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1、8. 传递函数矩阵的零极点8.1 极点和零点极点和零点SISO系统：定义：零点当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。 极点当输入u为有限值时，使输出y(s)为的那些s值。显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为 的那些s值。对MIMO系统，则要复杂得多。 一一. Rosenbrock对零极点的定义对零极点的定义给定定义：G(s)的极点为M(s)中 的根，i=1,2,r G(s)的零点为M(s)中 的根，i=1,2,r 例如所以，零点：s=0处有三个零点； 极点：s=-1处有两个零点； s=-2处有三个极点。二二. 其它对零极点的定义其它对零极点的定义1.
2、不可简约矩阵分式描述 G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根 G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。 该定义等价于Rosenbrock定义。证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则则而对左不可简约MFD有同样的结论。2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述A,B,C能控，能观 则3. 方便计算的定义（1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。（2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s
3、)=0的根，即为G(s)的零点。注：各阶子式必须化为不可简约形式。例：（1）求极点 G(s)的一阶子式即为其各个元素 G(s)的二阶子式为（2）求零点 上边的2阶子式以p(s)为分母，则有分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。几点讨论：（1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例（2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性”（3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。（4）若s=是G(s)的零点，则必有 但不一定ran
4、kG(s= )rankG(s).如：G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s)因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。三三. 传递函数矩阵的零极点的性质传递函数矩阵的零极点的性质1. 关于极点SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现 A,b,c,d的单变量系统 定理：数是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态 ，使得系统的零输入响应证明：必要性：由是g(s)的极点 是g(s)的极点 是A的特征值设v是与相关联的特征向量，即 （ I-A）v=0则（sI-A)v=(sI-A)v-(I-A)v=(s- )v系统输出r=cv是不
5、为0的常数？！A，c能观：由PBH秩判据，等价于sI-A,c满秩，sC对非零向量v，应有但已有（ I-A）v=0，故cv0必要性得证。 充分性：由 导出是g(s)的极点。定理的意义：若是g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产生模态 而不必施加任何输入；若不是g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生 的唯一途径是在输入端施加对MIMO系统，有相同的结论。即：考虑具有正则传递矩阵G(s)及不可简约实现A,B,C,D的多变量系统。数是G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态x0，使得系统输出端的零输入响应为 ，其中r为非零向量。2. 关于零点 证明见书 G(s)A,B,C满足阻塞传输性
6、。所以，前面定义的零点也叫传输零点。8.2 结构指数结构指数rank G(s)=r定义： 则 是G(s)的有限极点和零点的集合。几点讨论几点讨论（1）不管是零点，还是极点，统一表达成一个对角阵形式。（2）零极点的重数 在s=处的极点重数= 中负指数之和取绝对值 在s=处的零点重数= 中正指数之和8.3 无穷远处的零极点无穷远处的零极点一一. 无穷远处零极点的定义无穷远处零极点的定义SISO系统：s时，若G(s)趋于0，则在处有零点； 若G(s)趋于，则在处有极点（非真时）MIMO系统系统：在G(s)中，以 代入，化成H()有理分式矩阵，对应的Smith-Mcmillan标准形为 则：只需确定无穷远处零极点的个数。例：无穷远处的极点：=0，2个无穷远处的零点： =0，1个
