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1、上海大学机电工程与自动化学院工工 程程 控控 制制 原原 理理2. 数学模型与传递函数2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换主讲：周晓君主讲：周晓君 办办 公公 室：室：机械副楼机械副楼209-2室室 电子邮件电子邮件： 办公电话：办公电话：56331523上海大学机电工程与自动化学院2.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 系系统统的的数数学学模模型型以以微微分分方方程程的的形形式式表表达达输输出出与与输输入入的的关关系。经典控制理论的系。经典控制理论的系统分析方法系统分析方法系统分析方法系统分析方法：时域法、频域法。：时域法、频域法。2. 数学模型与传递函数时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法求求求
2、求解解解解数数数数学学学学模模模模型型型型微微微微分分分分方方方方程程程程，获获获获得得得得系系系系统统统统输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。输出随时间变化的规律。 借借借借助助助助于于于于系系系系统统统统频频频频率率率率特特特特性性性性分分分分析析析析系系系系统统统统的的的的性性性性能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。能，拉普拉斯变换是其数学基础。 频域分析法频域分析法频域分析法频域分析法 频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开
3、环频率特性分析闭环响应。间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。上海大学机电工程与自动化学院2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念 复数复数 s s= = +j+j （有一个实部（有一个实部 和一个虚部和一个虚部 ， 和和 均为实数）均为实数） 两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。 2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换称为称为虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位 上海大学机电工程与自动化学院 复数的表示法
4、复数的表示法复数的表示法复数的表示法 对于复数对于复数 s s= = +j+j 复复复复平平平平面面面面：以以 为为横横坐坐标标(实实轴轴)、 为为纵纵坐坐标标(虚虚轴轴)所所构构成成的的平平面面称称为为复复平平面面或或s s平平面面。复复数数 s s= = +j+j 可可在在复复平平面面s s中中用用点点( , , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。表示：一个复数对应于复平面上的一个点。 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o复平面复平面s s 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2上海大学机电工程与自动化学院 复数的向量表示法复数的向量表示法复数的向量表示法复数的
5、向量表示法 复数复数 s s= = +j+j 可以用从原点指向点可以用从原点指向点( , , )的向量表示。的向量表示。 向量的长度称为复数的模：向量的长度称为复数的模： 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2| 向向量量与与 轴轴的的夹夹角角 称称为复数为复数s s的复角：的复角：上海大学机电工程与自动化学院 复数的复数的复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法与与与与指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法 根据复平面的图示可得：根据复平面的图示可得： = = r r coscos ， = = r r sins
6、in 复数的复数的复数的复数的三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法三角函数表示法： s s = = r r (cos(cos + j sin+ j sin ) ) 2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|欧拉公式：欧拉公式：复数的复数的复数的复数的指数表示法指数表示法指数表示法指数表示法：上海大学机电工程与自动化学院 复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念复变函数、极点与零点的概念 以复数以复数s s= = +j+j 为自变量构成的函数为自变量构成的函数G G( (s s) )称为复变函数：称为复
7、变函数： G G( (s s) ) = = u u + j+ jv v式中式中式中式中：u u、v v 分别为复变函数的实部和虚部。分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数(a)当当s s= =- - - -z zi i时，时，G G( (s s) )=0=0，则，则s si i= =- - - -z zi i称为称为G G( (s s) )的的 零点零点零点零点 ；分子为零分子为零分子为零分子为零分母为零分母为零分母为零分母为零 通通常常，在在线线性性控控制制系系统统中中，复复变变函函数数G G( (s s) )是是复复数数s s的的单单值值函函数数。即即：对对应
8、应于于s s的的一一个个给给定定值值，G G( (s s) )就就有有一一个个唯唯一一确确定定的的值与之相对应。值与之相对应。 当复变函数表示成当复变函数表示成(b) 当当s s= =- - - -p pj j时，时，G G( (s s) )，则，则s sj j= =- - - -p pj j称为称为G G( (s s) )的的 极点极点极点极点 。上海大学机电工程与自动化学院例：例： 当当s s= = +j+j 时，求复变函数时，求复变函数G G( (s s) ) = =s s2 2+1+1的实部的实部u u和虚部和虚部v v。2.2.1 复数和复变函数复数和复变函数复变函数的实部复变函数的
9、实部复变函数的虚部复变函数的虚部解解： G G( (s s) )s s2 2+1+1( ( +j+j ) )2 2 + 1 + 1 2 2 + + j(2j(2 ) ) - - - - 2 2 + 1 + 1 ( ( 2 2 - - - - 2 2 + 1) + + 1) + j(2j(2 ) ) 上海大学机电工程与自动化学院2.2.2 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉拉氏氏变变换换是是控控制制工工程程中中的的一一个个基基本本数数学学方方法法，其其优优点点是是能能将将时时间间函函数数的的导导数数经经拉拉氏氏变变换换后后，变变成成复复变变量量s s的的乘乘积积，将将时时间表示的微分方程，
10、变成以间表示的微分方程，变成以s s表示的代数方程。表示的代数方程。2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换复变量复变量原函数原函数象函数象函数拉氏变换符号拉氏变换符号拉拉拉拉普普普普拉拉拉拉斯斯斯斯变变变变换换换换：在在一一定定条条件件下下，把把实实数数域域中中的的实实变变函函数数 f(t) 变变换到复数域内与之等价的复变函数换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。 设设有有时时间间函函数数 f(t)，当当 t a的的所所有有复复数数s (Res表表示示s的的实实部部)都都使使积积分分式式绝绝对对收收敛敛，故故Res a是是拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的定定义义域域， a称称为收敛坐标。为收敛坐标
11、。式中式中式中式中：M、a为实常数。为实常数。上海大学机电工程与自动化学院2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数单位阶跃函数 单位阶跃函数定义：单位阶跃函数定义：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：上海大学机电工程与自动化学院 (2) (2) 单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：单位脉冲函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换且：且：其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为
12、：上海大学机电工程与自动化学院 (3) (3) 单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数（单位斜坡函数） 单位速度函数定义：单位速度函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：上海大学机电工程与自动化学院 (4) (4) 指数函数指数函数指数函数指数函数 指数函数表达式：指数函数表达式：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换式中：式中：a是常数。是常数。其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：
13、上海大学机电工程与自动化学院 (5) (5) 正弦信号函数正弦信号函数正弦信号函数正弦信号函数 正弦信号函数定义：正弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，正弦函数表达为：由欧拉公式，正弦函数表达为：两两式式相相减减其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：上海大学机电工程与自动化学院 (6) (6) 余弦信号函数余弦信号函数余弦信号函数余弦信号函数 余弦信号函数定义：余弦信号函数定义：2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换由欧拉公式，余弦函数表达为：由欧拉公式，余弦函数表达为：两两式式相相加
14、加其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为其拉普拉斯变换为：上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 ( (待续待续待续待续) )2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s)=Lf(t)11 (单位阶跃函数单位阶跃函数)1s2 (t) (单位脉冲函数单位脉冲函数)13K (常数常数)Ks4t (单位斜坡函数单位斜坡函数)1s2上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 ( (续续续续1)1)2.2.3
15、典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 ( (续续续续2)2)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+
16、211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 2上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 ( (续续续续3)3)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a
17、1b- -a1b- -a上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 ( (续续续续4)4)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)17 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 上海大学机电
18、工程与自动化学院拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表拉普拉斯变换简表 ( (续续续续5)5)2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换典型时间函数的拉普拉斯变换序号序号原函数原函数 f(t) (t 0)象函数象函数 F(s) = Lf(t)20 1- - e -nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2s(s2+2ns+ n2) = arctan211- -cos t 2s(s2+ 2)22 t - - sin t 2s(s2+ 2)23 t sin t2 s(s2+ 2)211- - 21- - 2 上海大学机电工程与自动化学院2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变
19、换的基本性质 (1) 线性定理线性定理线性定理线性定理 若若 、 是任意两个是任意两个复常数复常数复常数复常数，且：，且：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换证明证明证明证明：则：则：上海大学机电工程与自动化学院 (2) (2) 平移定理平移定理平移定理平移定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质证明证明证明证明：则：则：上海大学机电工程与自动化学院 (3) (3) 微分定理微分定理微分定理微分定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质证明证明证明证明：则：则：f(0)是是 t =0 时的时的 f(t) 值值同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换
20、：同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：上海大学机电工程与自动化学院 (3) (3) 微分定理微分定理微分定理微分定理 推广到推广到n阶导数的拉普拉斯变换：阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质如果：函数如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即及其各阶导数的初始值均为零，即则：则：上海大学机电工程与自动化学院 (4) (4) 积分定理积分定理积分定理积分定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：证明证明证明证明：函数函数 f(t) 积分的初始值积分的初始值上海大学机电工程与自动化学院 (4) (4) 积分定理积
21、分定理积分定理积分定理 同理，对于同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：重积分的拉普拉斯变换：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质若若若若：函数：函数 f(t) 各重积分的初始值均为零，则有各重积分的初始值均为零，则有 注注注注：利利用用积积分分定定理理，可可以以求求时时间间函函数数的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换；利利用微分定理和积分定理，可将微分用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。积分方程变为代数方程。上海大学机电工程与自动化学院 (5) (5) 终值定理终值定理终值定理终值定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：证明证明
22、证明证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于由于，上式可写成，上式可写成写出左式积分写出左式积分写出左式积分写出左式积分上海大学机电工程与自动化学院 (6) (6) 初值定理初值定理初值定理初值定理 若：若：2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质则：则：证明证明证明证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有：根据拉普拉斯变换的微分定理，有由于由于，上式可写成，上式可写成或者或者或者或者上海大学机电工程与自动化学院 (7) (7) 卷积定理卷积定理卷积定理卷积定理 两两个个时时间间函函数数 f1(t)、f2(t) 卷卷积积的的拉拉普普拉拉斯斯变变换换等
23、等于于这这两两个个时间函数的拉普拉斯变换。时间函数的拉普拉斯变换。2.2.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质式中：式中：称为函数称为函数 f1(t)与与f2(t) 的的卷积卷积卷积卷积而而上海大学机电工程与自动化学院2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 (1) (1) 拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义拉普拉斯反变换的定义 将将象象函函数数F(s)变变换换成成与与之之相相对对应应的的原原函函数数f(t)的的过过程程，称称之之为拉普拉斯反变换。其公式：为拉普拉斯反变换。其公式：2.2 拉普拉普拉斯变换拉斯变换 拉拉氏氏反反变变换换的的求求算算有有多多种
24、种方方法法，如如果果是是简简单单的的象象函函数数，可可直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用直接查拉氏变换表；对于复杂的，可利用部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法。简写为：简写为：上海大学机电工程与自动化学院 如果把如果把 f(t) 的拉氏变换的拉氏变换 F(s) 分成各个部分之和，即分成各个部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 假假若若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的的拉拉氏氏反反变变换换很很容容易易由由拉拉氏氏变变换表查得，那么换表查得，那么 当当 F(s) 不不能能很很简简单单地地分分解解成成各各个个部部分分之之和和时时，可可采采用用部部分分分分式
25、式展展开开将将 F(s) 分分解解成成各各个个部部分分之之和和，然然后后对对每每一一部部分分查查拉拉氏氏变变换换表表，得得到到其其对对应应的的拉拉氏氏反反变变换换函函数数，其其和和就就是是要要得得的的 F(s) 的拉氏反变换的拉氏反变换 f(t) 函数。函数。上海大学机电工程与自动化学院 (2) (2) 部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法 在系统分析问题中，在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式中式中A(s)和和B(s)是是s的多项式，的多项式， B(s)的阶次较的阶次较A(s)阶次要高。阶次要高。 对对于于这
26、这种种称称为为有有理理真真分分式式的的象象函函数数 F(s)，分分母母 B(s) 应应首首先先进进行行因因子子分分解解，才才能能用用部部分分分分式式展展开开法法，得得到到 F(s) 的的拉拉氏氏反反变变换函数。换函数。上海大学机电工程与自动化学院 将分母将分母 B(s) 进行因子分解，写成：进行因子分解，写成：2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换式式中中，p1，p2，pn称称为为B(s)的的根根，或或F(s)的的极极点点，它它们们可可以以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。 当当 A(s) 的的阶阶次次高高于于 B(s)
27、时时，则则应应首首先先用用分分母母B(s)去去除除分分子子A(s)，由由此此得得到到一一个个s的的多多项项式式，再再加加上上一一项项具具有有分分式式形形式式的的余余项，其分子项，其分子s多项式的阶次就化为低于分母多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。多项式阶次了。上海大学机电工程与自动化学院 (1) (1) 分母分母分母分母B B( (s s) )无重根无重根无重根无重根 此时，此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即总可以展成简单的部分分式之和。即式式中中，ak(k=1,2,n)是是常常数数，系系数数 ak 称称为为极极点点 s= - -pk 处处的的留留数。数。2.2.5 拉普拉
28、斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院 ak 的的值值可可以以用用在在在在等等等等式式式式两两两两边边边边乘乘乘乘以以以以 ( (s s+ +p pk k) )，并并并并把把把把 s s= = - - - -p pk k代代代代入入入入的的的的方方方方法法法法求出。即求出。即2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院 在在所所有有展展开开项项中中，除除去去含含有有 ak 的的项项外外，其其余余项项都都消消失失了了，因此留数因此留数 ak 可由下式得到可由下式得到 因因为为 f(t) 时时间间的的实实函函数数，如如 p1 和和 p2 是是共共轭轭复复数数时时
29、，则则留留数数 1 和和 2 也也必必然然是是共共轭轭复复数数。这这种种情情况况下下，上上式式照照样样可可以以应应用用。共共轭轭复复留留数数中中，只只需需计计算算一一个个复复留留数数 1(或或 2)，而而另另一一个个复留数复留数 2(或或 1)，自然也知道了。，自然也知道了。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院例题例题1 求求F(s)的拉氏反变换，已知的拉氏反变换，已知解解由留数的计算公式，得由留数的计算公式，得2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院因此因此查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海
30、大学机电工程与自动化学院解：解： 分母多项式可以因子分解为分母多项式可以因子分解为进行因子分解后，可对进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式展开成部分分式2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换例题例题2 求求L- -1F(s)，已知，已知上海大学机电工程与自动化学院2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换由留数的计算公式，得由留数的计算公式，得由于由于 2与与 1共轭，故共轭，故上海大学机电工程与自动化学院所以所以2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换查拉氏变换表，得查拉氏变换表，得上海大学机电工程与自动化学院 (2)
31、 (2) 分母分母分母分母B B( (s s) )有重根有重根有重根有重根 若有三重根，并为若有三重根，并为p1，则，则F(s)的一般表达式为的一般表达式为式式中中系系数数 2, 3, , n仍仍按按照照上上述述无无重重根根的的方方法法(留留数数计计算算公公式式)，而重根的系数，而重根的系数 11, 12, 13可按以下方法求得。可按以下方法求得。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 依此类推，当依此类推，当 p1 为为 k 重根时，其系数为：重根时，其系数为：上海大学机电工程与自动化学院例题例题3 已知已知F(s)，求，
32、求L- -1F(s)。解解p1= - -1，p1有三重根。有三重根。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院由上述公式由上述公式2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院查拉氏变换表，有查拉氏变换表，有2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换因此，得：因此，得：上海大学机电工程与自动化学院 利用拉氏变换解微分方程的步骤：利用拉氏变换解微分方程的步骤： (1) 对对给给定定的的微微分分方方程程等等式式两两端端取取拉拉氏氏变变换换，变变微微分分方方程程为为 s s 变量的代数方程。变量的代数方程。 (2) 对对以以 s s 为为变变换换的的代代
33、数数方方程程加加以以整整理理，得得到到微微分分方方程程求求解解的的变变量量的的拉拉氏氏表表达达式式。对对这这个个变变量量求求拉拉氏氏反反变变换换，即即得得在在时时域域中（以时间中（以时间 t t 为参变量）微分方程的解。为参变量）微分方程的解。 采采用用拉拉氏氏反反变变换换的的方方法法，可可以以求求得得线线性性定定常常微微分分方方程程的的全全解解(补补解解和和特特解解)。求求解解微微分分方方程程，可可以以采采用用数数学学分分析析方方法法(经经典典方方法法)，也也可可以以采采用用拉拉氏氏变变换换方方法法。采采用用拉拉氏氏变变换换法法求求解解微微分分方方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。2.2.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换上海大学机电工程与自动化学院例题例题 解方程解方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程利用拉氏变换解常系数线性微分方程其中：其中：解：解：将方程两边取拉氏变换，得将方程两边取拉氏变换，得将将 代入，并整理，得代入，并整理，得所以所以上海大学机电工程与自动化学院 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
