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1、 3.3 高阶导数、高阶偏导数高阶导数、高阶偏导数一、高阶导数一、高阶导数二、高阶偏导数二、高阶偏导数一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义瞬时速度为路程对时间的变化率记作记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,二、 高阶导数求导法则例例解解直接法直接法: :由由高阶导数的定义高阶导数的定义逐步求高阶导数逐步求高阶导数.例 设求例 设例设求求例例解解 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要
2、急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法)注意注意: :三、几个初等函数的n阶导数公式例例解解同理可得同理可得例例解解二、高阶偏导数的概念与计算二、高阶偏导数的概念与计算设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为则定理定理.本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.(证明略) 例如例如, 对三元函数
3、 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有例例. 求函数解解 :的二阶偏导数及 说明说明:函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等注意注意: :但这一情形并不总成立.例例. 证明函数满足拉普拉斯证：证：利用对称性 , 有方程思考思考: 设二阶偏导数连续,证明下列表达式在极坐标系下的形式: 3.4 参数方程与隐函数方程微分法参数方程与隐函数方程微分法一、参数方程确定的函数求导一、参数方程确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导一、由
4、参数方程确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数可导, 且则时, 有时, 有(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得例例1 :解解:求例例. 设, 且求解解:为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率二、隐函数方程确定的函数求导二、隐函数方程确定的函数求导若由方程可确定 y 是 x 的函数 ,由表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导
5、方法: 两边对 x 求导(含导数 的方程)例例. 求由方程在 x = 0 处的导数解解: 方程两边对 x 求导得因 x = 0 时 y = 0 , 故确定的隐函数例例. 求椭圆在点处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即例例对 x 求导两边取对数解解:,求导函数? 下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.定理定理1.1. 设函数则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略. 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数例例. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令连续 ,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且求两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导定理定理2 .若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略.满足 在点满足:某一邻域内可唯一确例例. 设解法解法1 利用隐函数求导再对 x 求导解法解法2 利用公式设则两边对 x 求偏导作业作业P95-96 18(2)(4),19(1),20, 21(2) ,22; 23(1)(2),24(2)(4)(5),25,27;
