错误；双曲线C的渐近线方程为y =土孑Q2=V3 x, B正确；因为22- - j = l ,所以点( 2, 3 )在双曲线。上，C正确：直线m x ym=0即y =机( x1 ) ,恒过点( 1 , 0 ) ,当m时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误。故选B C o答案B C4 .( 微考向3 ) ( 20 1 9全国H I卷) 双曲线C ：，一方 =1的右焦点为尸，点尸在。的一条渐近线上，。为坐标原点，若| PO | =

165、| PF| ,则 PFO的面积为 ( )A . B . C . 2啦 D. 3啦解析不妨设点户在第一象限，根据题意可知廿=6 ,所以Q F |= #。又t an N P。 / = ( = 乎，所以等腰三角形PO F的高/ 1=乎义乎 = * ,所以SAPFO=：X#又坐 = 。答案A疗教师备用题【例 1 】( 配合考点一使用) ( 1 )过双曲线9一=1的左焦点R作条直线/ 交双曲线左支于P, Q两点，若| P Q = 4 ,广2是双曲线的右焦点，则 P B Q的周长是。解析由题意，得俨& |一|“汨 =2 , | 。尸2 |一|。川 =2。因为|P R | +

166、|Q R |= |P Q |= 4 ,所以|P BI+ l Q B|-4 = 4 ,所以|尸尸2 | + | 。叫 =8。所以尸B Q的周长是|P BI+ IQ F2 |+ |P Q = 8 + 4 = 1 2。答案1 2( 2 )已知产I， B为双曲线C ： f 一产=2的左、右焦点，点尸在C上,|PFI|=2|PF2|，则COSZFIPF2=。解析因为由双曲线的定义得|PFI|-|PF2|=|PBI=2O=2也，所以俨Q |= 2 |P F2 l = W i ,则co s /R P尸2 =|PB F+|PA F|F EF_2|PFI|PF2|( 4的2 + ( 2的2 -

167、4 1 32 X 4 / X 2啦=4 答案彳【例 2】( 配合例1使用) ( 1 )设双曲线C ：，一方= 1 5乂) ，历 ( ) ) 的虚轴长为4 , 一条渐近线的方程为尸方K ,则双曲线C的方程为 ( )A- 1 6-4 = 1 B- 4- S=ICU D J解析双曲线的虚轴长为4 ,得2 b = 4 ,即匕=2,又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y=% =% ,可得a = 4 ,所以双曲线C的方程为舌一；=1。故选A。答案A( 2 )已知双曲线C的中心为坐标原点，离心率为小，点尸( 2啦，一啦) 在C上，则。的方程为( )A. 5 T = 1 B.

168、7- =1C j D 式 j2 4 1 1 4 7 1解析解法一：由e弋 = 小，得 /= 宗 = 咛二 = ( 小产 =3 ,即1 + * = 3 , *=2。设双曲线C的方程为:一去=1,因为& 2隹一例在双曲线。上，所以三一分 =1 ，解得 =7 ,得。的方程为亍一匕= 1。故选Bo解法二：由2 =彳 = 木 ,得 / 吟 =咛3=(小) 2 = 3 ,即1 + * = 3 , *=2。对于选项A, 2 = 1 = 1 ,不符合，排除A ;对于选项D, 不符合，排除选项D ;将尸( 2卷一例代入选项C中方程的左边，得小件一仁拜

169、一，4一 %H，排除选项C。故选B。答案B【例3】（配合例2使用）过双曲线$ 一 =1 （。 0 ,比 0 ）的左焦点Fi作圆/ + 2 =的切线交双曲线的右支于点P ,且切点为丁，已知。为坐标原点，M为线段PR的中点（点M在切点了的右侧），若A OTM的周长为4m则双曲线的渐近线方程为（）A. y = x B. y = xC. y = |x D. y = |x解析设双曲线的右焦点为尸2 ,连接PB ,由题意得，QM=； I P B L因为加的周长为4 ” ，所以|7 7口+ | O M + a = 4。。所以|在1 +枭尸2 |= 3 % 所以|7刈 +

170、如6 1 - 2 0 = 3 4 ,因为M为线段PR的中点，所以|尸7 = 4。，又二 =b ,所以|P Q |= 4 a+ b,所以|P BI= 2 a+ ，所以| O M = + / 1 7 M l = 2 一） ,由勾股定理可得/ +?=,一孙 +泥，化简可得铝，所以双曲线的渐近线方程为尸等，故选B。答案B【例4】（配合例3使用）已知双曲线氏一 / =1 （ 0 ,比 0 ）的左、右焦点分别为人，尸2 ，以坐标原点。为圆心，。后的长为半径作圆，。与E在第一象限交于点P,若直线PR的倾斜角为。且s i n 2。 =本则双曲线E的离心率为

171、（）A .啦 B. 1C. 2 D. 4T i P FA IPFil解析由题意知N R P F 2 =E，即 P R E为直角三龟形，所以s i n C O S 所以|P F2 |= 2 cs i n0, P F = 2 cco s 0 ,由双曲线定义知|P Fi |一|P尸2 |= 2 a,即 2 cco s J 2 cs i n。 =2 ，所以 co s J s i n两边平储方得1 s i n 2 9 =F=F，所以/ =4,又知e 1 ,所以e = 2。故选C。答案C第七节抛物线内容要求考题举例考向规律1. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围

172、、对称性、顶点、离心率）2 . 理解数形结合的思想3 . 了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用2 0 2 0全国I卷口（抛物线的定义）2 0 2 0全国1 1卷 , ）（抛物线的几何性质）2 0 2 0全国I I I卷（直线与抛物线的位置关系）2 0 2 0新高考I卷不 / 直线与抛物线的位置关系）2 0 1 9全国I卷TH抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系）2 0 1 9全国I I卷（抛物线的几何性质）2 0 1 9.全国I I I卷1 2 1 （直线与抛物线的位置关系）考情分析：抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点。题型既有小巧灵活的选择、填空题，

173、又有综合性较强的解答题核心素养：数学运算、逻辑推理教材回扣基础自测自主学习知识积淀、基础细梳理知识必备固根基 1 .抛物线的概念平面内与一个定点尸和一条定直线/ （ / 不经过点乃的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点 ,直线 / 叫做抛物线的壁。2 .抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2= 2 p x (p 0 )= - 2 p x (p 0)R = 2 p y(p0 )x2= 2 p y(p 0)注：抛物线上P点坐标为（沏，y（） o的几何意义：焦点尸到准线/ 的距离图形的y坐亲顶点0(0,0)对称轴，=0% =( )焦点4M出 T

174、 )离心率e = 1准线方程x=2 2V=2耳范围G O , yWRxWO, yWR) ，20, x RyWO, xGR开口方向向右向左向上向下焦半径 PF =X Qm=xa |PF|=W另|PF1=V02微提醒抛物线焦点弦的4个常用结论设A 8是过抛物线焦点F的弦，若A g , yi） , 8（处， ,2 ） .则（ l ） x iX2 = j yiyz= p2o（ 2）弦长H 8 |= x i+ x 2 + p = （ a为弦AB的倾斜角）。（ 3）以弦A 8为直径的圆与准线相切。（ 4）过焦点垂直于对称轴的弦长等于2 （通径）。、小题微演练小题演练提知能一、常规题I

175、.抛物线& F+y=O的焦点坐标为 o解析由8 /+），= 0 ,得人2 =一，所以2P= （ , = = ,所以焦点为一吉）。答案（。，一刽2 .顶点在原点，且过点P（ 2,3）的抛物线的标准方程是 o9 4 9解析设抛物线的标准方程是歹=米或炉=/ ），，代入点P（ 2,3） ,解得女= 5,所以. =/. .9 4或厂 =? 。9 4答案）? = 2-v或/= ? ，3 .若抛物线y = 4 f上的点M到焦点的距离为1 ,则点M的纵坐标是。解析 M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y =一七，设M（ x, y） ,则y +七= 1 ,所以1

176、5产B答u采案 16二、易错题4 .（忽视的几何意义致误）己知抛物线C与双曲线/ 一9 = 1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）A. /=2A/2T B. y1= 2 xC . /= 4 x D. 户土4啦x解析由已知可知双曲线的焦点为（一加, 0） , （ 2, （）） o设抛物线方程为） r= 2 p x （ i ） X ）） ,则g=啦，所以=2啦，所以抛物线方程为产=4 丫。故选D。答案D5 . （忽视焦点的位置致误）若抛物线的焦点在直线x -2 y -4 = 0上，则此抛物线的标准方程为。解析令x = 0 ,得）， =

177、 2：令），= 0 ,得大=4。所以抛物线的焦点是（ 4,0）或（ 0, 2） ,故所求抛物线的标准方程为 2= 16x或/= - 8 o答案 ) ?=1 6 % 或；考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一抛物线的定义及应用【例 1 】 (2 0 2 0 全国I 卷) 已知4 为抛物线C ：炉 =2 内仍0 ) 上一点，点A到 C的焦点的距离为1 2 ,到y 轴的距离为9 , 则 = ( )A . 2 B . 3C . 6 D . 9解析根据抛物线的定义及题意可知，点A到 C的准线/ =一5 的距离为1 2 , 因为点A到y 轴的距离为9,所以=1 2 9 ,解得= 6 。故选C 。

178、答案 C(2 ) 已知点M (2 0 , 40 ) , 抛物线丁2 = 2 3 仍： 0 ) 的焦点为凡若对于抛物线上的点P , | P M | + | P Q 的最小值为41 , 则的值等于。解析当点M (2 0 , 40 ) 位于抛物线内时，如图，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为。，则| P = | P 。 P M + P F = P M - V P D .当点M , P,。三点共线时，I P M I + I P F) 的值最小。由最小值为4 1 , 得 2 0 + =41 ,解得=42 。当点M (2 0 , 40 ) 位于抛物线外时，如图，当点P , M ,尸三点共线时

179、，| P M + | P A 的值最小。由最小值为41 , 得好 + ，。一纤 =41 ,解得= 2 2 或=5 8 。当p = 5 8 时， y2 =n6x, 点/ (2 0 , 40 ) 在抛物线内，故舍去。综上，=42 或 2 2 。答案 42 或2 2总结反思“ 看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解。“ 由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径。【变式训练】 (1 ) (2 0 2 0 北京高考) 设抛物线的顶点为。，焦点为F , 准线为/ , 尸是抛物线上异于O的一点，过尸作P Q J J 于 Q 。则线

180、段F Q的垂直平分线()A. 经过点O B. 经过点PC. 平行于直线O P D. 垂直于直线。尸解析连接P A (图喀) ，由题意及抛物线的定义可知| P Q | =| FP | , 则4 Q P 尸为等腰三角形，故线段F Q的垂直平分线经过点P 。故选B 。答案 B(2 ) 已知抛物线V = 4 x 的焦点为F, M, N是抛物线上两个不同的点。若| M / q + | N Q = 5 , 则线段MN的中点到y 轴的距离为()A . 3 B . 1C . 5 D . |解析由题意知抛物线的准线方程为= 1 , 分别过点M , N作准线的垂线，垂足为A T , N,根据抛物线的定义

181、得| M F| = | M M | , | N F1 = | N M | , 所以| M / n + W F| = | M M l + | M V | , 所以线段MN的中点到准线的距离为:5 5 3(| M Q + | N F1 ) = , 所以线段的中点到 y 轴的距离为 1 =2 0答案 B考点二抛物线的标准方程及几何性质【例2】（1）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“ 勾股”，讲述了 “ 勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“ 勾” “ 股” “ 弦”。设点厂是抛物线产=2 文（（））的焦点，I是该抛物线的准线，过

182、抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为8 ,直线A尸交准线/ 于点C ,若RlZXABC的“ 勾” |AB|=3、 “ 股 |CB| = 3，5 ,则抛物线的方程为（）A. ）r= 2 x B. y2=3xC. /= 4 x D. y2=6x解析如图，|A3|=3, |8。= 3 S，则依。= 仍耳面务= 6 ,设直线，与x轴交于点”，由H8|=H Q =3,A C =6,可知点尸为A C的中点，所以田| =3人四=* 又尸H |= p ,所以=方 , 所以抛物线的方程为）2=3工。故选B。答案B（ 2）已知直线/ 是抛物线y = 2x（ p0）的准线，半径为3的圆过抛物线顶点0和焦

183、点F ,且与/ 相切，则抛物线的方程为。解析因为圆过点。和月0；所以圆心的横坐标为M因为圆与准线才= 一? 相切，故圆的半径， = +2 = 3 ,所以= 4 ,即抛物线的方程为）?=8x。答案产 =8大总结反思I .求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程。2 .在解决厉抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此。【变式训练】（1）如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36 m ,则

184、此时欲经过桥洞的一艘宽12 m的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过（）A. 6 m B. 6.5 mC. 7.5 m D. 8 m解析以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的顶点与焦点所在的直线为），轴建立平面直角坐标系，如图所示。设抛物线的标准方程为f= - 2 p y （ p0） ,则焦点坐标为（）,一切，因为当水面过抛物线的焦点时，水面的宽度为3 6 m ,所以1 8 ,一岑在抛物线上，所以182=2/（一用= p 则 = 1 8 ,抛物线的方程为.F= - 36y,焦点坐标为（ 0, - 9 ） ,即水面距.1轴的距离为9m。当（ 6 ,泗）在抛物线上时，可得加= 一

185、1 ,即当一艘宽12m的货船过桥洞时，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过9l= 8 （ m）。故选D。答案D（ 2）（多选）（ 2020. 山东德州期末）已知抛物线C：产 =2 * （0）的焦点为F ,直线/ 的斜率为小且经过点F,与抛物线。交于A, B两点（点4在第一象限），与抛物线。的准线交于点。若|A Q = 8 ,则以下结论正确的是（）A. p=4 B .励 = 苗C. BD=2BF D. BF=4解析如图所示，分别过点A, 6作抛物线。的准线的垂线，垂足分别为点耳 M ,连接上人设抛物线。的准线交x轴于点P ,则|PQ=p。因为直线/ 的斜率为巾，所以其倾斜角

186、为60。。因为AEx轴，所以N4尸= 6 0 ,由抛物线的定义可知，AE=AFt则4尸为等边三角形，所以NEFP= NAEF= 6 0 ,则/PEF= 3 0 0,所以HQ = I臼1=2|PQ = 2 p = 8 ,得 =4 ,故 A 正确；因为H1 = |曰q=2|PP|, JL PF/AE,所以尸为4 0的中点，则汾 =/ ，故B正确；因为ND4E=60。，所以N40E=3O。，所以|8。 | = 2|8吻 =2|8 ? |,故C正11g确；因为|8D| = 2|B Q ,所以出4 = ,。用= 引4月=3，故D错误。故选ABC。答案ABC考点三直线与抛物线的位置关系【例3】

187、(2021 . 唐山市摸底考试) 已知F为抛物线7： f= 4 .y的焦点，直线/ ： y =代 +2与7相交于A,8两点。(1)若2= 1 ,求解| 十 | 尸身的值;(2)点。 ( -3, - 2 ) ,若NC以 =NC尸8 ,求直线/ 的方程。解由巳知可得尸(0,1),所以Kl+x2 = 4 Z，X|A-2=-8 。照I+阀 =曰 +1 +宁+1 =( 即+ 必)2 一久送2当&= 1时，由得匹| + 尸8|=10。(2)由题意可知，咫 =,，那一1 ),砂 = 卜2, f - 1 ,尺? = ( 一3, 3)。由 NCfA=NCFB,得 cos 防，反7= cos 曲，F t

188、，加防F t即- - - - - - =- - - - - -,曲阳两阳又照1=4+1, |FB|=4+1,“ , ,成历时代所以由- - - - - - =- - - - - - - ,I拗龙1 可得4+2(乃+ 必) 一方也 =0 ,即4 + 82+8=0。3解得女= 一加所以，所求直线/ 的方程为版 +2一4= 0。总结反思解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法1 .直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。2 .有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式依8| = 同 + ,8

189、|+/，或依6| = 冈 + | 阳+ ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式。3 .涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用 “ 设而不求” “ 整体代入”等解法。【变式训练】(2021 昆明市诊断测试) 已知抛物线C：的焦点为产，准线为/ , P是C上的动点。(1)当|P f= 4时，求直线P尸的方程；(2)过点P作/ 的垂线，垂足为M ,。为坐标原点，直线OM与C的另一个交点为。，证明：直线P。经过定点，并求出该定点的坐标。解(1)设 PCro,%)，由|P Q = 4 ,得 1+用 =4,解得讹 =3,所以yo=2书又人( 1, 0) ,所以又上士

190、T ： Q = ,所以直线尸产的方程为尸小犬一小或 = - 小式+小。( 2 )设砥先卜，声0) ,则M ( - l ,加 ) ,直线O M的方程为y = y(p co y= yo xf 、、联立得 / 得昧F -4X=O,L r = 4x ,解得媪 , a当泗= 2时，直线产。的方程为x = l。当y o W 2时，直线PQ的方程为丫一泗= 媾一5 ，化简得y =我勺( 1一1)。综合，可知直线PQ恒过定点( 1, 0)。区教师备用题【例1】( 配合例2使用) 设抛物线产= 4 x的焦点为凡过点( 2 , 0)的直线交抛物线于A , 8两点，与抛物线的准线交于点C,若沁

191、 -之则|Bf=()乂 8 C F 3A . 2 B . 3 C . 4 D . 5解析设直线A B ： y= k (x 2 )f A ( x i , y i ) , B ( X 2 ,力) ，将直线AB的方程代入抛物线的方程得K .F 4( 1+ F ) x + 4F = 0, d 0 ,由根与系数的关系得由土=4 。如图，分别过点A , 8作准线的垂线，垂足分别为A t, B i,则 / Vh C s Z B i C ,所以耨=慑|所以泮掾所以5x i “ +3=0 ，| o o i | 3 & B C F I ”万 H 数十 1 由得即= 1 ,必 =4 ,所以| B F |

192、 = | B阳= 5。故选D。答案D【例2】( 配合例3使用) 已知以尸为焦点的抛物线C ： V = 2沏0)过点尸( 1, - 2 ) ,直线 / 与C交于A ,B两点，” 为A8的中点，。为坐标原点，且次 + 仍 = /1次。( 1)当2 = 3时，求点M的坐标；( 2 )当发份= 1 2时，求直线/ 的方程。解( 1)因为P ( l , 2 )在) ? = 2 p %上，代入抛物线方程可得=2 ,所以。的方程为产=4/ ，焦点为F ( l , 0) 设M ( x o ,和) ，当；.= 3时，由麻 +方= 3亦，可得欣2 , 2 )。( 2 )解法一：设A (

193、% i , y ) , 8 ( X 2 , ”) ，由麻 +罚=历，可得( 沏+1, y ( ) - 2 ) = ( A , 0) ,所以州= 2 ,所以直线/ 的斜率存在且斜率2 = 9二超=2= 1 ,x X2 y - ry2 o可设直线/ 的方程为y = x +b , y = x + ，联立得 : 得 f +(2 b 4)/ += 0 ,l r = 4x ,d = (2 Z - 4)2- 4/ ?2= 1 6 - 1 6 / ? 0 ,可得板1 ,则 X l +x 2 = 4 2力，X l X 2 = ，yiy2 = x X2 - - b(x i +工2 )+= 46 ,所以5

194、1 m= 为必 +1竺 = 护 +4= 1 2 ,解得=-6或b = 2 (舍去)，所以直线/ 的方程为y= x - 6 .解法二：设直线/的方程为A(x i , y i ), B (x ?,力)，联立得2=4x,得)2 -4，肛 - 4=0,J = 16m2+ 16n0,则 y i+ ” =4/ ，”=-4 ，Xi +汽 =fn(y +)2)+ 2n= 4nr+ 2n,所以 M(2/ +,2/ )。由必 + 办 =2次，得（ 2产+1,2 - 2） = （九 0） , 所以 ? = 1,所以直线/ 的方程为 =）， +，由 / = 16+ 160 可得 n I,由 yiy2= 4n

195、得工工2 = 需）= 2,所以酬 = 汨闷 + 6 竺= 24 = 12,解得= 6 或 = 2（舍去），所以直线/ 的方程为y = x -6 .深度探究素养达成课外阅读增分培优活用抛物线焦点弦的几个性质设 A 8 是过抛物线产= 2 氏（ 0）焦点厂的弦，若 4 即， , ） , B（ x2, 儿），则（ 1） . 共 2 = 1 。（ 2加小 = 一 02。（ 3）依用= / 1+12+ = 点不。是直线AB的倾斜角）。（ 4）苏+ 赢= / 为定值（ F 是抛物线的焦点）。【例】过抛物线V = 4 x 的焦点厂的直线/ 与抛物线交于A,

196、 B 两点，若|AF| = 2|B Q ,则|AB|等于（）4A .9-2B.C. 5D. 6y = x 1） ,【解析】解法一：易知直线/ 的斜率存在，设为 k , 则其方程为由,，得以2ly= 4x,一（ 2标+ 4） x + M= 0 , 得XA.W=1 ，因为质? = 2田由抛物线的定义得以+ 1 = 2 （脑+ 1） , ?J XA=2XB+19，由解得 X A = 2, XB=y 所以|A8| = |AF + |4F1=XA+X8+= 5。解法二：由对称性不妨设点A 在 x 轴的上方，如图，设 A, 8 在准线上的射影分别为D, C, BEA.AD于点E, ilB F

197、 = m ,直线/ 的倾斜角为伍则|A阴=36,由抛物线的定义知|A|=|Af=2 ? ，18cl = |8F1= ? ，所以 cos。 = 件万 j=J,依5 a2 92P= 4 , 故利用弦长公式依8|=m 第 = 5。8一9以所I 13 2 3解法三：因为|AQ = 2|8F1,而+ 丽= 可的 + 而 = 可前 = 6 = 1，解得|8月= 菱，- 回 = 3 , 故|AB| = |AF|9+ IM = 。【答案】B【变式训练】如图，过抛物线y2=2x（ p0）的焦点尸的直线交抛物线于点A, B , 交其准线/ 于点C,若尸是AC 的中点，且H Q = 4 ,则线段A 6

198、的长为（）A. 5 B . 6C.号 D. ?解析解法一：如图，设 / 与x轴交于点M,过点4作AD_ L / ,并交 / 于点 , 由抛物线的定义知， A D = A F = 4 ,由尸是A C的中点，知H O | = 2 | M F l = 2 p ,所以2 P =4 ,解得p = 2 ,所以抛物线的方程为)，2 = 4x。设 4(和 j i ), 8 (X 2 , ”) ,则 A F = x i+ = xi + =4,所以k=3 ,可得W =2小 ,所以A(3, 2小 )，又尸(1 , 0 ),所以直线A尸的斜率及=；色 =小 , 所以直线

199、AF的方程为)， = 小(犬一1 ),代入抛物线方程)2 = 4%得3J T 1 ( )X+ 3 =0 ,所以x i +x ：=学，H 3 |=X I+M+ =号。故选 C。I.升 /1,解法二：设 A(x i ,凹)，4(/ 2 , 1y 2 ),则| AF | = X i +g = X i + l = 4 ,所以莺 =3 ,又 / 的 = 与 =1 ,所以也 = ； , 所以 | AB | = X i +x 2 + = 3+g +2 =竽。1 1 9 4 4 1 6解法三：因为丽 + 丽= 1 = 1 , H ? = 4 ,所以 1 8 r l= 予所以| A8 |

200、 = | AF l + | 3F | = 4+w = 3。答案 C第八节曲线与方程内容要求考题举例考向规律1 .J 解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2 . 了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3 .能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程2 0 1 9 全国I I 卷F c x M 求曲线方程)2 0 1 7 全国I I 卷T2 0 (M求轨迹方程)2 0 1 6 全国i n 卷 T 2 i ( 求轨迹方程)考情分析：本考点在高考中一般不单独考查，而是结合其他知识综合考查。重点是直接法、定义法、代入法核心素养：数学抽象教材回扣基础自测自主学习知识积

201、淀基础细梳理知识必备 B H 艮基.1 . 曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线。上的点与一个二元方程段，y )= 0 的实数解建立了如下的对应关系：曲线曲上点的坐标都是这个方程的解。(2 )以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2 . 求动点的轨迹方程的基本步骤(1 )建系：建立适当的平面直角坐标系。(2 )设点：轨迹上的任意一点一般设为P (x , y )。(3 )列式：列出或找出动点P满足的等式。(4)代换：将得到的等式转化为关于工上的方程。(5)验证：验证所得方程即为所求的轨迹方程。微提醒1 . “ 曲线C是方程

202、1A羽)，)= 0的曲线”是 “ 曲线。上的点的坐标都是方程火x, y )= 0的解”的充分不必要条件。2 .曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。小题微演练小题演铸提知能 .一、常规题1 .若方程/ + 号 =1(。是常数)，则下列结论正确的是()A .任意实数m方程表示椭圆B .存在实数小方程表示椭圆C .任意实数小方程表示双曲线D .存在实数小方程表示抛物线解析当且时，方程表示椭圆。故选B。答案B2 .在平面

203、直角坐标系中，0为坐标原点，4(1,0), 8(2,2),若点C满足0。 =。4 +似用一。4 ) ,其中fR ,则点C的轨迹方程是。解析设 C(x,y),则由 0C =0A +08 OA)得 0 c OA=f(O8。4 ),所以即。一 1 ,)，)=，(1,2),x - 1 = t,故八消去，得 y = 2 ( x - l) ,即 2 x -y -2 = 0。y-2t,答案 2 x -y -2 = o二、易错题3 .(忽视隐含限制条件)方程QM+3 1)(4 - 1)=0表示的曲线是( )A .两条直线 B .两条射线C .两条线段 D. 一条直线和一条射线仅x+3y1=0, .-

204、解析原方程可化为1 _ 3 0 或出一3 1 = 0 ,即入 +3)，-1 = 0 (3 2 3 )或=4 ,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线。答案D4 .(忽视P不在x轴上)已知A(2,0), 8(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足N4PO=N8P。，其中。为原点，则P点的轨迹方程是。解析由角的平分线,性质定理得| 用|=2|尸冏，设尸(x, y), J(x+2)2+ y2= 2 /(x -l)2+ / ,整理得(工一2)2+ )2 = 4 0 )。答案(4-2)2+)，2=4()孚0)5 .(不会运用抛物线定义)已知圆的方程为尸+9 = 4 ,若抛物

205、线过点A(1,0), 8(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是。解析设抛物线的焦点为此过A, B, 0(。为坐标原点) 分别作准线的垂线A4i, BBi, 0 0 , ,垂足分别为4 , Bi, O i,则依A |+ |B 3 |= 2 |O O i|= 4 ,由抛物线定义得|AA| + |B阳 = | 阳+ | 五阴，所以固| + 尸网=4 ,故F点的轨迹是以4, B为焦点，长轴长为4的椭圆( 去掉长轴两端点) ，所以抛物线的焦点的抗迹方程为 + = 0)。答案 Y+ & 1 & W 0)考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一直接法求轨迹方程【例1】已知4 1

206、,0), 8(1,0)两点，过动点M作X轴的垂线，垂足为N ,若M M = M N N B ,则当次0时，动点M的轨迹为 ( )A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析设 M ( x, y),则 M x, O ) , 所以 M M N B = 2 ( x+ l , 0 ( l 乂 0 ) = 2 ( 1 一) ，所以产 = ，1 一/ ) ，即变形为f +，=l,所以当2 0 ) ,则半径长为田，因为圆f +产6 %= ( ) 的圆心为( 3, 0 ) , 所以, ( %3尸 + 产=凶+3,则) 2 = 12X(Q0 ) ;若动圆在) ，轴左侧，则y = 0 。即圆心的轨迹方

207、程为) ， =1 2 x( x 0 ) 或y = 0 ( j 0 ) 或 y = 0 ( x ) , 半径为R 。因为圆尸与圆M 外切并且与圆N内切，所以 | P M + | P N | = ( R + r D + ( r 2 - R ) = n + r 2 = 4 | M N | = 2 。由椭圆的定义可知，曲线。是以M , N为左、右焦点，长半轴长为2 , 短半轴长为小的桶圆( 左顶点除外) ,其方程为+= 1 ( %# 2 ) 总结反思定义法求曲线方程的2种策略1 .运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程。2 .定义法和待

208、定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解。【变式训练】如图，已知 ABC 的两顶点坐标4 1 , 0 ) , 5 ( 1 . 0 ) , 圆 E是A A B C的内切圆，在边AC , B C ,48上的切点分别为P , Q, R , | C P | = 1 ( 从圆外一点到圆的两条切线段长相等) ，动点C的轨迹为曲线M,求曲线M 的方程。解由题知 I C AI + I C 用 TC P l + l C Ql + l AP l + l BQkZI C P l + l ABkQHBI ,所以曲线M是以A, 8为焦点，长轴长为4的椭圆& 史去与x 轴的交点) 。设

209、曲线M:于+ 方=1 ( a 加 0 , y #0 ) ,则。 2= 4 , tr= a2-所以曲线M的方程为卷+ : = | （ y WO）。考点三代入法（相关点法）求轨迹方程【例 3 】如图，抛物线炉 = 2/ * （。乂））与圆0： / + 产 = 8相交于A, 8两点，且点A 的横坐标为2。过劣弧4 8 上动点尸（沏，州）作圆。的切线交抛物线E于 C,。两点，分别以C,。为切点作抛物线上的切线八，介与V相交于点M。求的值；（ 2）求动点M的轨迹方程。解（ 1 ）由点A 的横坐标为2 ,可得点A 的坐标为（ 2, 2） ,代入. F = 2p x , 解得

210、= 1 。由知抛物线E : y2= 2 x ,设M）， - y i W，”W 0 , 切线人的斜率为k,则切线八：）， _） 3 =6胃，代入丁= 2 r , 得 6 22丁+ 2州一心彳 = 0 ,由4=0解得所以八的方程为 y = J x + T ，JiJI 2同理， 2的方程为y=g+。)_ V rV 2 一 2 易知CD的方程为X O X+）Q= 8 ,其中沏，泗满足+W =8,沏 2, 2啦 ,J r = 2v ,由1MX+闻， = 8 ,得顺产 + 2y o y 1 6 = 0 ,代入1一 2 ，一 2 ，r 8 （ 8*=F， 1=-?可得“（ x ,

211、 y ）满足，可得。产一位 1代入W +M=8,并化简，得一） 1 = 1 ,考虑到* 代 2, 2啦 , 知 x W - 4 , - 2啦 ,所以动点M 的轨迹方程为会一户1 , x e - 4 , - 2啦。总结反思相关点法求轨迹方程的步骤1 .明确主动点（已知曲线上的动点）尸（ X 0 , 泗），被动点（要求轨迹上的动点） M（ x , y） .2 .寻求关系式x o = _ / U，y ） ,泗= g （ x ，y ）。3 .将 x o , 泗代入已知曲线方程。4 .整理关于x , y的关系式得M 的轨迹方程。【变式训练】已知点P是直线2 x - y + 3 =

212、 0 上的一个动点，定点 % 一 1 , 2） , Q 是线段P 例延长线上的一点，且| P M = | M Q| , 则点Q 的轨迹方程是（）A. 2x + y + 1 = 0 B. 2 x y5= 0C . 2x 一厂 1 = 0 D . 2x - y + 5 = 0解析设 Q （ x , y） ,则可得 P （ - 2- x , 4 - y ） ,代入 2% - y + 3 = 0 得：2 ）， + 5 = 0 。故选 D 。答案 D（ 2）在平行四边形ABC 。中，N B 4 O = 6 0 。，A D = 2 A B ,若 P是平面4 B C D 内一点，旦满足：衣 &

213、+ ）火力+国= 0 （ x , y R ） ,则当点尸在以A 为圆心，坐劭 | 为半径的圆上时，实数x , y 应满足的关系式为（）A. 4 r + 尸 + 20 ， = 1 B. 4 ? + V 一次 = 1C.炉+ 4 , 22x y = D.r + 4 2 + 加 =1解析如图，以4为原点建立平面直角坐标系，设A O = 2 , 据题意，得A5 = l , N ABO= 9 0 。，BD=所以B , 0的坐标分别为（ 1 , 0 ） , （ 1 ,小） ,所以油=（ 1 , 0 ） , A b=（ l , 回设夕（小，/ ? ） ,则由通力+ 以力+ 或=1 尸 r +

214、y ,0,得通= 入助+ ）刀所以j _ 小依题意，得 ?2+ 2= 1 , 所以小 + 年 + 4 = 1 。故选D。答案 D第九节圆锥曲线中的热点内容第 1课时求值、证明、最值与范围问题考点例析对点微综互动课堂考向探究考点一求值问题【例 I 】设椭圆+ =13 比（））的左焦点为凡上顶点为瓦已知椭圆的短轴长为4 , 离心率为当。（ 1）求椭圆的方程；（ 2）设点尸在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 ”为直线P B 与x 轴的交点，点 N在），轴的负半轴上。若为原点），且 O PL M N,求直线P B 的斜率。解（ 1）设椭圆的半焦距为c

215、,依题意，2b = 4 , ： =坐，又屋= + / ,可得 a = 小 , b= 2 , c= 1 o所以，椭圆的方程为, + 彳= 1。（ 2）由题意，设气口，”）（心工0） , M（XM.（）。设直线P B的斜率为 k W O ） ,又8 （ 0, 2） ,则直线P B 的方程为）， = 履 + 2,y= k x + 2 ,与桶圆方程联立 . y2k+L，整理得（ 4 + 5 公） / +20齿= 0,一y 20A可得心 = 一交 ,8 0必代入， = 依 + 2 得=4 + 5 公，进而直线。 P的斜喏 =4 一5 一 10k2在 y= A x+ 2 中

216、，令 y = 0 , 得 XM=一2。由题意得M( ) , - 1) ,所以直线M N的斜率为一号。由 O P M N,得卜舒=-1,化简得好=,，从而& = 2? &所以直线P B 的斜率为醇或 -噌。求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解。【变式训练】已知椭圆C ：、+1= 1( 。 0) 的长轴长是短轴长的2 倍，F是椭圆C 的一个焦点，点例( 0, 2) 且|M Q=E。( 1) 求椭圆C 的方程；( 2) 若过点M 的直线/与椭圆。交于A , B两点 ,线段AB的中点为N,且满足| A M| = | B M，求/的方程。a= 2 b,解( 1) 由题意，可

217、得卜+ 4 = 10,解得 c i=2 yj 2 , b=yj 2f故椭圆C 的方程为 + 3 = 1。o L( 2) 根据题意可得，点A必在点8的上方，才有| A M| = | B N | 。当/的斜率不存在时，| A M = 2一6 ，| 8 N | = ， i , | 4 M| W| B N 1, 不合题意，故/的斜率必定存在。设/的方程为) ， = 履 + 2,由， 8 2 得( 1+ 4 d ) W + 16 履+ 8 = 0,j = fcv+ 2,/= ( 16 4 ) 23 2( 1 + 4 后 ) = 128 炉一 3 2 0,即吟设A 3 , yi ) , 8 ( x2,

218、巾) ，n 1, 16 k 8则* + * 2 = 一甲卢而。设 MM) , JO) ,则 XO=MJ = 一；；F。由| A M| = | 8 N | 可得，| A 8 | = | MN | ,所以- 1+ & 2M - 刈 = 1+ 4 2 1A, o ( ) | ,则1( 为+ 及) 2- 4 加及=| X o | ,“1+ 4 六一 | 1+ 4 间，整理得好= /= ,故z = 土乎，/的方程为y = 土乎工 + 2 。考点二证明问题【例 2】已知椭圆E ，+ $= l( a b 0) 的焦距为2小，直线A ：尸 4与# 轴的交点为G,过点M( l, 0)且不与x

219、轴重合的直线/2交 E于点A , B,当A垂直于x 轴时，AASG的面积为乎。( 1) 求 E的方程；( 2) 若A C_ L /i ，垂足为C ,直线3c 交x 轴于点0 ,证明：| M0| = | Q G J 。解( 1) 因为桶圆E的焦距为2小，所以c= J 5 ,所以一 = 3 ，当/2垂直于x 轴时，| MG | = 3 ,因为 A 8 G 的面积为邛 ,即: | A 引所以| A 8 | = /，不妨设坐）。代入椭圆E的方程得j+本 = 1 ，联立，解得/= 4 , *2= 1,所以椭圆上的方程为+ 尸 = 1 O（ 2）证明: 设 A Q j , 弘） ,8 （即

220、，力） , 则。（ 4 , y ） ,因为直线“不与x 轴重合，故可设12的方程为x = m y +1,x = w y + I ,联立, 整理得（ P + G y+ Z my- S n O ,彳 + 广 =1 所以 4 =16 （加+ 3 ） 0,3+ 心 =一而，帅 = 一而，所以直线3 C ： y - y i = 二 ;（上一 4 ） ,令尸 0 ,则尸也 0+ 明- v f所以。的横坐标为, 口） =小二4 - 4 ,y c , 25-2川（工2 - 4 ） L ”5-23-26 m + 6 m2）， 1 （ 2 竺 - 3 ） + 3 尸 1- 3 3 2 Z

221、m y i y z - B Gi + y Q 尸 + 4 尸+ 420?| V 2） - 2（ v i 2 ）一 2但一九），（机乃3 ）乃一以= 0 ,所以切= 5 。因为M G中点的横坐标为| ,所以。为线段M G 的中点，所以| M | =| D G| 。总结反思圆锥曲线证明问题的类型及求解策略I . 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等：证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）。2. 解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应

222、用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明。【变式训练】设椭圆，+ 卓 = 13 0）的左、右焦点分别为R,尸 2, 过点R的直线交椭圆七于A,8 两点。若椭圆的离心率为坐， AB B 的周长为4 加。（ 1）求椭圆E的方程；（ 2）设不经过椭圆的中心而平行于弦A 8 的直线交椭圆E于点C , D,设弦4 8, CO的中点分别为M, M证明：。，M, N 三点共线。解由题意知，4 a =4 灰，（ 1=水。又c = 乎，所以。 = 巾，b =小 ,所以椭圆E的方程为* + 与=I 。o J（ 2）证明：当直线4 8, CO的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M

223、, N 在 4轴上，O, M, N 三点共线；当直线4 8, CO斜率存在时，设其斜率为& , 且设A（M, y O , B（X2,），VO） ,则、两式相减，得卜惜 + 吊 = ，即以6 3 Q i 一处) ( 乃 + U ) G3 - ) 2) ( y + u )6 3 ，所以0.空= T 0乃 = 七X - X2 X - VX2 6 X - X2 6即 k - k o . M= -I ，所以 k o M=一品同理可得k o N = 一3 所以k o M= k o N ,所以0, M, N三点共线。考点三最值与范围问题【例3】( 2021广州市调研测试) 已知椭圆C ：号=

224、1(。动 ) 的右焦点尸到左顶点的距离为3。( 1)求椭圆。的方程；( 2)设O为坐标原点，过点尸的直线与椭圆。交于4 , B两点( A, B不在x轴上) ，若凉= 8 +加，延长40交椭圆于点G ,求四边形A G 3 E的面积S的最大值。解( 1)由已知得 =3 , + c =3 , a2= b2- - (rf所以椭圆C的方程为 + 万 =1。( 2)解法一：因为过尸( 1, 0)的直线与椭圆C交于A, B两点( A, B不在x轴上) ，所以设/ ： x = ty+ 1,x =) + l ,由， / + 芷 = 得( 3产+4*+6 )一9=0, - 6/”+ y产许，3殳 A

225、(xi, y i) , B(X2,2) ，如卜 _9 必 = 薪。因为况= 8 +彷，所以A O 8 E为平行四边形，所以 S=SAO 8E+SAO G 8 = 3S上08 = | | 一 ) 2 | = | /。1 + ) 2) 2- 4 ,叮2 = ZY+l = m ,则机N l, S =/ 工= - - T ,3W Z4-Lm9由函数的单调性易得当机=1 ,即/ = 0时，S ma x = 2解法二：因为应= 次 + 瓦所以A O B E为平行四边形，所以 S = SAO BE + S& OGB = 3s A A O 8 oQ当直线A8的斜率不存在时，S=3SAAO8=2。当直线A

226、B的斜率存在时，设直线A8的方程为. y =& (x- l) , 2W0,p = . L l ) ,由得 9 3 = 0。p+ 2 =ra设 4 3, J i) , 5(X2, % ) ,则 . . . .-9KU片正百 ,3所以5=35&八08=亦1?|3 r . :- 1 8 6 +人= 2 V ( I+ . V 2 )-4 iy2= 4 F + 3令依2+ 3= i, 则加 3,S=2 y_3 x W +l 0 , 所以X I+X2 = 4 & ,3出 = 4 。因为 | 4 F l=/l| 8/n, 所以由=一双2 ,所以处（ 1 2） = 软，一 & ?=- 4 ,可得好 =

227、 = 融 + _ 2），当） 2 2 时 , 解得心乎或右一半 ,所以直线/的斜率的取值范围为- 阴楞,+ 0（ 2）对）， = * 求导，得y = % ,则直线A P : y - y i=p i(xxi) ,又y i=； 3 ,所以直线A P ：同理可得直线8 P : ）， =/炉一加。所以点传 ,用 , 即产（ 2忙 - 1 ） ,点、P 到直线/ 的距离d =Lf= 2 r2 + 1 ,7片+ 1| A B | =代 +1 i + 必） 2 4X IX 2 = 4 / + 4 ,所以 A B P的面积S = ； H 8 | d = 4 （ K + l

228、h / 4 T 2 与（依= * 时取等号）。综上，Z k A B P面积的取值范围为喈+T。第 2 课时定点、定值、探索性问题考点例析对点微练互动课堂考向探究考点一定点问题【例 1 】（ 2 0 2 0 全国I 卷）已知A , 8分别为椭圆区5+尸心1 ）的左、右顶点， G为 E的上顶点，宿份 = 8 。P 为直线4 = 6 上的动点，%与 E的另一交点为C , P B 与 E 的另一交点为4（ 1 ）求 E的方程：（ 2 ）证明：直线CO过定点。解由题设得 A (一4 0 ), B (a , O ), G (O , 1 ) ( ) 。设 A(xi, yi),

229、BQ?, ” )，则%+4w - 4= 五两？ 2=茄耳5 ,所以m=g + vyi” 由题意知C(3, y i) , 直线BC的斜率心c = = 热出=一=yi 2所以直线BC的方程为yyi=yi(.x 3),即 y=yi(x - 2),可知直线BC恒过定点(2,0)。当直线AB的斜率为0 时，显然直线8C 恒过定点(2,0)。综上，无论/ 如何变化，直线8 c 恒过定点(2,0)。考点二定值问题【例 2】(2021 福建漳州教学质量检测) 已知抛物线C：r=2p.y(/0)的焦点为F ,过产且斜率为1 的直线与。交于4，8 两点，依阴= 8。(1)求抛物线。的方程；过点

230、0(1,2)的直线/ 交C 于点M, N , 点。为 M N的中点，QR_Lx轴交 C 于点R , 且宓 = / ，证明：动点 7 在定直线上。解设 A S , 8(M,竺) 。因为电 , 2)-所以过F 且斜率为1 的直线的方程为产x+ 或由卜= .v + l 消去丫并整理，x2=2py,得 x22pxp 2 = 0 ,易知/ 0。则 xi+*2=2p, yi +2=xi 4-x2+p=3p,所以|/4用 = + ”+” =4= 8 , 解得 p=2o于是抛物线。的方程为=4户证明：证法一：易知直线/ 的斜率存在，设/ 的方程为y=A(x1)+2, Q(xo, y0),

231、 AA-3, 亲 J。y = r1)+2,由。 =4) ，, 消去) ，并整理，得 .F以x + 4 k -8 = 0 。则 / = ( 一42)24(妹 - 8) = 16(3+ 2)0,的+ 工4=48，彳汨= 4火一8,所以沏 = 号 = 2 2 ,泗=A(xo1)+2 = 2好一A + 2 ,即。 (24,2好一2+2)。由点R 在曲线C 上，QR_Lx轴，且。 7?=矽；得R(2k, F), R 为 QT的中点，所以 7(22,- 2)。因为 2&2(&-2)4=0,所以动点7 在定直线2) ，一4 = 0 上。证法二：设 7(x, y), 疝 3 ,泉 ) ，从心, ；

232、君) 。由馆=4%房=4 ) ，4 ,得( 沏+g )。3 工4) = 4任3 g ) ,所以小 =以一了4X3XA0设Q ( x , T5 ) ,则直线M N的斜率%=._； ,又 )4= ,点Q的横坐标x = * *4,制一工4 乙所以 ,所以心= 表( 工一 1 ) + 2。由。 & = 灯知点R为Q7的中点，所以由，喑。又点R在。上，将卜，哼4代入。的方程得r=2。，5 +狞，即一. 丫+4+ 2 ) ， = 0 ,所以动点丁在定直线才一2 ) ， -4 =0上。总结反思本题第( 2 )问可用以下两种方法探求圆锥曲线中的定直线问题：方法一是参数法，即先利用题设

233、条件探求出动点T的坐标( 包含参数) ，再消去参数，即得动点T在定直线上；方法二是相关点法，即先设出动点了的坐标为( x , y) ，根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动点7在定直线上。【变式训练】( 2 0 2 1 西工大附中适应性测试) 已知椭圆E ：，+3=13*0)的离心率为e ,点( 1 , e )在椭3圆E上，点A ( a , 0 ) , 8 ( 0 , b), ZA O B的面积为O为坐标原点。( 1 )求椭圆E的标准方程；( 2 )若直线/ 交椭圆E于M, N两点，直线OM的斜率为拓，直线ON的斜率为依，且2必 = 一 /

234、证明： O M N的面积是定值，并求此定值。i +p =i -解( 1 )由得 6 =1 .V(r= a2b2,1 3 ,又 SA OB = l b= 万, 得 4 = 3。所以椭圆E的标准方程为总+= 1。( 2 )证明：当直线/ 的斜率不存在时，设直线/ : X = 3 0 ,18 k m 9 尸一9i=一声7 X片即7 ,（心+ / ）（5+M - 9公+ 加X X29加一 9一化简得9 3 + 1 =2加，满足/ 乂）。 MN = 1 + 4| 国 -x z |= 1 + 玄7 （即 + l2 ） 2 - 4 X1 X29标+ 1义原点。到直线/ 的距离所以 SAOM

235、N=；X |M N X d3 1 +公9 A 2一加+ 19 F + 1X3 ni ） 2 m2-m2 3= 2 m2 =2 3综上可知， O MN的面积为定值5。考点三探索性问题【例3】已知两点A ( 2 , 0 ) , 8 ( 2 .0 ) ,动点P与A , B两点连线的斜率尿满足M v k m =一； .( 1 )求动点P的轨迹E1的方程；( 2 ) ”是曲线E与) ，轴正半轴的交点，曲线E上是否存在两点M, N,使得是以”为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由。解( 1 )设点户的坐标为( x , y) ( %W2 ) , y0

236、 y - 0则 M=F h = N 依题意 k i A - k p B = 所以y v ._1 x + 2 x - 2 4,化简得9 + 9 =1 ,所以动点P的轨迹E的方程为 + ) 3 =1。* 2 )。( 2 )设能构成以H为直的顶点的等腰直角三角形H M N ,其中点H的坐标为( 0 , 1 )。由题意可知，直角边MW,V不可能垂直或平行于x轴，故可设HM所在直线的方程为y=h+ l, k 0 ,则HN所在直线的方程为y=-3+ 1。y=A x + l,联立，得4r+ 4厂 =4 ,消去y整理得( 1 + 4 1 + 8丘=0 ,解得物 =一1 7普后，8出将 XM= 一可得y

237、w=1 + 4 A2- Sic1 + 4必; 代入) ， = +1 ,+1 ,故点A f的坐标为（-T + f e 尚+ 1 ）。所以| M =8 R + 拓8 b J l+ F1 + 4 F 同理可得| N = 4+d，由得&( 4 +炉) =1 + 4标 ,所以 K - 4 F +必一 1 =0 ,整理得( & - 1 ) (产一 3 & + 1 ) =0 ,解得k=T或 =美心，当的斜率k = l时， N的斜率为- 1;当H M的斜率-时，HN的斜率为一二一;当，M的斜率k =上乎时， N的斜率为二综上所述，符合条件的三角形有3个。总结反思存在性问题的求解方法1 .存在性问

238、题通常采用“ 肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化。其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在：否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在。2 .反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法。【变式训练】已知椭圆C： 8 = 1 3泌0）的离心率e=；,点AS，O ） ,点B ,产分别为椭圆上顶点和左焦点，且0 F|.|B4|=2#。（ 1）求椭圆。的方程；（ 2）若过定点M（（） ,2）的直线/ 与椭圆C交于G, H两点（G在M, 之间），设直线/ 的斜率Q 0 ,

239、在x轴上是否存在点尸使得以尸G, P 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由。解（1）设椭圆焦距为2c,依据6=彳= ；有a = 2 c,由|8抖|84|=2旗，有a 7方+b2= 2 # ,有而=2小 ,又。2 一护=理，由可得/= 4 , =3,所以椭圆C的方程为+与= 1。（ 2）由已知得直线/ 的方程为）， = 履 +2（公 0） , = 依 +2(%0),今(3+4 标) / + 16H+4=0,由/ 0及Q 0得悬。设 G(xi, yi), H(M, y2), xx2, , , 一 16%则即 + 必 = 而百

240、，PG+ PH=(x + X：2m, 4(乃+ 工2)+4),GH=(x2xt J2-i)=(x2- i, k(x2xi)o由于菱形对角线互相垂直，所以(PG+P)G=0,即( 即+ 工2 - 2用) ( 必一即) + 伙( 即+%2)+ 4伏伏2即) =0,又知XiX2f所以也一Xi#o,所以(1+ 公)3+ 知 +4攵-2机=0,2即 m= - -软+j因为所以一* Wz 0) 联立消去工, 得 k r- 2 p y2 p b= 0o由根与系数的关系知. 力+”= 半，9少 2 = 华。石兀 2 i 兀 . ,ta na +ta n 2 Pdi+竺)由 +/? = 不得

241、 l= um - a n将式代入式整理化简可得：r - 7 = i ,b2 p k,所以= 2 p + 2 P h此时，直线的方程可表示为 ) ， =丘+ 2 p + 2 P h即 & ( x +2 p ) 。， -2 p ) = 0,所以直线AB恒过定点( 一 2 P, 2 p ) o增吩I训I练1 .已知椭圆C ： f+ f=l ,若直线/： =5+ ? 与椭圆C相交于4 , 8两点( A , 8不是左右顶点) ，且以A8为直径的圆过椭圆。的右顶点。求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标。y= k x + m ,3 /+4 ) , 2 = 2得( 3 + 4 2) x2

242、+Sm k x+4 ( /? r3 ) = 0,A=6 4 M 标- 16 ( 3 +4 ( 4 - 3 ) 0, 3 + 4 标一 /n2 0,则 Xi+ X2 = Sm k3+ 4Px i- x2=4 ( M 3 )3 + 4 / 3 ( 加2 4 标 )3 + 4 公。所以 y r,2 = ( f c v i +/ ) ( k x 2 +m )=/ rx X2 +m k (x + X 2 ) +m2=因为以A8为直径的圆过椭圆的右顶点。 ( 2 , 0) , 且k w k B D = -1 ,所以X 2X2-2即 ,0?2 +A IX22 ( X 1 +工2 ) +4 = 0,3 ( /

243、4 斤 ) 4 ( 小2 3 ) 16 淡 , / A3 + 衣+ 亍记+ 讦而 + 4=0 ，整理得7 加 + 心 + 4 & 2 = ( ) ,解得利i = -2 & , n = _ * ,且满足3 + 4 好一尸 0,当? =2 A 时，/: y= k (x 2 ),直线过定点( 2 , 0) , 与已知矛盾;当m=一竿时 ,/ : y = x ,直线过定点停，0( ,综上可知，直线/过定点，定点坐标为, ，( ) 2 .已知点8 ( 1, 0) , C ( l, 0) , 尸是平面上动点, 且满足| 阳 | 狗 = 唐珍。求点 P的轨迹C对应的方程；( 2 ) 已知点A

244、 ( , 2 ) 在曲线。上，过点4作曲线C的两条弦AO和 AE,且 A O _ L A , 判断：直线OE是否过定点？试证明你的结论。解设 P( x , ) ，) ，代入| 巴? | | 反 1 =两或得 ( % - 1) 2 + F = + x,化简得,= 以。故点P的轨迹C对应的方程为) 2 = 4 x 。( 2 ) 将 A ( 几2 ) 代入/ =4x得=1,所以点A的坐标为( 1, 2 ) 。设直线DE的方程为x = m y + t代入) ? = 4 x ,得 y24 m y4 t= 0f设 ( 即, 凶) ,E g , yi),则 + 7=4叫 M 少 2 = 4 f ,

245、J =( -4 m )24 - 16 / 0( * ) ,所以劭 . 造 = ( 即 - 1) ( 4 2 1) + 8 2 ) ( ) ，2 2 ) = 入心一( 即+冷) +1 + ”少 2 23+ 竺 ) +4=号与一甘+1 + 。 +儿) 2 5+ ”) 2 - 2 ) ，2 ( 一 4 f ) 2 ( 4 f f l)2- 2 ( - 4 r)巾少2 - 2 。， + 2 ) + 5 6 - 4 +乃 3 2 - 2 。| +) ，2 ) +5 6 - 4 + ( 4 。 -2 ( 4 m )+ 5=0 ,化简得产一6 1 + 5 = 4 / + 8 机，即产6 /+9 =

246、4 户+8 ? +4 ,即 3 ) 2 = 4 ( 加 +1) 2 ,所以，一3 = 2 ( 加 +1) ,所以 f=2w?+5 或 t= 2 m + I ,代入( * ) 式检脸，只有/=2相+5满足/0,所以直线DE的方程为x=m (y+2)+5,所以直线OE过定点(5, -2)o3 .已知动圆过定点4 (4 0 ),且在y轴上截得的弦M N的长为8。(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点8(1,0),设不垂直于.1轴的直线/ 与轨迹C交于不同的两点P, Q ,若x轴是NPBQ的角平分线，证明直线/ 过定点。解(l)A(4,0),设圆心C(x,) ，),M N线段的中点为E ,由几何图形知眼月= 皇, |。4|2=|。明也12+|。2,即。-4)2+尸 =4 2 + /，化简得) ， = 取。故枕迹C的方程为y2=8xo(2)证明：设 P(M, J1), 0(X2,竺) ，由题知乃+ ) ，2 X 0 ,) 叮2 ，2+)，1)M Xi )2 yi+8=&r=y=0, x = l o所以，直线/ 过定点(,0)。

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高三数学第八章平面解析几何讲义

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