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1、寿险精算主讲人 许振国第 一 讲寿险精算概述利息理论寿险精算概述一一. .精算的概念精算的概念精算的定义：一般地说法是，利用数学、经济学、统计学、寿险、非寿险、人口学、养老基金、投资等理论，对金融、投资等行业中的风险问题提出数量化意见，使未来价值的可能性数量化。精算工作主要是由精算师承担的。一一. .精算的概念精算的概念精算师的作用：“在给金融投资等问题提供专家的、恰如其分的解答方面，尤其是解释不确定的未来事件方面，发挥精算行业的作用并提高它的声誉。” 摘自英国精算行业业务报告 金融问题 不确定的 未来的u精算面对的是 “金融”问题。 从非常简单的问题，如确定在一项抵押下每月的投资是多少， 到
2、非常复杂的问题，如管理一项大的养老基金，等u精算的研究对象是“不确定性”。 说明金融行为不确定性的一个很好的例子就是保险合同。 在投保车辆盗窃险时，一辆超豪华轿车的拥有者，与一辆普通的旧车车主相比较，应交多少保费呢？哪一辆将被偷是不确定的，但是研究一下这两种车过去被盗窃的规律，精算师就可 以 为 每 一 种 确 定 一 个 合 适 的 保 费。u精算是针对“未来的” 。 例如，个人养老基金问题，这是一笔很大的资产，它为特定的一些人提供将来的养老金。常常必须要为那些现在还很年轻的人提供退休养老金。 所以，养老基金的管理者们必须考察下面两个问题：一是这些资产在三四十年或更长的时间里的价值是什么，二
3、是养老金领取者活着并领取养老金的时间多长。 寿险精算涉及到的不确定性往往持续很长的时间。例如：u寿险合约可能有10年、20年、30年或更长的期限。精算师关心的是在这些投保期限中被保险人死亡的风险。u养老金基金可能会有义务对一个20岁的青年支付未来几十年的养老金。它要确保将基金进行安全的投资，并在需要的时候立即供款。但是投资所能获得的未来利息收入是不确定的。在决定养老金的金额时，精算师必须对一个较长时间内的这种不确定的利息做出估计。u一个设计未来几十年人口模型的精算师必须考虑到以后30到40年间出生、死亡、结婚、离婚等等的变化，包括随着社会的发展这些变量的变化。二二. .本课程的研究内容和主要组
4、成本课程的研究内容和主要组成 主要研究： 寿险所承保标的的出险规律 寿险产品承诺的给付或赔付的精算现值 趸缴和分期缴付的净保费 责任准备金的提存等 二二. . 本课程的研究内容和主要组成本课程的研究内容和主要组成 主要组成部分：利息理论生命表保费厘定保单价值和准备金三三. . 利息理论利息理论利率是重要的经济杠杆之一，它无时无刻不在影响着人们的投资行为和消费行为，进而影响着国民经济的整体运行。利率也是我们最为熟悉的经济变量之一。本课将要探讨的主要内容就是与利率和利息有关的理论及应用问题。利息理论虽然是保险精算专业的基础，但它所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了保险精算领域，在
5、投资分析、财务管理等方面都很有参考价值。利息理论的内容主要包括： 利息的度量方法 基本的复利函数，例如年金现值等。 利息理论在投资分析和财务管理等领域的广泛应用，还包括投资收益分析、债务偿还方法、证券价值分析、利率风险的度量和防范。 可以回答以下问题：u复利产生的利息是否总是大于单利产生的利息？u如果复利在一年之内的利息结转次数不断增加，甚至连续结转利息时，复利的利息会发生怎样的变化？u计算现值时的利率是否就是贴现率？u利率与贴现率的关系如何？ u在分期付款时，借款人在每次付款中的本金和利息分别是多少？它们具有什么规律？如何计算借款人的贷款余额？u债券如何定价？等。四四. . 生命表生命表生命
6、表（Life table）又称生命表（mortality table），它是根据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（如寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关生存状况统计资料，编制成的统计表。通过生命表可以得到任意年龄的人在任何期限内的生存概率、死亡概率等相关数据。生命表在有关人口的理论研究、某地区或某人口群体的新增人口与全体人口的测算、社会经济政策的制定、寿险公司的保险费及责任准备金的计算等方面都有着极为重要的作用。u不同的人会死于不同的年龄，但是通过对大量的人死亡的年龄了研究之后，精算师就能估计出同样年龄的一大群人中有多少会在20年之内死亡，或者在另一个期间内死亡。对于给定
7、了年龄的一组人，计算他们的生命平均起来将在多少年内结束是能够做到的，这就是“生命的平均期望值”。这些数据对决策工作是至关重要的。u寿险公司可以根据产品的不同、地域的不同、受保人群的不同、公司核保技术的不同或者市场策略的需要，采用不同的生命表生命表。五五. . 保费厘定保费厘定寿险定价的三要素：利率、死亡率、费用率。毛保费 净保费 费用保单中净保费的计算可从下面的净保费价值方程中得出： 净保费收入的期望现值保险给付支出的期望现值u对趸缴保费的保单，保费收入是确定的。而有些保单，其保费的缴纳不是采用期初趸缴的形式，而是在一段时间里多次缴纳，具体的某笔保费缴纳与否取决于被保险人是否处于生存正态，也就
8、是说，寿险公司的保费收入取决于被保险人的未来生存时间，保费收入的现值和保险给付支出的现值都是随机变量，但保费的大小不是随机变量，是预期现值的函数。为了解这个方程，我们要假定被保险人的死亡率和未来可实现利率的值。u定价基础最终决定寿险公司销售保单的效益。如果公司保费收取不足，就会造成亏损。因此，探讨实际情况与定价基础不符的影响，是非常重要的；如果将来实际情况比定价基础中的设定情况好（假定按定价基础设定情况所计算的保费是适应市场销售的），毫无疑问，这会增加公司的利润。然而，如果实际情况较差，公司会陷入严峻的财务危机。六六. . 保单准备金保单准备金 保单准备金：为将来的赔付或返还而储备的款项。 利
9、息理论第一节 基本概念n积累值（终值A）n现实值（现值P or 本金S）n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息力nAccumulated valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest汉英名词对照一、单利与复利1、利息的定义某人在银行开设一个账户并存入10 000元，之后他没有动用过这个账户，1年后，他结清账户得到了10 200元。这个数目可以看做是本金10 000元和利息200元。这里
10、所说的利息就是银行在账户存在期间因使用此人的资本而对他支付的报酬，也可以认为是一个附加的补偿。简单的说：利息是借款方支付给贷款方的报酬。定义定义：利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。利率： 单位本金在单位时间（1个计息期）所赚取的利息与本金的比率即有效利率，简称利率。常用百分数表示。2、单利1）定义：假定一个单位本金的投资在每一个计息期所得到的利息是相等的，而利息并不用于再投资，按这种形式增长的利息称为单利。某人在银行存入100元，如果单利的年利率为6%，那么每年他将得到6元。1年后账
11、户里有106元，2年后有112元2）单利的计算公式：I=Pin其中，P表示本金，i表示利率，n表示计息期，I表示利息单利的本利和=本金+利息=P+I=P+Pin=P(1+in)3）基本特征：利息本身不再赚取利息利息受益水平在下降！3、复利1）定义：将本金所产生的利息加入本金，以本利和作为计算各期利息的一种计息方法。某人在银行存入100元，如果复利的年利率为6%，那么1年后账户的本利和为106元，这106元作为第2年的本金，到第2年末，账户的本利和为106（1+0.06）=112.36元2）复利利息的计算公式：第一年末 =Pi第二年末=P(1+i) i 复利的本利和：第一年末 =P(1+i） 第
12、二年末= P(1+i)+P(1+i) I第n年末= P(1+i)no计息期n=1时，两者本利和相等；o计息期n1时，复利的本利和要大于单利的本利和（按复利计算，利息还要产生利息）；o在利率不变且初始本金一定的条件下，按照单利计算时，每期的利息额是常数，而按复利计算每期的利息额非常数，但利息增长率为常数。4、单利与复利的区别二、复利的终值和现值1、复利的终值终值：若干计息期后包括本金和利息在内的积累值，又称本利和。用A 或者 表示。1元经过n年后变成(1+i)n元(1+i)n为1元n年后的终值P元经过n年后变成P(1+i)n元（同理）复利终值公式 = P (1+i)n例1-1.某人将10 000
13、元进行投资，在年利率是8%的情况下，投资5年后的终值是多少？解：已知P=10 000，i=8%，n=5，得 2、复利的现值现值：指未来一定时间的特定资金按照复利计算的现在价值，或是为取得将来一定本利和现在所需要的本金。用P 或者 表示。假定各年利率水平不变，1元经过n年变成(1+i)n元，那么反过来，多少钱经过n年变成1元呢？答案：复利现值公式三、利率与贴现率1、利率 实际利率：是指某时期期末得到利息的金额与此时期开始时投资的本金金额之比。 如果在每个计息周期内利息支付的次数不止一次，就涉及到另外一个概念“名义利率”。 例如：假设银行贷款利率8%，借款人如果从银行借得期限为1年、金额100元的
14、贷款，那么1年的利息额是8元。如果银行要求借款人在年末支付8元利息，那么上述贷款利率就是实际利率。如果银行要求每半年支付4元，那么8%就是名义利率。原因：如果每半年支付一次利息，尽管全年支付的利息总额仍是8元，但由于平均支付时间提前，使得借款人的实际利息成本增加。即，每半年支付4元利息时，每年则计息2次，每半年的实际利率为4%经过2个半年后，贷款的本利和为100（1+0.04） （1+0.04）=108.16元相当于1年的实际利率为8.16%。 8%为名义利率名义利率。如果在一个计息周期内利息支付的次数不止一次，那么名义利率就等于分段周期内的实际利率乘以利息支付的次数。假设一笔投资的年名义利率
15、为8%，每个季度结转一次利息，那么每季实际利率为8%4=2%，由于按每季实际利率计算的年末积累值应等于按年实际利率计算的年末积累值，因此有(1+2%)4=1+i，从而年实际利率为i=(1+2%) 4-18.24%8%名义利率与实际利率的关系：1年结转m次利息的名义利率：每次结转利息的实际利率： 1年结转m次利息的名义利率的年末累积值：实际利率i的年末累积值o由名义利率表示的实际利率为o由实际利率表示的名义利率为例1-2. 某人准备按照10%的年利率存入银行614元，每半年结转1次利息，试计算其5年后的本利和。（两种解法）o解法一每半年的实际利率为10%2=5%5年一共包含10个半年因此，614
16、(1+5%)10 1000元n解法二先求出实际利率再用复利终值公式求解2、贴现率某人用他未到期的1元，从银行换得（1-d）元的现值。这就相当于银行用（1-d）元的投资，在期末可以累积到1元，在期末赚d元的利息。d：贴现率 实际贴现率的定义：一定时期内利息与期末累积值的比率（期初付利息）。利率与贴现率的关系l二者计算基础不同例如，某人用一张1年后到期的面额100元的票据去银行兑现，银行只给他90元，即预先扣除贴现值10元，那么贴现率为10100=10%。银行期初支出90元，期末票据到期后可得到100元，这90元产生的利息为10元，利率为1090=11.11%。注意：虽然利息和贴现值相同，但利息是
17、由银行在期末收取，贴现值是有持票人在期初收取（负值）；利率是利息与期初本金（现值）的比率。贴现率是贴现值与期末累积值（终值）的比率。 因此，利率表明资本在期末获得利息的能力，贴现率说明资本在期初获取利息的能力。用贴现率表示利率：用期末得到的利息按贴现因子v向期初贴现，得到期初预收的利息d期末的1元在期初的现值可表示为v，v为贴现因子，也可表示为（1-d）换算关系四、利息力o关于利率的讨论是基于一个时期的，度量的是资本在一定时期内获得利息的能力o为了掌握资本在任意一个时点获得利息的能力，需要引入“利息力”或“利息强度”的概念。n累积函数：期初的1元本金在t时刻的累积值 。n基本公式：n复利条件下
18、：1、利息力的定义o利息力是确定时点上的利息强度，可以用累积函数的相对变化率来表示。累积函数的导数，表示在时点t的斜率（变化速率）1元从时点0到时点t的累积值常常 数数2、利息力与累积函数的关系o上式表明：累积函数可由利息力和时间长度唯一表示。n个度量期内所赚取的个度量期内所赚取的利息总额利息总额金额金额A(t)在在dt时期内因利息力作用时期内因利息力作用而赚取的利息，而赚取的利息，将其积分即得到n个度量期所赚取的利息总额3、常数利息力o理论上，利息力可以是变化的；实际上，利息力通常是常数。o从上式和复利累积函数 可知：n当利息力为常数时，利率也为常数；但是，实际利但是，实际利率为常数，利息力
19、未必一定是常数。（率为常数，利息力未必一定是常数。（why？）n利息力度量的是每个时点上的利息强度，实际利率度利息力度量的是每个时点上的利息强度，实际利率度量的是一个时期的平均利息强度，所以当每个时点上量的是一个时期的平均利息强度，所以当每个时点上的利息强度为常数时，这一时期的平均利息强度必为的利息强度为常数时，这一时期的平均利息强度必为常数；反之则不保证！常数；反之则不保证！4、思考：单利条件下的利息力o单利条件下的利息力如何表示，与复利条件下的利息力有何不同？o单利条件下的利息力是时间的减函数，复利条件单利条件下的利息力是时间的减函数，复利条件下的利息力与时间无关。下的利息力与时间无关。五
20、、利息问题求解1、利息问题求解四要素n原始投资额（本金）n投资时期长度n利率（含计息方式）n本金在投资期末的累积值n复利条件下的基本公式：2、求解原则o本质：只要知道四要素中的三个，就能求出第四个要素o分析工具：现金流量图 现金流 参考时点o方法：根据现金流特征进行分析建立求值方程o原则：在任意时间参考点，求值方程等号两边的现时值相等3、求本金o例1-3 某人为了能在第7年末得到10元款项，他愿意在第1年末付出1元，第3年末付出4元，第8年末付出付出X元，如果以6%的年利率复利计息，请问X=？n以第7年末为时间参考点：n以第8年末为时间参考点：n还可以其它时间为参考点，请自行练习4、求累积值o
21、例1-4 某人现在(0时点)投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以1年结转2次利息的名义利率5%复利计息，后3年以恒定利息力3%计息。请问到第7年末此人的投资可以获得多少钱？o解：5、求利率o例1-5 某人1995年1月1日在银行账户上存入2000元，1998年1月1日又存入3000元，其间一直没有取出款项，到2000年1月1日其账户余额为7100元，请计算存款的实际年利率。o线性插值法n函数f(i)是i的增函数，如果能够找到一个i，使得上述函数值为0，那么此i就是要求的未知利率。n假设先设定两个关于i的粗估计值，分别记做i1和i2（ i1i2 ），并
22、且函数值满足：n由于f(i)是i的增函数，所以未知利率i一定落在i1和i2之间。n该方法假设，在区间（ i1，i2 ）内，f(i)近似呈线性变化，区间（ i1，i2 ）的距离越短，这种近似程度越好，所得的结果越准确。因此有：6、求时间o例1-6 期初的2000元，按照每年结转4次利息的年名义利率5%投资，请问经过多长时间可以得到4000元？求翻倍时间的粗略方法：72法则n作业1-1，假定i12分别为12%和6%，请问在这两种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要多少年？（请分别用精确法和72法则求解，比较求解结果）第二节 年 金 汉英名词对照o年金o支付期o期末付年金o期初付年金o永续年金o
23、变额年金o递增年金o递减年金oAnnuityoPayment periodoAnnuity-immediateoAnnuity-dueoperpetuityoVarying annuityoIncreasing annuityoDecreasing annuity一、年金的定义与分类o定义n按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。o分类n支付时间与支付金额是否确定：确定年金vs风险年金n支付期限长短：定期年金vs永续年金n支付周期不同：年付年金、月付年金连续年金n每期支付时点不同：期初付年金vs期末付年金n开始支付的时间不同
24、：即期年金vs延期年金n每次付款金额是否相等：等额年金vs变额年金二、基本年金o基本年金n相等的时间间隔付款n付款频率与利息转换频率一致n每次付款金额恒定o代表种类n付款时刻不同：期初付年金/期末付年金n付款期限不同：定期年金/永续年金1、基本年金图示0 1 2 3 - n n+1 n+2 - 1 1 1 - 1 0 0- 1 1 1 - 1 0 0 0- 1 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 期末付永续年金期初付永续年金期末付定期年金期初付定期年金2、基本年金的现值o期末付年金现值o期初付年金现值o期末付永续年金现值o期初付永续年金现值o例2-1一项年金在20年内每半年
25、末付500元，设利率为每半年转换年名义利率9%，求此项年金的现时值。o例2-2 某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该是多少？o设每年初的租金为R：o（思考）例2-3 有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年末发出5万元奖金，问在年实际利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？n此题为一个期末付永续年金问题o（思考）例2-4 有一笔10000元的贷款，为期10年。如果年实际利率为6%，比较下面三种还款方式，哪种支付的利息总额最多？n（1）在第10年末一次性偿付所有本息n（2）每年末支付当
26、年的利息，在第10年末再偿付本金n（3）10年内每年偿付相等的金额，在第10年末刚好付清已知：1.0610=1.7909，o（1）第10年末的累计值10000 1.0610 =17909利息总额=17909-10000=7909o（2）每年年末支付利息为10000 0.06=60010年共支付利息总额为600 10=6000o（3）期末付定期年金，每年年末偿付金额A： 10年共偿付的总金额为13590，利息总额为35903、基本年金的终值o期末付年金终值o期初付年金终值4、现值与终值之间的换算关系n期末付定期年金现值与终值之间存在倒数关系，如下： 如何证明？o作业2-1，请同学们证明：5、年金
27、在任意时点上的值o年金在支付期限开始前任意时点上的值（延期年金）n延期m个时期的期末付定期（n期）年金的现值n延期m个时期的期末付永续年金的现值n延期m个时期的期初付定期（n期）年金的现值n延期m个时期的期初付永续年金的现值o年金在支付期限内任意时点上的值n求解方法：可将原来的年金分解成两个新的年金，一个由该时点之前的付款组成，另一个由该时点之后的付款组成，因此，原来的年金在该时点上的值等于第一个年金的终值加上第二个年金的现值。o例2-5 某企业从银行获得一笔贷款，年实际利率为6%。假设企业每年末向银行偿付20000元，10年后可以还清贷款的所有本息。如果企业打算在5年零3个月时一次付清所有贷
28、款本息，试计算企业应该一次性偿付多少。n再计算3个月的复利累计值，即为题目所求n分析：这实际是要计算10年期的期末付年金在5年零3个月末的值。可以先计算年金在5年末的值，再计算它在5年零3个月末的值。n该年金在5年末的值可以表示为前5年付款的终值与后5年付款的现值之和。o年金在支付期限结束后任意时点的值n求解方法：可以先计算年金的终值，再按年金支付期限末到该时点的时间长度，计算其复利累积值即可。补充： 之间的换算关系利息力贴现因子v实际贴现率d实际利率i利息力贴现因子v实际贴现率d实际利率i三、一般年金o1、等额支付条件下的一般年金n（1）利息结转周期等于年金支付周期，但各时期利率不相同的情况
29、可变利率年金o利息结转周期：结转一次利息所需的时间长度。比如每月结转一次利息，则利息周期为一月。o年金支付周期：支付一次年金所需的时间长度。比如每年支付一次，则支付周期为一年。o解题的关键：参考时点，现金流量图（）每笔年金支付款项都以其支付时的利率计算o以i1,i2,it分别表示第1,2,t期的利率。n期末付年金的现值：n期初付年金的现值：n期末付年金的终值：n期初付年金的终值：（）每笔年金支付款项经历哪个时期，就以哪个时期的利率计算n期末付年金的现值：n期初付年金的现值：n期末付年金的终值：n期初付年金的终值：换算关系式： （请大家自行推导）例例2-6 某人每年年初向一基金投资某人每年年初向
30、一基金投资1000元，元，为期为期5年。如果该基金前两年的年收益率为年。如果该基金前两年的年收益率为5%，后三年的年收益率为，后三年的年收益率为6%。计算该项。计算该项投资在第投资在第5年末的价值。年末的价值。o前两年的投资在第5年末的价值：o后三年的投资在第5年末的价值：o该项投资在第5年末的总价值：n思考：如果收益率保持5%不变，该项投资在第5年末的价值是多少？如果收益率保持6%呢？请将这两个结果与题目所求结果比较。例例2-7 某人每年年初向一基金投资某人每年年初向一基金投资1000元，元，为期为期5年。如果前两年的投资年。如果前两年的投资按年实际利率按年实际利率5%计算计算，后三年的投资
31、，后三年的投资按年实际利率按年实际利率6%计算计算。计算该项投资在第。计算该项投资在第5年末的价值，并年末的价值，并把结果与例把结果与例2-6比较。比较。o前两年的投资在第5年末的价值：o后三年的投资在第5年末的价值：o该项投资在第5年末的总价值：（2）各时期利率相同，但利息结转周期不等于年金支付周期的情况o（）每个支付周期结转k次利息（结转周期支付周期）0第m次每次支付第2m次每次支付第nm次每次支付计息支付12nn:总的利总的利息结转次息结转次数数m:每个利息每个利息结转周期包结转周期包含的支付次含的支付次数数nm 表示表示年金的支年金的支付次数付次数i:每个利息结转周每个利息结转周期的实
32、际利率期的实际利率方法一：利率转换o例2-10 一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年结转2次利息的年名义利率为6%，试计算每月末的还款金额。o年实际利率为：o月实际利率为：o期末付年金的支付次数有512=60次，设其每次支付金额为X，则有：方法二：建立新的年金公式期末付年金现值终值期初付年金现值终值永续年金（现值）期末付期初付例2-11 对于例2-10，请按新建的年金公式法重新计算结果。o根据题意可知，总的利息结转次数n=52=10，每个利息结转周期（半年）的年金支付次数m=6，每个利息结转周期的实际利率i=3%。设每月还款金额为X，那么每半年的还款就是6X，根据期末付
33、年金公式可得：例2-12 某人现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期领取下去，那么年实际利率应该为多少？o期末付永续年金问题，每个利息结转周期支付m=12次，每个支付周期末领取100元，则每个利息结转周期（每年）领取1200元，设年实际利率为i，有：m趋于无穷大时的特例：连续年金o定义：在一个利息结转周期内支付次数趋于无穷时的年金，也就是连续不断进行支付的年金。n连续年金在现实生活中并不存在，但可以将一些支付频率很高的年金，比如每日支付一次的年金，近似考虑为连续年金。n对于连续年金，期初与期末融为一点，即无所谓期初付或期末付。假定总的利息结转次数为n，每个利息结转周期的
34、实际利率为i，在每个利息结转周期内连续支付的年金的支付总量为1元，那么：o连续年金的现值o连续年金的终值o连续年金与基本年金的关系例2-13 当利息力为多少时,有2、非等额支付条件下的一般年金：变额年金o（1）等差年金n（）递增年金：假设一项年金在第一期末支付1元，第二期末支付2元，第n期末支付n元，那么此项年金是按算术级数递增的期末付年金，其现值： 其终值：期初付递增年金现值终值永续年金（现值）期初付期末付（）递减年金：假设一项年金在第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，第n期末支付1元，那么此项年金是按算术级数递减的期末付年金，其现值： 其终值：期初付递减年金现值终值例2-14 某人希望
35、购买一项年金，该年金在第一年末的付款为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。如果年实际利率为5%，那么该年金的现价应该为多少？该年金可以表示一项等额年金（每年年末付款900元）和一项递增年金（每次增加额为100元）之和。 原年金 1000 1100 1200 1800 1900新等额年金 900 900 900 900 900新递增年金 100 200 300 900 1000由此可得原年金的现值：例2-15 一项年金在第一年末付款1元，以后每年付款额增加1元，直至第n年。从第n+1年开始，付款额每年递减1元，直至最后一年付款1元。试写出该项年金的现值表达式。该年金可视为一项n年期的递增年金与一项延期n年的（n-1）年期的递减年金之和。其现值为：（2）等比年金：一项年金在第一年末付款1元，在第二年末付款(1+r)元，在第三年末付款(1+r)2元，在第n年末付款(1+r)n-1元，那么该项年金就是按几何级数增长的，又称等比年金，其中公比(1+r)0。当r0时，年金是递增的，当r0时，年金是递减的。设其现值为A：o从上面公式看出，当ri时，极限发散，永续年金不存在现值。o该年金的终值可通过现值与终值的关系式（F=(1+i)nA）求得，请自行求解。
