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1、证明证明解解例例 讨论交错级数讨论交错级数 的敛散性的敛散性.且且收敛收敛, ,且其和为且其和为类似得类似得 , 均收敛均收敛.例例 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性. .又又解解即即收敛收敛.例例 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性. .解解又又故函数故函数 单减单减, ,从而从而所以原级数收敛所以原级数收敛.注意注意 1.1.满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹满足莱布尼兹定理条件的级数称为莱布尼兹型级数型级数. .如如均为莱布尼兹型级数均为莱布尼兹型级数. 2. 2. 莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件莱布尼兹定理的两个条件仅是充分条件, ,但但 也是必要条件也是必要条件. .证明证
2、明解解注意注意: :结论：结论：级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛级数逐项取绝对值后收敛，原级数收敛解解例例 判别下列级数是否收敛判别下列级数是否收敛, ,若收敛若收敛, ,是绝对收敛是绝对收敛还是条件收敛还是条件收敛? ?收敛收敛.故原级数绝对故原级数绝对收敛收敛.已证明了已证明了 收敛收敛. .发散发散, ,从而原级数条件收敛从而原级数条件收敛.从而原级数发散从而原级数发散.思考：用思考：用Leibiniz判别法可以证明此级数发散吗判别法可以证明此级数发散吗？ 补充定理补充定理 如果任意项级数如果任意项级数满足条件满足条件绝对收敛级数的性质绝对收敛级数的性质1、级数的重排、级数的重排映射映
3、射称为正整数列的重排。称为正整数列的重排。定理定理3证证*即：绝对收敛的级数对加法有交换律。即：绝对收敛的级数对加法有交换律。由（由（1）的证明得：）的证明得：命题命题2：收敛的正项级数经过重排后仍收敛于原来的和：收敛的正项级数经过重排后仍收敛于原来的和下面证明两个级数的和相等。下面证明两个级数的和相等。前面已证收敛的正项级数重排后和不变，前面已证收敛的正项级数重排后和不变，命题命题1：绝对收敛的级数的和等于它的所有正项组成的：绝对收敛的级数的和等于它的所有正项组成的级数的和加上它的所有的负项组成的级数的和级数的和加上它的所有的负项组成的级数的和命题：命题：同时可以证明：同时可以证明：命题：命
4、题：证证矛盾！矛盾！l 绝对收敛绝对收敛级数级数 与与 条件收敛条件收敛级数级数的本质差异是什么？的本质差异是什么？ 可以证明：可以证明：条件收敛的级数，可以适当重排，使条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。其按任意预定的方式收敛或发散。设其收敛于设其收敛于A，两个级数相加，得两个级数相加，得2、级数的乘积、级数的乘积两个无穷级数如何相乘？两个无穷级数如何相乘？这两个级数中的项的所有可能的乘积为：这两个级数中的项的所有可能的乘积为：这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，常用正方形顺序和对角线顺序，分别为：常用正方形顺序和对角线顺序，
5、分别为：“正方形正方形”排序级数为：排序级数为：“对角线对角线”排序级数为：排序级数为：定理定理4（柯西定理）：（柯西定理）：则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于收敛于AB.例例考察：考察：按对角线顺序，得按对角线顺序，得二、二、 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式，引理（分部求和公式，Abel变换）：变换）： 离散型分部求和公式离散型分部求和公式证证 代入即得。代入即得。解释解释“离散型分部求和公式离散型分部求和公式”推论（推论（Abel引理）引理）（2）对任一正整数）对任一正整数 ，有，有 证证由由Ca
6、uchy准则，准则，（阿贝尔引理）（阿贝尔引理）定理定理5（Dirichelet判别法）判别法） 证证注（注（1） 交错级数的交错级数的Leibniz判别法是判别法是Dirichelet判别法的特例。判别法的特例。（2） 用用Dirichelet判别法可以证明判别法可以证明Abel判别法。判别法。定理定理6（Abel判别法）判别法） 若（若（1） 为单调有界数列，为单调有界数列， 证证再由再由Cauchy准则，准则，证毕。证毕。例例同理，同理，例例解（解（1）由由Dirichelet判别法，得判别法，得收敛。收敛。（2）由由Dirichelet判别法，得判别法，得显然其收敛性取决于显然其收敛性取决于an的性质。的性质。
