《一概率论的基本概念.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一概率论的基本概念.ppt（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章第一章第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念第一节第一节 随机事件、样本空间随机事件、样本空间在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为之为随机现象随机现象。1、随机试验、随机试验概率论概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的一是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。门数学学科。则把这一试验称为则把这一试验称为随机试验随机试验，常用，常用E表示。表示。对随机现象进行的观察或实验称为对随机现象进行的观察或实验称为试验试验。（2）
2、每次试验的可能结果不止一个，并且事）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。先可以知道试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前，不能确定会出现）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。哪一个结果。若若一个试验具有下列三个特点：一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行。）在相同条件下可重复进行。例例1 : 从一批产品中任取从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：则这一试验的样本空间为： =0，1，2，3，4，5，6，7，8引入下列随机事件引入下列随机事件:A=正品件数不超过正品件数不超过3=0，1，2，
3、3B=取到取到2件至件至3件正品件正品=2，3C=取到取到2件至件至5件正品件正品=2，3，4，5D=取到的正品数不少于取到的正品数不少于2且不多于且不多于5=2，3，4，5E=取到的正品数至少为取到的正品数至少为4=4，5，6，7，8F=取到的正品数多于取到的正品数多于4=5，6，7，82、随机事件与样本空间、随机事件与样本空间随机事件（随机事件（简称简称事件）：事件）：在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。通常用大写字母通常用大写字母A、B,表示。表示。基本事件（基本事件（或称为或称为样本点）：样本点）：随机试验中的每一个基本结果是一个随机事件
4、。随机试验中的每一个基本结果是一个随机事件。样本空间：样本空间：随机试验随机试验E的全体基本事件组成的集合。的全体基本事件组成的集合。记为记为 。随机事件中有两个随机事件中有两个极端情况极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件 。每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件 。基本事件基本事件是样本空间的单点集。是样本空间的单点集。复合事件复合事件是由多个样本点组成的集合。是由多个样本点组成的集合。必然事件必然事件包含一切样本点，它就是样本空间包含一切样本点，它就是样本空间 。不可能事件不可能事件不含任何样本
5、点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集 。表示事件表示事件A包含于事件包含于事件B或称事件或称事件B包含事件包含事件A,指指事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生。3、事件间的关系及其运算、事件间的关系及其运算事件事件A1，A2，An 的和记为的和记为 ,或或A1 A2 An 表示事件表示事件A与事件与事件B中至少有一个事件发生中至少有一个事件发生,称此称此事件为事件事件为事件A与事件与事件B的和（并）事件的和（并）事件。表示事件表示事件A与事件与事件B同时发生同时发生, 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积（交）事件，或记为积（交）事件，或记为AB。积事件积事件AB是由是由
6、A与与B的公的公共样本点所构成的集合。共样本点所构成的集合。可列个事件可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为的积记为A1 A2 An 或或A1A2 An ，也可也可简记为简记为 。在可列无穷的场合，用在可列无穷的场合，用 表示事件表示事件“A1、A2 诸事诸事件同时发生。件同时发生。”事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生,称为事件称为事件A与事件与事件B的的差事件。差事件。显然有：显然有：对于任意两事件对于任意两事件A，B总有如下分解：总有如下分解：则称则称A和和B是互不相容的或互斥的是互不相容的或互斥的,指事件指事件A与与B不不可能同时发生。可能同时发生。则称则称A和和B互
7、为对立事件，或称互为对立事件，或称A与与B互为逆事件。互为逆事件。事件事件A的逆事件记为的逆事件记为 , 表示表示“A不发生不发生”这一事件。这一事件。基本事件是两两互不相容的基本事件是两两互不相容的。ABBAA BBAAB BAA事件的运算律事件的运算律（1）交换律：）交换律：AB=AB，AB=BA（2）结合律）结合律（AB）C=A（BC）（3）分配律：）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）（AB）C=A（BC）A（B C）=（AB）（AC）（4）德）德摩根律（摩根律（De Morgan）：）：例例2: 设设A，B，C为三个事件，试用为三个事件，试用A，B，C表表示下列事件：示下列
8、事件：（1）A发生且发生且B与与C至少有一个发生；至少有一个发生；（2）A与与B都发生而都发生而C不发生；不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生。中至少有两个发生。第二节第二节 概率、古典概率概率、古典概率1、概率、概率定义定义1: 在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值 称为事件称为事件A的频率，的频率，记为记为频率具有下列频率具有下列性质性质：(1)对于任一事
9、件对于任一事件A，有有 (2) 历史上著名的统计学家蒲丰（历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示所示.实验者实验者实验者实验者n nnHnHF(H)F(H)德德德德 摩根摩根摩根摩根20482048106110610.51810.5181蒲丰蒲丰蒲丰蒲丰40404040204820480.50690.5069KK皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊1200012000601960190.50160.5016KK皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊240002400012012120120.50060.500
10、6可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随着试验次数随着试验次数的增加的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0.5.定义定义2: 设事件设事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了k次次, n很大时很大时,频率频率 稳定在某一数值稳定在某一数值p的附近波动的附近波动,而随着试验次数而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件为事件A发生的发生的概率，记为概率，记为定义定义3：2、概率的公理化定义、概率的公理化定义概率的性质：概率的性质：3、古典概型、古典概型定义定义4： 设随机试验设随机试验E满足如下满足如下条件条件
11、:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称试验为则称试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。例例3：从：从0,1,2, ,9共共10个数字中随机地有放回地接连取个数字中随机地有放回地接连取4个数字个数字,并按其出现的先后排成一行并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概试求下列事件的概率率例例4： (一个古老的问题一个古老的问题)一对骰子连掷一对骰子连掷25次次.问出现双问出现双6与不出现双与不出现双6的概率哪个大的概率哪个大?4、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若
12、试验具有如下特征:例例5 (约会问题约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间甲、乙两人相约在某一段时间T内在预内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即后即离去离去,求甲乙两人能会面的概率求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在假定他们在T内任一内任一时刻到达预定点是可能的时刻到达预定点是可能的)例例6 平面上画有等距离为平面上画有等距离为a的一些平行线，向平面上任的一些平行线，向平面上任意投一长为意投一长为l(l0,则有则有 P(AB)=P(A)P(BA)同样同样,当当P(B)0时时,有：有： P(AB)=P(B)P(AB) 2、乘法定理、乘法定
13、理乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:例例2： 设袋中有设袋中有a只白球只白球,b只黑球只黑球.任意取出一球后放任意取出一球后放回回,并再放入与取出的球同色的球并再放入与取出的球同色的球c只只,再取第二次再取第二次,如如此继续此继续,共取了共取了n次次,问前问前n1次取出黑球次取出黑球,后后n2 =n -n1 次次取白球的取白球的概率是多少概率是多少?3、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式例例3：某工厂由甲：某工厂由甲,乙乙,丙三台机器生产同一型号的产品丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别
14、为废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品若取出产品是废品,求它是由甲求它是由甲,乙乙,丙三台机器生产的概率各是多少丙三台机器生产的概率各是多少?例例4： 对以往的数据分析结果表明对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好时当机器调整良好时,产品的合格率为产品的合格率为90%,而机器未调整良好时而机器未调整良好时,其合格率为其合格率为30%.每天机器开动时每天机器开动时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为75%.试试求已知某日生产的第一件产品是合格品求已知某日生产的第一件
15、产品是合格品,机器调整良好机器调整良好的概率是多少的概率是多少?解解: 设设A=机器调整良好机器调整良好,B=生产的第一件产品为生产的第一件产品为合格品合格品.已知已知第四节第四节 独立性独立性1、事件的独立性、事件的独立性定理定理定义定义7:定义定义8:定义定义9:例例1： 假设我们掷两次骰子假设我们掷两次骰子,并定义事件并定义事件A=第一次掷第一次掷得偶数得偶数,B=第二次掷得奇数第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶两次都掷得奇数或偶数数,证明证明A,B,C两两独立两两独立,但但A,B,C不相互独立不相互独立.证明证明： 容易算出容易算出例例2： 甲、乙两射手射击同一目标甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概他们击中目标的概率分别为率分别为0.9与与0.8,求在一次射击中求在一次射击中(每人各射一次每人各射一次)目标目标被击中的概率被击中的概率.2. 贝努里试验模型贝努里试验模型定义定义10:定理定理1:例例3: 一副扑克牌一副扑克牌(52张张)，从中任取，从中任取13张，求至少有一张，求至少有一张张“A”的概率。的概率。解解: 设设A=任取的任取的13张牌中至少一张张牌中至少一张“A”，并设并设Ai=任取的任取的13张牌中恰有张牌中恰有i张张“A”，i=1，2，3，4则则
