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1、第四节第四节 归纳策略归纳策略 当我们面对一个一般性的普遍命题,或研究某一对象集的共同的性质时,由于没有从具体到抽象、从个别到一般的归纳过程作铺垫，往往造成数学解题的困难。这种情况下，我们常用的解题策略是归纳，或称为以退为进策略、特殊化策略，就是还原或补上从具体到抽象、从个别到一般这一归纳过程。先研究几个个别的较为具体的对象，先分析几种简单、特殊的情况，以从中发现解决问题的途径。 归纳策略是从特殊到一般的一种考察对象、研究探索问题的思想，它符合人类认识的基本规律，也是数学研究和发现的重要方法。 2021/6/161归纳策略归纳策略是处理数学问题是处理数学问题的一种重要的解题策略的一种重要的解题
2、策略, ,归纳归纳策略也称为策略也称为以退求进或特殊以退求进或特殊化策略。它是从特殊到一般化策略。它是从特殊到一般的一种考察对象、研究探索的一种考察对象、研究探索问题的思想问题的思想. .2021/6/162通常解题，只是想到进的一面，而很少通常解题，只是想到进的一面，而很少想到退所谓想到退所谓“进进”就是从题设条件出发逐就是从题设条件出发逐步深入地解决，这对简单问题的解决是非常步深入地解决，这对简单问题的解决是非常有用的。但遇到较复杂的问题时，只想进有有用的。但遇到较复杂的问题时，只想进有时会感到无门可入，怎谈逐步解决？而所谓时会感到无门可入，怎谈逐步解决？而所谓“退退”即是把比较复杂的问题
3、即是把比较复杂的问题“退退”成最简成最简单、最原始的问题，把这简单问题想通了，单、最原始的问题，把这简单问题想通了，想透了，原来的问题也就解决了。想透了，原来的问题也就解决了。2021/6/163华罗庚教授曾告诉我们：华罗庚教授曾告诉我们：“善于善于退退，足够地，足够地退退，退退回到最回到最原始而不失去重要性的地方，是学好数原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。学的一个诀窍。”又云：又云：“先足够地退先足够地退到我们最容易看清楚的地方，认透了，到我们最容易看清楚的地方，认透了，钻深了，然后再上去。钻深了，然后再上去。”这就是以退求这就是以退求进的思想。进的思想。2021/6/164事
4、物的特殊性中包含着普遍性，事物的特殊性中包含着普遍性，即共性寓于事物的个性之中。相对于即共性寓于事物的个性之中。相对于一般情况而言，特殊的事物往往显得一般情况而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知，简单、直观和具体，并为人们所熟知，因而当我们处理问题时，对于有些较因而当我们处理问题时，对于有些较复杂的问题，当从一般角度难以解决复杂的问题，当从一般角度难以解决时，可以通过考察研究特殊情况，去时，可以通过考察研究特殊情况，去探求规律和解题方法。探求规律和解题方法。2021/6/165通过对特殊情形的研究，对寻求一通过对特殊情形的研究，对寻求一般解法的思路、规律也有一定的作用，般解
5、法的思路、规律也有一定的作用，因此，特殊化在解题中的另一个优点就因此，特殊化在解题中的另一个优点就是具有是具有“估测探路估测探路”的功效。的功效。“在讨论数学问题时，我相信特在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。殊化比一般化起着更为重要的作用。”希尔伯特希尔伯特2021/6/166例例2两个边长为两个边长为a的相同正方形，其中一个正方形的相同正方形，其中一个正方形的顶点是一个的中心，求两个正方形的重叠部分面积的顶点是一个的中心，求两个正方形的重叠部分面积.解：从一般退到特殊，考虑两个正方形位置解：从一般退到特殊，考虑两个正方形位置关系中的特殊情形，它们重叠部分面积为关系中的
6、特殊情形，它们重叠部分面积为2021/6/1672021/6/168EFDACBNG.M分析2021/6/169 归纳策略常见的情形有:从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况。由简单情况的解决，再归纳、概括、发现一般性。相应的具体做法表现为取值、枚举、递推、极端、试验、特殊化等。2021/6/1610ABCDEFGABCDEFG的度数是多少？ 练一练练一练2021/6/1611AFBCDEG连结CG 得凸五边形DEFGCABC+BAG =AGC+BCGA+B+C+D+E+F+G = (52)1800 2021/6/1
7、612将复杂的问题先退到简单特殊的将复杂的问题先退到简单特殊的问题，通过分析研究，找出一般规律，问题，通过分析研究，找出一般规律，然后用得出的一般规律去指导问题的然后用得出的一般规律去指导问题的解答。解答。2021/6/1613在解题时可引导学生先退回来研究特殊情形。在解题时可引导学生先退回来研究特殊情形。如：如：“用用1、2、3、4四个数字组成两个两位数，使两个四个数字组成两个两位数，使两个数的乘积最大，应怎样数的乘积最大，应怎样排列？排列？”要使两个因数的乘积最大，要使两个因数的乘积最大，显然较大的数应填在十位上，这样得到显然较大的数应填在十位上，这样得到4132和和4231两种两种可能性
8、。通过可能性。通过计算可知：计算可知：41324231，经过比较发现：，经过比较发现：41324231，引导学生概括出解题规律：引导学生概括出解题规律：（1）较大的数应填在最高位；）较大的数应填在最高位；（2）较小的数与较大的数搭配写；）较小的数与较大的数搭配写；（3）所组成的）所组成的两个数的差应最小。两个数的差应最小。根据这一规律，再回过头来解答原题：把根据这一规律，再回过头来解答原题：把6个数字分为个数字分为三组，三组，8和和7为较大数，为较大数，应填在两个因数的百位上；应填在两个因数的百位上；6和和5为为中间数组，填在两个因数的十位上；中间数组，填在两个因数的十位上；4和和3为较小数，
9、应填在为较小数，应填在两个因数的个位两个因数的个位上。采用小数与大数搭配的方法，使所组成上。采用小数与大数搭配的方法，使所组成的两个数的差最小，从而得到的两个数的差最小，从而得到“853764”的乘积最大。的乘积最大。用用3、4、5、6、7、8六个数字组成两个三位数，使六个数字组成两个三位数，使这两个数的积最大，应怎样排列？（第七册）这两个数的积最大，应怎样排列？（第七册）2021/6/1614“归纳策略归纳策略”是一个重要的解题策是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从
10、复杂退到简单，从整体退到到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论部分，从较强的结论退到较弱的结论, ,从高维退到低维，退到保持特征的最简从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况。由简单情况的解决，再归纳、单情况。由简单情况的解决，再归纳、概括、发现一般性。概括、发现一般性。2021/6/1615总之，当我们在探求某些数学问题总之，当我们在探求某些数学问题的解法时，碰到一些疑惑费解或难以入的解法时，碰到一些疑惑费解或难以入手的困难手的困难, ,我们要善于找到事物内部间我们要善于找到事物内部间相互关系，不妨把复杂的问题退到较为相互关系，不妨把复杂的问题退到较为浅显、熟知的
11、知识，就能有一种浅显、熟知的知识，就能有一种“柳暗柳暗花明又一村花明又一村”的感觉，最终使我们对事的感觉，最终使我们对事物的认识达到一种新的境界。物的认识达到一种新的境界。2021/6/1616一般化与特殊化是人类认识事物一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。一。 在多数场合，特殊问题简单、直在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。观，容易认识，容易把握。 但是，也但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给
12、解题带能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。题，反而来得简便、明快、奇巧。2021/6/1617 练一练练一练ADCEB如图，在ABC中，A=45，BD、CE分别是AC、AB边上的高，那么（A）1：1（B）1：2（C）1：3（D）1：42021/6/1618解法：考虑点E的特殊位置（E与B重合），如图：此时，四边形EBCD退化为三角形DBC，ADCB(E)ADCEB如图，在ABC中，A=45，BD、CE分别是AC、AB边上的高，那么（A）1：1（B）1：2（C）1：3（D）1：42021/6/16195演绎
13、策略演绎策略 与归纳法相反，有些数学题的具体情境、与归纳法相反，有些数学题的具体情境、具体细节可能会掩盖了更为一般的普遍规律，具体细节可能会掩盖了更为一般的普遍规律，从而不利于发现数学规律。这时，我们可以把从而不利于发现数学规律。这时，我们可以把问题一般化，通过对整体性质或本质关系的考问题一般化，通过对整体性质或本质关系的考察，使原问题得到解决，这种策略称为演绎策察，使原问题得到解决，这种策略称为演绎策略，即推进到一般。归纳策略是先退后进，先略，即推进到一般。归纳策略是先退后进，先树木后森林；演绎策略是先进后退，先森林后树木后森林；演绎策略是先进后退，先森林后树木。树木。2021/6/1620
14、从从“特殊到一般特殊到一般”和和“从一般到特殊从一般到特殊”，是认识事物的普遍规律。是认识事物的普遍规律。归纳策略归纳策略是从特殊到一般的一种考察对象、是从特殊到一般的一种考察对象、研究探索问题的思想。研究探索问题的思想。演绎策略演绎策略是将待解决的问题，通过对它的是将待解决的问题，通过对它的一般形式问题的解决而使原问题获得解决一般形式问题的解决而使原问题获得解决,它它是从一般到特殊的一种考察对象、研究探索是从一般到特殊的一种考察对象、研究探索问题的思想。问题的思想。2021/6/1621演绎策略不仅有助于命题的推广，演绎策略不仅有助于命题的推广，而且是解决问题的有效途径。波利亚说：而且是解决
15、问题的有效途径。波利亚说：“雄心大的计划，成功的希望也较大。雄心大的计划，成功的希望也较大。这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握。较多的问题问题比原问题更容易掌握。较多的问题可能更容易证明，较普遍的问题可能更可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。容易解决。”运用演绎策略的关键是仔运用演绎策略的关键是仔细观察、分析问题的特征，从中找出能细观察、分析问题的特征，从中找出能使命题一般化的因素。使命题一般化的因素。 2021/6/1622具体问题具体问题具体具体问题的问题的解
16、决解决一般问题的解决一般问题的解决一般问题一般问题一般化一般化 具体化具体化演绎策略的基本过程：演绎策略的基本过程：2021/6/1623当我们面临的是一个计算比较复杂或内当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是演绎策略。是演绎策略。 这种策略是通过找出特殊问这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把
17、特殊问题从原有范围扩展题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般，更广阔的领域中使用更灵活的方法更一般，更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。去寻求化归的途径。 2021/6/1624演绎策略是解决问题的有效方法，也是科学探索演绎策略是解决问题的有效方法，也是科学探索的常用方法。实施演绎策略通常有以下三个步骤：的常用方法。实施演绎策略通常有以下三个步骤： （1 1）要从不同的侧面分析题目的特征，找出能使）要从不同的侧面分析题目的特征，找出能使题目一般化的有关因素；题目一般化的有关因素； （2 2）从不同的因
18、素入手，通过抽象、概括或猜想，）从不同的因素入手，通过抽象、概括或猜想，常常可以得到多种一般性问题，要力求从中找出最接常常可以得到多种一般性问题，要力求从中找出最接近于特殊问题本质，又为自已所熟悉、易于解答的一近于特殊问题本质，又为自已所熟悉、易于解答的一般性问题；般性问题； （3 3）在返回原题的过程中，要注意一般性问题与）在返回原题的过程中，要注意一般性问题与特殊问题之间的差别，针对这种差别，采取不同的方特殊问题之间的差别，针对这种差别，采取不同的方法或技巧，以便顺利地过渡到原题的解答上。法或技巧，以便顺利地过渡到原题的解答上。 2021/6/1625分析将被开方式一般化为2021/6/1626分析将不等式中的数字一般化.2021/6/16272021/6/1628 练一练练一练2021/6/1629分析题目中数字特点,2021/6/16302021/6/1631 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
